解析几何 课件-2026届高三数学三轮复习

第6讲　解析几何 1．直线方程的五种形式 (1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)． (2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)． 高考二轮总复习 • 数学 (5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)． 高考二轮总复习 • 数学 2．直线的两种位置关系 当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时： (1)两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2. (2)两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 4．圆的方程的两种形式 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圆的一般方程： x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． 5．直线与圆、圆与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法． (2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法． 高考二轮总复习 • 数学 6．椭圆的标准方程及几何性质 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 7．双曲线的标准方程及几何性质 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 8．抛物线的标准方程及几何性质 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 10．抛物线焦点弦的相关结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角，则 高考二轮总复习 • 数学 易错剖析　零失误 易错快攻一 忽视直线与圆锥曲线相交问题中的判别式 ●易错剖析 易错点1：遗漏方程表示圆的充要条件 突破点：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其他条件求解． 高考二轮总复习 • 数学 易错点2：解决截距问题忽略“0”的情形 突破点：解决直线在两坐标轴上的截距或截距具有某种倍数关系的问题时，需注意两点： (1)截距不是距离，直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0. (2)明确直线方程的截距式不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线．因此解题时应该从截距是否为0进行分类讨论． 高考二轮总复习 • 数学 易错点3：忽视斜率不存在的情况 突破点：(1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2⇔k1＝k2求解，忽略k1，k2不存在的情况，就会导致漏解． (2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l1⊥l2⇔k1·k2＝－1求解，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在． 易错点4：忽略直线与圆锥曲线相交问题中的判别式 突破点：凡是涉及直线与圆锥曲线位置关系的问题，一定不能忘记对判别式的讨论． 高考二轮总复习 • 数学 易错点5：忽视双曲线定义中的条件 突破点：双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支． 易错点6：忽视圆锥曲线定义中的焦点位置 突破点：椭圆的焦点位置由分母的大小确定，双曲线则是根据二次项系数的符号来确定的．解决此类问题时，一定要将方程化为曲线的标准形式． 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 (Ⅱ)当切线PA，PB斜率存在时，设P(x0，y0)，过 点P的直线l方程为y＝k(x－x0)＋y0， 与椭圆C联立得，(4k2＋3)x2－8k(kx0－y0)x＋4(kx0 －y0)2－12＝0， 因为l与椭圆相切， 高考二轮总复习 • 数学 所以Δ＝64k2(kx0－y0)2－16[(kx0－y0)2－3](4k2＋3) 则两切线PA，PB互相垂直， 综上，以AB为直径的圆过点P. 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 (Ⅱ)当直线AB斜率存在时，设直线方程为y＝mx＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 易错快攻二 遗漏直线的斜率不存在的情况 (1)求椭圆C的方程； 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 【解析】　(1)结合蒙日圆的性质， 高考二轮总复习 • 数学 (2)(ⅰ)当切线斜率存在且不为零时，设M(x0，y0)， 设过点M(x0，y0)的切线方程为y－y0＝k(x－x0)，那么y＝kx＋(y0－kx0)， 可得(3k2＋1)x2＋6k(y0－kx0)x＋3[(y0－kx0)2－1]＝0， 根据根的判别式Δ＝36k2(y0－kx0)2－12(1＋3k2)[(y0－kx0)2－1]＝0， 可得3k2＋1－(y0－kx0)2＝0， 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 高考二轮总复习 • 数学 (3)两点式：＝(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)． (4)截距式：＋＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)． 3．三种距离公式 (1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离|AB|＝. (2)点到直线的距离d＝(其中点P(x0，y0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0)． (3)两平行线间的距离d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2)． 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 几何 性质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)；B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为2a，短轴长为2b 几何 性质 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 焦距与长轴长的比值：e＝＝ ∈(0,1) a，b，c 的关系 c2＝a2－b2 标准方程 －＝1(a>0，b＞0) －＝1(a>0，b＞0) 图形 几何 性质 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 几何 性质 离心率 焦距与实轴长的比值：e＝＝ ∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x a，b，c 的关系 a2＝c2－b2 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 几何 性质 对称轴 x轴 y轴 几何 性质 顶点 O(0,0) 焦点 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 离心率 e＝1 9．双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则渐近线的方程为－＝0，即y＝±x. (2)若渐近线的方程为y＝±x(a>0，b>0)，即±＝0，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)． (3)若所求双曲线与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共渐近线，其方程可设为－＝λ(λ>0，焦点在x轴上；λ<0，焦点在y轴上)． (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝. (3)＋＝. (4)以弦AB为直径的圆与准线相切． 1．(2025·驻马店校级模拟)已知焦点分别为F1，F2的椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点M在C上，且△F1MF2面积的最大值为. (1)求椭圆C的方程； (2)过点P(cos θ，sin θ)(θ∈R)作椭圆C的两条切线PA，PB， ①求证：以AB为直径的圆过点P； ②求△APB面积的取值范围． 【解析】　(1)根据题意得 解得a＝2，b＝，c＝1， 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)点P(cos θ，sin θ)(θ∈R)，所以点P的轨迹方程为x2＋y2＝7， ①证明：(Ⅰ)当切线PA，PB其中一条斜率不存在时，P(±2，±)，此时AB在椭圆顶点处，PA⊥PB，故以AB为直径的圆过点P. ＝48[(4－x)k2＋2x0y0k－y＋3]＝0， 因为过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，所以kPAkPB＝＝＝－1， ②(Ⅰ)当直线AB斜率不存在时，P(±，0)，又PA⊥PB，所以直线斜率为±1， 不妨取lPA：y＝x－，联立＋＝1得7x2－8x ＋16＝0，解得A， 此时S△ABP＝××＝. 联立＋＝1得(3＋4m2)x2＋8mnx＋4n2－12＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝， Δ＝64m2n2－16(n2－3)(3＋4m2)＝16(12m2＋9－3n2)＞0， |AB|＝＝， 点P(x0，y0)到直线AB的距离d＝， S△ABP＝|AB|d＝， 又A(x1，y1)，B(x2，y2)，两条切线PA，PB的方程为lPA：＋＝1，lPB：＋＝1， 又切线PA，PB相交于点P(x0，y0)， 所以＋＝1，＋＝1， 则直线AB的方程为lAB：＋＝1， 即y＝－x＋，所以m＝－，n＝， 整理得S△ABP＝， 令＝t，t∈(3,4]， S△ABP＝g(t)＝，g′(t)＝， 所以g(t)在(3,4]上单调递增，则g(t)∈， 综上，△APB面积的取值范围. 2．(2025·辽宁模拟)法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆半长轴长与半短轴长的平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的蒙日圆方程为x2＋y2＝4，且椭圆的离心率为. (2)过点M作椭圆C的两条切线，两切线斜率之积为，求M的轨迹方程Γ； (3)在数学中，可利用“循环构造法”求方程的正整数解．例如：求二元二次方程x2－3y2＝1的正整数解，通过(2－)n(2＋)n＝1，先找到该方程的初始正整数解记此解对应的点为P1(2,1)，进一步可得点P2(7,4)，P3(26,15)，…，Pk(xk，yk)，…，k∈N*.设由“循环构造法”得到方程Γ的正整数解对应的点列为：Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，…，Qn(xn，yn)，…，其中xk＋1＞xk，k∈N*，记∠QnOQn＋1＝θn，试判断· tan θn，是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 因为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的蒙日圆方程为x2＋y2＝4，且椭圆的离心率为. 所以所以因此椭圆的方程为＋y2＝1. 联立切线方程和椭圆方程可得 可得出(3－x)k2＋2x0y0k＋(1－y)＝0①， 因为方程①有两个不等根，那么x≠3， 并且根的判别式Δ′＝4xy－4(3－x)(1－y)＞0，可得x＋3y－3＞0， 设过点M的两条切线的斜率分别为k1、k2，那么k1k2＝＝，整理可得x－2y＝1， 又由于x＋3y－3＞0，且x－2y＝1，以及3－x≠0，可得x＞，并且x≠3， 那么|x0|＞，并且|x0|≠， 因此Γ：x2－2y2＝1，其中|x|≠并且|x|＞. (ⅱ)当切线斜率不存在或为零时，不满足题意． 综上所述，轨迹方程为x2－2y2＝1. (3)由于(3－2)(3＋2)＝32－8＝1，因此Q1(3,2)， x－2y＝(xn－yn)(xn＋yn)＝(3－2)n(3＋2)n＝1， 由于(3－2)n与(3＋2)n的展开式中含的项互为相反数，不含的项相等， 因此可得 那么xn＋1－yn＋1＝(3－2)(xn－yn)＝3xn＋4yn－(2xn＋3yn)， 因此可得 直线OQn＋1的方程为yn＋1x－xn＋1y＝0，那么||sin θn即为Qn到直线OQn＋1的距离， 因此||sin θn＝， 所以可得·OQn＋1tan θn＝||·|OQn＋1|sin θn＝|xnyn＋1－xn＋1yn| ＝|xn(2xn＋3yn)－(3xn＋4yn)yn|＝2|x－2y|＝2， 因此·OQn＋1tan θn为定值2. $