大题突破03 万有引力与航天情境深度应用（北京专用） 2026年高考物理终极冲刺讲练测

大题突破03 万有引力与航天情境深度应用 热点题型1 求未知天体的质量和密度 析典例·建模型 例1. 【答案】(1) (2) (3)a.；b. 【详解】（1）设脉冲星半径为r，在脉冲星表面有 则密度 联立解得 （2）对脉冲星、伴星构成的双星系统，设脉冲星、伴星轨迹圆半径分别为，则有 因为 联立解得 （3）a.双星轨迹如图 几何关系有 已知 联立解得 b.设地球接收星体辐射的面积为，如图 接受太阳能量 脉冲星辐射圆斑扫过地球的线速度为v，如图 则 辐射圆斑直径 辐射圆斑面积 地球接受的能量 因为 联立解得 破类题·提能力 1. 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）设某恒星质量为m，由万有引力提供向心力得 解得 （2）在内部，星体质量 由万有引力提供向心力得 解得 （3）对处于R球体边缘的恒星，由万有引力提供向心力得 对处于处的恒星，由万有引力提供向心力得 由图像可知时 所以有 解得 热点题型2万有引力与机械能（引力势能+动能）的结合 析典例·建模型 例2. 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）同步卫星的角速度与地球自转角速度相等，则有 解得 （2）动能的变化量 势能的变化量 机械能的变化量 结合上述有 即有 解得 上述表达式也可为， （3）情况1：从到释放，卫星与地心的距离先减小后增大； 情况2：在释放，卫星与地心的距离保持不变； 情况3：从到释放，卫星与地心的距离先增大后减小； 情况4：从到释放，卫星与地心的距离一直增大。 其中，当时，卫星脱离地球束缚，联立同步卫星的动力学方程： 解得 破类题·提能力 2. 【答案】(1), (2), 【详解】（1）a．设物体的质量为m由 解得 物体上升到最高点所用的时间 b．若考虑万有引力的变化，随着高度的增加，万有引力逐渐减小，故物体的加速度逐渐减小，反映在图像中，图像的斜率逐渐减小，上升到最高点的时间增大，其图像如下 （2）a．导弹绕地心的做匀速圆周运动的线速度为 则圆周运动的向心加速度 设导弹垂直地球表面做匀变速直线运动的加速度大小为，则有     解得 导弹垂直于地球表面做匀变速直线运动初速度为，由匀变速直线运动公式得 b．导弹发射速度最小时，导弹的机械能最小，由题意可知，椭圆轨道的半长轴a最小，则另一焦点的位置如图所示。 根据几何关系 导弹的机械能为 联立解得 热点题型3万有引力与动量定理和动量守恒定律相结合 析典例·建模型 例3. 【答案】(1) (2) (3)①；②见解析 【详解】（1）探测器绕星球沿圆轨道匀速率运行时，万有引力提供向心力 即 可得 （2）氙离子经加速电压U加速后，相对探测器的速度大小为v，根据动能定理得 在t时间内喷出氙离子质量为 根据动量定理得 联立解得 根据牛顿第三定律知：探测器获得的反冲作用力大小为 探测器质量随时间的变化规律为 探测器加速度随时间的变化规律为 （3）①设探测器绕过行星后，行星速率为，以行星运动方向为正方向，根据动量守恒定律得 根据机械能守恒定律得 联立解得 由于 得。 ②行星与探测器相互作用时，发生动量和能量的转化。由于行星与探测器相对运动，行星具有较大的轨道速率，且，行星动能（或动量）损失很小，探测器却获得了较大的速率。 破类题·提能力 3. 【答案】(1)a．；b． (2)a．； b．，， 【详解】（1）a．由动能定理 得 b．组合体为研究对象进行受力分析，选定向上为正方向，由动量定理 得到 （2）a．设月球围绕地球做角速度为ω的圆周运动，由牛顿第二定律 “鹊桥”在地球和月球共同的万有引力作用下围绕地球以相同的角速度ω做圆周运动 二式联立可得l满足的关系式 b．可能的拉格朗日点还有两处，如图 其中应满足的关系式是 其中应满足的关系式是 热点题型4万有引力与新模型（宇宙膨胀、暗能量、引力波等） 析典例·建模型 例4. 【答案】(1)a．，b． (2) (3)见解析 【详解】（1）a．由题可知，球体内包含的质量大小为 根据万有引力定律可得，星系P受到引力的大小为 b．宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小 结合 解得随距离r变化的关系式 （2）当P到O的距离为r时，球体内包含的“未知物质”的质量为 星系P受到的斥力为 （3）a．根据上述分析可知，， 故其大致图像如下 b．此后P的运动情况可能为：P做远离O点的加速度增加的加速运动；P做靠近O点的加速度增加的加速运动；P处于静止状态。 破类题·提能力 4. 【答案】(1) (2)a. ；b. 【详解】（1）两黑洞绕其质心做匀速圆周运动，设轨道半径分别为，，根据牛顿第二定律， 因为 联立解得 （2）a.根据可知P(辐射功率)的单位是 的单位是； G(引力常量)的单位是； r(半径)的单位是m； c(光速)的单位是m/s； 辐射功率的表达式为 等式左右单位应相同，即 化简得 解得 b.双星系统的辐射功率 又因为 所以 刷模拟 1．【答案】(1)a.；b. (2)见解析 【详解】（1）a.彗星运动至近日点时，根据牛顿第二定律有 解得 b.设彗星在点处的速度大小为，则有 结合题中信息，得彗星在点处的机械能为 其中，联立解得 （2）设地球质量为卫星质量为，卫星经过圆轨道某点时的速度大小为。卫星在圆轨道上圆周运动时，万有引力提供向心力有 启动发动机后，卫星的合速度为 根据已知条件，则卫星沿椭圆轨道运行的机械能为 设卫星在椭圆轨道的机械能为，根据（1）b的结论，有 所以 2． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）由匀速圆周运动线速度与周期的关系，可得 （2）设地球质量为M，探测器质量为，卫星质量为，探测器从被发射到无穷远的过程，由能量守恒定律得 发射前，由牛顿第二定律得 联立解得 （3）小华的观点正确。 设发射后卫星的速度为，发射过程由动量守恒得 发射后卫星绕地球做椭圆运动，设近地点速度为，近地点到地心距离为，由开普勒第二定律得 由能量守恒定律得 设发射后卫星绕地球运动的周期为，由开普勒第三定律得 联立以上方程，若给定卫星与探测器的质量之比，可求得发射后卫星的运行周期。 3． 【答案】(1)， (2)①见解析，② 【详解】（1）根据万有引力提供向心力，有     解得卫星的速度大小    卫星的动能 （2）①设电子在第1轨道上运动的速度大小为v1，根据牛顿第二定律有 电子在第1轨道运动的动能 电子在第1轨道运动时氢原子的能量 同理，电子在第n轨道运动时氢原子的能量 又因为 则有，命题得证。 ②由（1）可知，电子在第1轨道运动时氢原子的能量 电子在第2轨道运动时氢原子的能量 电子从第2轨道跃迁到第1轨道所释放的能量 电子在第4轨道运动时氢原子的能量 设氢原子电离后电子具有的动能为，根据能量守恒有 解得 4. 【答案】(1)a.   b.   c. (2) 【详解】（1）a.万有引力提供向心力，有 解得 b.设近P点的速度为，根据开普勒第二定律 由于v趋于零，探测器从远P点到近P点的过程中，万有引力对探测器做正功，所以d趋于零。 c.因制动后探测器做更扁的椭圆轨道，若减速至零时，可认为做长轴为r、短轴为零的无限扁椭圆轨道，其周期为。由开普勒第三定律，得 因为 联立解得 （2）万有引力、库仑力均与距离r的平方成反比，结合运动与相互作用观，图丙中的m与图丁中的-q两者的运动也具有相似性，设电荷-q在距离Q为处做匀速圆周运动时，周期为，则有 荷-q由静止释放可认为做无限扁的椭圆运动，长轴，设其周期为。 类比天体运动中的开普勒第三定律，有 且 综上可得 5． 【答案】(1)（） (2)（） (3) 【详解】（1）由题可知，星系中心就是半径为R的球体的球心，区域的恒星设其质量为绕星系中心做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 解得（） （2）由题意通过类比可知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力也为零。设在区域内，半径为r的球体内的内物质总质量为；根据球体积公式 可得 同理，由万有引力提供向心力得 解得区域内的恒星的速度大小v与r的关系为（） （3）设太阳的辐射功率为P，日地之间的距离为r，地球上每单位面积上获得的热功率为，则有 宇宙中某恒星质量单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍，且地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样，则有 解得地球在新公转轨道上运动的轨道半径为 卫星在轨道半径为r上做匀速圆周运动时周期为T，根据万有引力提供向心力，则有 解得 所以有 6． 【答案】(1) (2)a.；b. 【详解】（1）根据题意可知，由于A、B的质量均为，则恒星A、B做圆周运动的半径为，由万有引力提供向心力有 解得 （2）a.根据题意可知，时间内引力波辐射的能量为 形成的面积为 则能流密度 b.根据题意，由万有引力提供向心力有， 系统增加的动能 联立解得 系统减小的势能 系统减小的机械能 根据能量守恒定律有 解得 7． 【答案】(1) (2)a.；b. 【详解】（1）探测器t时间内撞上的尘埃总质量 由动量定理有 解得 （2）a.由万有引力定律，解得 b. 设暗物质的质量为，由万有引力定律 又T2∶T1=1∶，解得 暗物质的密度 解得 8． 【答案】(1)见解析 (2)，背向月球 (3)见解析 【详解】（1）表格如图所示 （2）根据牛顿第二定律可得 则地球转动的加速度为 不计地球自转，质点m0所受引潮力为 所以 方向背向月球； （3）以小行星为研究对象，研究小行星离地球最远的部分所受引潮力，该部分质量为m0，设小行星瓦解时到地球球心的距离为L，则有 根据题意，小行星被撕碎的临界条件为 联立可得 根据质量和密度的关系可得 由此可知，小行星在落到地球表面之前就已经被瓦解。 刷真题 1． 【答案】（1）；（2）a．；b．H随t增大而减小 【详解】（1）在宇宙中所有位置观测的结果都一样，则小星体P运动前后距离O点半径为和的球内质量相同，即 解得小星体P远离到处时宇宙的密度 （2）a．此球内的质量 P从处远离到处，由能量守恒定律得，动能的变化量 b．由a知星体的速度随增大而减小，星体到观测点距离越大，运动时间t越长，由知，H减小，故H随t增大而减小。 2．【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由万有引力定律和向心力公式有 解得 （2）在内部，星体质量 由万有引力定律和向心力公式有 解得 （3）对处于R球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有 对处于r=nR处的恒星，由万有引力定律和向心力公式有 解得 3． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】（1）根据动能定理有 （2）设行星绕恒星做匀速圆周运动，行星的质量为m，运动半径为r，运动速度大小为v。恒星对行星的作用力F提供向心力，则 运动周期 根据开普勒第三定律，k为常量，得 即恒星对行星的作用力F与r的平方成反比。 （3）假定恒星的能量辐射各向均匀，地球绕恒星做半径为r的圆周运动，恒星单位时间内向外辐射的能量为P0。以恒星为球心，以r为半径的球面上，单位面积单位时间接受到的辐射能量 设地球绕太阳公转半径为r1在新轨道上公转半径为r2。地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样，必须满足P不变，由于恒星单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍，得 r2 = 4r1 设恒星质量为M，地球在轨道上运行周期为T，万有引力提供向心力，有 解得 由于恒星质量是太阳质量的2倍，得 18 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 大题突破03 万有引力与航天情境深度应用 目录 【命题解码·定方向】 【解题建模·通技法】 热点题型1 求未知天体质量和密度 通技法 “环绕法”求为未知天体的质量和密度 热点题型2 万有引力与机械能（引力势能+动能）的结合 通技法 利用引力势能解题的三个关键点 热点题型3 万有引力与动量定理和动量守恒定律相结合 通技法 万有引力与动量的综合模型 热点题型4 万有引力与新模型（宇宙膨胀、暗能量、引力波等） 通技法 应对新情境的要点 【实战刷题·冲高分】 刷模拟 刷真题 命题·趋势·定位 1.从“单一模型”到“复杂情境”：以前沿科技为背景，提炼物理模型，运用物理规律解决问题。 2. 从“简单计算”到“综合分析”：考点已深度串联，不仅考查椭圆轨道上动能的变化，机械能守恒，有时还会将万有引力与动量、能量甚至静电场知识结合。 3.从 “熟练解题”到“创新思维”：命题呈现形式愈发多样，除了文字，还大量使用图表、图像。更关键是考查建模能力，引入前沿概念，考查学生运用所学知识探索未知的科学思维。 热点题型1 求未知天体的质量和密度 析典例·建模型 例1. （2025·北京海淀·三模）中国天眼FAST的灵敏度极高，发现了一颗自转周期为的毫秒脉冲星。进一步观测后，证实它与另一个伴星在相距为的距离内相互绕转，绕转周期为。伴星的质量为，脉冲星和伴星均可视为均匀球体。已知万有引力常量为。 (1)该脉冲星高频自转但并未解体，求其最小密度； (2)求脉冲星的质量； (3)脉冲星高频自转，形成并持续释放出和脉冲星一起自转的细、高、能电磁辐射束。初步研究，建立了如图所示的简化模型。 a.脉冲星与伴星相互绕转时，在一个绕行周期内，大约有六分之一的时间脉冲星在空间中的辐射会被伴星遮挡。设脉冲星的半径远小于伴星的半径，且脉冲星自转频率远高于绕行频率，求伴星的半径。 b.当辐射束扫过地球的时候，地球就能接收到信号，已知脉冲星一次辐射的总功率为，当某次脉冲星距离地球最近时，FAST监测到一次源自脉冲星的高能辐射持续时间为，相当于接收来自太阳持续时间为释放出的总能量。太阳的辐射功率为，日地距离为。假设在辐射束内，到脉冲星距离相等的面上能量均匀分布。求该脉冲星距离地球的最近距离。 研考点·通技法 “环绕法”求为未知天体的质量和密度 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G＝mr，得M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 破类题·提能力 1. 漩涡星系是宇宙中一种常见的星系结构，它又分为螺旋星系（S系）和棒旋星系（SB系）。其中螺旋星系由明亮的中央核心和美丽的旋臂构成。中央核心区域存在大量的恒星系团，旋臂中含有星际物质和年青的恒星。建立简化的螺旋星系结构模型，中央核心区可以看作半径为R的球体，总质量为M，巨量的恒星均匀的分布在中央核心区内。在核心区之外的旋臂上仅有极少的恒星和星际物质。整个星系所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。 （1）求处于旋臂区域（r>R）的恒星做匀速圆周运动的周期大小T与r的关系式； （2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求分布在中央核心区（r≤R）的恒星做匀速圆周运动的周期； （3）科学家通过天文观测，得到位于此螺旋星系旋臂区域（r>R）的恒星做匀速圆周运动的周期大小T随r的变化关系图像如图所示。根据在r>R范围内的恒星周期随r的变化规律，科学家预言螺旋星系旋臂区域（r>R）存在一种特殊物质，称之为暗物质（真实存在但无法直接观测）。暗物质与通常的物质会发生万有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求r＝nR内暗物质的质量。    热点题型2万有引力与机械能（引力势能+动能）的结合 析典例·建模型 例2. （2025·北京丰台·二模）太空电梯是人类设想的一种通向太空的设备，如图所示，在地球赤道上利用超轻超高强度材料建设直通高空的电梯，可以将卫星从地面运送到太空。已知地球质量为M，半径为R，自转角速度为ω，引力常量为G，质量为与的两个质点若相距无穷远时势能为零，则相距为r时的引力势能为。 (1)求地球同步卫星的轨道半径； (2)利用太空电梯将一质量为m、静止在地球表面的卫星运送到同步卫星轨道，使其成为一颗同步卫星。写出上述过程卫星机械能变化量的表达式（同步卫星的轨道半径可直接用表示，结果不用化简）； (3)已知在距离地心约为处，将卫星相对电梯静止释放，卫星恰好不能撞击到地面。若在距离地心至高度范围内，将卫星从不同位置处相对电梯静止释放，请写出释放后卫星与地心间距离如何变化。 研考点·通技法 利用引力势能解题的三个关键点 第一点：分清情境，用对公式 适用情境 势能公式 零势能面 关键特点 地面附近（自由落体、竖直上抛） 通常选地面为零势能面 为常数 天体尺度（卫星变轨、逃逸速度） 选无穷远为零势能面 恒为负值 第二点：警惕陷阱，看清零势能面 负值的物理意义，，势能为负不代表能量为负，它只表示物体在引力场中，比无穷远处（势能为零）的能量要低，距离天体越近，越小，负得越多，势能反而越低。势能差才是关键，解题时，分析初位置和末位置的势能的变化。 第三点：综合应用，用好“机械能守恒” 1. 写出总机械能：对于绕中心天体运行的卫星总机械能 2. 记住“高轨低速大周期” 虽然高轨道的卫星运行速度慢（动能小），但它的势能“负得少”，实际更大，所以综合下来，高轨道卫星的总机械能更大。 破类题·提能力 2. （2025·北京西城·二模）物理模型对于研究有重要意义，研究中要根据解决问题的需要对模型进行改进和优化，以提高其可靠性和实用性。已知地球质量为M，可视为质量均匀分布的半径为R的球体，引力常量为G，不考虑地球自转。 (1)在地球表面将物体以初速度竖直上抛 a．若忽略万有引力的变化，物体上升过程的图像如图1所示。求重力加速度的大小g及物体上升到最高点所用的时间。 b．若考虑万有引力的变化，在图1中定性画出物体上升阶段的图像，标出物体上升到最高点的时间， (2)在地球赤道表面向北极发射洲际导弹 a．若忽略万有引力大小的变化，某同学提出将导弹的运动分解为绕地心的匀速圆周运动与垂直地球表面的匀变速直线运动。若导弹发射速度的大小为，方向与地面的夹角为，如图2所示。推导导弹距地面的高度h随运动时间t变化的关系式。 b．若考虑万有引力的变化，导弹仅在地球引力作用下的运动轨迹是椭圆，地心O为椭圆的一个焦点，如图3所示。已知取无穷远处的引力势能为0，质量为m的物体在距地心为处的引力势能，该物体在地球引力作用下做椭圆运动时，其机械能E（动能与引力势能之和）与椭圆半长轴a的关系为，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为2a。求发射导弹到北极的最小速度。 热点题型3万有引力与动量定理和动量守恒定律相结合 析典例·建模型 例3. （2025·北京昌平·二模）随着航空航天科技的发展，人类有能力开展深空探测，逐渐揭开宇宙的奥秘。 (1)探测器绕某星球沿圆轨道匀速率运行时，测得轨道半径的三次方与周期的二次方的比值为k。已知引力常量为G。求该星球的质量M。 (2)太空中的探测器通过小型等离子推进器获得推力。在推进器中，从电极发射出的电子撞击氙原子使之电离，氙离子在加速电场的作用下，从探测器尾部高速喷出，产生推力。已知探测器（含推进器和氙离子）的初始质量为，每个氙离子的质量为m，电荷量为q，加速电压为U，等离子体推进器单位时间内喷出的离子数为n。不计其它星球对探测器的作用力和离子间的相互作用。取刚向外喷出离子的时刻为初始时刻（），求探测器的加速度大小a随时间t的变化规律。 (3)深空探测器常借助行星的“引力弹弓效应”实现加速。设质量为的探测器以相对太阳的速率飞向质量为的行星，行星相对太阳的轨道速率为，方向与相反。探测器从行星旁绕过（如图所示），忽略太阳引力及行星自转的影响，探测器远离行星后相对太阳的速率为，方向与相反；行星运动方向不变。已知，各速度在极远处可视为平行；探测器与行星间的相互作用可视为短暂弹性碰撞。 ①推导的表达式（用表示）； ②简要说明“引力弹弓效应”能使探测器明显加速的原因。 研考点·通技法 万有引力与动量的综合模型 1. 两体问题中的动量守恒 两星球绕质心运动，总动量为零（质心系），是动量守恒的直接体现。 2. 引力弹弓（反冲）：必须明确在哪个参考系中动量守恒（通常是质心系或日心系）。 3. 连续喷气变轨 若飞船在轨道上缓慢喷气，喷出的气体质量远小于飞船质量时，可以用动量定理的微分形式（为喷气相对速度）。 破类题·提能力 3. （2025·北京海淀·三模）继嫦娥四号实现人类首次登陆月球背面、嫦娥五号实现中国首次月球采样返回任务之后，2024年6月2日，嫦娥六号实施了人类首次月球背面采样返回任务，如图1。 (1)嫦娥六号着陆器和上升器组合体实施动力下降时，大功率变推力主发动机开机。其间，组合体进行快速姿态调整，逐渐接近月表，在安全点上方（远小于月球半径）处悬停，检测月面障碍后，最终选定着陆点，迅速开始以较小的速度匀速竖直下降（不计加速时间和加速距离），刚接触月面时立即发动机关闭，利用缓冲系统保障组合体在时间内最终平稳着陆于月球背面南极－艾特肯盆地。已知月球表面附近的加速度为，组合体质量为，求： a．从组合体开始匀速下落到关闭发动机期间，发动机对组合体做的功； b．从关闭发动机到组合体最终平稳着陆，月面对组合体的平均冲击力的大小； (2)由于月球在绕地球的运行过程中永远以同一面朝向地球，导致地球上的任何基站信号都无法直接穿透月球与月球背面的探测器建立联系。为给月背探测器提供通信支持，我国于2018年5月发射了中继星“鹊桥”，如图2所示。图中的点为地－月系统的一个拉格朗日点，在该点的物体可以和月球以相同的角速度绕地球做匀速圆周运动。若忽略除地球和月球外其他天体的影响，“鹊桥”的运动可简化为同时参与了以点为圆心的圆周运动和与月球一起绕地球的公转两个运动，以确保月背探测器和地球之间始终能够正常的进行通讯联系。设地球质量为，月球质量为，“鹊桥”质量为，地球中心和月球中心间的距离为，月球绕地心动。求： a．推导并写出拉格朗日点到月球中心的距离为满足的关系式（已知远大于“鹊桥”到点的距离）； b．有同学推测，在地球和月球球心所在直线上还有其他拉格朗日点，请在图3中用符号“*”标记出它们的大概位置，并直接写出它们到月球中心的距离应满足的关系式。 热点题型4万有引力与新模型（宇宙膨胀、暗能量、引力波等） 析典例·建模型 例4. （2025·北京海淀·二模）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。如图1所示，以某一点O为观测点，以质量为m的星系P为观测对象，以P到O点的距离r为半径建立球面。已知星系P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力，质量均匀分布的球壳对壳内质点万有引力的合力为零，引力常量为G。 (1)设星系P到O点的距离为时，宇宙的密度为。 a．求此时星系P受到的引力大小。 b．请推导宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小随距离r变化的关系式。 (2)根据最新天文观测，科学家推测星系不仅受引力作用，而且受到斥力影响，斥力作用来源于“暗能量”。我们将其简化如下：科学家所说的“暗能量”是一种均匀分布在整个宇宙空间中的能量，它具有恒定的能量密度（单位体积内所含的能量），且不随宇宙的膨胀而变化，暗能量会产生等效的“排斥力”。某同学对此“排斥力”做了如下猜想：其作用效果可视为球面内某种密度均匀且恒为的“未知物质”产生与万有引力方向相反的排斥力，排斥力的大小与万有引力大小的规律相似，“排斥力常量”为。请基于上述简化模型和猜想，推导宇宙膨胀过程星系P受到的斥力大小随距离r变化的关系式。 (3)根据（1）（2）中的简化模型和猜想，星系P同时受到引力与斥力的作用。 a．以星系P受到斥力的方向为正方向，在图2中定性画出合力F随距离r变化的图线。 b．若某时测得星系P在做远离O点的加速度减小的减速运动，推测此后P可能的运动情况。 研考点·通技法 应对新情境的要点 1.提取核心参数：看到“暗能量”立即对应斥力；看到“宇宙膨胀”立即对应哈勃常数（描述退行速度）和减速参数（描述膨胀是加速还是减速） 2.注意近似条件：例如，当地球绕太阳运动时，暗能量斥力及其微小（正比于）通常忽略不计；但当尺度扩展到星系团或超星系团时，暗能量的影响与引力相当。 破类题·提能力 4.（2025·北京东城·一模）两黑洞绕其连线上的某一点做匀速圆周运动，组成一个孤立的双星系统，两黑洞的质量分别为、，两者间距为，引力常量为。 (1)求两黑洞做匀速圆周运动的角速度的大小； (2)科研人员观测到上述黑洞系统会向外辐射引力波，随着时间的推移，两个黑洞会缓慢靠近，系统的机械能逐渐减小。已知机械能随时间的变化率为，其中可以定义为两黑洞的靠近速度。由广义相对论可知，该系统辐射引力波的功率，其中为电磁波在真空中的传播速度。当较大时，靠近速度很小，不计两黑洞各自质量的变化。 a.求的值； b.请推导的表达式。 刷模拟 1．（25-26高三上·北京海淀·期中）天体沿椭圆轨道的运动在宇宙中普遍存在。对天体沿椭圆轨道运动的研究，为预测彗星回归、设计卫星轨道等实际应用提供了理论支撑。已知引力常量为。 (1)某彗星的运行轨道为椭圆，对彗星沿椭圆轨道的运动进行如下研究： 如图所示，、两点分别是彗星的近日点和远日点，两点到太阳中心点的距离分别为和。已知太阳和彗星的质量分别为和，不考虑其他天体的影响。 a.求彗星运动至近日点时的加速度大小。 b.在分析质点沿椭圆轨道运动时，可以把其轨迹分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可看作圆周运动的一部分（圆的半径称作曲率半径，可以描述轨迹上某位置的弯曲程度），这样就可以采用圆周运动的分析方法来处理质点经过椭圆轨道上某点的运动。已知椭圆轨道上点处的曲率半径，质量分别为和、距离为的两个质点间的引力势能。求彗星在椭圆轨道上点处的机械能。 (2)航天工程师可以通过改变卫星的速度来调整其运动轨道，完成复杂的太空任务。当卫星绕地球运动到图所示半径为的圆轨道的某点时，短时间启动卫星发动机，使卫星再获得一个背离地心、大小为其切向速度一半的径向速度，卫星将沿以为焦点的椭圆轨道绕地球运动。不考虑卫星质量的变化。在（1）b研究的基础上，论证椭圆轨道的半长轴与的关系。 2． （2025·北京朝阳·二模）开普勒行星运动定律内容如下： ①所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上； ②对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等； ③所有行星轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。 科研人员设想一种在太空中发射太空探测器的方案：卫星携带一探测器在半径为的圆轨道上绕地球做匀速圆周运动，运动周期为。在轨道上某点启动辅助动力装置短暂工作（工作时消耗的气体质量忽略不计），将探测器沿运动方向射出，探测器恰好能完全脱离地球引力的束缚，而卫星沿原方向绕地球做椭圆运动。已知质量分别为、的两个质点相距为r时的引力势能为，其中G为引力常量。不计其他天体的作用。 (1)求卫星和探测器绕圆轨道运动的线速度大小； (2)求发射后瞬间探测器的速度大小； (3)小华认为，若给定卫星与探测器的质量之比，则可求得发射探测器后卫星沿椭圆轨道运动的周期。请你分析说明她的观点是否正确，写出关键方程。 3．（2025·北京顺义·模拟预测）类比是逻辑推理中极富创造性的一种方法，科学史上很多重大发现、发明往往发端于类比，例如科学家受行星绕太阳做匀速圆周运动的启发，在构建原子模型时猜想电子绕原子核也做匀速圆周运动。 (1)一质量为m的人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r。将地球视为质量均匀分布的球体，已知地球质量为M，万有引力常量为G，求卫星的速度大小v和动能Ek。 (2)根据玻尔理论，电子绕氢原子核运动可以看作是仅在库仑引力作用下的匀速圆周运动。电子在不同的轨道上绕核做匀速圆周运动，对应着氢原子的不同能量状态，电子做圆周运动的轨道半径满足，其中n为量子数，即轨道序号，为电子处于第n轨道时的轨道半径。电子在第n轨道运动时氢原子的能量En为电子动能与“电子-原子核”这个系统电势能的总和。理论证明，系统的电势能和电子绕氢原子核做圆周运动的半径r存在关系：Ep=-k（以无穷远为电势能零点）。已知电子的电荷量为e，质量为m，静电力常量为k，电子在第1轨道运动的半径为，氢原子的基态能量为，请根据以上条件完成下面的问题： ①试证明电子在第n轨道运动时氢原子的能量和电子在第1轨道运动时氢原子的能量满足关系=； ②假设氢原子甲核外做圆周运动的电子从第2轨道跃迁到第1轨道的过程中所释放的能量，恰好被量子数n=4的氢原子乙吸收并使其电离，即其核外在第4轨道做圆周运动的电子脱离氢原子核的作用范围。不考虑电离前后原子核的动能改变，试求氢原子乙电离后电子的动能。 4. （2025·北京东城·二模）开普勒三定律是描述行星运动的基本规律。 开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。 这三条规律也适用于卫星绕行星的运动。 (1)一个质量为的探测器绕某行星做匀速圆周运动，轨道半径为，如图甲所示。行星的质量为，引力常量为。行星和探测器均视为质点。 a.设探测器做匀速圆周运动的周期为，求的表达式； b.探测器在极短的时间内沿运动方向喷射高温气体减速制动，其运动轨迹变为椭圆，如图乙中的轨道I所示；若制动后的速度越小，则椭圆越扁，椭圆轨道的长轴越短，如图乙中的轨道II所示。假设探测器在极短的时间内减速到v，v趋近于零。请结合开普勒第二定律，分析并计算探测器的“近点”到行星的距离； c.假设探测器在极短的时间内制动减速至零，其在万有引力的作用下向行星做变加速直线运动，如图丙所示。请结合开普勒第三定律，求探测器到达行星所用的时间。 (2)真空中固定着一带正电的点电荷，所带电荷量为，距离为处有一质量为、带电量为的点电荷，该电荷由静止释放，如图丁所示。静电力常量为。库仑力与万有引力都与距离的平方成反比，结合运动与相互作用观，类比（1），求带电量为的点电荷仅在静电力的作用下到达所用的时间。不计带电量为的点电荷运动过程中的电磁辐射。 5．（2025·北京顺义·模拟预测）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。 (1)求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； (2)根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； (3)宇宙中某恒星质量是太阳质量的8倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为，绕此恒星公转的周期为，求。 6．（2025·北京顺义·一模）双星系统是指由两颗恒星组成的引力束缚系统，它们在相互的引力作用下围绕共同的质心（质量中心）做轨道运动。 (1)如图所示为某双星系统，恒星A、B绕其连线的中点O做角速度相等的匀速圆周运动，A、B的质量均为，恒星A、B中心之间的距离为L，引力常量为G，求恒星A绕O点做圆周运动的角速度。 (2)宇宙中某双黑洞系统可以看成双星模型，随着时间推移，系统会通过引力波辐射能量，导致轨道逐渐收缩，最终合并成一个黑洞。假设该双黑洞系统中，两个黑洞的质量均为M，中心之间的距离为r，已知此时这个系统辐射引力波的功率，其中G为引力常量，c为光在真空中传播的速度。 a.该双黑洞系统到地球的距离为D（D远大于r），不计传播过程中引力波能量的损失，求地球表面接收到该系统此时刻辐射引力波的能流密度S（能流密度是指单位时间内通过垂直于能量传播方向上单位面积的能量，单位为）。 b.已知质量为和，距离为R的两个质点间的引力势能。设黑洞合并过程中系统的机械能全部转化为引力波的能量，在t时间内该双黑洞之间的距离由r收缩为，求此过程中该双黑洞系统辐射引力波的平均功率。 7．（2025·北京石景山·一模）神秘宇宙散发着无尽魅力，吸引着人们不断追寻和探索。 (1)某深空探测器在远离星球的宇宙深处航行时，由于宇宙中的星体对飞船的万有引力作用很微弱，可忽略不计，此时飞船将不受外力作用而做匀速直线运动。当探测器驶入一片分布均匀、静止的宇宙尘埃区域时，为了保持原有的速率v，必须开启发动机。若该区域单位体积内有质量为m0的尘埃，尘埃碰到探测器后立即吸附在上面，探测器可视为半径为R的球体。求发动机的推力大小F； (2)科学家用天文望远镜在宇宙中发现许多双星系统。双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。某双星系统中每个星体的质量都是M，相距2L。它们围绕两者连线的中点做相同周期的圆周运动。已知引力常量为G。 a.求该双星系统的运动周期T1； b.若实际观测到该双星系统的运动周期为T2，且T2∶T1=1∶（N>1）。为了解释T2与T1的差异，科学家预言双星系统之间存在一种望远镜观测不到的特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律。可以建立一种简化模型，假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着暗物质，球体内的暗物质对双星系统有引力相互作用，不考虑其它暗物质对双星系统的影响。请根据这一模型和观测结果推测双星系统间暗物质的密度。 8．（2025·北京丰台·一模）牛顿运动定律适用于惯性系。相对于惯性系有加速度的参考系称为“非惯性系”，在非惯性系中，为使牛顿运动定律形式上仍然成立，可认为物体都多受一个“惯性力（f惯）”。f惯=-ma，m为被研究物体的质量，a为非惯性系相对于惯性系的加速度，“-”号表示f惯相与a反向。 (1)我国空间站所在轨道高度处的重力加速度为g′，空间站中宇航员质量为m。根据题干提供的信息，完成下面的表格。 参考系          研究内容 地球（忽略自转） 空间站 对宇航员进行受力分析 （可将宇航员视为质点） 宇航员的运动状态（选填“平衡状态”或“非平衡状态”） (2)将地球和月球看作一个孤立系统，忽略地球自转。二者球心绕连线上某点作匀速圆周运动，该点可视为惯性系。地球上的“潮汐”现象是由月球引力与惯性力的合力造成，该合力称为“引潮力”。已知万有引力常量G，地球质量和月球质量分别为M和m，半径分别为R和r，二者球心间距为L，可认为L>>R。请写出地球上离月球最远，质量为m0的质点所受“引潮力”的表达式，并判断方向。 (3)大天体对小天体的引潮力有可能将小天体“撕碎”。2024年12月，科学家首次发现近地小行星“2024YR4”，并预测它大约将在2032年12月与地球相距最近。如果小行星内部物质仅由万有引力聚集在一起，半径为r，密度ρm=3×10³kg/m³，忽略小行星自转。地球的半径为R，密度ρM=5.5×10³kg/m³，请通过计算说明，小行星到达地面之前能否被引潮力撕碎？（提示：已知地球质量远大于小行星，无论小行星到达地面前能否被撕碎，都有二者球心间距远大于r。本题可能用到的数学工具：当x→0时，。） 刷真题 1．（2024·北京·高考真题）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某一点O为观测点，以质量为m的小星体（记为P）为观测对象。当前P到O点的距离为，宇宙的密度为。 （1）求小星体P远离到处时宇宙的密度ρ； （2）以O点为球心，以小星体P到O点的距离为半径建立球面。P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力。已知质量为和、距离为R的两个质点间的引力势能，G为引力常量。仅考虑万有引力和P远离O点的径向运动。 a．求小星体P从处远离到。处的过程中动能的变化量； b．宇宙中各星体远离观测点的速率v满足哈勃定律，其中r为星体到观测点的距离，H为哈勃系数。H与时间t有关但与r无关，分析说明H随t增大还是减小。 2．（2023·北京·高考真题）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。 （1）求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示，根据在范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求内暗物质的质量。    3．（2022·北京·高考真题）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。 （1）某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近日点速度为v1，在远日点速度为v2。求从近日点到远日点过程中太阳对行星所做的功W； （2）设行星与恒星的距离为r，请根据开普勒第三定律（）及向心力相关知识，证明恒星对行星的作用力F与r的平方成反比； （3）宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为T1，绕此恒星公转的周期为T2，求。 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 大题突破03 万有引力与航天情境深度应用 目录 【命题解码·定方向】 【解题建模·通技法】 热点题型1 求未知天体质量和密度 通技法 “环绕法”求为未知天体的质量和密度 热点题型2 万有引力与机械能（引力势能+动能）的结合 通技法 利用引力势能解题的三个关键点 热点题型3 万有引力与动量定理和动量守恒定律相结合 通技法 万有引力与动量的综合模型 热点题型4 万有引力与新模型（宇宙膨胀、暗能量、引力波等） 通技法 应对新情境的要点 【实战刷题·冲高分】 刷模拟 刷真题 命题·趋势·定位 1.从“单一模型”到“复杂情境”：以前沿科技为背景，提炼物理模型，运用物理规律解决问题。 2. 从“简单计算”到“综合分析”：考点已深度串联，不仅考查椭圆轨道上动能的变化，机械能守恒，有时还会将万有引力与动量、能量甚至静电场知识结合。 3.从 “熟练解题”到“创新思维”：命题呈现形式愈发多样，除了文字，还大量使用图表、图像。更关键是考查建模能力，引入前沿概念，考查学生运用所学知识探索未知的科学思维。 热点题型1 求未知天体的质量和密度 析典例·建模型 例1. （2025·北京海淀·三模）中国天眼FAST的灵敏度极高，发现了一颗自转周期为的毫秒脉冲星。进一步观测后，证实它与另一个伴星在相距为的距离内相互绕转，绕转周期为。伴星的质量为，脉冲星和伴星均可视为均匀球体。已知万有引力常量为。 (1)该脉冲星高频自转但并未解体，求其最小密度； (2)求脉冲星的质量； (3)脉冲星高频自转，形成并持续释放出和脉冲星一起自转的细、高、能电磁辐射束。初步研究，建立了如图所示的简化模型。 a.脉冲星与伴星相互绕转时，在一个绕行周期内，大约有六分之一的时间脉冲星在空间中的辐射会被伴星遮挡。设脉冲星的半径远小于伴星的半径，且脉冲星自转频率远高于绕行频率，求伴星的半径。 b.当辐射束扫过地球的时候，地球就能接收到信号，已知脉冲星一次辐射的总功率为，当某次脉冲星距离地球最近时，FAST监测到一次源自脉冲星的高能辐射持续时间为，相当于接收来自太阳持续时间为释放出的总能量。太阳的辐射功率为，日地距离为。假设在辐射束内，到脉冲星距离相等的面上能量均匀分布。求该脉冲星距离地球的最近距离。 【答案】(1) (2) (3)a.；b. 【详解】（1）设脉冲星半径为r，在脉冲星表面有 则密度 联立解得 （2）对脉冲星、伴星构成的双星系统，设脉冲星、伴星轨迹圆半径分别为，则有 因为 联立解得 （3）a.双星轨迹如图 几何关系有 已知 联立解得 b.设地球接收星体辐射的面积为，如图 接受太阳能量 脉冲星辐射圆斑扫过地球的线速度为v，如图 则 辐射圆斑直径 辐射圆斑面积 地球接受的能量 因为 联立解得 研考点·通技法 “环绕法”求为未知天体的质量和密度 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G＝mr，得M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 破类题·提能力 1. 漩涡星系是宇宙中一种常见的星系结构，它又分为螺旋星系（S系）和棒旋星系（SB系）。其中螺旋星系由明亮的中央核心和美丽的旋臂构成。中央核心区域存在大量的恒星系团，旋臂中含有星际物质和年青的恒星。建立简化的螺旋星系结构模型，中央核心区可以看作半径为R的球体，总质量为M，巨量的恒星均匀的分布在中央核心区内。在核心区之外的旋臂上仅有极少的恒星和星际物质。整个星系所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。 （1）求处于旋臂区域（r>R）的恒星做匀速圆周运动的周期大小T与r的关系式； （2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求分布在中央核心区（r≤R）的恒星做匀速圆周运动的周期； （3）科学家通过天文观测，得到位于此螺旋星系旋臂区域（r>R）的恒星做匀速圆周运动的周期大小T随r的变化关系图像如图所示。根据在r>R范围内的恒星周期随r的变化规律，科学家预言螺旋星系旋臂区域（r>R）存在一种特殊物质，称之为暗物质（真实存在但无法直接观测）。暗物质与通常的物质会发生万有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求r＝nR内暗物质的质量。    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）设某恒星质量为m，由万有引力提供向心力得 解得 （2）在内部，星体质量 由万有引力提供向心力得 解得 （3）对处于R球体边缘的恒星，由万有引力提供向心力得 对处于处的恒星，由万有引力提供向心力得 由图像可知时 所以有 解得 热点题型2万有引力与机械能（引力势能+动能）的结合 析典例·建模型 例2. （2025·北京丰台·二模）太空电梯是人类设想的一种通向太空的设备，如图所示，在地球赤道上利用超轻超高强度材料建设直通高空的电梯，可以将卫星从地面运送到太空。已知地球质量为M，半径为R，自转角速度为ω，引力常量为G，质量为与的两个质点若相距无穷远时势能为零，则相距为r时的引力势能为。 (1)求地球同步卫星的轨道半径； (2)利用太空电梯将一质量为m、静止在地球表面的卫星运送到同步卫星轨道，使其成为一颗同步卫星。写出上述过程卫星机械能变化量的表达式（同步卫星的轨道半径可直接用表示，结果不用化简）； (3)已知在距离地心约为处，将卫星相对电梯静止释放，卫星恰好不能撞击到地面。若在距离地心至高度范围内，将卫星从不同位置处相对电梯静止释放，请写出释放后卫星与地心间距离如何变化。 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）同步卫星的角速度与地球自转角速度相等，则有 解得 （2）动能的变化量 势能的变化量 机械能的变化量 结合上述有 即有 解得 上述表达式也可为， （3）情况1：从到释放，卫星与地心的距离先减小后增大； 情况2：在释放，卫星与地心的距离保持不变； 情况3：从到释放，卫星与地心的距离先增大后减小； 情况4：从到释放，卫星与地心的距离一直增大。 其中，当时，卫星脱离地球束缚，联立同步卫星的动力学方程： 解得 研考点·通技法 利用引力势能解题的三个关键点 第一点：分清情境，用对公式 适用情境 势能公式 零势能面 关键特点 地面附近（自由落体、竖直上抛） 通常选地面为零势能面 为常数 天体尺度（卫星变轨、逃逸速度） 选无穷远为零势能面 恒为负值 第二点：警惕陷阱，看清零势能面 负值的物理意义，，势能为负不代表能量为负，它只表示物体在引力场中，比无穷远处（势能为零）的能量要低，距离天体越近，越小，负得越多，势能反而越低。势能差才是关键，解题时，分析初位置和末位置的势能的变化。 第三点：综合应用，用好“机械能守恒” 1. 写出总机械能：对于绕中心天体运行的卫星总机械能 2. 记住“高轨低速大周期” 虽然高轨道的卫星运行速度慢（动能小），但它的势能“负得少”，实际更大，所以综合下来，高轨道卫星的总机械能更大。 破类题·提能力 2. （2025·北京西城·二模）物理模型对于研究有重要意义，研究中要根据解决问题的需要对模型进行改进和优化，以提高其可靠性和实用性。已知地球质量为M，可视为质量均匀分布的半径为R的球体，引力常量为G，不考虑地球自转。 (1)在地球表面将物体以初速度竖直上抛 a．若忽略万有引力的变化，物体上升过程的图像如图1所示。求重力加速度的大小g及物体上升到最高点所用的时间。 b．若考虑万有引力的变化，在图1中定性画出物体上升阶段的图像，标出物体上升到最高点的时间， (2)在地球赤道表面向北极发射洲际导弹 a．若忽略万有引力大小的变化，某同学提出将导弹的运动分解为绕地心的匀速圆周运动与垂直地球表面的匀变速直线运动。若导弹发射速度的大小为，方向与地面的夹角为，如图2所示。推导导弹距地面的高度h随运动时间t变化的关系式。 b．若考虑万有引力的变化，导弹仅在地球引力作用下的运动轨迹是椭圆，地心O为椭圆的一个焦点，如图3所示。已知取无穷远处的引力势能为0，质量为m的物体在距地心为处的引力势能，该物体在地球引力作用下做椭圆运动时，其机械能E（动能与引力势能之和）与椭圆半长轴a的关系为，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为2a。求发射导弹到北极的最小速度。 【答案】(1), (2), 【详解】（1）a．设物体的质量为m由 解得 物体上升到最高点所用的时间 b．若考虑万有引力的变化，随着高度的增加，万有引力逐渐减小，故物体的加速度逐渐减小，反映在图像中，图像的斜率逐渐减小，上升到最高点的时间增大，其图像如下 （2）a．导弹绕地心的做匀速圆周运动的线速度为 则圆周运动的向心加速度 设导弹垂直地球表面做匀变速直线运动的加速度大小为，则有     解得 导弹垂直于地球表面做匀变速直线运动初速度为，由匀变速直线运动公式得 b．导弹发射速度最小时，导弹的机械能最小，由题意可知，椭圆轨道的半长轴a最小，则另一焦点的位置如图所示。 根据几何关系 导弹的机械能为 联立解得 热点题型3万有引力与动量定理和动量守恒定律相结合 析典例·建模型 例3. （2025·北京昌平·二模）随着航空航天科技的发展，人类有能力开展深空探测，逐渐揭开宇宙的奥秘。 (1)探测器绕某星球沿圆轨道匀速率运行时，测得轨道半径的三次方与周期的二次方的比值为k。已知引力常量为G。求该星球的质量M。 (2)太空中的探测器通过小型等离子推进器获得推力。在推进器中，从电极发射出的电子撞击氙原子使之电离，氙离子在加速电场的作用下，从探测器尾部高速喷出，产生推力。已知探测器（含推进器和氙离子）的初始质量为，每个氙离子的质量为m，电荷量为q，加速电压为U，等离子体推进器单位时间内喷出的离子数为n。不计其它星球对探测器的作用力和离子间的相互作用。取刚向外喷出离子的时刻为初始时刻（），求探测器的加速度大小a随时间t的变化规律。 (3)深空探测器常借助行星的“引力弹弓效应”实现加速。设质量为的探测器以相对太阳的速率飞向质量为的行星，行星相对太阳的轨道速率为，方向与相反。探测器从行星旁绕过（如图所示），忽略太阳引力及行星自转的影响，探测器远离行星后相对太阳的速率为，方向与相反；行星运动方向不变。已知，各速度在极远处可视为平行；探测器与行星间的相互作用可视为短暂弹性碰撞。 ①推导的表达式（用表示）； ②简要说明“引力弹弓效应”能使探测器明显加速的原因。 【答案】(1) (2) (3)①；②见解析 【详解】（1）探测器绕星球沿圆轨道匀速率运行时，万有引力提供向心力 即 可得 （2）氙离子经加速电压U加速后，相对探测器的速度大小为v，根据动能定理得 在t时间内喷出氙离子质量为 根据动量定理得 联立解得 根据牛顿第三定律知：探测器获得的反冲作用力大小为 探测器质量随时间的变化规律为 探测器加速度随时间的变化规律为 （3）①设探测器绕过行星后，行星速率为，以行星运动方向为正方向，根据动量守恒定律得 根据机械能守恒定律得 联立解得 由于 得。 ②行星与探测器相互作用时，发生动量和能量的转化。由于行星与探测器相对运动，行星具有较大的轨道速率，且，行星动能（或动量）损失很小，探测器却获得了较大的速率。 研考点·通技法 万有引力与动量的综合模型 1. 两体问题中的动量守恒 两星球绕质心运动，总动量为零（质心系），是动量守恒的直接体现。 2. 引力弹弓（反冲）：必须明确在哪个参考系中动量守恒（通常是质心系或日心系）。 3. 连续喷气变轨 若飞船在轨道上缓慢喷气，喷出的气体质量远小于飞船质量时，可以用动量定理的微分形式（为喷气相对速度）。 破类题·提能力 3. （2025·北京海淀·三模）继嫦娥四号实现人类首次登陆月球背面、嫦娥五号实现中国首次月球采样返回任务之后，2024年6月2日，嫦娥六号实施了人类首次月球背面采样返回任务，如图1。 (1)嫦娥六号着陆器和上升器组合体实施动力下降时，大功率变推力主发动机开机。其间，组合体进行快速姿态调整，逐渐接近月表，在安全点上方（远小于月球半径）处悬停，检测月面障碍后，最终选定着陆点，迅速开始以较小的速度匀速竖直下降（不计加速时间和加速距离），刚接触月面时立即发动机关闭，利用缓冲系统保障组合体在时间内最终平稳着陆于月球背面南极－艾特肯盆地。已知月球表面附近的加速度为，组合体质量为，求： a．从组合体开始匀速下落到关闭发动机期间，发动机对组合体做的功； b．从关闭发动机到组合体最终平稳着陆，月面对组合体的平均冲击力的大小； (2)由于月球在绕地球的运行过程中永远以同一面朝向地球，导致地球上的任何基站信号都无法直接穿透月球与月球背面的探测器建立联系。为给月背探测器提供通信支持，我国于2018年5月发射了中继星“鹊桥”，如图2所示。图中的点为地－月系统的一个拉格朗日点，在该点的物体可以和月球以相同的角速度绕地球做匀速圆周运动。若忽略除地球和月球外其他天体的影响，“鹊桥”的运动可简化为同时参与了以点为圆心的圆周运动和与月球一起绕地球的公转两个运动，以确保月背探测器和地球之间始终能够正常的进行通讯联系。设地球质量为，月球质量为，“鹊桥”质量为，地球中心和月球中心间的距离为，月球绕地心动。求： a．推导并写出拉格朗日点到月球中心的距离为满足的关系式（已知远大于“鹊桥”到点的距离）； b．有同学推测，在地球和月球球心所在直线上还有其他拉格朗日点，请在图3中用符号“*”标记出它们的大概位置，并直接写出它们到月球中心的距离应满足的关系式。 【答案】(1)a．；b． (2)a．； b．，， 【详解】（1）a．由动能定理 得 b．组合体为研究对象进行受力分析，选定向上为正方向，由动量定理 得到 （2）a．设月球围绕地球做角速度为ω的圆周运动，由牛顿第二定律 “鹊桥”在地球和月球共同的万有引力作用下围绕地球以相同的角速度ω做圆周运动 二式联立可得l满足的关系式 b．可能的拉格朗日点还有两处，如图 其中应满足的关系式是 其中应满足的关系式是 热点题型4万有引力与新模型（宇宙膨胀、暗能量、引力波等） 析典例·建模型 例4. （2025·北京海淀·二模）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。如图1所示，以某一点O为观测点，以质量为m的星系P为观测对象，以P到O点的距离r为半径建立球面。已知星系P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力，质量均匀分布的球壳对壳内质点万有引力的合力为零，引力常量为G。 (1)设星系P到O点的距离为时，宇宙的密度为。 a．求此时星系P受到的引力大小。 b．请推导宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小随距离r变化的关系式。 (2)根据最新天文观测，科学家推测星系不仅受引力作用，而且受到斥力影响，斥力作用来源于“暗能量”。我们将其简化如下：科学家所说的“暗能量”是一种均匀分布在整个宇宙空间中的能量，它具有恒定的能量密度（单位体积内所含的能量），且不随宇宙的膨胀而变化，暗能量会产生等效的“排斥力”。某同学对此“排斥力”做了如下猜想：其作用效果可视为球面内某种密度均匀且恒为的“未知物质”产生与万有引力方向相反的排斥力，排斥力的大小与万有引力大小的规律相似，“排斥力常量”为。请基于上述简化模型和猜想，推导宇宙膨胀过程星系P受到的斥力大小随距离r变化的关系式。 (3)根据（1）（2）中的简化模型和猜想，星系P同时受到引力与斥力的作用。 a．以星系P受到斥力的方向为正方向，在图2中定性画出合力F随距离r变化的图线。 b．若某时测得星系P在做远离O点的加速度减小的减速运动，推测此后P可能的运动情况。 【答案】(1)a．，b． (2) (3)见解析 【详解】（1）a．由题可知，球体内包含的质量大小为 根据万有引力定律可得，星系P受到引力的大小为 b．宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小 结合 解得随距离r变化的关系式 （2）当P到O的距离为r时，球体内包含的“未知物质”的质量为 星系P受到的斥力为 （3）a．根据上述分析可知，， 故其大致图像如下 b．此后P的运动情况可能为：P做远离O点的加速度增加的加速运动；P做靠近O点的加速度增加的加速运动；P处于静止状态。 研考点·通技法 应对新情境的要点 1.提取核心参数：看到“暗能量”立即对应斥力；看到“宇宙膨胀”立即对应哈勃常数（描述退行速度）和减速参数（描述膨胀是加速还是减速） 2.注意近似条件：例如，当地球绕太阳运动时，暗能量斥力及其微小（正比于）通常忽略不计；但当尺度扩展到星系团或超星系团时，暗能量的影响与引力相当。 破类题·提能力 4.（2025·北京东城·一模）两黑洞绕其连线上的某一点做匀速圆周运动，组成一个孤立的双星系统，两黑洞的质量分别为、，两者间距为，引力常量为。 (1)求两黑洞做匀速圆周运动的角速度的大小； (2)科研人员观测到上述黑洞系统会向外辐射引力波，随着时间的推移，两个黑洞会缓慢靠近，系统的机械能逐渐减小。已知机械能随时间的变化率为，其中可以定义为两黑洞的靠近速度。由广义相对论可知，该系统辐射引力波的功率，其中为电磁波在真空中的传播速度。当较大时，靠近速度很小，不计两黑洞各自质量的变化。 a.求的值； b.请推导的表达式。 【答案】(1) (2)a. ；b. 【详解】（1）两黑洞绕其质心做匀速圆周运动，设轨道半径分别为，，根据牛顿第二定律， 因为 联立解得 （2）a.根据可知P(辐射功率)的单位是 的单位是； G(引力常量)的单位是； r(半径)的单位是m； c(光速)的单位是m/s； 辐射功率的表达式为 等式左右单位应相同，即 化简得 解得 b.双星系统的辐射功率 又因为 所以 刷模拟 1．（25-26高三上·北京海淀·期中）天体沿椭圆轨道的运动在宇宙中普遍存在。对天体沿椭圆轨道运动的研究，为预测彗星回归、设计卫星轨道等实际应用提供了理论支撑。已知引力常量为。 (1)某彗星的运行轨道为椭圆，对彗星沿椭圆轨道的运动进行如下研究： 如图所示，、两点分别是彗星的近日点和远日点，两点到太阳中心点的距离分别为和。已知太阳和彗星的质量分别为和，不考虑其他天体的影响。 a.求彗星运动至近日点时的加速度大小。 b.在分析质点沿椭圆轨道运动时，可以把其轨迹分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可看作圆周运动的一部分（圆的半径称作曲率半径，可以描述轨迹上某位置的弯曲程度），这样就可以采用圆周运动的分析方法来处理质点经过椭圆轨道上某点的运动。已知椭圆轨道上点处的曲率半径，质量分别为和、距离为的两个质点间的引力势能。求彗星在椭圆轨道上点处的机械能。 (2)航天工程师可以通过改变卫星的速度来调整其运动轨道，完成复杂的太空任务。当卫星绕地球运动到图所示半径为的圆轨道的某点时，短时间启动卫星发动机，使卫星再获得一个背离地心、大小为其切向速度一半的径向速度，卫星将沿以为焦点的椭圆轨道绕地球运动。不考虑卫星质量的变化。在（1）b研究的基础上，论证椭圆轨道的半长轴与的关系。 【答案】(1)a.；b. (2)见解析 【详解】（1）a.彗星运动至近日点时，根据牛顿第二定律有 解得 b.设彗星在点处的速度大小为，则有 结合题中信息，得彗星在点处的机械能为 其中，联立解得 （2）设地球质量为卫星质量为，卫星经过圆轨道某点时的速度大小为。卫星在圆轨道上圆周运动时，万有引力提供向心力有 启动发动机后，卫星的合速度为 根据已知条件，则卫星沿椭圆轨道运行的机械能为 设卫星在椭圆轨道的机械能为，根据（1）b的结论，有 所以 2． （2025·北京朝阳·二模）开普勒行星运动定律内容如下： ①所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上； ②对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等； ③所有行星轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。 科研人员设想一种在太空中发射太空探测器的方案：卫星携带一探测器在半径为的圆轨道上绕地球做匀速圆周运动，运动周期为。在轨道上某点启动辅助动力装置短暂工作（工作时消耗的气体质量忽略不计），将探测器沿运动方向射出，探测器恰好能完全脱离地球引力的束缚，而卫星沿原方向绕地球做椭圆运动。已知质量分别为、的两个质点相距为r时的引力势能为，其中G为引力常量。不计其他天体的作用。 (1)求卫星和探测器绕圆轨道运动的线速度大小； (2)求发射后瞬间探测器的速度大小； (3)小华认为，若给定卫星与探测器的质量之比，则可求得发射探测器后卫星沿椭圆轨道运动的周期。请你分析说明她的观点是否正确，写出关键方程。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）由匀速圆周运动线速度与周期的关系，可得 （2）设地球质量为M，探测器质量为，卫星质量为，探测器从被发射到无穷远的过程，由能量守恒定律得 发射前，由牛顿第二定律得 联立解得 （3）小华的观点正确。 设发射后卫星的速度为，发射过程由动量守恒得 发射后卫星绕地球做椭圆运动，设近地点速度为，近地点到地心距离为，由开普勒第二定律得 由能量守恒定律得 设发射后卫星绕地球运动的周期为，由开普勒第三定律得 联立以上方程，若给定卫星与探测器的质量之比，可求得发射后卫星的运行周期。 3．（2025·北京顺义·模拟预测）类比是逻辑推理中极富创造性的一种方法，科学史上很多重大发现、发明往往发端于类比，例如科学家受行星绕太阳做匀速圆周运动的启发，在构建原子模型时猜想电子绕原子核也做匀速圆周运动。 (1)一质量为m的人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r。将地球视为质量均匀分布的球体，已知地球质量为M，万有引力常量为G，求卫星的速度大小v和动能Ek。 (2)根据玻尔理论，电子绕氢原子核运动可以看作是仅在库仑引力作用下的匀速圆周运动。电子在不同的轨道上绕核做匀速圆周运动，对应着氢原子的不同能量状态，电子做圆周运动的轨道半径满足，其中n为量子数，即轨道序号，为电子处于第n轨道时的轨道半径。电子在第n轨道运动时氢原子的能量En为电子动能与“电子-原子核”这个系统电势能的总和。理论证明，系统的电势能和电子绕氢原子核做圆周运动的半径r存在关系：Ep=-k（以无穷远为电势能零点）。已知电子的电荷量为e，质量为m，静电力常量为k，电子在第1轨道运动的半径为，氢原子的基态能量为，请根据以上条件完成下面的问题： ①试证明电子在第n轨道运动时氢原子的能量和电子在第1轨道运动时氢原子的能量满足关系=； ②假设氢原子甲核外做圆周运动的电子从第2轨道跃迁到第1轨道的过程中所释放的能量，恰好被量子数n=4的氢原子乙吸收并使其电离，即其核外在第4轨道做圆周运动的电子脱离氢原子核的作用范围。不考虑电离前后原子核的动能改变，试求氢原子乙电离后电子的动能。 【答案】(1)， (2)①见解析，② 【详解】（1）根据万有引力提供向心力，有     解得卫星的速度大小    卫星的动能 （2）①设电子在第1轨道上运动的速度大小为v1，根据牛顿第二定律有 电子在第1轨道运动的动能 电子在第1轨道运动时氢原子的能量 同理，电子在第n轨道运动时氢原子的能量 又因为 则有，命题得证。 ②由（1）可知，电子在第1轨道运动时氢原子的能量 电子在第2轨道运动时氢原子的能量 电子从第2轨道跃迁到第1轨道所释放的能量 电子在第4轨道运动时氢原子的能量 设氢原子电离后电子具有的动能为，根据能量守恒有 解得 4. （2025·北京东城·二模）开普勒三定律是描述行星运动的基本规律。 开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。 这三条规律也适用于卫星绕行星的运动。 (1)一个质量为的探测器绕某行星做匀速圆周运动，轨道半径为，如图甲所示。行星的质量为，引力常量为。行星和探测器均视为质点。 a.设探测器做匀速圆周运动的周期为，求的表达式； b.探测器在极短的时间内沿运动方向喷射高温气体减速制动，其运动轨迹变为椭圆，如图乙中的轨道I所示；若制动后的速度越小，则椭圆越扁，椭圆轨道的长轴越短，如图乙中的轨道II所示。假设探测器在极短的时间内减速到v，v趋近于零。请结合开普勒第二定律，分析并计算探测器的“近点”到行星的距离； c.假设探测器在极短的时间内制动减速至零，其在万有引力的作用下向行星做变加速直线运动，如图丙所示。请结合开普勒第三定律，求探测器到达行星所用的时间。 (2)真空中固定着一带正电的点电荷，所带电荷量为，距离为处有一质量为、带电量为的点电荷，该电荷由静止释放，如图丁所示。静电力常量为。库仑力与万有引力都与距离的平方成反比，结合运动与相互作用观，类比（1），求带电量为的点电荷仅在静电力的作用下到达所用的时间。不计带电量为的点电荷运动过程中的电磁辐射。 【答案】(1)a.   b.   c. (2) 【详解】（1）a.万有引力提供向心力，有 解得 b.设近P点的速度为，根据开普勒第二定律 由于v趋于零，探测器从远P点到近P点的过程中，万有引力对探测器做正功，所以d趋于零。 c.因制动后探测器做更扁的椭圆轨道，若减速至零时，可认为做长轴为r、短轴为零的无限扁椭圆轨道，其周期为。由开普勒第三定律，得 因为 联立解得 （2）万有引力、库仑力均与距离r的平方成反比，结合运动与相互作用观，图丙中的m与图丁中的-q两者的运动也具有相似性，设电荷-q在距离Q为处做匀速圆周运动时，周期为，则有 荷-q由静止释放可认为做无限扁的椭圆运动，长轴，设其周期为。 类比天体运动中的开普勒第三定律，有 且 综上可得 5．（2025·北京顺义·模拟预测）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。 (1)求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； (2)根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； (3)宇宙中某恒星质量是太阳质量的8倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为，绕此恒星公转的周期为，求。 【答案】(1)（） (2)（） (3) 【详解】（1）由题可知，星系中心就是半径为R的球体的球心，区域的恒星设其质量为绕星系中心做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 解得（） （2）由题意通过类比可知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力也为零。设在区域内，半径为r的球体内的内物质总质量为；根据球体积公式 可得 同理，由万有引力提供向心力得 解得区域内的恒星的速度大小v与r的关系为（） （3）设太阳的辐射功率为P，日地之间的距离为r，地球上每单位面积上获得的热功率为，则有 宇宙中某恒星质量单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍，且地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样，则有 解得地球在新公转轨道上运动的轨道半径为 卫星在轨道半径为r上做匀速圆周运动时周期为T，根据万有引力提供向心力，则有 解得 所以有 6．（2025·北京顺义·一模）双星系统是指由两颗恒星组成的引力束缚系统，它们在相互的引力作用下围绕共同的质心（质量中心）做轨道运动。 (1)如图所示为某双星系统，恒星A、B绕其连线的中点O做角速度相等的匀速圆周运动，A、B的质量均为，恒星A、B中心之间的距离为L，引力常量为G，求恒星A绕O点做圆周运动的角速度。 (2)宇宙中某双黑洞系统可以看成双星模型，随着时间推移，系统会通过引力波辐射能量，导致轨道逐渐收缩，最终合并成一个黑洞。假设该双黑洞系统中，两个黑洞的质量均为M，中心之间的距离为r，已知此时这个系统辐射引力波的功率，其中G为引力常量，c为光在真空中传播的速度。 a.该双黑洞系统到地球的距离为D（D远大于r），不计传播过程中引力波能量的损失，求地球表面接收到该系统此时刻辐射引力波的能流密度S（能流密度是指单位时间内通过垂直于能量传播方向上单位面积的能量，单位为）。 b.已知质量为和，距离为R的两个质点间的引力势能。设黑洞合并过程中系统的机械能全部转化为引力波的能量，在t时间内该双黑洞之间的距离由r收缩为，求此过程中该双黑洞系统辐射引力波的平均功率。 【答案】(1) (2)a.；b. 【详解】（1）根据题意可知，由于A、B的质量均为，则恒星A、B做圆周运动的半径为，由万有引力提供向心力有 解得 （2）a.根据题意可知，时间内引力波辐射的能量为 形成的面积为 则能流密度 b.根据题意，由万有引力提供向心力有， 系统增加的动能 联立解得 系统减小的势能 系统减小的机械能 根据能量守恒定律有 解得 7．（2025·北京石景山·一模）神秘宇宙散发着无尽魅力，吸引着人们不断追寻和探索。 (1)某深空探测器在远离星球的宇宙深处航行时，由于宇宙中的星体对飞船的万有引力作用很微弱，可忽略不计，此时飞船将不受外力作用而做匀速直线运动。当探测器驶入一片分布均匀、静止的宇宙尘埃区域时，为了保持原有的速率v，必须开启发动机。若该区域单位体积内有质量为m0的尘埃，尘埃碰到探测器后立即吸附在上面，探测器可视为半径为R的球体。求发动机的推力大小F； (2)科学家用天文望远镜在宇宙中发现许多双星系统。双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。某双星系统中每个星体的质量都是M，相距2L。它们围绕两者连线的中点做相同周期的圆周运动。已知引力常量为G。 a.求该双星系统的运动周期T1； b.若实际观测到该双星系统的运动周期为T2，且T2∶T1=1∶（N>1）。为了解释T2与T1的差异，科学家预言双星系统之间存在一种望远镜观测不到的特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律。可以建立一种简化模型，假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着暗物质，球体内的暗物质对双星系统有引力相互作用，不考虑其它暗物质对双星系统的影响。请根据这一模型和观测结果推测双星系统间暗物质的密度。 【答案】(1) (2)a.；b. 【详解】（1）探测器t时间内撞上的尘埃总质量 由动量定理有 解得 （2）a.由万有引力定律，解得 b. 设暗物质的质量为，由万有引力定律 又T2∶T1=1∶，解得 暗物质的密度 解得 8．（2025·北京丰台·一模）牛顿运动定律适用于惯性系。相对于惯性系有加速度的参考系称为“非惯性系”，在非惯性系中，为使牛顿运动定律形式上仍然成立，可认为物体都多受一个“惯性力（f惯）”。f惯=-ma，m为被研究物体的质量，a为非惯性系相对于惯性系的加速度，“-”号表示f惯相与a反向。 (1)我国空间站所在轨道高度处的重力加速度为g′，空间站中宇航员质量为m。根据题干提供的信息，完成下面的表格。 参考系          研究内容 地球（忽略自转） 空间站 对宇航员进行受力分析 （可将宇航员视为质点） 宇航员的运动状态（选填“平衡状态”或“非平衡状态”） (2)将地球和月球看作一个孤立系统，忽略地球自转。二者球心绕连线上某点作匀速圆周运动，该点可视为惯性系。地球上的“潮汐”现象是由月球引力与惯性力的合力造成，该合力称为“引潮力”。已知万有引力常量G，地球质量和月球质量分别为M和m，半径分别为R和r，二者球心间距为L，可认为L>>R。请写出地球上离月球最远，质量为m0的质点所受“引潮力”的表达式，并判断方向。 (3)大天体对小天体的引潮力有可能将小天体“撕碎”。2024年12月，科学家首次发现近地小行星“2024YR4”，并预测它大约将在2032年12月与地球相距最近。如果小行星内部物质仅由万有引力聚集在一起，半径为r，密度ρm=3×10³kg/m³，忽略小行星自转。地球的半径为R，密度ρM=5.5×10³kg/m³，请通过计算说明，小行星到达地面之前能否被引潮力撕碎？（提示：已知地球质量远大于小行星，无论小行星到达地面前能否被撕碎，都有二者球心间距远大于r。本题可能用到的数学工具：当x→0时，。） 【答案】(1)见解析 (2)，背向月球 (3)见解析 【详解】（1）表格如图所示 （2）根据牛顿第二定律可得 则地球转动的加速度为 不计地球自转，质点m0所受引潮力为 所以 方向背向月球； （3）以小行星为研究对象，研究小行星离地球最远的部分所受引潮力，该部分质量为m0，设小行星瓦解时到地球球心的距离为L，则有 根据题意，小行星被撕碎的临界条件为 联立可得 根据质量和密度的关系可得 由此可知，小行星在落到地球表面之前就已经被瓦解。 刷真题 1．（2024·北京·高考真题）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某一点O为观测点，以质量为m的小星体（记为P）为观测对象。当前P到O点的距离为，宇宙的密度为。 （1）求小星体P远离到处时宇宙的密度ρ； （2）以O点为球心，以小星体P到O点的距离为半径建立球面。P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力。已知质量为和、距离为R的两个质点间的引力势能，G为引力常量。仅考虑万有引力和P远离O点的径向运动。 a．求小星体P从处远离到。处的过程中动能的变化量； b．宇宙中各星体远离观测点的速率v满足哈勃定律，其中r为星体到观测点的距离，H为哈勃系数。H与时间t有关但与r无关，分析说明H随t增大还是减小。 【答案】（1）；（2）a．；b．H随t增大而减小 【详解】（1）在宇宙中所有位置观测的结果都一样，则小星体P运动前后距离O点半径为和的球内质量相同，即 解得小星体P远离到处时宇宙的密度 （2）a．此球内的质量 P从处远离到处，由能量守恒定律得，动能的变化量 b．由a知星体的速度随增大而减小，星体到观测点距离越大，运动时间t越长，由知，H减小，故H随t增大而减小。 2．（2023·北京·高考真题）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。 （1）求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示，根据在范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求内暗物质的质量。    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由万有引力定律和向心力公式有 解得 （2）在内部，星体质量 由万有引力定律和向心力公式有 解得 （3）对处于R球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有 对处于r=nR处的恒星，由万有引力定律和向心力公式有 解得 3．（2022·北京·高考真题）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。 （1）某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近日点速度为v1，在远日点速度为v2。求从近日点到远日点过程中太阳对行星所做的功W； （2）设行星与恒星的距离为r，请根据开普勒第三定律（）及向心力相关知识，证明恒星对行星的作用力F与r的平方成反比； （3）宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为T1，绕此恒星公转的周期为T2，求。 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】（1）根据动能定理有 （2）设行星绕恒星做匀速圆周运动，行星的质量为m，运动半径为r，运动速度大小为v。恒星对行星的作用力F提供向心力，则 运动周期 根据开普勒第三定律，k为常量，得 即恒星对行星的作用力F与r的平方成反比。 （3）假定恒星的能量辐射各向均匀，地球绕恒星做半径为r的圆周运动，恒星单位时间内向外辐射的能量为P0。以恒星为球心，以r为半径的球面上，单位面积单位时间接受到的辐射能量 设地球绕太阳公转半径为r1在新轨道上公转半径为r2。地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样，必须满足P不变，由于恒星单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍，得 r2 = 4r1 设恒星质量为M，地球在轨道上运行周期为T，万有引力提供向心力，有 解得 由于恒星质量是太阳质量的2倍，得 20 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $