7．2 复数的四则运算（6大题型）训练-2025-2026学年高一下学期数学新教材同步配套（人教A版必修第二册）

7．2 复数的四则运算 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：复数代数形式的加减运算 2 题型二：复数加减法的几何意义应用 2 题型三：与复数模相关的综合问题 4 题型四：复数代数形式的乘法运算 5 题型五：复数代数形式的除法运算 6 题型六：复数范围内方程求解问题 6 02 重难点拓展 9 题型一：复数代数形式的加减运算 1．（2026·高一·宁夏固原·期末）计算的值为（   ） A．5 B． C． D． 2．（2026·高一·河北邯郸·期末）若复数满足，则复数的虚部为（   ） A． B． C．3 D． 3．（2026·高一·河南·月考）已知复数满足，则的虚部为 （    ） A． B． C． D．2 题型二：复数加减法的几何意义应用 4．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求： (1)点D对应的复数； (2)平行四边形ABCD的面积． 5．已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量： (1)；                 (2)． 题型三：与复数模相关的综合问题 6．（2026·吉林·模拟预测）复数满足，则________. 7．（2026·高一·甘肃金昌·期中）在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 8．（2026·高一·上海闵行·期末）若复数，满足．且（i为虚数单位），则______． 题型四：复数代数形式的乘法运算 9．（2026·高一·陕西商洛·期末）已知a，b均为实数，，则___________. 10．（2026·高一·云南曲靖·月考）设复数，则___________． 11．（2026·高一·甘肃天水·期末）已知，复数，则___________. 题型五：复数代数形式的除法运算 12．（2026·高一·江苏扬州·期中）实数满足，则_____． 13．（2026·高一·福建厦门·月考）计算：______． 14．设是虚数单位，__________． 题型六：复数范围内方程求解问题 15．（2026·高一·云南曲靖·月考）已知复数是关于的方程的一个根，其中． (1)求的值； (2)若复数满足，求的最小值． 16．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数（为虚数单位）． (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值． 17．（2026·高一·上海青浦·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若是实系数一元二次方程的一个根，求实数和的值； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 1．（2026·高一·全国·单元测试）若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广东汕头·模拟预测）已知，则的值为（   ） A．5 B． C． D． 5．（2026·高三·山东聊城·期末）若复数满足，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 6．（2026·高一·北京·期末）已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西·模拟预测）已知复数，设复数，则的虚部是（    ） A．-1 B．1 C． D． 8．（2026·高三·河南驻马店·期末）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 9．（多选题）（2026·高一·河北邢台·月考）已知复数，，且是非零复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 10．（多选题）（2026·高一·全国·单元测试）下面命题中不正确的是（   ） A．两个共轭复数的差是纯虚数． B．若，则． C．若，，且，则． D．若，则． 11．（多选题）（2026·新疆·模拟预测）（多选）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D．的最大值为2 12．已知复数满足条件，则复数________． 13．（2026·高一·北京朝阳·月考）设，若复数是纯虚数，则_____. 14．（2026·高三·重庆沙坪坝·月考）已知关于 的方程 的根为复数 ，其中 为虚数单位，则 _____. 15．（2026·高一·全国·月考）（1）计算：； （2）已知，求的模． 16．（2026·高一·全国·单元测试）已知为复数，为实数，，且，求． 17．（2026·高一·贵州·月考）已知复数z对应复平面内的点. (1)设，求的模； (2)如果，求实数a，b的值. 18．（2026·高一·山东潍坊·期末）已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围； (3)已知实系数一元二次方程的两根为和，若，求m的值. 19．（2026·高一·陕西宝鸡·期末）已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求； (2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围. 20．（2026·高一·吉林长春·期末）已知复数，其中是虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求实数m的值； (2)在复平面内，若复数对应的点在第二象限，求实数m的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 7．2 复数的四则运算 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：复数代数形式的加减运算 2 题型二：复数加减法的几何意义应用 2 题型三：与复数模相关的综合问题 4 题型四：复数代数形式的乘法运算 5 题型五：复数代数形式的除法运算 6 题型六：复数范围内方程求解问题 6 02 重难点拓展 9 题型一：复数代数形式的加减运算 1．（2026·高一·宁夏固原·期末）计算的值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A 2．（2026·高一·河北邯郸·期末）若复数满足，则复数的虚部为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【解析】由，则， 则复数的虚部为. 故选：C. 3．（2026·高一·河南·月考）已知复数满足，则的虚部为 （    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】设，则，所以由题可得， 则，解得，故，其虚部为. 故选：A. 题型二：复数加减法的几何意义应用 4．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求： (1)点D对应的复数； (2)平行四边形ABCD的面积． 【解析】（1）向量对应的复数为,所以向量， 对应的复数为,所以向量， ， ， ， 点对应的复数为5 . （2）， ， ，， . 故平行四边形面积为7. 5．已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量： (1)；                 (2)． 【解析】（1）设复数对应的向量为． 　　　图1 设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如图①所示，即为 （2）设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如②所示，即为． 图2 题型三：与复数模相关的综合问题 6．（2026·吉林·模拟预测）复数满足，则________. 【答案】 【解析】设复数， 由，可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 联立，解得，所以， 经检验，满足， 则. 故答案为：. 7．（2026·高一·甘肃金昌·期中）在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 【答案】 【解析】由题意可设对应的向量为对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则解得. 故答案为： 8．（2026·高一·上海闵行·期末）若复数，满足．且（i为虚数单位），则______． 【答案】 【解析】设，， ， ，又，所以，， ， ， . 故答案为：. 题型四：复数代数形式的乘法运算 9．（2026·高一·陕西商洛·期末）已知a，b均为实数，，则___________. 【答案】21 【解析】根据可得到， 故，，求得， 所以. 故答案为：21 10．（2026·高一·云南曲靖·月考）设复数，则___________． 【答案】 【解析】由题意得， 由模长公式得. 11．（2026·高一·甘肃天水·期末）已知，复数，则___________. 【答案】5 【解析】由， 则，解得， 所以. 故答案为：5. 题型五：复数代数形式的除法运算 12．（2026·高一·江苏扬州·期中）实数满足，则_____． 【答案】1 【解析】由得：， 即 ，故， 故答案为：1 13．（2026·高一·福建厦门·月考）计算：______． 【答案】 【解析】． 14．设是虚数单位，__________． 【答案】/ 【解析】原式． 故答案为： 题型六：复数范围内方程求解问题 15．（2026·高一·云南曲靖·月考）已知复数是关于的方程的一个根，其中． (1)求的值； (2)若复数满足，求的最小值． 【解析】（1）由实系数方程的虚根成对的特点，可知方程的另一根为， 由韦达定理，. （2）因复数满足，则复数对应的点表示以为圆心、为半径的圆， 而，在复平面内表示点，而表示点与点的距离， 因点与圆心的距离为， 故 16．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数（为虚数单位）． (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值． 【解析】（1）复数为虚数单位， ， ∴复数的共轭复数； （2）是关于的方程的一个虚根， ，整理得：， 则，且， 解得：． 17．（2026·高一·上海青浦·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若是实系数一元二次方程的一个根，求实数和的值； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 【解析】（1）若是实系数一元二次方程的一个根，则也是实系数一元二次方程的另一个根， 根据韦达定理得， 解得； （2）由有， 所以，所以， 所以， 当时，原方程有一个实根为. 1．（2026·高一·全国·单元测试）若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，则，， 故， 故选：C． 2．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由复数的运算性质，可得，则， 所以，所以. 3．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于．故其虚部为． 故选：B. 4．（2026·广东汕头·模拟预测）已知，则的值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， ，故B正确． 故选：B． 5．（2026·高三·山东聊城·期末）若复数满足，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由，得，所以， 所以，所以，所以的虚部为. 故选：A. 6．（2026·高一·北京·期末）已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为复数. 所以共轭复数. 所以共轭复数在复平面内对应的点的坐标为. 故选：B. 7．（2026·陕西·模拟预测）已知复数，设复数，则的虚部是（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】已知，则， 则， 分子分母同乘得：. 由复数的定义可得虚部为. 故选：A 8．（2026·高三·河南驻马店·期末）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【解析】由得，，整理得， 所以，则， 所以. 故选：A. 9．（多选题）（2026·高一·河北邢台·月考）已知复数，，且是非零复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】BC 【解析】对于A，取，且，则，，显然，故A错误； 对于B，设，则，故B正确； 对于C，由可得，因为是非零复数，所以，即，故C正确； 对于D，取，，则，，故D错误. 10．（多选题）（2026·高一·全国·单元测试）下面命题中不正确的是（   ） A．两个共轭复数的差是纯虚数． B．若，则． C．若，，且，则． D．若，则． 【答案】ABCD 【解析】对于A，设互为共轭复数的两个复数分别为及，则或，当时，，是纯虚数，当时，，；故A不正确; 对于B，可以举反例：设，则，故B不正确； 对于C，可以举反例：设，，则，但，不能比较大小,故C不正确； 对于D，，，，故，都是虚数，不能比较大小，D不正确； 故选：ABCD 11．（多选题）（2026·新疆·模拟预测）（多选）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D．的最大值为2 【答案】ABD 【解析】设复数（a，），由可得，. 选项A：，正确； 选项B：，正确； 选项C：，只有当时才等于1，不是恒成立，错误； 选项D：， 因为，当时，的最大值为，正确. 12．已知复数满足条件，则复数________． 【答案】 【解析】设，则由条件得． 由复数相等的充要条件得， 解得或（无解）， 即解得 故或． 故答案为： 13．（2026·高一·北京朝阳·月考）设，若复数是纯虚数，则_____. 【答案】 【解析】复数, 因为复数是纯虚数，所以, 解得：, 当时，满足条件； 故答案为： 14．（2026·高三·重庆沙坪坝·月考）已知关于 的方程 的根为复数 ，其中 为虚数单位，则 _____. 【答案】 【解析】由题意，令， 则， 展开并整理得， 所以，解得或， 则或， 当时，；当时，, 所以. 故答案为： 15．（2026·高一·全国·月考）（1）计算：； （2）已知，求的模． 【解析】（1）原式． （2）， 的模为． 16．（2026·高一·全国·单元测试）已知为复数，为实数，，且，求． 【解析】设， ， ，． ， ，，， ， 当时，，当时，． 17．（2026·高一·贵州·月考）已知复数z对应复平面内的点. (1)设，求的模； (2)如果，求实数a，b的值. 【解析】（1）由题设知， 则， 故. （2）由， 有， 由题设条件，知， 根据复数相等的定义，得，解得. 18．（2026·高一·山东潍坊·期末）已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围； (3)已知实系数一元二次方程的两根为和，若，求m的值. 【解析】（1）由可得， 所以， 若复数是实数，可得， 解得； （2） ， 易知复数在复平面内所对应的点坐标为， 又复数在复平面内所对应的点位于第四象限，可得， 解得， 即实数的取值范围为. （3）若方程的两根为实数根，则， 解得， 若方程的两根为虚数根，则设，，可得， 则，，，所以，所以， 由韦达定理可得，所以， 此时，满足题意， 综上，或. 19．（2026·高一·陕西宝鸡·期末）已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求； (2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围. 【解析】（1）设，则为实数，所以. 为实数，所以， 所以. （2）因为复数是方程的一个解， 代入可得， 整理可得，解得，， 所以. （3）， 由在第四象限，得， 解得或， 故的取值范围为. 20．（2026·高一·吉林长春·期末）已知复数，其中是虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求实数m的值； (2)在复平面内，若复数对应的点在第二象限，求实数m的取值范围. 【解析】（1）已知，相乘展开： ， 因为复数为纯虚数， 所以实部为0，虚部不为0，即，解得：， 代入成立，符合要求， 所以. （2），则， 复平面内，对应的点为，因为点在第二象限， 即， 所以实数m的取值范围为：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $