第六章 计数原理（复习课件）数学人教A版选择性必修第三册

单元复习课件 第六章 计数原理 人教A版选择性必修第三册·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.复习巩固本章的学习内容，理解两个基本计数原理：分类加法计数原理，分步乘法计数原理，进一步利用两个计数原理得到两类特殊计数问题的计数公式——排列数公式和组合数公式。从而学会应用公式解决一些实际计数问题。 3.对基本概念和定理的理解，以及相关公式的推导和运用。会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 2. 通过具体实例,正确选择合适的计数原理来解决问题,正确理解排列、组合的相关概念,会利用排列数、组合数计算,并能够进行实际应用解决简单的排列组合问题。能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 单元学习目标 两个计数原理 排列与组合 二项式定理 分步乘法计数原理 分类加法计数原理 两个计数原理的综合运用 二项式定理 二项式系数的性质 排列 排列数 组合 组合数 两个计数原理的简单运用 单元知识图谱 一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 　　完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m＋n 种不同的方法． 1.分类加法计数原理： 注意：两类不同方案中的方法互不相同. 考点串讲 一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 2.分类加法计数原理的推广： 　　完成一件事有n类不同方案， 在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第 2类方案中有 m2 种不同的方法， …… 在第 n类方案中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法． 考点串讲 一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 　　一般地，完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m×n 种不同的方法. 3.分步乘法计数原理： 注意：①无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数. ②各个步骤相互依存, 只有各个步骤都完成了, 这件事才算完成, 将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,. 考点串讲 一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 4.分步乘法计数原理的推广： 　　完成一件事需要有n个步骤， 做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2步有 m2 种不同的方法， …… 做第 n步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m1×m2×…×mn 种不同的方法． 考点串讲 一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 区别 注意 都是用来计算“完成一件事”的不同方法种数的问题 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 5.两个原理的异同点： 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 任何一类中的任何一种方法都能独立完成这件事 只有依次完成每一个步骤，才能完成这件事（每步中的每一种方法不能独立完成这件事） 考点串讲 二、排列与组合 （一）排列 1.排列的定义： 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement). 定义中包含三个基本内容： ②取出元素 ③按照一定的顺序排列 ①不同的元素 考点串讲 二、排列与组合 （一）排列 （1）首先要保证元素无重复性，即从n个不同元素中，取出m (m≤n) 个不同的元素，否则不是排列问题。 （2）要保证元素的有序性，即安排这m个元素时是有序的，有序就是排列，无序则不是排列. 而检验它是否有序的依据就是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是有序，无变化就是无序. 2. 排列问题的判断方法： 考点串讲 二、排列与组合 （二）排列数 1. 排列数 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示. m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 2. 排列数与排列的区别： 排列是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，排成一列的具体排法，也就是完成一件事的一种方法，它不是数； 排列数是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，排成一列所有排列的个数，它是一个数. 考点串讲 二、排列与组合 （二）排列数 3. 排列数公式 排列数公式的阶乘形式 排列数公式的连乘形式 考点串讲 二、排列与组合 （二）排列数 4. 全排列 从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同 元素的一个全排列 . 5. 全排列数公式 6. 阶乘 正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 n! 表示. 于是，n个元素的全排列数公式可以写成 考点串讲 二、排列与组合 （三）组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 组合的定义 考点串讲 二、排列与组合 （三）组合 1.组合数： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示. m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 考点串讲 二、排列与组合 （四）组合数 2. 组合数公式： 这里m，n∈N* ；并且 m≤n . 另外，我们规定 考点串讲 二、排列与组合 （四）组合数 3.组合数的性质 性质1 性质2 考点串讲 三、二项式定理 （一）二项式定理 1. 二项式定理 2.二项展开式的通项 3.二项式系数： 考点串讲 三、二项式定理 （一）二项式定理 对于二项式定理要注意以下几点： (1) 展开式的第k+1项(通项)为 其中 叫做二项式系数，它与第k+1项的系数是两个不同的概念 . (2) 它可表示二项展开式中的任意项,只要n与k确定,该项也随即确定； (3) 表示的是第k+1项，而不是第k项； (4) 中a, b的位置不能颠倒, 且它们指数和一定为n. (5) 二项式定理对任意的数a, b都成立，若设a＝1, b＝x，则有 考点串讲 三、二项式定理 （二）二项式定理的性质 1. 对称性： 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 2. 增减性与最大值 3. 各二项式系数的和 考点串讲 【题型一】含有限制条件的排列、组合问题 【例1】 从1到9的9个数字中取3个偶数、4个奇数，问： （1）能组成多少个没有重复数字的七位数？ （2）（1）中的七位数中，3个偶数排在一起的有几个？ [解析] （1）中的七位数中，3个偶数排在一起的有 （个）. [解析] 分步完成： 第1步，在4个偶数中取3个，有 种取法； 第2步，在5个奇数中取4个，有 种取法； 第3步，3个偶数和4个奇数全排列，有种排法. 所以符合题意的七位数有 （个）. 题型剖析 【题型一】含有限制条件的排列、组合问题 【例1】 从1到9的9个数字中取3个偶数、4个奇数，问： （3）（1）中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？ （4）（1）中的七位数中，任意2个偶数都不相邻的有几个？ [解析] （1）中的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的 有 （个）. [解析] （1）中的七位数中，任意2个偶数都不相邻，可先把4个奇数排好， 再将3个偶数分别插入5个空中， 共有 （个）符合题意的七位数. 题型剖析 【训练1】（1） 某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手 完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、 乙两人中产生，则不同的传递方法共有____种.（用数字作答） 96 [解析] 甲传第一棒，乙传最后一棒，共有 种方法. 乙传第一棒，甲传最后一棒，共有 种方法. 丙传第一棒，共有 种方法. 由分类加法计数原理得，共有 （种）方法. 针对训练 【训练1】（2）用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶 数夹在两个奇数之间的四位数的个数为___. 8 [解析] 首先排两个奇数1,3，有 种排法， 再在2,4中取一个数放在1,3之间，有 种排法， 然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有种排法， 即满足条件的四位数的个数为 . 针对训练 【题型二】多面手问题 例2 有12名翻译人员，其中3人只会翻译英语，4人只会翻译法语，其余5人既会翻译 英语，也会翻译法语.从这12名翻译人员中任选6人，其中3人翻译英语，3人翻译法语， 有多少种不同的选法？ [解析] 由题意得，从这12名翻译人员中任选6人，其中3人翻译英语，3人翻译法语， 可以分为下面4类情况： ①只会英语的3人都去翻译英语，有 （种）选法； ②从只会英语的人中选取2人去翻译英语，从既能翻译英语，也能翻译法语的人中选 取1人去翻译英语，有 （种）选法； ③从只会英语的人中选取1人去翻译英语，从既能翻译英语，也能翻译法语的人中选 取2人去翻译英语，有 （种）选法； ④从既会翻译英语，也会翻译法语的人中选取3人去翻译英语， 有 （种）选法. 故共有 （种）不同的选法. 题型剖析 【训练2】 某校有赛艇运动员10人，3人只会划右边，2人只会划左边，其余5人两边 都会划，现要从中选6人上艇，平均分配在两边划桨，有多少种不同的选法？（不考 虑同侧队员间的顺序） [解析] 根据题意可按照只会划左边的2人中入选的人数分类处理. 第一类：2个只会划左边的人都不选，有 （种）选法； 第二类：2个只会划左边的人中有1人入选，有 （种）选法； 第三类：2个只会划左边的人全入选，有 （种）选法. 所以共有 （种）不同的选法. 针对训练 【题型三】分组、分配问题 角度1 不同元素分组、分配问题 【例3】 8张不同的邮票，按下列要求各有多少种不同的分法？（用式子表示） （1）平均分成四份； [解析] 完全均匀分组，有 种不同的分法. （2）平均分给甲、乙、丙、丁四人； [解析] 可分四步完成： ①甲从8张邮票中取2张有 种取法； ②乙从余下的6张中取2张有 种取法； ③丙从余下的4张中取2张有 种取法； ④丁从余下的2张中取2张有 种取法. 所以根据分步乘法计数原理知不同的分法有 种. 题型剖析 【题型三】分组、分配问题 （3）分成三份，一份4张，一份2张，一份2张； （4）分给甲、乙、丙三人，甲4张，乙2张，丙2张； （5）分给三人，一人4张，一人2张，一人2张； [解析] 部分均匀分组，有 种不同的分法. [解析] 部分均匀分组后再分配，有 （种）不同的分法. [解析] 部分均匀分组后再分配，有 种不同的分法. 题型剖析 【题型三】分组、分配问题 （6）分成三份，一份1张，一份2张，一份5张； （7）分给甲、乙、丙三人，甲1张，乙2张，丙5张； （8）分给甲、乙、丙三人，一人1张，一人2张，一人5张. [解析] 完全非均匀分组，有 种不同的分法. [解析] 完全非均匀分组后再分配，有 种不同的分法. [解析] 完全非均匀分组后再分配，有 种不同的分法. 题型剖析 【训练3】 按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？ （1）各组人数分别为2，4，6； （2）各组人数分别为3，3，6； （3）平均分成3个小组； （4）平均分成3个小组，进入3个不同的车间. [解析] 有 （种）不同的分法. [解析] 有 （种）不同的分法. [解析] 有 （种）不同的分法. [解析] 分两步：第1步，平均分成3个小组； 第2步，让3个小组分别进入3个不同的车间. 故有 （种）不同的分法. 针对训练 【题型三】分组、分配问题 角度2 相同元素分配问题 【例4】（1） 4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，共有多少种放法？ （2）4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子,恰有一个空盒子,共有多少种放法？ [解析] 每个小球有4种放法，共有 （种）放法. [解析] 先选1个空盒，有种选法， 再把4个小球分成3组，有 种分法， 最后分到3个盒子，有种分法， 共有 （种）放法. 题型剖析 【题型三】分组、分配问题 （3）10个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子不空，共有多少种 放法？ [解析] 9个空中插入3个板即可，共有 （种）放法. （4）4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个空盒子，共有多少种 放法？ [解析] 先选2个空盒，有种选法， 再从3个空中选1个插入隔板，有 种选法， 共有 （种）放法. 题型剖析 【训练4】 已知不定方程 ，则不定方程正整数解的组数为_____. 165 [解析] 问题相当于将12个完全相同的小球放入4个不同的盒子，且每个盒子中至少 放入1个小球，使用“隔板法”得不定方程正整数解的组数为 . 针对训练 【题型四】涂色（种植）问题 【例5】用 种不同的颜色给如图所示的 、 、 、 四个区域涂色． 图① 图② （1）若相邻区域能用同一种颜色，则图①有多少种不同的涂色方案？ [解析] 由题意知题图①中的四个区域，每个区域有 种涂色方案，共有 种不同的涂色方案. 题型剖析 【题型四】涂色（种植）问题 （2）若相邻区域不能用同一种颜色,当 <m></m> 时,图①、图②各有多少种不同的涂色方案？ [解析] 题图①：第一步，涂 ，有6种不同的涂法； 第二步，涂 ，与 的颜色不相同，有5种不同的涂法； 第三步，涂 ，与 、 的颜色都不相同，有4种不同的涂法； 第四步，涂 ，只需与 的颜色不相同，有5种不同的涂法， 所以共有 种不同的涂色方案. 题图②：第一步，涂 ，有6种不同的涂法； 第二步，涂 ，与 的颜色不相同，有5种不同的涂法； 第三步，涂 ，与 、 的颜色都不相同，有4种不同的涂法； 第四步，涂 ，与 、 的颜色都不相同，有4种不同的涂法， 所以共有 种不同的涂色方案. 题型剖析 【题型四】涂色（种植）问题 【例6】如图所示，将一环形花坛分成 四块, 现有5种不同的花供选种，要求在每块花坛里种1种花,且相邻的2块花坛种不同的花,则不同的种法总数为______. <m></m> [解析] 第一种情况，当块花坛和块花坛种同种花时，有种方法， 第二种情况，当 块花坛和 块花坛种不同花时，有 种方法. 综上可知，共有 种方法. 题型剖析 【训练5】如图所示的几何体是由正三棱锥 与正三棱柱 组合而成的，现用3种不同的颜色对这个几何体的表面涂色（底面 不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有_____种. <m></m> [解析] 先涂三棱锥 的三个侧面，然后涂正三棱柱的三个侧面， 由分步乘法计数原理，共有 种不同的涂法. 针对训练 【训练6】小张正在玩一款种菜的游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上（一块空地只能种植一种作物），若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有_____种. <m></m> [解析] 当第一块地种茄子时，有 种不同的种法； 当第一块地种辣椒时，有 种不同的种法，故共有48种不同的种植方案. 针对训练 【题型五】二项式定理及其应用 【例7】(1)已知 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式 中所有项的系数和为1，则下列结论错误的是( ) A. B. C. 展开式中的常数项为1 200 D. 展开式中含的项为 [解析] 因为展开式中只有第5项的二项式系数最大,所以展开式中共有9项,即 ， 故A中结论正确； 令，则，所以 ，故B中结论正确； 展开式的通项为 . 令，解得 ，所以展开式中的常数项为 ， 故C中结论错误； 令，解得， 所以展开式中含 的项为 ，故D中结论正确. 题型剖析 【题型五】二项式定理及其应用 （2） 的展开式中，各项系数中的最大值为___. 5 [解析] 的展开式中第项的系数为 , 由解得 , 又 为整数， , 各项系数中的最大值为 . 题型剖析 【题型五】二项式定理及其应用 (3)若 ，则 ( @19@ ) A. B. C. D. D [解析] 令 ，得 ,① 令 ，得 ,② 由①+②得， ，所以 . 故选D. 题型剖析 【训练7】 已知 的二项展开式前三项的二项式系数之和等于79，则展开式中系数最大的项为____________. <m></m> [解析] 由题意可得 , 解得 （舍）或 ,故 . 设 项的系数最大. ， ∴ ， , ， ∴展开式中系数最大的项为 . . 故其展开式中系数最大的项为 . 针对训练 【训练7】的展开式中 的系数为_____.（用数字作答） [解析] 的展开式中的系数为， 的系数为, 因此的展开式中的系数为 . 针对训练 【训练8】 的展开式中， 的系数为( ) D [解析] 的展开式中含 的项为， 的展开式中含项的为 ， 所以的展开式中，的系数为 . 针对训练 一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，尤其是分类加法计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效地将之分解，达到求解的目的．正确地分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用计数原理的关键． 课堂总结 二、排列与组合 排列数与组合数的计算公式主要应用于求值和证明恒等式，其中求值问题应用连乘的形式，证明恒等式应用阶乘的形式．在证明恒等式时，要注意观察恒等式左右两边的形式，基本遵循由繁到简的原则，有时也会从两边向中间靠拢． 对于应用题，则首先要分清是否有序，即是排列问题还是组合问题． 课堂总结 三、二项式定理 (1)与二项式定理有关的问题：包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式． (2)与通项有关的问题：主要是求特定项，比如常数项、有理项、x的某次幂等，此时要特别注意二项式展开式中第k＋1项的通项是 (k＝0，1，…n)，其二项式系数是 ，而不是 ，这是一个极易错点. 课堂总结 一、常见的计数问题及方法 方法归纳 1.多面手问题：选定一个类型的单面手，以其入选人数分类 2.组数/排队问题：优先考虑特殊位置或特殊元素 (个位的奇偶/首位不为0/排头排尾等) 3.至多/至少问题：正难则反，总方法数－反面方法数 4.不相邻问题：插空法 5.相邻问题：捆绑法 6.定序问题：除阶乘法(所有元素的全排列数除以定序元素的全排列数) 课堂总结 方法归纳 一、常见的计数问题及方法 7.相同元素分组：隔板法(n个相同元素分k份，需k－1块不相邻的隔板放入n个空隙) (适用于相同物品或实习/参赛名额等的分组分配) 8.不同元素的分组： ①完全不均匀分组：各组分步选取 ②完全均匀分n组：各组分步选取，除以n! ③部分均匀分组：各组分步选取，有k组均匀, 则除以k! 课堂总结 方法归纳 二、涂色、种植问题常见方法 1.按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析． 2.以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析． 3.将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题． 4.种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数． 课堂总结 方法归纳 三、二项式展开式的系数和问题 求展开式中各项的二项式系数和或系数和、奇数项或者偶数项的二项式系数和或系数和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过特殊化思想求解，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果． 课堂总结 感谢聆听! $