专题09 统计与概率（复习讲义）（安徽专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题09 统计与概率 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 ►题型01 数据的收集与整理 ►题型02 数据的处理 ►题型03 概率的计算 ►题型04 统计与概率综合 必备知识 知识1 统计 知识2 概率 命题预测 命题 透视 命题形式：统计与概率每年稳定考查10分左右，以解答题为主，选择题或填空题为辅。解答题通常位于第21题左右，综合性强，注重数据分析和实际应用。 命题内容： 安徽中考对统计与概率的考查注重实际应用和数据分析能力，要求学生能从图表中提取有效信息，进行简单计算，并基于数据做出合理判断。纯理论性考查较少。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 统计 T19：统计表、中位数、加权平均数 T21：统计表、加权平均数、中位数、优秀率判断 T21：扇形图、统计表、中位数、优秀率比较 T21：频数直方图、扇形图、中位数 T21：频数直方图、扇形图、中位数 概率 T12：简单概率 T13：简单概率 T7：简单概率 T21：概率 T21：概率 命题预测 1. 考情预测 必考无疑：统计与概率每年必考，分值稳定在 8~12分，解答题位置固定在第19~21题区间。 题型稳定：以解答题为主，综合考查统计图表、统计量计算和概率，选择题或填空题可能考查单一知识点。 图表类型：频数直方图、扇形统计图、统计表交替出现，2026年可能以扇形图或频数直方图为主。 概率难度：概率计算以简单古典概型为主，通常结合放回/不放回背景，用列表或树状图求解。 综合趋势：可能继续将统计与概率融合在同一题中，先分析统计图表，再估计概率，最后提建议。 2. 备考建议 统计图表题：补全图表、计算统计量、估计总体，这些步骤要稳扎稳打。 概率计算要规范：先列举所有等可能结果，再数出符合条件的结果，最后写概率公式。 决策建议要有依据：不要空喊口号，要结合具体数据（如“甲校优秀率更高，所以甲校表现更好”）。 注意单位与细节：扇形图中圆心角计算要准确；样本估计总体时要看清单位（如“万人”“亿元”）。 数据意识要培养：统计与概率的核心是“用数据说话”，平时练习要多思考数据背后的意义。 统计与概率 题型01 数据的收集与整理 1）调查方式的选择 普查（全面调查）：适用于总体中个体数量较少、调查易实施、结果要求精确的情况。 抽样调查：适用于总体数量大、破坏性试验、普查无法实现的情况。 抽样调查相关概念 2)总体：所要考察对象的全体。 个体：总体中的每一个考察对象。 样本：从总体中抽取的一部分个体。 样本容量：样本中个体的数目（无单位）。 3)数据的整理 频数分布表：分组、划记、频数、频率。 统计图：条形图（比较数量）、扇形图（百分比）、折线图（变化趋势）、直方图（连续分组）。 制作步骤：计算最大值与最小值差 → 决定组距与组数 → 列频数分布表 → 画频数分布直方图。 普查与抽样调查选择不当：如调查一批灯泡寿命用普查（破坏性，应用抽样调查）；调查全班视力用抽样调查（应用普查）。 总体、个体、样本概念混淆：如把“样本”说成“样本容量”，或把考察对象误认为数量（个体是具体事物，不是数值）。 抽样不具有代表性：如只调查男生推断全班；样本容量过小导致结果不可靠。 频数分布直方图中组距、组数确定不合理：组数过多或过少影响数据特征呈现。 统计图绘制不规范：条形图纵轴不从0开始误导比较；扇形图百分比之和不为100%；折线图横纵轴单位不统一。 1．（2025·四川绵阳·中考真题）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用表示，单位：次），将其分成以下五组：，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下： 1分钟的跳绳次数在中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1分钟的跳绳次数在范围内的众数是__________次，中位数是__________次； (2)补全频数分布直方图； (3)请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数． 2．（2025·江苏南京·中考真题）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）． 第1次测试 第2次测试 第3次测试 甲 × × × 乙 × 注：×表示犯规． 将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，以下为“一般成绩”， 及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图． (1)补全条形统计图； (2)你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？ 3．（2025·四川绵阳·中考真题）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用表示，单位：次），将其分成以下五组：，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下： 1分钟的跳绳次数在中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1分钟的跳绳次数在范围内的众数是__________次，中位数是__________次； (2)补全频数分布直方图； (3)请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数． 4．（2025·山东德州·中考真题）本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；不合格：． 为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：3月份测试成绩如下： 17  33  28  27  35  19  21  22  25  22 25  27  19  27  18  27  28  29  31  32 信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下： 信息三：测试成绩对比表如下： 月份 平均数/个 众数/个 优秀率 3月 a b 6月 29 c 请根据以上信息；完成下面问题： (1)补全条形图； (2)表中的 ， ， ； (3)已知该校七年级共400人，请估算七年级，6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？ 题型02 数据的处理 平均数 算术平均数：​ 加权平均数： 中位数：将数据从小到大排序，奇数个时取中间数，偶数个时取中间两个数的平均数。 众数：一组数据中出现次数最多的数据（可以不止一个）。 方差： 意义：方差（标准差）越大，数据波动越大；越小，数据越稳定。 统计量的选择 平均数：反映平均水平，但受极端值影响大。 中位数：反映中等水平，不受极端值影响。 众数：反映集中趋势，适用于有多个重复值的数据。 求加权平均数时权数理解错误：如将频数当权重，但未正确使用加权公式；或混淆“权”与“个数”的含义。 中位数计算时未排序：直接取中间位置的原始数据，导致错误。 众数理解偏差：认为众数只有一个，或把“出现次数最多”理解为“次数”而不是“数值”。 方差公式记忆错误：忘记除以 n，或平方差时忘记减去平均数。 方差比较时忽略单位：当数据单位不同时，方差无量纲，但比较稳定性需结合实际背景。 极端值影响判断错误：如一组数据中加入一个极大值，平均数、中位数、众数的变化判断失误。 1．（2025·安徽·中考真题）某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区月份的游客中随机抽取人对景区的服务质量进行评分，评分结果用表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 分组 人数 请根据以上信息，完成下列问题： (1)________； (2)这名游客对该景区服务质量评分的中位数落在________组； (3)若游客评分的平均数不低于，则认定该景区的服务质量良好．分别用，，，，作为，，，，这五组评分的平均数，估计该景区月份的服务质量是否良好，并说明理由． 2．（2025·江苏南京·中考真题）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）． 第1次测试 第2次测试 第3次测试 甲 × × × 乙 × 注：×表示犯规． 将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，以下为“一般成绩”， 及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图． (1)补全条形统计图； (2)你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？ 3．（2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ；请将频数分布直方图补充完整； (2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； (3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65  70  73  80  85  95  96  96  98 组别 次数（单位：次） 频数 A组 9 B组 C组 12 D组 3 根据以上信息回答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ (2)A组学生跳绳次数的中位数是_____，的值是_____； (3)若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 题型03 概率的计算 概率的定义 古典概型（等可能概型）：概率计算公式：。 几何概型：概率计算公式： 概率的求法 列举法：当结果数较少时，直接列举所有可能。 列表法：适用于两步试验（如掷两次骰子）。 树状图法：适用于两步或两步以上试验。 用频率估计概率：大量重复试验，频率稳定于概率。 概率的性质：0≤P(A)≤1，必然事件概率为1，不可能事件概率为0。 等可能性判断失误：如认为“抛两枚硬币，一正一反”的概率是 （实际应为 ​，因为样本空间为（正正、正反、反正、反反））。 放回与不放回混淆：在摸球问题中，放回与不放回导致总结果数变化，概率计算不同。 树状图或列表不完整：漏掉某些分支，导致概率计算错误。 用频率估计概率时条件不明：需在大量重复试验下频率才稳定于概率，单次试验频率不能作为概率。 几何概型中区域度量选择错误：如用长度代替面积或体积。 概率值书写不规范：概率应化为最简分数或小数，通常不写百分数（除非题目要求）。 1．（2025·安徽·中考真题）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为________． 2．（2025·江苏南京·中考真题）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球． (1)取出的3个小球上所写数字没有4的概率是____________； (2)取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？ 3．（2025·山东滨州·中考真题）在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是______． 4．（2025·江苏淮安·中考真题）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． (1)从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ； (2)一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率． 题型04 统计与概率综合 结合统计图表求概率 从条形图、扇形图、频数分布表中提取数据，确定总数及各类频数。 用频率估计概率时，频率来自统计图表中的实验数据。 由概率反推统计量 已知概率和部分频数，求总体数量或某类频数。 利用概率的稳定性，判断试验次数是否足够。 决策与判断 根据统计量（平均数、方差）和概率大小进行方案选择。 如“哪个选手更稳定”“哪种方案更合算”。 综合题常见形式 先统计调查，整理图表，再计算概率。 利用概率知识对抽样结果进行推断。 结合游戏公平性判断。 从统计图中读取数据错误：如扇形图中百分比未乘总数得出频数；条形图纵轴起始非0导致误判。 混淆频率与概率：在综合题中，实验得到的频率只是概率的估计值，不能直接当作概率用于下一步计算。 忽略样本的代表性：用样本频率估计总体概率时，若样本不具有代表性，估计结果不可靠。 游戏公平性判断只考虑概率相等，忽略其他因素：如“得分规则”是否合理，需同时比较概率与得分值。 综合题中分步计算时条件概率混淆：如“已知第一次抽到某物，求第二次抽到的概率”，需注意是否放回。 1．（2025·四川巴中·中考真题）为提高学生的科创意识，某校准备开设C语言编程、无人机飞行训练、科创小论文、科幻画创作4门课外活动课程，每个学生有且只能选择一门课程参加．为筹备此项活动课程，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下统计表和扇形统计图． 意愿参加课程人数统计表 课程 C语言编程 无人机飞行训练 科创小论文 科幻画创作 人数 10 8 15 (1)抽取的学生共有______人，其中意愿参加无人机飞行训练的有______人； (2)若该校有800人，估计全校参加科幻画创作的学生有多少人？ (3)某班有2名男生2名女生参加C语言编程课程，现从这4人中随机抽取2名学生给老师当助手，请用树状图或者列表法说明恰好抽到一名男生一名女生的概率． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同． (1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是___________； (2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 3．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； (2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 4．（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 频数（人数） 1 10 2 3 35 4 25 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度； (2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图； (3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 知识1统计 总体：①定义：我们所要考察的全体对象叫做总体。②关键特征：总体是一个“集合”，而非单个对象，描述时需明确考察的具体属性。③示例：要了解某学校800名学生的数学期末成绩，总体是“该学校800名学生的数学期末成绩”（而非“800名学生”，需聚焦考察属性）。 个体：①定义：总体中的每一个考察对象叫做个体。②关键特征：个体与总体的考察属性一致，是总体的基本单位。③示例：上述例子中，个体是“该学校每一名学生的数学期末成绩”。 样本：①定义：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。②关键特征：样本是总体的“子集”，抽取样本需遵循“随机性”（避免偏差），样本需能反映总体的特征。 样本容量：①定义：样本中包含的个体数目叫做样本容量。②关键特征：样本容量是一个“数值”，无单位，仅表示数量。 平均数（算术平均数）：①定义：一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数，叫做这组数据的平均数，记作。②计算公式：（为数据个数，为各数据）。③关键特征：反映数据的“平均水平”，易受极端值（极大值/极小值）影响。 中位数：①定义：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后，位于最中间位置的数（数据个数为奇数时），或最中间两个数的平均数（数据个数为偶数时），叫做这组数据的中位数。②求解步骤：① 排序；② 找中间位置；③ 确定中位数。③关键特征：反映数据的“中间水平”，不受极端值影响，适合极端值较多的数据。 众数：①定义：一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。②关键特征：反映数据的“集中趋势”，不受极端值影响，一组数据可能有1个众数、多个众数（多个数出现次数相同且最多），也可能没有众数（所有数出现次数相同）。 方差：①定义：一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，记作。②计算公式：。③关键特征：反映数据的“离散程度”（波动大小），方差越大，数据波动越大；方差越小，数据越稳定。 条形统计图：①定义：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按一定的顺序排列起来，就是条形统计图。②分类：单式条形统计图（仅一组数据）、复式条形统计图（多组数据，便于对比）。③核心优势：能清晰反映各数据的具体数量，便于直观对比不同类别数据的多少。④适用场景：对比不同班级的人数、不同品牌商品的销量、不同科目的成绩等。 折线统计图：①定义：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来，就是折线统计图。②分类：单式折线统计图、复式折线统计图。③核心优势：能清晰反映数据的变化趋势（上升、下降、平稳），同时也能看出数据的具体数量。④适用场景：描述气温的变化、股价的波动、学生成绩的进步趋势、每月销售额的变化等。 扇形统计图：①定义：用整个圆表示总体（单位“1”），用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总体的百分比，就是扇形统计图。②关键特征：所有扇形的百分比之和为100%（或1），能直观反映各部分与总体、各部分之间的比例关系。③核心优势：清晰展示各部分占总体的比例，无法直接看出具体数量（需结合总体数量计算）。④适用场景：描述各科目成绩占总分的比例、各支出项占总支出的比例、各年龄段人数占总人数的比例等。 三类统计图表核心对比表 图表类型 核心优势 局限性 适用场景 条形统计图 直观展示具体数量，便于对比 难以反映数据变化趋势 不同类别数据的数量对比 折线统计图 清晰反映数据变化趋势，兼顾具体数量 多组数据叠加时易杂乱 数据的变化规律分析 扇形统计图 展示各部分与总体的比例关系 无法直接获取具体数量 各部分占比分析 必背公式： 平均数：x̄= ；加权平均数：x̄= （f为权重，如频数、百分比）；扇形统计图圆心角公式：圆心角=该部分百分比×360°； 极差：一组数据中最大值与最小值的差（反映数据波动范围）。 中位数：将数据从小到大排列，中间位置的数（数据个数奇数）或中间两数平均数（偶数）； 众数：一组数据中出现次数最多的数； 方差：s²= （方差越小，数据越稳定）。 知识2 概率初步 1.必然事件：①定义：在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件。②概率特征：发生的概率为（）。不可能事件：①定义：在一定条件下，必然不会发生的事件叫做不可能事件。②概率特征：发生的概率为（）。 2.随机事件：①定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件（也叫不确定事件）。②概率特征：发生的概率介于和之间（）。 3.核心总结：事件的确定性决定概率取值，三者互斥且穷尽，即一个事件必属于其中一类，无重叠、无遗漏。 古典概型（等可能概型）： 1）定义：一种概率模型，在该模型下，试验的所有可能结果是有限个，且每个结果发生的可能性相等，这类试验称为古典概型。 2）核心特征：① 试验结果有限性；② 结果发生等可能性（两大特征缺一不可）。③概率计算公式：； 3)典型示例：掷一枚均匀的骰子，求抽到点数为偶数的概率（结果有限：6种；等可能：每个点数概率均为，）；从1-5这5个整数中随机抽一个，求抽到质数的概率。 4.几何概型（初中拓展考点）： 1）定义：一种概率模型，在该模型下，试验的所有可能结果是无限个，且所有结果落在一个几何区域内，每个结果发生的可能性与区域的**度量（长度、面积、角度）**成正比，这类试验称为几何概型。 2）核心特征：① 试验结果无限性；② 结果发生等可能性（与几何度量成正比）。③概率计算公式：； 3）典型示例：在一个边长为2的正方形内随机取一点，求该点落在正方形内接圆中的概率（结果无限；等可能性：与面积成正比，）；在一条长10cm的线段上随机取一点，求该点到线段一端的距离小于3cm的概率（按长度计算，）。 一、单选题 1．（2025·安徽·一模）如图是中国秦初至清末部分朝代历经的时间，下列说法正确的是（    ） A．明朝时间最长 B．隋朝时间最短 C．有4个朝代超过250年 D．若西汉，东汉合并为汉，则汉朝时间最长 2．（2025·安徽滁州·三模）甲、乙两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，随机出手一次，甲获胜的概率是（  ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽宿州·模拟预测）近年来安徽大力发展文旅产业，将传统文化与新事物相结合，重磅打造黄山等景区，国庆期间某旅游团将从九华山风景区、芜湖方特欢乐世界、黄山、八里河风景区四个景点中选择两个景点游玩，则选择去“黄山”和“八里河风景区”两个景点游玩的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽合肥·三模）如图，五一期间某景区有三个入口，两个出口，小红任选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从或入口进入，从出口离开的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽合肥·三模）安徽省新高考“”选科模式是指：语文、数学、外语3门学科为必选；历史和物理2门学科中选择1科；思想政治、地理、化学、生物学4门学科中选择2科．若某同学已选“历史”学科，再从思想政治、地理、化学、生物学4门学科中随机选择2科，则恰好选有“地理”学科的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽·模拟预测）数据：9、6、3、5、9、6、4、3、8、9中，众数、中位数和平均数分别为（    ） A．3、5、 B．9、6、 C．9、5、 D．9、6、6 7．（2025·安徽安庆·三模）如图，甲、乙、丙、丁四个学生随机围坐在一张桌子的四个位置上讨论问题，则甲和乙所坐位置恰好是对面的概率为（　　） A． B． C． D． 8．（2025·安徽·模拟预测）已知一组数据、、、、的平均数为a，方差为b，则数据、、2、、的平均数和方差分别为（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 9．（2025·安徽滁州·三模）如图，在内部有两条射线，定点P在的内部，从图中任选一个角，则定点P在所选角内部的概率是（   ）    A． B． C． D． 10．（2025·安徽芜湖·三模）月日是国际数学节某校数学组在今年的数学节活动中策划了“解密风云”“连数成画”和“函数追击”三个挑战游戏，如果小明和小红每人随机选择参加其中一个游戏，那么他们选择相同游戏的概率是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025·安徽亳州·模拟预测）一个不透明的口袋中有4个质地、大小都完全相同的小球，把它们分别标注数字1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标注的数字之和为偶数的概率是________． 12．（2025·黑龙江·中考真题）如图，随机闭合开关中的两个，能让两盏灯泡同时发光的概率为_______． 13．（2025·安徽合肥·三模）在古代，我们常用抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号“☰”表示刚毅，符号“☱”表示愉快．若符号中的“⚋”代表“阴”，“⚊”代表“阳”，且每行出现阴、阳的可能性相同，则随机画一个三行符号，出现一阴两阳的概率是__________． 14．（2025·安徽·模拟预测）有三支外表完全相同的笔，其中一支墨水为红色，另外两支墨水为黑色．小明从这三支笔中任取一支，然后放回；小红又从这三支笔中任取一支，然后放回．则小明和小红取出的笔，墨水颜色相同的概率为______ 三、解答题 15．（2025·安徽·模拟预测）睡眠状况对青少年的成长影响很大．为此，某校在随机选取的部分学生中开展了一次问卷调查活动，并制成以下尚不完整的统计图： (1)求参加问卷调查的人数和的值； (2)补全条形统计图； 16．（2025·安徽安庆·二模）自深化课程改革以来，某校开设了：A．利用影长求物体高度，B．制作视力表，C．设计遮阳棚，D．制作中心对称图形，四类数学实践活动课．规定每名学生必选且只能选修一类实践活动课，学校对学生选修实践活动课的情况进行抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息解决下列问题； (1)本次共调查______名学生，扇形统计图中B所对应的扇形的圆心角为______度； (2)补全条形统计图； (3)若该校现有3600名学生，根据以上统计数据估计该校选择制作中心对称图形实践活动课的学生人数． 17．（2025·安徽马鞍山·三模）安徽省交通运输厅于11月开展主题为“诚实守信，一路畅行”的信用交通宣传月活动，推动交通运输信用体系建设高质量发展．某校学习小组在宣传月活动结束后随机向市民发放“信用交通”问卷调查，了解市民对信用交通的了解情况，并将调查结果整理成不完整的频数分布表、频数分布直方图． 成绩（分） 人数（人） 频数 4 8 a 14 b c 3 合计 50 1 根据统计图表，回答下列问题： (1)______，______，______； (2)本次调查的中位数落在______范围内； (3)该学习小组计划向得分前的市民朋友邮寄纪念品，若市民张先生的得分为79分，他能否得到礼品？请说明理由． 18．（2025·江苏常州·一模）每年6月6日为“全国爱眼日”．按照国家视力健康标准，学生视力状况如表所示． 类别 A B C D 视力 视力 4.9 视力 视力 健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良 为了解某学校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全条形统计图，本次抽查的学生中，类所在扇形的圆心角的度数是______； (2)对于本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为______类； (3)已知该校共有300名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数． 19．（2025·安徽合肥·一模）某校为调查学生对安全用电知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，将测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据图中信息解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)若“”这一组的数据如下：，，，，，，，，，，，，则抽取的名学生测试成绩的中位数是______分； (3)若认定测试成绩达到分以上含分为“优秀”，在（2）的条件下，请你估计全校名学生在此次测试中被认定为“优秀”的学生人数． 20．（2024·甘肃甘南·中考真题）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： (1)共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______； (2)请补全条形统计图； (3)若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 21．（2025·安徽·模拟预测）合肥市某小学准备开展“与春天进行一场浪漫的约会”的研学游活动，现对学校部分学生进行调研，选择研学游的地点：A．祥源花世界，B．骆岗公园，C．合肥植物园，D．合肥森林公园．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图信息解答下列问题： (1)参加此次随机调查的学生共有多少人？选A选项的学生人数有多少人？ (2)D选项所对应的扇形圆心角的度数为 ； (3)该校最终决定选择两处地址进行研学游，问选择的是骆岗公园和合肥植物园的概率为多少？ 22．（2025·安徽芜湖·二模）技术已渗透至社会各领域，某校综合实践小组开展了对两种软件“模型”和“模型”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级：：，：，：，：），下面给出了部分信息： 抽取的对“模型”的评分数据中等级的数据：89，89，88，87，86，86，84； 抽取的对“模型”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68． 抽取的对“模型”、“模型”的评分统计表 品牌 平均数 中位数 众数 等级所占百分比 模型 88 98 模型 88 抽取的对“模型”评分的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为哪个软件更受用户的喜爱？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)此次测验中，有300人对“模型”进行评分，260人对“模型”进行评分，估计此次测验中对“模型”、“模型”两种软件评分为等级的共有多少人？ 23．（2025·安徽淮南·一模）在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为A，B，C．为测试这三款机器人在图像识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图像识别能力测试中，A，B，C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员根据一系列动作任务进行打分，每位测试员最高打10分，运动能力测试成绩为各位测试员打分之和．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优． 【数据收集与整理】 A，B，C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 B 8 87 C 8 n p 任务1：______，______； 【数据分析与运用】 任务2：求C款机器人的运动能力测试成绩p； 任务3：通过比较方差，判断测试员对______（填“A”“B”或“C”）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 任务4：按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 统计与概率 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 ►题型01 数据的收集与整理 ►题型02 数据的处理 ►题型03 概率的计算 ►题型04 统计与概率综合 必备知识 知识1 统计 知识2 概率 命题预测 命题 透视 命题形式：统计与概率每年稳定考查10分左右，以解答题为主，选择题或填空题为辅。解答题通常位于第21题左右，综合性强，注重数据分析和实际应用。 命题内容： 安徽中考对统计与概率的考查注重实际应用和数据分析能力，要求学生能从图表中提取有效信息，进行简单计算，并基于数据做出合理判断。纯理论性考查较少。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 统计 T19：统计表、中位数、加权平均数 T21：统计表、加权平均数、中位数、优秀率判断 T21：扇形图、统计表、中位数、优秀率比较 T21：频数直方图、扇形图、中位数 T21：频数直方图、扇形图、中位数 概率 T12：简单概率 T13：简单概率 T7：简单概率 T21：概率 T21：概率 命题预测 1. 考情预测 必考无疑：统计与概率每年必考，分值稳定在 8~12分，解答题位置固定在第19~21题区间。 题型稳定：以解答题为主，综合考查统计图表、统计量计算和概率，选择题或填空题可能考查单一知识点。 图表类型：频数直方图、扇形统计图、统计表交替出现，2026年可能以扇形图或频数直方图为主。 概率难度：概率计算以简单古典概型为主，通常结合放回/不放回背景，用列表或树状图求解。 综合趋势：可能继续将统计与概率融合在同一题中，先分析统计图表，再估计概率，最后提建议。 2. 备考建议 统计图表题：补全图表、计算统计量、估计总体，这些步骤要稳扎稳打。 概率计算要规范：先列举所有等可能结果，再数出符合条件的结果，最后写概率公式。 决策建议要有依据：不要空喊口号，要结合具体数据（如“甲校优秀率更高，所以甲校表现更好”）。 注意单位与细节：扇形图中圆心角计算要准确；样本估计总体时要看清单位（如“万人”“亿元”）。 数据意识要培养：统计与概率的核心是“用数据说话”，平时练习要多思考数据背后的意义。 统计与概率 题型01 数据的收集与整理 1）调查方式的选择 普查（全面调查）：适用于总体中个体数量较少、调查易实施、结果要求精确的情况。 抽样调查：适用于总体数量大、破坏性试验、普查无法实现的情况。 抽样调查相关概念 2)总体：所要考察对象的全体。 个体：总体中的每一个考察对象。 样本：从总体中抽取的一部分个体。 样本容量：样本中个体的数目（无单位）。 3)数据的整理 频数分布表：分组、划记、频数、频率。 统计图：条形图（比较数量）、扇形图（百分比）、折线图（变化趋势）、直方图（连续分组）。 制作步骤：计算最大值与最小值差 → 决定组距与组数 → 列频数分布表 → 画频数分布直方图。 普查与抽样调查选择不当：如调查一批灯泡寿命用普查（破坏性，应用抽样调查）；调查全班视力用抽样调查（应用普查）。 总体、个体、样本概念混淆：如把“样本”说成“样本容量”，或把考察对象误认为数量（个体是具体事物，不是数值）。 抽样不具有代表性：如只调查男生推断全班；样本容量过小导致结果不可靠。 频数分布直方图中组距、组数确定不合理：组数过多或过少影响数据特征呈现。 统计图绘制不规范：条形图纵轴不从0开始误导比较；扇形图百分比之和不为100%；折线图横纵轴单位不统一。 1．（2025·四川绵阳·中考真题）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用表示，单位：次），将其分成以下五组：，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下： 1分钟的跳绳次数在中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1分钟的跳绳次数在范围内的众数是__________次，中位数是__________次； (2)补全频数分布直方图； (3)请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数． 【答案】(1)105；110 (2)图象见解析 (3)480 【分析】本题考查统计图的分析和统计量的计算，找到题目对应的数据并正确运用统计量的概念求解是解题关键． （1）根据众数和中位数的概念求解即可； （2）先计算所给的数据的样本个数，再通过样本总量，减去频数分布直方图中其他组的样本个数和这一组的样本个数，得到这一组的样本个数，以此补全频数分布直方图即可； （3）先计算样本中1分钟的跳绳次数不低于120次的人数，再通过样本占总体的比例，求出该校学生中对应的人数即可． 【详解】（1）解：由题中数据，可知105共出现三次，出现频数最高，为众数； 中共有15个样本，故从小到大排列第8个数即为中位数，故中位数为110， 故答案为：105，110； （2）解：由图可知，这一组共有5个样本，这一组共有8个样本，这一组共有2个样本， 由（1），可知这一组共有15个样本， 由题意可知，样本总量为50， 故这一组共有个样本， 补全频数分布直方图如下： （3）解：由（2）可知，随机抽取的50名学生中共有名学生1分钟跳绳次数不低于120次， ∴（人） 故估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数为480． 2．（2025·江苏南京·中考真题）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）． 第1次测试 第2次测试 第3次测试 甲 × × × 乙 × 注：×表示犯规． 将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，以下为“一般成绩”， 及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图． (1)补全条形统计图； (2)你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？ 【答案】(1)见详解 (2)乙参加跳远比赛较为合适，理由见详解 【分析】本题考查了补全条形统计图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据共进行了3次测试，每次各跳远3次，共次测试，用总次数减去犯规次数以及优秀成绩的次数，即可得出甲的一般成绩有次，再补全条形统计图，即可作答． （2）分析表格，得出乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 即甲的一般成绩有次， 补全条形统计图，如图所示： （2）解：乙参加跳远比赛较为合适， 理由：根据条形统计图可知，乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少， ∴乙参加跳远比赛较为合适． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用表示，单位：次），将其分成以下五组：，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下： 1分钟的跳绳次数在中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1分钟的跳绳次数在范围内的众数是__________次，中位数是__________次； (2)补全频数分布直方图； (3)请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数． 【答案】(1)105；110 (2)图象见解析 (3)480 【分析】本题考查统计图的分析和统计量的计算，找到题目对应的数据并正确运用统计量的概念求解是解题关键． （1）根据众数和中位数的概念求解即可； （2）先计算所给的数据的样本个数，再通过样本总量，减去频数分布直方图中其他组的样本个数和这一组的样本个数，得到这一组的样本个数，以此补全频数分布直方图即可； （3）先计算样本中1分钟的跳绳次数不低于120次的人数，再通过样本占总体的比例，求出该校学生中对应的人数即可． 【详解】（1）解：由题中数据，可知105共出现三次，出现频数最高，为众数； 中共有15个样本，故从小到大排列第8个数即为中位数，故中位数为110， 故答案为：105，110； （2）解：由图可知，这一组共有5个样本，这一组共有8个样本，这一组共有2个样本， 由（1），可知这一组共有15个样本， 由题意可知，样本总量为50， 故这一组共有个样本， 补全频数分布直方图如下： （3）解：由（2）可知，随机抽取的50名学生中共有名学生1分钟跳绳次数不低于120次， ∴（人） 故估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数为480． 4．（2025·山东德州·中考真题）本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；不合格：． 为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：3月份测试成绩如下： 17  33  28  27  35  19  21  22  25  22 25  27  19  27  18  27  28  29  31  32 信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下： 信息三：测试成绩对比表如下： 月份 平均数/个 众数/个 优秀率 3月 a b 6月 29 c 请根据以上信息；完成下面问题： (1)补全条形图； (2)表中的 ， ， ； (3)已知该校七年级共400人，请估算七年级，6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？ 【答案】(1)见解析 (2)27；；； (3)6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了60人． 【分析】题目主要考查扇形统计图和条形统计图的综合应用，利用样本估计总体等，理解题意，结合图形获取相关信息是解题关键． （1）结合条形统计图和扇形统计图得出合格的人数为：人，然后确定优秀的人数，补全统计图即可； （2）根据众数得定义即可确定a的值，利用优秀率的计算方法求解即可； （3）用总人数乘以相应的优秀率，然后相减即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意得，合格的人数为：人， ∴优秀的人数为：人， 补全统计图如下： （2）根据题意得，3月测试成绩中27出现的次数最多， ∴， ∵优秀：； ∴3月份中优秀的人数为4人，6月份中优秀的人数为7人， ∴，， 故答案为：27；；； （3）6月份达到“优秀”的人数为：人， 3月份达到“优秀”的人数为：人， ∴人， ∴6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了60人． 题型02 数据的处理 平均数 算术平均数：​ 加权平均数： 中位数：将数据从小到大排序，奇数个时取中间数，偶数个时取中间两个数的平均数。 众数：一组数据中出现次数最多的数据（可以不止一个）。 方差： 意义：方差（标准差）越大，数据波动越大；越小，数据越稳定。 统计量的选择 平均数：反映平均水平，但受极端值影响大。 中位数：反映中等水平，不受极端值影响。 众数：反映集中趋势，适用于有多个重复值的数据。 求加权平均数时权数理解错误：如将频数当权重，但未正确使用加权公式；或混淆“权”与“个数”的含义。 中位数计算时未排序：直接取中间位置的原始数据，导致错误。 众数理解偏差：认为众数只有一个，或把“出现次数最多”理解为“次数”而不是“数值”。 方差公式记忆错误：忘记除以 n，或平方差时忘记减去平均数。 方差比较时忽略单位：当数据单位不同时，方差无量纲，但比较稳定性需结合实际背景。 极端值影响判断错误：如一组数据中加入一个极大值，平均数、中位数、众数的变化判断失误。 1．（2025·安徽·中考真题）某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区月份的游客中随机抽取人对景区的服务质量进行评分，评分结果用表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 分组 人数 请根据以上信息，完成下列问题： (1)________； (2)这名游客对该景区服务质量评分的中位数落在________组； (3)若游客评分的平均数不低于，则认定该景区的服务质量良好．分别用，，，，作为，，，，这五组评分的平均数，估计该景区月份的服务质量是否良好，并说明理由． 【答案】(1)； (2)D； (3)该景区月份的服务质量良好，理由见解析． 【分析】本题主要考查了中位数、加权平均数，解决本题的关键是根据中位数的定义确定中位数在哪一组，利用加权平均数的公式求出平均数． （1）根据抽查的总人数和其余组的人数计算出D组的人数，即为的值； （2）根据中位数的定义可知，把这人的评分结果按照从小到大的顺序排列，第和个评分结果的平均数是这组数据的中位数，根据，，组的人数和组的人数判断中位数在D组； （3）利用加权平均数的公式可以求出名游客评分的平均数为分，所以该景区月份的服务质量良好． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：一共抽查了人， 把这人的评分结果按照从小到大的顺序排列，第和个评分结果的平均数是这组数据的中位数， 又，， 第和个评分结果在D组， 这名游客对该景区服务质量评分的中位数落在D组， 故答案为：D； （3）解：， ， 该景区月份的服务质量良好． 2．（2025·江苏南京·中考真题）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）． 第1次测试 第2次测试 第3次测试 甲 × × × 乙 × 注：×表示犯规． 将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，以下为“一般成绩”， 及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图． (1)补全条形统计图； (2)你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？ 【答案】(1)见详解 (2)乙参加跳远比赛较为合适，理由见详解 【分析】本题考查了补全条形统计图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据共进行了3次测试，每次各跳远3次，共次测试，用总次数减去犯规次数以及优秀成绩的次数，即可得出甲的一般成绩有次，再补全条形统计图，即可作答． （2）分析表格，得出乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 即甲的一般成绩有次， 补全条形统计图，如图所示： （2）解：乙参加跳远比赛较为合适， 理由：根据条形统计图可知，乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少， ∴乙参加跳远比赛较为合适． 3．（2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ；请将频数分布直方图补充完整； (2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； (3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 【答案】(1)10%，30%，见解析 (2)4 (3)全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人 【分析】本题考查了频率和频数，频数分布直方图，中位数，利用样本估计总体． （1）根据第2组的频数和百分比，求出抽取的学生人数，再求出相应的值，补全频数分布直方图即可； （2）根据中位数的定义求解即可 （3）利用全校人数乘以成绩不低于91分的学生占比，即可求解． 【详解】（1）解：抽取的学生人数为人， 则， ， ，， 补全频数分布直方图如下： （2）解：抽取的名学生竞赛成绩中，中位数为第和名学生竞赛成绩的平均数， 由（1）可知，第1组有5人，第2组有10人，第3组有15人，第4组有40人， 前三组人数为人，前四组人数为人， 则中位数处于第4组的分数段内， 故答案为：4； （3）解：由（1）可知，，即全校91分以上的同学占比约为， 则全校91分以上的同学约有（人）， 答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65  70  73  80  85  95  96  96  98 组别 次数（单位：次） 频数 A组 9 B组 C组 12 D组 3 根据以上信息回答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ (2)A组学生跳绳次数的中位数是_____，的值是_____； (3)若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 【答案】(1)60 (2)85，36 (3)900 【分析】本题主要考查频率分布表和扇形统计图、中位数，熟练掌握频率分布表和扇形统计图、中位数是解题的关键； （1）由扇形统计图和频率分布表可知C组的人数为12人，所占百分比为，然后问题可求解； （2）根据中位数的定义可进行求解； （3）由（1）（2）及题意可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：（名）． 答：一共抽取60名学生． （2）解：由A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65、70、73、80、85、95、96、96、98，排在中间位置的数是85，所以A组学生跳绳次数的中位数是85， ； 故答案为85，36． （3）解：由题意得：（名）． 答：估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有900名． 题型03 概率的计算 概率的定义 古典概型（等可能概型）：概率计算公式：。 几何概型：概率计算公式： 概率的求法 列举法：当结果数较少时，直接列举所有可能。 列表法：适用于两步试验（如掷两次骰子）。 树状图法：适用于两步或两步以上试验。 用频率估计概率：大量重复试验，频率稳定于概率。 概率的性质：0≤P(A)≤1，必然事件概率为1，不可能事件概率为0。 等可能性判断失误：如认为“抛两枚硬币，一正一反”的概率是 （实际应为 ​，因为样本空间为（正正、正反、反正、反反））。 放回与不放回混淆：在摸球问题中，放回与不放回导致总结果数变化，概率计算不同。 树状图或列表不完整：漏掉某些分支，导致概率计算错误。 用频率估计概率时条件不明：需在大量重复试验下频率才稳定于概率，单次试验频率不能作为概率。 几何概型中区域度量选择错误：如用长度代替面积或体积。 概率值书写不规范：概率应化为最简分数或小数，通常不写百分数（除非题目要求）。 1．（2025·安徽·中考真题）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查概率的应用，通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：要使天平恢复平衡，则选取两件物品的质量和为， 列表如下： 10 20 30 40 10 30 40 50 20 30 50 60 30 40 50 70 40 50 60 70 ∴共有12种可能结果，其中使天平恢复平衡的有4种， ∴天平恢复平衡的概率为． 故答案为：． 2．（2025·江苏南京·中考真题）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球． (1)取出的3个小球上所写数字没有4的概率是____________； (2)取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）画树状图可得出所有等可能的结果数以及取出的3个小球上所写数字没有4的结果数，再利用概率公式可得出答案． （2）由树状图可得取出的3个小球上所写数字都不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字没有4的结果有2种， 取出的3个小球上所写数字没有4的概率为． 故答案为：． （2）解：由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字都不相同的结果有4种， 取出的3个小球上所写数字都不相同的概率为． 3．（2025·山东滨州·中考真题）在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查列举法求概率，列出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，共有A断B通，A断B断，A通B断，A通B通，共4种等可能的结果，其中A，B之间电流能够正常通过的结果只有A通B通1种情况， 故A，B之间电流能够正常通过的概率是； 故答案为：． 4．（2025·江苏淮安·中考真题）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． (1)从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ； (2)一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式即可解题； （2）运用树状图列出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可． 【详解】（1）解：盒子里装有四张卡片， 从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是， 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”，1张为“好”的结果有2种， ∴抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率为：． 题型04 统计与概率综合 结合统计图表求概率 从条形图、扇形图、频数分布表中提取数据，确定总数及各类频数。 用频率估计概率时，频率来自统计图表中的实验数据。 由概率反推统计量 已知概率和部分频数，求总体数量或某类频数。 利用概率的稳定性，判断试验次数是否足够。 决策与判断 根据统计量（平均数、方差）和概率大小进行方案选择。 如“哪个选手更稳定”“哪种方案更合算”。 综合题常见形式 先统计调查，整理图表，再计算概率。 利用概率知识对抽样结果进行推断。 结合游戏公平性判断。 从统计图中读取数据错误：如扇形图中百分比未乘总数得出频数；条形图纵轴起始非0导致误判。 混淆频率与概率：在综合题中，实验得到的频率只是概率的估计值，不能直接当作概率用于下一步计算。 忽略样本的代表性：用样本频率估计总体概率时，若样本不具有代表性，估计结果不可靠。 游戏公平性判断只考虑概率相等，忽略其他因素：如“得分规则”是否合理，需同时比较概率与得分值。 综合题中分步计算时条件概率混淆：如“已知第一次抽到某物，求第二次抽到的概率”，需注意是否放回。 1．（2025·四川巴中·中考真题）为提高学生的科创意识，某校准备开设C语言编程、无人机飞行训练、科创小论文、科幻画创作4门课外活动课程，每个学生有且只能选择一门课程参加．为筹备此项活动课程，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下统计表和扇形统计图． 意愿参加课程人数统计表 课程 C语言编程 无人机飞行训练 科创小论文 科幻画创作 人数 10 8 15 (1)抽取的学生共有______人，其中意愿参加无人机飞行训练的有______人； (2)若该校有800人，估计全校参加科幻画创作的学生有多少人？ (3)某班有2名男生2名女生参加C语言编程课程，现从这4人中随机抽取2名学生给老师当助手，请用树状图或者列表法说明恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【答案】(1)， (2)全校参加科幻画创作的学生有人； (3)恰好抽到一名男生一名女生的概率为． 【分析】本题考查扇形统计图，用样本频数估计总体频数，用树状图求概率． （1）用C语言编程的人数除以对应的百分比，即可得抽取的学生人数，减去意愿参加C语言编程、科创小论文、科幻画创作的人数，即可得意愿参加无人机飞行训练的人数； （2）用全校总人数乘以科幻画创作学生数占总人数的比，即可得全校参加科幻画创作的学生人数； （3）根据题意画树状图，用一男一女的组合数比总数，即可得恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【详解】（1）解：（人） （人） 故答案为：，． （2）解：（人） 答：全校参加科幻画创作的学生有人． （3）解：画树状图如下： ∴． 答：恰好抽到一名男生一名女生的概率． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同． (1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是___________； (2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同， ∴将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果有2种， ∴两次摸到的球标号均小于3的概率为． 3．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； (2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据简单地概率公式计算解答即可； （2）利用画树状图法或列表法计算概率即可． 本题考查了概率的计算，熟练掌握概率公式和画树状图活列表法计算概率是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为， 故答案为：． （2）解：列表如下： 甲 乙 1 2 3 4 1 － （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） － （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） － （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） － 由上表可知，共有12种等可能的结果， 其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种， ． 4．（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 频数（人数） 1 10 2 3 35 4 25 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度； (2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图； (3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)20，10，90 (2)统计图见解析 (3) 【分析】本题考查了统计图表的识别、概率的计算： （1）结合扇形统计图和统计表格即可先求出总数，再求b和a，最后再求第4组的圆心角； （2）根据（1）中求出数据即可作图； （3）将2名男生和3名女生编号，列举出所有可能的结果，按概率计算方法计算即可． 【详解】（1）解：由图可知抽取的学生的总数量为， 由扇形统计图可知第5组人数， 则第2组人数， 第4组人数在扇形图中对应的圆心角为， 故答案为：20，10，90； （2）解：如图： （3）解：设2名男生为a、b和3名女生为1、2、3，则随机选出2人，有下列组合： ， 共10种可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的有6种， 故概率为． 知识1 统计 总体：①定义：我们所要考察的全体对象叫做总体。②关键特征：总体是一个“集合”，而非单个对象，描述时需明确考察的具体属性。③示例：要了解某学校800名学生的数学期末成绩，总体是“该学校800名学生的数学期末成绩”（而非“800名学生”，需聚焦考察属性）。 个体：①定义：总体中的每一个考察对象叫做个体。②关键特征：个体与总体的考察属性一致，是总体的基本单位。③示例：上述例子中，个体是“该学校每一名学生的数学期末成绩”。 样本：①定义：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。②关键特征：样本是总体的“子集”，抽取样本需遵循“随机性”（避免偏差），样本需能反映总体的特征。 样本容量：①定义：样本中包含的个体数目叫做样本容量。②关键特征：样本容量是一个“数值”，无单位，仅表示数量。 平均数（算术平均数）：①定义：一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数，叫做这组数据的平均数，记作。②计算公式：（为数据个数，为各数据）。③关键特征：反映数据的“平均水平”，易受极端值（极大值/极小值）影响。 中位数：①定义：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后，位于最中间位置的数（数据个数为奇数时），或最中间两个数的平均数（数据个数为偶数时），叫做这组数据的中位数。②求解步骤：① 排序；② 找中间位置；③ 确定中位数。③关键特征：反映数据的“中间水平”，不受极端值影响，适合极端值较多的数据。 众数：①定义：一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。②关键特征：反映数据的“集中趋势”，不受极端值影响，一组数据可能有1个众数、多个众数（多个数出现次数相同且最多），也可能没有众数（所有数出现次数相同）。 方差：①定义：一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，记作。②计算公式：。③关键特征：反映数据的“离散程度”（波动大小），方差越大，数据波动越大；方差越小，数据越稳定。 条形统计图：①定义：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按一定的顺序排列起来，就是条形统计图。②分类：单式条形统计图（仅一组数据）、复式条形统计图（多组数据，便于对比）。③核心优势：能清晰反映各数据的具体数量，便于直观对比不同类别数据的多少。④适用场景：对比不同班级的人数、不同品牌商品的销量、不同科目的成绩等。 折线统计图：①定义：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来，就是折线统计图。②分类：单式折线统计图、复式折线统计图。③核心优势：能清晰反映数据的变化趋势（上升、下降、平稳），同时也能看出数据的具体数量。④适用场景：描述气温的变化、股价的波动、学生成绩的进步趋势、每月销售额的变化等。 扇形统计图：①定义：用整个圆表示总体（单位“1”），用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总体的百分比，就是扇形统计图。②关键特征：所有扇形的百分比之和为100%（或1），能直观反映各部分与总体、各部分之间的比例关系。③核心优势：清晰展示各部分占总体的比例，无法直接看出具体数量（需结合总体数量计算）。④适用场景：描述各科目成绩占总分的比例、各支出项占总支出的比例、各年龄段人数占总人数的比例等。 三类统计图表核心对比表 图表类型 核心优势 局限性 适用场景 条形统计图 直观展示具体数量，便于对比 难以反映数据变化趋势 不同类别数据的数量对比 折线统计图 清晰反映数据变化趋势，兼顾具体数量 多组数据叠加时易杂乱 数据的变化规律分析 扇形统计图 展示各部分与总体的比例关系 无法直接获取具体数量 各部分占比分析 必背公式： 平均数：x̄= ；加权平均数：x̄= （f为权重，如频数、百分比）；扇形统计图圆心角公式：圆心角=该部分百分比×360°； 极差：一组数据中最大值与最小值的差（反映数据波动范围）。 中位数：将数据从小到大排列，中间位置的数（数据个数奇数）或中间两数平均数（偶数）； 众数：一组数据中出现次数最多的数； 方差：s²= （方差越小，数据越稳定）。 知识2 概率初步 1.必然事件：①定义：在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件。②概率特征：发生的概率为（）。不可能事件：①定义：在一定条件下，必然不会发生的事件叫做不可能事件。②概率特征：发生的概率为（）。 2.随机事件：①定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件（也叫不确定事件）。②概率特征：发生的概率介于和之间（）。 3.核心总结：事件的确定性决定概率取值，三者互斥且穷尽，即一个事件必属于其中一类，无重叠、无遗漏。 古典概型（等可能概型）： 1）定义：一种概率模型，在该模型下，试验的所有可能结果是有限个，且每个结果发生的可能性相等，这类试验称为古典概型。 2）核心特征：① 试验结果有限性；② 结果发生等可能性（两大特征缺一不可）。③概率计算公式：； 3)典型示例：掷一枚均匀的骰子，求抽到点数为偶数的概率（结果有限：6种；等可能：每个点数概率均为，）；从1-5这5个整数中随机抽一个，求抽到质数的概率。 4.几何概型（初中拓展考点）： 1）定义：一种概率模型，在该模型下，试验的所有可能结果是无限个，且所有结果落在一个几何区域内，每个结果发生的可能性与区域的**度量（长度、面积、角度）**成正比，这类试验称为几何概型。 2）核心特征：① 试验结果无限性；② 结果发生等可能性（与几何度量成正比）。③概率计算公式：； 3）典型示例：在一个边长为2的正方形内随机取一点，求该点落在正方形内接圆中的概率（结果无限；等可能性：与面积成正比，）；在一条长10cm的线段上随机取一点，求该点到线段一端的距离小于3cm的概率（按长度计算，）。 一、单选题 1．（2025·安徽·一模）如图是中国秦初至清末部分朝代历经的时间，下列说法正确的是（    ） A．明朝时间最长 B．隋朝时间最短 C．有4个朝代超过250年 D．若西汉，东汉合并为汉，则汉朝时间最长 【答案】D 【分析】本题考查了条形统计图的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据条形统计图的信息，逐项分析即可． 【详解】解：由图可得：A. 唐朝时间最长，故选项错误； B. 秦朝时间最短，故选项错误； C. 有3个朝代超过250年，为：唐，明，清，故选项错误； D. 若西汉，东汉合并为汉后，其汉朝时间为四百多年，故选项正确； 故选：D． 2．（2025·安徽滁州·三模）甲、乙两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，随机出手一次，甲获胜的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率的求法，列举出所有等可能出现的结果是解题的关键． 用树状图表示所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【详解】解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下： 共有9种等可能出现的结果，其中甲获胜的有3种， 所以随机出手一次，甲获胜的概率是． 故选：C ． 3．（2025·安徽宿州·模拟预测）近年来安徽大力发展文旅产业，将传统文化与新事物相结合，重磅打造黄山等景区，国庆期间某旅游团将从九华山风景区、芜湖方特欢乐世界、黄山、八里河风景区四个景点中选择两个景点游玩，则选择去“黄山”和“八里河风景区”两个景点游玩的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率．画出树状图，用符合条件的情况数除以总的等可能情况数即可． 【详解】解：四个景点分别用A，B，C，D表示，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能情况，其中符合条件的有3种，则旅游团选择去“黄山”和“八里河风景区”两个景点游玩的概率是． 故选：D． 4．（2025·安徽合肥·三模）如图，五一期间某景区有三个入口，两个出口，小红任选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从或入口进入，从出口离开的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到她选择从或入口进入，从出口离开的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树形图如图得： 由树形图可知所有可能的结果有6种，其中她选择从或入口进入，从出口离开的结果数有2种， ∴她选择从或入口进入，从出口离开的概率为， 故选：B． 5．（2025·安徽合肥·三模）安徽省新高考“”选科模式是指：语文、数学、外语3门学科为必选；历史和物理2门学科中选择1科；思想政治、地理、化学、生物学4门学科中选择2科．若某同学已选“历史”学科，再从思想政治、地理、化学、生物学4门学科中随机选择2科，则恰好选有“地理”学科的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画树状图求出所有出现等可能的结果有种，所选中门学科恰好有“地理”的结果有种，根据概率公式即可求解． 【详解】解：把思想政治、化学、地理、生物分别记为A，B，C，D，画树状图如图所示： 由上图可知，所有出现等可能的结果有种，所选中门学科恰好有“地理”的结果有种， ∴选中门学科恰好有“地理”的概率为， 故答案为：D． 6．（2025·安徽·模拟预测）数据：9、6、3、5、9、6、4、3、8、9中，众数、中位数和平均数分别为（    ） A．3、5、 B．9、6、 C．9、5、 D．9、6、6 【答案】B 【分析】本题考查了众数、中位数和平均数，熟练掌握众数、中位数的定义和平均数的公式是解题关键．根据众数、中位数的定义和平均数的公式求解即可得． 【详解】解：在这组数据中，9出现了3次，出现次数最多， 所以其众数为9； 将这组数据按从小到大进行排序为3、3、4、5、6、6、8、9、9、9，则第5个数和第6个数的平均数即为中位数， 所以其中位数为； 这组数据的平均数为； 故选：B． 7．（2025·安徽安庆·三模）如图，甲、乙、丙、丁四个学生随机围坐在一张桌子的四个位置上讨论问题，则甲和乙所坐位置恰好是对面的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率的计算，关键在于确定所有可能的座位排列情况（即样本空间），以及甲和乙座位恰好相对的情况数，再根据古典概型概率公式（是样本空间包含的样本点总数，是事件包含的样本点个数 ）计算概率． 本题可通过列举所有可能的座位排列情况，再找出甲和乙座位恰好相对的情况，最后根据“概率 = 甲、乙相对的情况数总情况数”计算概率，这是初中数学中古典概型（简单概率计算）的常用方法． 【详解】解：先确定总情况数 把甲、乙、丙、丁四个学生坐 、、、四个位置的所有排列，看作“甲先选位置，再依次给乙、丙、丁选位置”的过程：甲选位置：有 4 种选择（、、、任选一个 ）甲选好后；乙选位置：剩下 3 个位置，有 3 种选择，乙选好后；丙选位置：剩下 2 个位置，有 2 种选择，丙选好后；丁选位置：只剩 1 个位置，有 1 种选择． 根据分步乘法计数原理，总情况数为种． 再确定甲、乙相对的情况数，观察图形，相对位置有 2 组（与 相对，与相对 ）． 我们分两类讨论：第一类：甲选、乙选后，丙、丁选剩下的、，有 2 种排列（丙丁；丙 丁）；第二类：甲选，乙选后，丙、丁选剩下的、，同样有 2 种排列； 第三类：甲选的，乙选的后，丙、丁选剩下的、，有 2 种排列（丙丁；丙 丁）；第四类：甲选，乙选后，丙、丁选剩下的、，有 2 种排列．所以甲、乙相对的情况数为种（也可简化：每组相对位置，甲、乙有 2 种坐法，丙、丁有 2 种坐法，共 2 组相对位置，即种 ）． 最后计算概率，根据概率公式：概率 = 甲、乙相对的情况数总情况数，代入得：综上，甲和乙所坐位置恰好是对面的概率为． 故选：A． 8．（2025·安徽·模拟预测）已知一组数据、、、、的平均数为a，方差为b，则数据、、2、、的平均数和方差分别为（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数和方差．根据题意可得，，再根据平均数公式和方差公式求出另一组数据的方差和平均数，即可求解． 【详解】解：∵一组数据、、、、的平均数是，方差是， ∴，， ∴数据、、2、、的平均数为 ； 数据、、2、、的方差为 故选C. 9．（2025·安徽滁州·三模）如图，在内部有两条射线，定点P在的内部，从图中任选一个角，则定点P在所选角内部的概率是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角的认识及表示，简单事件概率的计算，根据题意可得共有共6个角，其中定点P在角内部的有共4个，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：图中以点O为端点的射线共有4条，分别是和， 可以构成6个不同的角：，其中定点P在角内部的有4个：， 则从图中任选一个角，则定点P在所选角内部的概率是． 故选：D． 10．（2025·安徽芜湖·三模）月日是国际数学节某校数学组在今年的数学节活动中策划了“解密风云”“连数成画”和“函数追击”三个挑战游戏，如果小明和小红每人随机选择参加其中一个游戏，那么他们选择相同游戏的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．画树状图，共有9种等可能的结果，他们恰好选择相同游戏的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“解密风云”、“连数成画”和“函数追击”三个活动分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，他们恰好选择相同游戏的结果有3种， ∴小明和小红恰好选到相同游戏的概率为， 故选：B． 二、填空题 11．（2025·安徽亳州·模拟预测）一个不透明的口袋中有4个质地、大小都完全相同的小球，把它们分别标注数字1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标注的数字之和为偶数的概率是________． 【答案】 【分析】本题考查了树状图或列表法求概率．画出树状图，得到所有等可能的结果数和两个球都是偶数的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两次取出的小球标注数字之和为偶数的结果数有4种， 两次取出的小球标号都是偶数的概率为：， 故答案为：． 12．（2025·黑龙江·中考真题）如图，随机闭合开关中的两个，能让两盏灯泡同时发光的概率为_______． 【答案】 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， 共有6种等可能的结果，其中能让两盏灯泡同时发光的结果有2种， ∴． 13．（2025·安徽合肥·三模）在古代，我们常用抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号“☰”表示刚毅，符号“☱”表示愉快．若符号中的“⚋”代表“阴”，“⚊”代表“阳”，且每行出现阴、阳的可能性相同，则随机画一个三行符号，出现一阴两阳的概率是__________． 【答案】 【分析】本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是列出所有可能的基本事件，再找出符合条件的基本事件个数，最后根据概率公式计算概率． 明确每行有阴、阳两种可能，三行符号的所有结果可通过列举得出；数出其中一阴两阳的结果个数；根据概率公式“概率所求情况数与总情况数之比”计算概率． 【详解】解：因为每行出现阴、阳的可能性相同，且每行有2种情况，所以三行符号的所有可能结果有： （阴，阴，阴）、（阴，阴，阳）、（阴，阳，阴）、（阴，阳，阳）、 （阳，阴，阴）、（阳，阴，阳）、（阳，阳，阴）、（阳，阳，阳）， 共8种． 其中出现一阴两阳的结果有：（阴，阳，阳）、（阳，阴，阳）、（阳，阳，阴），共3种． 根据概率公式，出现一阴两阳的概率是． 故答案为：． 14．（2025·安徽·模拟预测）有三支外表完全相同的笔，其中一支墨水为红色，另外两支墨水为黑色．小明从这三支笔中任取一支，然后放回；小红又从这三支笔中任取一支，然后放回．则小明和小红取出的笔，墨水颜色相同的概率为______ 【答案】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，正确画出树状图或列表，找到所有等可能情况数和满足要求情况数是解题的关键． 列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：令红色墨水笔为，两支黑色墨水笔为、，列表得： 小红         小明 共有9种等可能出现的结果，墨水颜色相同的情况有5种， ∴小明和小红取出的笔，墨水颜色相同的概率为， 故答案为：． 三、解答题 15．（2025·安徽·模拟预测）睡眠状况对青少年的成长影响很大．为此，某校在随机选取的部分学生中开展了一次问卷调查活动，并制成以下尚不完整的统计图： (1)求参加问卷调查的人数和的值； (2)补全条形统计图； 【答案】(1)参加问卷调查的人数， (2)图见解析 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，掌握统计图中各个数量之间的关系是正确解答的关键． （1）用的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，用总人数减去、、的人数求出的人数，用的人数除以总人数即可求出的值； （2）根据的人数即可补全条形统计图． 【详解】（1）解：参加问卷调查的人数为：（人）， 选项的人数为：（人）， ， ； （2）解：由（1）补全条形图如图所示： 16．（2025·安徽安庆·二模）自深化课程改革以来，某校开设了：A．利用影长求物体高度，B．制作视力表，C．设计遮阳棚，D．制作中心对称图形，四类数学实践活动课．规定每名学生必选且只能选修一类实践活动课，学校对学生选修实践活动课的情况进行抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息解决下列问题； (1)本次共调查______名学生，扇形统计图中B所对应的扇形的圆心角为______度； (2)补全条形统计图； (3)若该校现有3600名学生，根据以上统计数据估计该校选择制作中心对称图形实践活动课的学生人数． 【答案】(1)60，144 (2)见解析； (3)900名 【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）用C类别人数除以其所占百分比可得总人数，用乘以B类别人数占总人数的比例即可得； （2）总人数乘以A类别的百分比求得其人数，用总人数减去A，B，C的人数求得D类别的人数，据此补全图形即可； （3）用总人数乘以样本中D类别对应的百分比即可． 【详解】（1）解：本次调查的学生人数为（名）， 则扇形统计图中B所对应的扇形的圆心角为． 故答案为：60，． （2）A类别人数为（名）， 则D类别人数为（名）， 补全条形图如下： （3）估计该校选择制作中心对称图形实践活动课的学生人数为（名）． 17．（2025·安徽马鞍山·三模）安徽省交通运输厅于11月开展主题为“诚实守信，一路畅行”的信用交通宣传月活动，推动交通运输信用体系建设高质量发展．某校学习小组在宣传月活动结束后随机向市民发放“信用交通”问卷调查，了解市民对信用交通的了解情况，并将调查结果整理成不完整的频数分布表、频数分布直方图． 成绩（分） 人数（人） 频数 4 8 a 14 b c 3 合计 50 1 根据统计图表，回答下列问题： (1)______，______，______； (2)本次调查的中位数落在______范围内； (3)该学习小组计划向得分前的市民朋友邮寄纪念品，若市民张先生的得分为79分，他能否得到礼品？请说明理由． 【答案】(1)12，9， (2)； (3)他不能得到礼品． 【分析】本题考查了频数（率）分布直方图，频数（率）分布表，从统计图中获取解题所需要的信息是解答本题的关键． （1）根据频率=频数总数及频数之和等于总数求解即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）总人数乘得出获得奖品需要取得的成绩即可得出答案． 【详解】（1）解：依题意，， 则， 故答案为：12，9，； （2）解：依题意，由（1）得本次调查的总人数为人， 则先把数据排序后，位于中间位置两个数的平均数为中位数， 即本次调查的中位数是第25、26个数据的平均数， 而这2个数据都落在范围内， ∴本次调查的中位数落在范围内， 故答案为：； （3）解：他不能得到礼品，理由如下： 依题意，（人）， 由表格知第12人成绩在范围内， 市民张先生的得分为79分，不在该范围内， ∴他不能得到礼品． 18．（2025·江苏常州·一模）每年6月6日为“全国爱眼日”．按照国家视力健康标准，学生视力状况如表所示． 类别 A B C D 视力 视力 4.9 视力 视力 健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良 为了解某学校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全条形统计图，本次抽查的学生中，类所在扇形的圆心角的度数是______； (2)对于本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为______类； (3)已知该校共有300名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数． 【答案】(1)图见解析， (2)B (3)135人 【分析】（1）首先利用组的人数和所占的百分比求得总人数，然后乘以类所占的百分比即可求得类学生的人数； （2）用周角乘以类所占的百分比即可； （3）用样本数据估计总体数据即可． 【详解】（1）解：观察两个统计图知：类有7人，占， 所以调查的总人数为（人， 视力情况属于类的学生有（人， 类所在扇形的圆心角的度数为． 补全条形统计图，如下： （2）解：每类人数分别为4人，7人，8人，1人，共20人， 所以中位数为第10人和第11人的平均数，均落在了类， 所以本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为类． （3）解：（人， 所以估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为135人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、统计表、中位数以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据． 19．（2025·安徽合肥·一模）某校为调查学生对安全用电知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，将测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据图中信息解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)若“”这一组的数据如下：，，，，，，，，，，，，则抽取的名学生测试成绩的中位数是______分； (3)若认定测试成绩达到分以上含分为“优秀”，在（2）的条件下，请你估计全校名学生在此次测试中被认定为“优秀”的学生人数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)人 【分析】本题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的综合和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利用样本估计总体，求数据的中位数． （1）由的人数及其所占百分比可得的值，继而求出分人数即可补全图形； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）用总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【详解】（1）解：（名） 则的人数为（人） 补全图形如下： （2）解：依题意，一共抽取名学生， 再把数据排序后，位于中间位置的数为中位数，即第25名和26名的学生的成绩的平均数即为中位数 （分） 故答案为：； （3）解：依题意，（人） 答：估计全校名学生在此次测试中被认定为“优秀”的学生人数为人． 20．（2024·甘肃甘南·中考真题）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： (1)共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______； (2)请补全条形统计图； (3)若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 【答案】(1)50， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，从统计图中获取数量和数量之间的关系，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的关键． （1）由B的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，再由乘以A的占比即可求解圆心角即可解决问题； （2）求出D、C的人数，即可解决问题； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：共调查的学生人数为：（名）， ∴图2中A所对应的圆心角度数为：， 故答案为：50，； （2）解：D的人数为：（人） ∴C的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种， ∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为． 21．（2025·安徽·模拟预测）合肥市某小学准备开展“与春天进行一场浪漫的约会”的研学游活动，现对学校部分学生进行调研，选择研学游的地点：A．祥源花世界，B．骆岗公园，C．合肥植物园，D．合肥森林公园．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图信息解答下列问题： (1)参加此次随机调查的学生共有多少人？选A选项的学生人数有多少人？ (2)D选项所对应的扇形圆心角的度数为 ； (3)该校最终决定选择两处地址进行研学游，问选择的是骆岗公园和合肥植物园的概率为多少？ 【答案】(1)参加此次随机调查的学生共有100人；选A选项的学生人数有8人 (2) (3) 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，以及概率等知识； （1）用选项C的人数除以其所占的比例，即可求出学生总数，然后用总人数减去其他三组的人数，即可求解； （2）用乘以其所占比例即可； （3）先分析出所有符合题意得情况，即可求出概率． 【详解】（1）解：人， 人； ∴参加此次随机调查的学生共有100人；选A选项的学生人数有8人； （2）解： ∴D选项所对应的扇形圆心角的度数为； （3）解：∵该校最终决定选择两处地址进行研学游， ∴共有6种情况可选：， ∴选择的是骆岗公园和合肥植物园的概率为． 22．（2025·安徽芜湖·二模）技术已渗透至社会各领域，某校综合实践小组开展了对两种软件“模型”和“模型”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级：：，：，：，：），下面给出了部分信息： 抽取的对“模型”的评分数据中等级的数据：89，89，88，87，86，86，84； 抽取的对“模型”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68． 抽取的对“模型”、“模型”的评分统计表 品牌 平均数 中位数 众数 等级所占百分比 模型 88 98 模型 88 抽取的对“模型”评分的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为哪个软件更受用户的喜爱？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)此次测验中，有300人对“模型”进行评分，260人对“模型”进行评分，估计此次测验中对“模型”、“模型”两种软件评分为等级的共有多少人？ 【答案】(1)15，89，97 (2)“模型”软件更受用户的喜爱，理由见详解 (3)239人 【分析】本题考查统计综合，涉及求中位数、众数、扇形某项百分比、由样本情况估计总体等知识，熟记统计相关知识及求解方法是解决问题的关键． （1）先计算“模型”的评分数据中等级占比，然后用1减去、、等级所占百分比即可得到等级所占百分比，从而求出；再由中位数及众数的定义与求法即可得到； （2）根据“模型”评分数据中A等级所占百分比比“模型”高即可得到答案； （3）由样本中两种软件评分为等级的占比估计测验中的总人数即可得到答案． 【详解】（1）解：“模型”的评分数据中等级数据有7份， 占比为：，； “模型”的评分数据中等级数据份数为：， 等级数据按从大到小顺序排列为：89，89，88，87，86，86，84， 可知“模型”的评分数据中从大到小排序，第10，11位数据均为89， ； “模型”的评分数据中97出现了3次，出现的次数最多， ； 故答案为：15，89，97； （2）解：“模型”软件更受用户的喜爱， 理由如下： “模型”评分数据中A等级所占百分比比“模型”高；（答案不唯一） （3）解：（人） 答：估计此次测验中对“模型”、“模型”两种AI软件评分为等级的共有239人． 23．（2025·安徽淮南·一模）在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为A，B，C．为测试这三款机器人在图像识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图像识别能力测试中，A，B，C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员根据一系列动作任务进行打分，每位测试员最高打10分，运动能力测试成绩为各位测试员打分之和．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优． 【数据收集与整理】 A，B，C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 B 8 87 C 8 n p 任务1：______，______； 【数据分析与运用】 任务2：求C款机器人的运动能力测试成绩p； 任务3：通过比较方差，判断测试员对______（填“A”“B”或“C”）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 任务4：按图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 【答案】任务1：9；8；任务2：C款机器人的运动能力测试成绩p为83分；任务3：B；任务4：综合成绩最高的是B款机器人 【分析】本题主要考查了扇形统计图，折线统计图，加权平均数和统计表，解题的关键是读懂题意，掌握中位数，众数，方差等概念． 任务：把款机器人测试员打分从低到高排列可得，由扇形统计图可得；任务2：列式计算加权平均数可得款机器人的运动能力测试成绩为分； 任务3：由折线统计图可判断B款机器人的得分波动比A款机器人的得分波动小，即，由表知，即可得测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 任务4：先分别计算出A、B、C三款机器人的综合成绩，然后进行比较即可． 【详解】解：任务：由折线统计图可知， 款机器人测试员打分从低到高排列为：，，，，，，，，，， 款机器人测试员打分的中位数， 由扇形统计图可知，款机器人运动能力得分出现次数最多的是分， ； 任务2：（分）． 答：C款机器人的运动能力测试成绩p为83分． 任务3：由折线统计图可判断款机器人的得分波动比款机器人的得分波动小， ． 由表知， 测试员对款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 任务4：A款机器人的综合成绩为：（分）， B款机器人的综合成绩为：（分）， C款机器人的综合成绩为：（分）． ， 综合成绩最高的是B款机器人． 2 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $