专题10 规律探究（复习讲义）（安徽专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题10 规律探究 目录 01析·考情目标 02筑·专题框架 03攻·重难考点 真题动向 题型01数式规律 题型02图形规律 题型03项目类规律 必备知识 知识1数式探究 知识2图形规律探究 命题预测 命题 透视 命题形式：规律探究在安徽中考中每年以解答题形式出现，位置稳定在第18题左右，属于中档题，是考查学生从特殊到一般思维能力的核心题型，必须熟练掌握。 命题内容： 观察与归纳：从有限项中发现变化规律，用含n的代数式表示第n项。 建模与运算：将规律问题转化为方程（组）求解，如求满足条件的n值。 证明与表达：对猜想的规律进行代数证明（如2022第18题、2024第18题）。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 数式规律 T14：数式规律 T18：数式规律 T18：数式规律 图形规律 T14：图形规律 T18：图形规律 T18：图形规律 命题预测 1.考情预测 必考无疑：规律探究每年必考，分值稳定在8~10分，解答题位置约在第18题。 图形规律（累加型）与数字规律（等式型）交替出现，2023年考图形，2024年考数字，2025年图形与数字融合（新定义+变换）。 2026年可能回归图形规律，或以数字等式规律为主。 难度稳定：中等难度，第(1)问直接观察填写，第(2)问归纳表达式并证明，第(3)问列方程求解n。 综合趋势：规律探究与方程（一元一次、一元二次）、不等式结合是常态，2026年仍会延续。 新定义风险：2025年填空出现新定义变换，解答题也可能借鉴此类创新形式，需引起重视。 2.备考建议 图形规律的核心是“累加”，找到每次增加的数量，写出等差数列通项公式。 数字规律的核心是“观察”，从特殊到一般，写出第n个等式，并会代数证明。 新定义规律重在“理解”，先搞懂规则，再按规则操作，找周期或通项。 方程思想贯穿始终，规律题往往以列方程求n结尾，一元一次和一元二次方程都要熟练。 答题规范要到位，猜想要注明n的范围，证明要过程完整，解方程要取舍验证 题型01数式规律 数列规律：观察相邻项的变化——等差（看差）、等比（看商）、平方/立方关系、周期循环。 等式规律：观察序号n与结果的关系，常见模型：n(n+1)、n2−1、(−1)n调节符号。 裂项规律：=−，用于求和化简。 解题流程：列出n=1,2,3时的结果→猜想通项公式→验证n=4或下一个。 忽略符号规律：正负交替未用(−1)n或(−1)n+1表达。 通项公式验证不充分：只验证前两项就下结论。 裂项求和时抵消项找错：正负抵消后剩余首尾项。 1．（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探索，从整数和小数两个方面进行规律分析是解题关键．该组数的规律从两方面分析：①整数部分：每次增加2；②小数部分：每次增加一个9，据此即可得到答案． 【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加2，则第n个数整数部分是， 小数部分每次增加一个9，则第n个数小数部分有n个9， ∴第n个数小数部分是， ∴第n个数是， 故选：A． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式，正确找出规律是解题的关键． 先找出规律，再得出第15个单项式． 【详解】解：观察可得，从左到右第个单项式是， ∴第15个单项式是， 故选：B． 3．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 4．对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为________； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为________． 【答案】 2 11 【分析】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数； （2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或或，再验证这三个数是否可经过变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出n的三个值，再同理可验证符合题意的n，据此可得答案． 【详解】解；（1）∵， ∴15进行一次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行二次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行三次变换后得到的数为2， 故答案为：2； （2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为，此时符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 综上所述，第一次变换后所得的数为3， 当n除以3的余数为0时，则，符合题意； 当n除以3的余数为1时，则，不符合题意； 当n除以3的余数为2时，则，符合题意； ∴符合题意的n的值是9或2， ∴所有满足条件的n的值之和为， 故答案为；11． 题型02图形规律 图形计数规律：数出n=1,2,3时的图形数量→转化为数式规律。 常见模型：等差数列、二次函数型（如an2+bn+c）。 图形生长规律：观察每次增加的基本单元数（增量规律）。 分割类问题：注意交点、线段、区域数的关系（如欧拉公式应用）。 解题技巧：将图形序号与数量列成表格，差分法确定规律类型。 初始项n=1对应错误：未明确第1个图形是基础图形还是变化一次后。 漏数隐藏图形：如图形中的三角形包含大小多种，需分类计数。 增量规律误判：将二次增长误判为等差增长。 1．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为_______．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找到一般规律即可．观察图形，发现后面一个图案比前一个图案多3个黑色棋子即可解决． 【详解】解：观察发现： 第一个图形有个黑色棋子， 第二个图形有个黑色棋子， 第三个图形有个黑色棋子， …， 第n个图形有个黑色棋子， 故答案为：． 2．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（） A．32 B．28 C．24 D．20 【答案】C 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是个， 故选：C． 题型03项目学习类 流程图/程序规律：模拟运行2~3步，观察输出值的循环周期或递推关系。 操作类问题：每次操作后的状态变化，寻找周期或通项。 坐标变化规律：点按规则运动，观察横纵坐标随步数的周期或函数关系。 解题核心：多算几步找周期（周期规律）或建立递推关系。 周期找错：未验证完整的周期长度（至少计算一个周期加一步）。 忽略初始状态：未明确n=1对应的初始值或第1次操作结果。 分类讨论遗漏：当规则与奇偶性有关时，未分情况讨论。 1．（2025·安徽·中考真题）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加①个正六边形和②个正三角形，长度增加③cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤元，总成本为⑥元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 【答案】；；；；； 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，通过观察图4所示的拼接单元，数出增加的正六边形和正三角形的数量，再根据边长计算出长度的增加量，进而得出y个拼接单元拼成一行的长度．涉及根据给定的拼接条件进行不等式计算，以确定拼接单元数量、组件数量，进而计算每行成本和总成本．方案二的计算方法与方案一类似． 【详解】解：项目主题： 观察图4可知，每增加一个图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角形； 由正六边形和正三角形组件的边长均为，观察图4可得增加的长度为3个边长，即 计算y个拼接单元拼成一行的长度第一个拼接单元有一个正六边形左边的，每增加一个拼接单元长度增加，所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为 项目分析： 计算方案二每行可拼接的单元数量令， 移项可得，即， 两边同时除以，解得， 每行可以先拼块拼接单元． 计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量 拼块拼接单元， 共用去个正六边形和个正三角形组件． 由知，所拼长度为， 剩余，无法再摆放组件． 由知，方案二每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行， 则， 两边同时除以，， 故需铺17行． 计算方案二的总成本． 方案二所需的总成本为元． 项目实施： 两种方案比较可知：． 选方案二完成实践活动． 故答案为：；；；；；． 2．（2025·江苏盐城·中考真题）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律． ［发现问题］ 黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点连接（）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． ［提出问题］ 小明思考：这样的正多面体有几个？ ［分析问题］ 一个正面体的每个面都是全等的正边形，有个顶点，条棱，且每个顶点都连接条棱．小明对部分正面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据： 正多面体 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 （1）根据表中的数据，请写出、、之间存在的等量关系式_________； （2）小明进一步发现，正面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12． 正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ②从顶点出发：正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ［解决问题］ （3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数． （4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）；（4）个 【分析】本题考查了新定义，数字类规律，分式的化简，理解难度大，理解题意是解题的关键． （1）观察数据即可解答； （2）①正面体，它有个面，每个面都有条边，则个面的边数之和为，又因为正面体的两个面共用一条边，所以正面体的棱数为；②正面体，它有个顶点，且每个顶点都连接条棱，则个顶点的棱数之和为，又因为正面体的一条棱连接两个顶点，所以正面体的棱数为； （3）上述公式列方程即可解答； （4）由题意可得，代入可得，整理后，利用逐一判断即可． 【详解】解：（1）根据观察可得， 故答案为：； （2）①正面体，它有个面，每个面都有条边，则个面的边数之和为， 又因为正面体的两个面共用一条边，所以正面体的棱数为， 故答案为：； ②正面体，它有个顶点，且每个顶点都连接条棱，则个顶点的棱数之和为， 又因为正面体的一条棱连接两个顶点，所以正面体的棱数为， 故答案为：； （3）由题意可得，， ， 根据（1）中公式可得， 可得， 解得， 则这个正多面体的面数为； （4）由题意可得，， 代入可得， ， ， ， 为正整数，且，， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，无论取任何值，，故不成立， 综上，满足正多面体定义的几何体一共有个． 3．（2025·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度：x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 【答案】(1)y关于x的函数是二次函数，； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先判断出y关于x的函数是二次函数，再利用待定系数法求解即可； （2）先计算出种子自然发芽率为35，令和时，分别求得x的值，再结合图象求解即可． 【详解】（1）解：观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数， 设该二次函数的解析式为， 将，，代入得， ， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴种子自然发芽率为35， ∴当时，， 解得，， 当时，， 解得（舍去），， ∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为． 4．（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 【答案】（1）（2）（3）11，3（4） 【分析】本题考查列代数式，解一元一次方程，找准等量关系，正确的列出代数式和方程，是解题的关键： （1）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （2）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （3）根据幻方的特点，列出算式，进行求解即可； （4）先根据是最小数，表示出其它的数，根据幻方的特点，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知：； 故答案为：； （2）由图可知：； 故答案为：； （3）由题意，得：，； 故答案为：11，3； （4）∵最小的数为，则剩余的数为：， ∴， 解得：； 故答案为：． 知识1数式规律 1）常见数列规律类型 数列类型 特征 第n项表达式（n为正整数） 示例 等差数列 相邻两项的差为常数d an=a1+(n−1)d 3, 5, 7, 9, … →an=2n+1 等比数列 相邻两项的比为常数q an=aqn−1 2, 4, 8, 16, … →an=2n 平方数列 完全平方数 an=n2 1, 4, 9, 16, … 平方修正 平方数 ± 常数 an=n2±k 0, 3, 8, 15, … →an=n2−1 三角数列 连续自然数和 an= 1, 3, 6, 10, 15, … 周期数列 数字按固定周期重复 根据周期确定 1, -1, 1, -1, … →an=(−1)n+1 符号交替 正负交替出现 (−1)n+1或(−1)n -1, 2, -3, 4, … →an=(−1)nn 2）算式或等式规律 常见于“找规律写第n个等式”类题目。 解题步骤： 标序号：给每个等式标上序号 1, 2, 3, …,n。 分部分：将等式的左边和右边拆分成若干部分（如第一个数、第二个数、结果）。 找对应：观察每部分与序号n的关系（通常为一次函数、二次函数或指数关系）。 组合：用含n的代数式写出第n个等式。 示例： 1×2×3×4+1=25=52 2×3×4×5+1=121=112 3×4×5×6+1=361=192⋯ 第n个：n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2​ 3）核心方法 观察相邻项差：若一次差相等 → 等差数列；若二次差相等 → 与n2有关。 拆解数字：将数字拆成“序号运算”的形式。 分母规律：分数数列通常分子、分母分别找规律。 指数规律：出现 2, 4, 8, 16 等数时，考虑2n或2n−1。 知识2图形规律 1） 图形个数规律（如小正方形、小三角形、点的个数） 方法：将图形转化为数列问题处理。 递推型：观察相邻图形之间增加的数量（固定增量或递增增量）。 整体型：直接观察第n个图形中基本单元的数量与n的关系。 图形模型 第n个图形的个数 等边三角形点阵（每边n个点） 正方形点阵（n×n） n2 蜂巢形（六边形） 3n(n−1)+1 2）图形周长规律 核心：观察每次变化后，周长的增量是否固定。 注意：相邻图形拼接时，重合部分不计入周长。 3）图形面积规律 通常与n2成正比（如相似图形按边长比平方放大）。 4）图形交点/线段/对角线规律 n边形对角线条数： 平面内n条直线最多交点个数： n个点（无三点共线）最多确定直线条数： 一、填空题 1．（24-25七年级上·江苏苏州·月考）按一定规律排成的一列数：，，，，，，，则这列数中的第2025个数是______． 【答案】 【分析】本题考查了数字类找规律，将这列数的分母写出连续自然数，进而发现规律，即可求得答案． 【详解】解：∵，，，，，，…… 即 ∴这列数的分子为从1开始的连续的自然数，分母为分子加2 则这列数中的第2025个数是， 故答案为：． 2．（2019·甘肃·中考真题）已知一列数，按照这个规律写下去，第9个数是__________． 【答案】 【分析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案． 【详解】解：由题意知从第3个数开始，每个数均为前两个数的和,则第7个数是，第8个数是，第9个数是， 故答案为． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律． 3．（2025·安徽·模拟预测）探索组在老师的安排下准备了一个规律题，如图，请根据数字规律，探索下列问题：在A处的数是______（填正数或负数）；第2025个数对应排在______位置（从A，B，C，D中选择填写）． 【答案】正数B 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的排列规律，确定循环规律是解题的关键． 通过观察发现，每4个数为一组循环，并且是正数负数交替出现，再结合所给的A的位置可确定此处是正数，由于，可确定2025在B处． 【详解】解：∵A的位置与4、8、12......对应， ∴A处是正数；每4个数为一组循环， ∵， ∴2025排在对应的B处， 故答案为：正数，B． 4．（2023·安徽合肥·二模）中国数字文化源远流长，“万物莫逃乎数”，“一切皆有定数”…，是古人对自然、社会的一种观察和思考．古籍《孙子算经》中也记录了很多古人发现的数字规律．现在请你根据所学知识观察：（1）；（2）；（3）根据规律写出第（n）个等式：___________； 【答案】 【分析】观察已知的三个等式可得第n个等式． 【详解】解：∵第1个等式； 第2个等式； 第3个等式； ∴第n个等式：； 故答案为：． 【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，观察所给的等式得到规律是解题关键． 5．（2025·安徽滁州·二模）观察下列各式． 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； … 根据以上规律，解决下列问题． (1)第五个等式：____________________． (2)猜想第个等式：____________________（用含的代数式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，详见解析 【分析】本题考查整数的运算，数字类规律探究． （1）根据题干给定的等式，作答即可； （2）根据给定的等式，得到规律，利用整数的运算法则进行计算，证明即可． 【详解】（1）解：由题意，第五个等式为：； 故答案为：； （2）由题意，第个等式为：； 证明：∵左边， 右边， ∴左边右边， ∴等式成立． 故答案为：． 二、解答题 6．（2025·安徽芜湖·二模）【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．． 【规律应用】 (1)写出第4个等式：____________；写出你猜想的第个等式：_____________（用含的等式表示）； (2)根据以上的规律计算出结果：． 【答案】(1)； (2)7125 【分析】本题主要考查整式数字类规律探索； （1）根据题意，总结出规律即可求出； （2）根据总结出的规律进行运算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，第4个等式为：， 第个等式为：； 故答案为：；． （2）解： 7．（22-23八年级下·北京海淀·期中）观察下列等式，其中反映了某种规律： ；；， (1)按照这种规律在括号里填入相应的数：； (2)请你用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式． 【答案】(1)24，24 (2)第n个式子是：（n为正整数，且）；证明见解析 【分析】（1）根据题目给出的例子求出相应的值； （2）由规律结合（1）探求的结果可以写出用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律；证明时，先被开方数通分，然后加减，最后化简结果． 【详解】（1）解：；；，， ， 故答案为：24，24； （2）第n个式子是：（n为正整数，且）； 证明： （n为正整数，且）． 【点睛】本题考查算术平方根、规律型：数字的变化类，掌握算术平方根定义的应用，数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式是解题关键． 8．（2025·安徽滁州·一模）观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … (1)请根据你发现的规律，猜想等式⑥________________； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并说明理由； (3)用你发现的规律计算． 【答案】(1)49， (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律进行计算是解题的关键． （1）通过观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察所给的等式，总结出一般规律即可； （3）将每个小括号进行通分为，再根据（2）的规律，将所求的式子变形为，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：49，． （2）解：∵①， ②， ③， ④， …… ∴． （3）解：原式 ． 9．（2025·安徽·模拟预测）下面是一组按照一定的规律排列的图案，每个图案都由若干个“◎”和若干个“●”组成． (1)按照上面的排列规律，第5个图案中有“◎”_____个，有“●”_____个； (2)按照上面的排列规律，在第个图案中，“◎”的个数比“●”的个数少29个，试求的值． 【答案】(1)17，28 (2)的值为8 【分析】此题考查了图形类规律题，一元二次方程的应用，找到规律是解题的关键． （1）根据已知图形找到规律即可得到答案； （2）根据（1）中的规律得到在第个图案中，“◎”的个数为，“●”的个数为，根据题意列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）第1个图案中有“◎”5个，有“●”个； 第2个图案中有“◎”个，有“●”个； 第3个图案中有“◎”个，有“●”个； 即可得到第5个图案中有“◎”个，有“●”个； 故答案为：17，28 （2）按照（1）中的排列规律，在第个图案中，“◎”的个数为 在第个图案中，“●”的个数为， 根据题意可得， 解得，或（不合题意，舍去） ∴的值为． 10．（2025·安徽·一模）【观察思考】 观察下列各式． … 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得________（其中为正整数）； 【规律应用】 （2）计算：； （3）①计算：； ②计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】本题考查了平方差公式，多项式乘法的规律问题． （1）观察所给式子的特点，等号右边x的指数比等号左边x的最高指数大1，然后写出即可； （2）根据所给式子的规律，把x换为5即可求解； （3）配成上述结构式子，利用总结规律直接写出结果； 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：； （3）解：①由可得： ， ∴； ②由可得： 原式 ． 11．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解:当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解:① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 12．（2024·安徽马鞍山·三模）【观察思考】如图，是由同样大小的小正方形按一定规律组成的图形，其中图①中有3个小正方形，图②中有8个小正方形，图③中有15个小正方形，图④中有24个小正方形，… 【规律发现】依此规律，完成以下问题： （1）图⑤中共有小正方形的个数为______； （2）图中共有小正方形的个数为______． 【规律应用】（3）已知一物体从静止开始沿一个方向移动，每隔一段时间测量一次它移动的距离，测量得到的数据依次为3米、8米、15米、24米、…，如果物体按照这样的移动规律，在第（为正整数）次测量时移动的距离比第（）次测量时移动的距离多（）米，那么该物体在第（）次测量时移动了多少米？ 【答案】（1）35（2）（３）195 【分析】该题是图形类规律题，主要考查了图形规律以及解一元二次方程，解题的关键是根据题意得出图象变化规律． （1）根据图例得出规律即可解答； （2）根据图例得出规律即可解答； （3）由（2）中规律结合题意得出，解答即可求解． 【详解】解：（1）图⑤中共有小正方形的个数为， 故答案为：35； （2）图中共有小正方形的个数为， 故答案为：； （3）根据题意得， 整理得，， 解得或（舍去）， ∴， 所以，该物体在第（）次测量时移动了195米． 13．（2025·安徽淮北·二模）【观察思考】 一人巷是位于合肥市国家级景区三河古镇风景区的一个著名景点（如图①），其墙体是由方砖按照一定规律组合砌成的（如图②）． 当中竖放一块方砖，就横放6块方砖（如图③）；当中竖放2块方砖，就横放9块方砖（如图④）；以此类推． 【规律发现】 若一段墙一共竖放的方砖有n（n为正整数）块，则 （1）横放方砖的块数为__________（用含n的代数式表示）； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为；当竖放的方砖为2时，墙体的长度为；当竖放的方砖为3时，墙体的长度为；……；当竖放的方砖为n时，墙体的长度为__________．（墙体长度单位均为） 【规律应用】 （3）已知需要砌一段长为的墙体，若按照图中规律需要方砖多少块？ 【答案】（1）；（2）；（3）需要方砖423块． 【分析】本题主要考查了图形类他规律探索，一元一次方程的应用： （1）观察可知，当竖放n块方砖，就横放块方砖； （2）观察可知，当竖放的方砖为n时，墙体的长度为； （3）根据（2）所求得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）当竖放一块方砖，就横放块方砖； 当竖放2块方砖，就横放块方砖； 当竖放3块方砖，就横放块方砖； 当竖放4块方砖，就横放块方砖； ……， 以此类推，当竖放n块方砖，就横放块方砖； 故答案为：； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为； 当竖放的方砖为2时，墙体的长度为； 当竖放的方砖为3时，墙体的长度为； ……； 以此类推，当竖放的方砖为n时，墙体的长度为； 故答案为：． （3）当时， 解得， ∴竖放的方砖总数为105块，横放的方砖总数为（块）， ∴方砖的总数为（块）， 答：需要方砖423块． 14．（2025·安徽池州·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第个图案中，“”的个数为； （2）第个图案中，“”的个数可表示为； 【规律应用】 （3）结合图案中的排列方式及上述规律，是否存在正整数，使得“”的个数是“”的个数2倍？若存在，求出的值，若不存在，请说出理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不存在，见解析 【分析】本题主要考查图形规律，理解图示中数量关系的增加情况，找出规律是解题的关键． （1）根据图形中数量的增加情况，找出规律即可求解； （2）根据图形中数量的增加情况，找出规律即可求解； （3）根据题意，假设“”的个数是“”的个数倍，由题意得：，由此即可求解． 【详解】[规律发现] （1）第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， ∴第一个图案中：“”有个， 故答案为：； （2）第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， 第一个图案中：“”有个， ∴第一个图案中：“”有个， 故答案为：； [规律应用 （3）不存在， 理由如下：假设“”的个数是“”的个数倍，由题意得：， 整理得：， 解得， 不是正整数，与题意中的是正整数不符， ∴不存在正整数，使得“”的个数是“”的个数倍． 15．（2025·安徽合肥·二模）学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和，____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律，____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和，____________． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况 （1）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到； （2）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到3； （3），然后求和即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：，； （3）解： ， 故答案为：，． 16．（2024·安徽合肥·二模）【观察思考】 如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点）组成“中国结”图案． 【规律总结】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中黄梅花的盆数为______； （2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，…；第n个图案中红梅花的盆数可表示为______； 【问题解决】 （3）已知按照上述规律摆放的第n个“中国结”图案中红梅花比黄梅花多68盆，结合图案中红梅花和黄梅花的排列方式及上述规律，求n的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程； （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）第1个图案中黄梅花的盆数可表示为， 第2个图案中黄梅花的盆数可表示为， 第3个图案中黄梅花的盆数可表示为， 第4个图案中黄梅花的盆数可表示为， …； 第n个图案中黄梅花的盆数可表示为； 故答案为：； （2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为， 第2个图案中红梅花的盆数可表示为， 第3个图案中红梅花的盆数可表示为， 第4个图案中红梅花的盆数可表示为， …； 第n个图案中红梅花的盆数可表示为； 故答案为：； （3）根据题意得， 整理得，即， 解得（舍去）或． 17．（2025·安徽合肥·三模）综合与实践 【实践与操作】 数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给奋进组和探究组各一盒，开展有关“形数”的探究活动．最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案： 奋进组的同学按照图①所示的方式摆放，探究组的同学按照图②所示的方式摆放 【观察与思考】 （1）先研究特殊情况，若两组都摆放5层，则奋进组共用去棋子的数量为25枚，探究组共用去棋子的数量为_________枚； （2）再探究一般情况，若摆放n层，奋进组共用去棋子的数量为_________枚，探究组共用去棋子的数量为_________枚（用含有n的式子表示）； 【拓展探究】 若奋进组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完，探究组按照图②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8枚棋子，且比奋进组多摆了4层，请计算一盒棋子的数量为多少枚． 【答案】观察与思考：（1）15；（2），；拓展探究：一盒棋子的数量为144枚． 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，数字类规律探索，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）摆放5层，探究组共用去棋子的数量为枚； （2）令奋进组共用去棋子的数量为：，则，两式子相加即可得到奋进组共用去棋子的数量；探究组共用去棋子的数量为：； （拓展探究）设奋进组共摆放了层，则探究组摆放了层，由题意，得，再解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）探究组共用去棋子的数量为（枚）， 故答案为：15； （2）令奋进组共用去棋子的数量为：， 则， 两式子相加得：， ∴； 探究组共用去棋子的数量为：， 故答案为：，； （拓展探究）设奋进组共摆放了层，则探究组摆放了层， 由题意，得， 解得，（舍去）， 一盒棋子的数量为（枚）， 答：一盒棋子的数量为144枚． 1/34 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 规律探究 目录 01析·考情目标 02筑·专题框架 03攻·重难考点 真题动向 题型01数式规律 题型02图形规律 题型03项目类规律 必备知识 知识1数式探究 知识2图形规律探究 命题预测 命题 透视 命题形式：规律探究在安徽中考中每年以解答题形式出现，位置稳定在第18题左右，属于中档题，是考查学生从特殊到一般思维能力的核心题型，必须熟练掌握。 命题内容： 观察与归纳：从有限项中发现变化规律，用含n的代数式表示第n项。 建模与运算：将规律问题转化为方程（组）求解，如求满足条件的n值。 证明与表达：对猜想的规律进行代数证明（如2022第18题、2024第18题）。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 数式规律 T14：数式规律 T18：数式规律 T18：数式规律 图形规律 T14：图形规律 T18：图形规律 T18：图形规律 命题预测 1.考情预测 必考无疑：规律探究每年必考，分值稳定在8~10分，解答题位置约在第18题。 图形规律（累加型）与数字规律（等式型）交替出现，2023年考图形，2024年考数字，2025年图形与数字融合（新定义+变换）。 2026年可能回归图形规律，或以数字等式规律为主。 难度稳定：中等难度，第(1)问直接观察填写，第(2)问归纳表达式并证明，第(3)问列方程求解n。 综合趋势：规律探究与方程（一元一次、一元二次）、不等式结合是常态，2026年仍会延续。 新定义风险：2025年填空出现新定义变换，解答题也可能借鉴此类创新形式，需引起重视。 2.备考建议 图形规律的核心是“累加”，找到每次增加的数量，写出等差数列通项公式。 数字规律的核心是“观察”，从特殊到一般，写出第n个等式，并会代数证明。 新定义规律重在“理解”，先搞懂规则，再按规则操作，找周期或通项。 方程思想贯穿始终，规律题往往以列方程求n结尾，一元一次和一元二次方程都要熟练。 答题规范要到位，猜想要注明n的范围，证明要过程完整，解方程要取舍验证 题型01数式规律 数列规律：观察相邻项的变化——等差（看差）、等比（看商）、平方/立方关系、周期循环。 等式规律：观察序号n与结果的关系，常见模型：n(n+1)、n2−1、(−1)n调节符号。 裂项规律：=−，用于求和化简。 解题流程：列出n=1,2,3时的结果→猜想通项公式→验证n=4或下一个。 忽略符号规律：正负交替未用(−1)n或(−1)n+1表达。 通项公式验证不充分：只验证前两项就下结论。 裂项求和时抵消项找错：正负抵消后剩余首尾项。 1．（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（） A． B． C． D． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（） A． B． C． D． 3．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 4．对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为________； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为________． 题型02图形规律 图形计数规律：数出n=1,2,3时的图形数量→转化为数式规律。 常见模型：等差数列、二次函数型（如an2+bn+c）。 图形生长规律：观察每次增加的基本单元数（增量规律）。 分割类问题：注意交点、线段、区域数的关系（如欧拉公式应用）。 解题技巧：将图形序号与数量列成表格，差分法确定规律类型。 初始项n=1对应错误：未明确第1个图形是基础图形还是变化一次后。 漏数隐藏图形：如图形中的三角形包含大小多种，需分类计数。 增量规律误判：将二次增长误判为等差增长。 1．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为_______．（用含n的代数式表示） 2．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（） A．32 B．28 C．24 D．20 题型03项目学习类 流程图/程序规律：模拟运行2~3步，观察输出值的循环周期或递推关系。 操作类问题：每次操作后的状态变化，寻找周期或通项。 坐标变化规律：点按规则运动，观察横纵坐标随步数的周期或函数关系。 解题核心：多算几步找周期（周期规律）或建立递推关系。 周期找错：未验证完整的周期长度（至少计算一个周期加一步）。 忽略初始状态：未明确n=1对应的初始值或第1次操作结果。 分类讨论遗漏：当规则与奇偶性有关时，未分情况讨论。 1．（2025·安徽·中考真题）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加①个正六边形和②个正三角形，长度增加③cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤元，总成本为⑥元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 2．（2025·江苏盐城·中考真题）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律． ［发现问题］ 黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点连接（）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． ［提出问题］ 小明思考：这样的正多面体有几个？ ［分析问题］ 一个正面体的每个面都是全等的正边形，有个顶点，条棱，且每个顶点都连接条棱．小明对部分正面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据： 正多面体 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 （1）根据表中的数据，请写出、、之间存在的等量关系式_________； （2）小明进一步发现，正面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12． 正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ②从顶点出发：正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ［解决问题］ （3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数． （4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由． 3．（2025·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度：x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 4．（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 知识1数式规律 1）常见数列规律类型 数列类型 特征 第n项表达式（n为正整数） 示例 等差数列 相邻两项的差为常数d an=a1+(n−1)d 3, 5, 7, 9, … →an=2n+1 等比数列 相邻两项的比为常数q an=aqn−1 2, 4, 8, 16, … →an=2n 平方数列 完全平方数 an=n2 1, 4, 9, 16, … 平方修正 平方数 ± 常数 an=n2±k 0, 3, 8, 15, … →an=n2−1 三角数列 连续自然数和 an= 1, 3, 6, 10, 15, … 周期数列 数字按固定周期重复 根据周期确定 1, -1, 1, -1, … →an=(−1)n+1 符号交替 正负交替出现 (−1)n+1或(−1)n -1, 2, -3, 4, … →an=(−1)nn 2）算式或等式规律 常见于“找规律写第n个等式”类题目。 解题步骤： 标序号：给每个等式标上序号 1, 2, 3, …,n。 分部分：将等式的左边和右边拆分成若干部分（如第一个数、第二个数、结果）。 找对应：观察每部分与序号n的关系（通常为一次函数、二次函数或指数关系）。 组合：用含n的代数式写出第n个等式。 示例： 1×2×3×4+1=25=52 2×3×4×5+1=121=112 3×4×5×6+1=361=192⋯ 第n个：n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2​ 3）核心方法 观察相邻项差：若一次差相等 → 等差数列；若二次差相等 → 与n2有关。 拆解数字：将数字拆成“序号运算”的形式。 分母规律：分数数列通常分子、分母分别找规律。 指数规律：出现 2, 4, 8, 16 等数时，考虑2n或2n−1。 知识2图形规律 1） 图形个数规律（如小正方形、小三角形、点的个数） 方法：将图形转化为数列问题处理。 递推型：观察相邻图形之间增加的数量（固定增量或递增增量）。 整体型：直接观察第n个图形中基本单元的数量与n的关系。 图形模型 第n个图形的个数 等边三角形点阵（每边n个点） 正方形点阵（n×n） n2 蜂巢形（六边形） 3n(n−1)+1 2）图形周长规律 核心：观察每次变化后，周长的增量是否固定。 注意：相邻图形拼接时，重合部分不计入周长。 3）图形面积规律 通常与n2成正比（如相似图形按边长比平方放大）。 4）图形交点/线段/对角线规律 n边形对角线条数： 平面内n条直线最多交点个数： n个点（无三点共线）最多确定直线条数： 一、填空题 1．（24-25七年级上·江苏苏州·月考）按一定规律排成的一列数：，，，，，，，则这列数中的第2025个数是______． 2．（2019·甘肃·中考真题）已知一列数，按照这个规律写下去，第9个数是__________． 3．（2025·安徽·模拟预测）探索组在老师的安排下准备了一个规律题，如图，请根据数字规律，探索下列问题：在A处的数是______（填正数或负数）；第2025个数对应排在______位置（从A，B，C，D中选择填写）． 4．（2023·安徽合肥·二模）中国数字文化源远流长，“万物莫逃乎数”，“一切皆有定数”…，是古人对自然、社会的一种观察和思考．古籍《孙子算经》中也记录了很多古人发现的数字规律．现在请你根据所学知识观察：（1）；（2）；（3）根据规律写出第（n）个等式：___________； 5．（2025·安徽滁州·二模）观察下列各式． 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； … 根据以上规律，解决下列问题． (1)第五个等式：____________________． (2)猜想第个等式：____________________（用含的代数式表示），并证明． 二、解答题 6．（2025·安徽芜湖·二模）【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．． 【规律应用】 (1)写出第4个等式：____________；写出你猜想的第个等式：_____________（用含的等式表示）； (2)根据以上的规律计算出结果：． 7．（22-23八年级下·北京海淀·期中）观察下列等式，其中反映了某种规律： ；；， (1)按照这种规律在括号里填入相应的数：； (2)请你用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式． 8．（2025·安徽滁州·一模）观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … (1)请根据你发现的规律，猜想等式⑥________________； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并说明理由； (3)用你发现的规律计算． 9．（2025·安徽·模拟预测）下面是一组按照一定的规律排列的图案，每个图案都由若干个“◎”和若干个“●”组成． (1)按照上面的排列规律，第5个图案中有“◎”_____个，有“●”_____个； (2)按照上面的排列规律，在第个图案中，“◎”的个数比“●”的个数少29个，试求的值． 10．（2025·安徽·一模）【观察思考】 观察下列各式． … 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得________（其中为正整数）； 【规律应用】 （2）计算：； （3）①计算：； ②计算：． 11．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 12．（2024·安徽马鞍山·三模）【观察思考】如图，是由同样大小的小正方形按一定规律组成的图形，其中图①中有3个小正方形，图②中有8个小正方形，图③中有15个小正方形，图④中有24个小正方形，… 【规律发现】依此规律，完成以下问题： （1）图⑤中共有小正方形的个数为______； （2）图中共有小正方形的个数为______． 【规律应用】（3）已知一物体从静止开始沿一个方向移动，每隔一段时间测量一次它移动的距离，测量得到的数据依次为3米、8米、15米、24米、…，如果物体按照这样的移动规律，在第（为正整数）次测量时移动的距离比第（）次测量时移动的距离多（）米，那么该物体在第（）次测量时移动了多少米？ 13．（2025·安徽淮北·二模）【观察思考】 一人巷是位于合肥市国家级景区三河古镇风景区的一个著名景点（如图①），其墙体是由方砖按照一定规律组合砌成的（如图②）． 当中竖放一块方砖，就横放6块方砖（如图③）；当中竖放2块方砖，就横放9块方砖（如图④）；以此类推． 【规律发现】 若一段墙一共竖放的方砖有n（n为正整数）块，则 （1）横放方砖的块数为__________（用含n的代数式表示）； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为；当竖放的方砖为2时，墙体的长度为；当竖放的方砖为3时，墙体的长度为；……；当竖放的方砖为n时，墙体的长度为__________．（墙体长度单位均为） 【规律应用】 （3）已知需要砌一段长为的墙体，若按照图中规律需要方砖多少块？ 14．（2025·安徽池州·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第个图案中，“”的个数为； （2）第个图案中，“”的个数可表示为； 【规律应用】 （3）结合图案中的排列方式及上述规律，是否存在正整数，使得“”的个数是“”的个数2倍？若存在，求出的值，若不存在，请说出理由． 15．（2025·安徽合肥·二模）学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和，____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律，____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和，____________． 16．（2024·安徽合肥·二模）【观察思考】 如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点）组成“中国结”图案． 【规律总结】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中黄梅花的盆数为______； （2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，…；第n个图案中红梅花的盆数可表示为______； 【问题解决】 （3）已知按照上述规律摆放的第n个“中国结”图案中红梅花比黄梅花多68盆，结合图案中红梅花和黄梅花的排列方式及上述规律，求n的值． 17．（2025·安徽合肥·三模）综合与实践 【实践与操作】 数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给奋进组和探究组各一盒，开展有关“形数”的探究活动．最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案： 奋进组的同学按照图①所示的方式摆放，探究组的同学按照图②所示的方式摆放 【观察与思考】 （1）先研究特殊情况，若两组都摆放5层，则奋进组共用去棋子的数量为25枚，探究组共用去棋子的数量为_________枚； （2）再探究一般情况，若摆放n层，奋进组共用去棋子的数量为_________枚，探究组共用去棋子的数量为_________枚（用含有n的式子表示）； 【拓展探究】 若奋进组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完，探究组按照图②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8枚棋子，且比奋进组多摆了4层，请计算一盒棋子的数量为多少枚． 2/18 学科网（北京）股份有限公司 $