8.6.2直线与平面垂直（教学课件）高一数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.6空间直线、平面的垂直 第2课时 直线与平面垂直 学 习 目 标 1 2 3 理解直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理，能准确运用定理判断、证明线面垂直关系；了解直线与平面所成角的定义及求解方法，能进行简单计算。 通过情境观察、动手操作、合作探究，经历线面垂直定义的抽象过程和判定定理的推导过程，提升空间想象能力、逻辑推理能力，体会“线线垂直”到“线面垂直”的转化思想，渗透数学文化素养。 通过探究过程培养严谨的思维习惯和合作交流意识，了解数学史中相关定理的发展，增强民族自豪感和数学学习的自信心。 新课引入 同学们，在我们的生活中，存在很多“垂直”的场景：校园里的旗杆矗立在地面上，无论太阳如何移动，旗杆与它在地面上的影子始终保持垂直；请看模拟动画 家里的墙角线，一条垂直于地面，另一条平行于地面，两条线相互垂直； 新课引入 直线与平面垂直 还有大桥的桥墩，垂直于桥面和水面，支撑着整个桥梁的重量。 结合我们之前学过的直线与平面平行的知识，思考两个问题： 1 旗杆与地面的位置关系，和直线与平面平行有什么本质区别？ 2 我们如何准确描述“旗杆垂直于地面”这种位置关系？ 今天，我们就一起来学习《8.6.2 直线与平面垂直》，解开这些疑问，探究线面垂直的定义、判定方法和应用，同时感受数学文化在几何知识中的体现。 互动探究 动手操作，感知线面垂直 直线与平面垂直 每组一张三角形纸片、桌面（代表平面α） 1. 取出三角形纸片ABC，过顶点A翻折纸片，使折痕AD垂直于BC边（即AD为BC边上的高）； 2. 将翻折后的纸片竖直放置在桌面上，使BD、DC边与桌面贴合，观察折痕AD与桌面的位置关系； 3. 改变翻折角度，使折痕AD不垂直于BC，再竖直放置，观察AD与桌面的位置关系。 ① 当折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面内的BD、DC是什么位置关系？此时AD与桌面是否垂直？ 提问 ② 当折痕AD不是BC边上的高时，AD与桌面还垂直吗？ ③ 结合操作，你认为要使一条直线与一个平面垂直，需要满足什么条件？ 互动探究 思辨讨论，深化定理理解 直线与平面垂直 提出问题： 序号 问题 结论 原因/举例 ① 直线垂直于平面内一条直线，能否判定线面垂直？ 不能 如黑板竖直边垂直于黑板面上一条横线，但这条边与黑板面不垂直 ② 直线垂直于平面内无数条直线，能否判定线面垂直？ 不能 无数条直线可能互相平行，仍无法确定直线与平面垂直 ③ 判定定理中“两条相交直线”的相交能否去掉？ 不能 若两条直线平行，与情况②一致，无法唯一确定直线与平面垂直，必须相交才能确定平面方向 动态演示 一条直线垂直于平面内一组平行线，但与平面斜交 总结归纳： 线面垂直的判定，必须满足“平面内”“两条”“相交直线”三个核心条件，缺一不可。 构建体系 直线与平面垂直的定义 直线与平面垂直 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作 l⟂α 。 相关概念： 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们的交点叫做垂足。 垂足 m 直线a的垂面 平面α 的垂线 关键说明 1. “任意一条直线”≠“无数条直线”，无数条直线若平行，不能说明线面垂直；2. 线面垂直是“线线垂直”的拓展，线面垂直则一定能推出线与平面内所有直线垂直（逆用可用于证明线线垂直）； 构建体系 直线与平面垂直的判定定理 直线与平面垂直 表达方式 具体内容 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 已知 ，，，，，则 图形语言 a A n m 项目 内容 必备条件 三个条件缺一不可：1. 直线在平面内（）2. 两条直线相交（）3. 直线与这两条直线都垂直（） 定理作用 将线面垂直的判定转化为线线垂直的判定，降低证明难度，体现转化与化归的数学思想 构建体系 直线与平面垂直的性质定理 直线与平面垂直 表达方式 内容 文字语言 如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 符号语言 若 ，，则 说明：可通过对称法等简单证明思路辅助理解（无需严格证明，贴合高一学情），该定理可用于证明两条直线平行， 证明：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.       证明：要证明，只需证明与平面内两条相交直线垂直。 在平面内作两条相交直线，。，，。 又，，。 又，，，是两条相交直线， 。 这是直线与平面垂直的性质定理的逆定理,可能用来证明或判断线面垂直 构建体系 直线与平面所成的角 直线与平面垂直 定义 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足；过斜线上斜足以外的一点向平面作垂线，垂足与斜足的连线叫做斜线在这个平面内的射影；斜线与它在平面内的射影所成的锐角（或直角），叫做这条直线与这个平面所成的角。 取值范围： （直线与平面垂直时， ；直线与平面平行或在平面内时， ）。 斜线 斜足 垂线 垂足 射影 典例分析 题型1 线面垂直的证明 B D C S A 步骤 1：证明AC⊥BD 因为底面ABCD是正方形，根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直，因此 AC⊥BD。 步骤 2：证明AC⊥SD 已知 SD⊥ 平面ABCD，而AC⊂ 平面ABCD（AC是底面正方形的对角线，在底面内）。根据线面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线。因此 SD⊥AC，即 AC⊥SD。 步骤 3：证明BD与SD相交 BD是底面正方形的对角线，D是BD的一个端点；SD是四棱锥的侧棱，D是SD的一个端点。因此 BD∩SD=D，即BD与SD是平面SDB内的两条相交直线。 步骤 4：应用线面垂直判定定理 由步骤 1、步骤 2 得：AC⊥BD，AC⊥SD；由步骤 3 得：BD、SD是平面SDB内的两条相交直线；根据线面垂直的判定定理，可得：AC⊥ 平面SDB 典例分析 题型1 棱柱的识别与辨析 例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证BC1⊥平面A1DCB1 . 步骤1：建立正方体模型与已知条件 设正方体 的棱长为 ，根据正方体的性质： 所有棱两两垂直，所有面均为正方形； 面对角线长度相等（如 ）； - 棱与面垂直（如 平面 ， 平面 等）。需证：直线 垂直于平面 内的两条相交直线。 步骤2：证明 正方体中， 且 ，又 ，故 ，且 。因为 ，且 平面 ，所以 平面 。又 平面 ，因此 。 步骤3。 正方形 中，对角线 （正方形对角线互相垂直）。 步骤4。完成证明 而 ，且 平面 ，根据线面垂直判定定理，可得 平面 。 典例分析 题型2 直线和平面所成的角 例3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角. A1 B1 C1 D1 A B C D 线面垂直 解：连接，，与相交于点，连接。 ，，， 平面。 ， 又， 平面。 O 线面成角 为斜线在平面内的射影， 为和平面所成的角。 求角 在中，，， ，。直线和平面所成的角为。 典例分析 题型2 直线和平面所成的角 例题4.如图，在Rt△ABC中， ，PA⊥平面ABC， ， ， ，求直线PB与平面ABC所成的角的正切值。 定垂定角 ∵ PA⊥平面ABC，∴ 直线PB在平面ABC内的射影为AB（垂足为A）。∴ 即为直线PB与平面ABC所成的角。 定值 在Rt△ABC中， ， ， ，由勾股定理得： 。在Rt△PAB中， ， ， ，∴ 。故直线PB与平面ABC所成的角的正切值为 。 举一反三 1.判断下列命题的真假：（1）若一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则这条直线与该平面垂直；（2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于平面内的所有直线；（3）若两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线平行。 （1）假命题；理由：两条平行直线不能替代“两条相交直线”，若直线垂直于平面内一组平行线，可能与平面斜交，不满足线面垂直的判定条件。（2）真命题；理由：由线面垂直的定义可知，直线与平面内任意一条直线都垂直。（3）真命题；理由：这是直线与平面垂直的性质定理。 举一反三 2.在长方体 中，求证 证明： 举一反三 3.如图，PA⊥平面ABC， AB=AC=2 ， ∠BAC， PA=1 ，求直线PC与平面ABC所成的角的正弦值。 举一反三 4.下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是（ ） A. l垂直于平面α内的一条直线 B. l垂直于平面α内的两条平行直线 C. l垂直于平面α内的两条相交直线 D. l垂直于平面α内的无数条直线 5.若直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 异面或相交 举一反三 6.在四棱锥 P − A B CD ，底面 A B C D 是矩形， P A ⊥ ABCD， P A = A D = 1 ， A B = 3 。求直线 P C 与平面 A B C D 所成角的正切值。 在矩形 ABCD 中， 学海拾贝 知识小结 类别 名称 核心内容（文字语言+符号语言+图形语言要点） 关键说明/记忆要点 一个定义 直线与平面垂直的定义 文字语言：如果一条直线 与一个平面 内的任意一条直线都垂直，就称直线 与平面 互相垂直，记作 。符号语言：，都有 。图形要点：直线垂直于平面内所有直线，直线叫平面的垂线，平面叫直线的垂面，交点叫垂足。 1. “任意一条”≠“无数条”：垂直于平面内无数条直线，不能推出线面垂直（无数条平行直线不满足）；2. 克莱罗直观解释：直线像“钉子”钉入平面，无论平面内直线怎么转，都和钉子垂直；3. 定义既是判定也是性质：线面垂直 ⇒ 垂直于平面内所有直线。 学海拾贝 知识小结 类别 名称 核心内容（文字语言+符号语言+图形语言要点） 关键说明/记忆要点 两个定理 ① 线面垂直的判定定理 文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。符号语言：。图形要点：直线垂直于平面内两条相交直线，即可推线面垂直。 1. 核心：空间线面垂直 ⇨ 平面内线线垂直（降维转化）；2. 关键条件：两条直线必须相交，平行直线不成立；3. 是证明线面垂直的核心工具。   ② 线面垂直的性质定理 文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行。符号语言：。图形要点：两条直线都垂直于同一平面，则两线平行。 1. 核心：线面垂直 ⇨ 线线平行（空间平行的重要判定）；2. 逆定理也成立：两平行线中一条垂直于平面，另一条也垂直于该平面；3. 可用于证明线线平行、作平面的垂线。 学海拾贝 知识小结 类别 名称 核心内容（文字语言+符号语言+图形语言要点） 关键说明/记忆要点 一个概念 直线与平面所成的角 文字语言：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；特殊情况：直线垂直平面时，所成角为 ；直线平行平面或在平面内时，所成角为 。符号语言：设斜线 与平面 交于 ， 上一点 在 内的射影为 ，则 为线面角 ，。图形要点：斜线、射影、垂线构成直角三角形，线面角为锐角。 1. 取值范围：（斜线对应 ，垂直对应 ，平行/在面内对应 ）；2. 求解步骤：① 找平面的垂线（确定射影）；② 找斜线与射影的夹角；③ 解直角三角形求角；3. 核心：空间角 ⇨ 平面直角三角形的锐角（转化思想）。 学海拾贝 核心思想总结 思想方法 具体应用 转化思想 线面垂直 ⇨ 线线垂直（判定定理）；线面角 ⇨ 平面直角三角形的角 降维思想 将空间中的垂直、角度问题，转化为平面内的直线问题求解 定义优先 线面垂直的定义是所有定理的基础，“任意一条”是核心本质 感谢聆听! Lavf58.76.100 例1 如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SD⊥平面ABCD. 求证：AC⊥平面SDB. $