专题02 平面向量及其应用全章节18个题型（期中复习讲义）高一数学下学期北师大版

专题02 平面向量及其应用（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平面向量的概念辨析 题型02 平面向量在几何图形中的线性运算 题型03 向量的共线与点的共线 题型04 平面向量的共线定理及其推论 题型05 平面向量的基底定理及求参数 题型06 求几何图形中的数量积 题型07 数量积的模长夹角计算 题型08 求投影或投影向量 题型09 数量积的坐标运算 题型10 平面向量的综合题型 题型11 正余弦定理求角度 题型12 正余弦定理求边长 题型13 正余弦定理判断三角形解的个数 题型14 正余弦定理判断三角形的形状 题型15 正余弦定理求周长或面积 题型16 正余弦定理的实际应用 题型17 正余弦定理求周长面积的最值与范围 题型18 正余弦定理求边长或角度的最值与范围 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面向量的概念及表示 1.能准确区分向量与数量，熟练掌握向量的两种表示方法；2.能精准判断零向量、单位向量、相等向量、共线向量，明确各概念的核心特征；3.能解决简单的概念辨析题，不混淆易混概念 命题趋势：以基础选择题、填空题为主，侧重概念辨析，难度偏低；易错点：混淆“共线向量（平行向量）”与“相等向量”，忽略零向量的特殊性（零向量与任意向量共线、零向量方向任意），单位向量的方向不唯一 平面向量的线性运算（加减、数乘） 1.能熟练运用两种加法法则、减法法则进行向量线性运算，准确画出运算后的向量；2.掌握向量数乘的运算性质，能进行简单的线性化简；3.能利用共线向量定理判断两个向量是否共线，求解相关参数（如已知与共线，求） 命题趋势：必考考点，选择题、填空题、解答题（第一问）均可能考查，侧重运算能力与共线向量定理的应用；易错点：向量减法方向判断错误（差向量指向被减向量），数乘运算中符号判断失误，共线向量定理应用时忽略零向量的特殊情况 平面向量的坐标表示及坐标运算 1.能根据向量的几何表示写出向量坐标，根据坐标画出向量；2.熟练掌握坐标形式下的加减、数乘运算，能快速准确计算；3.能利用向量共线的坐标表示判断向量共线、求解参数，解决简单的坐标运算问题 命题趋势：高频考点，与线性运算结合考查，多为选择题、填空题，偶尔结合解答题考查，难度中等；易错点：坐标运算时符号错误，共线坐标公式记忆混淆（误写为），忽略坐标与向量的对应关系 平面向量的数量积（核心重点） 1.理解数量积的定义与几何意义，能区分数量积与向量线性运算（向量）的区别；2.熟练掌握数量积的运算性质与坐标运算，能进行模长、夹角的计算；3.能利用数量积判断两向量的垂直关系（），解决与夹角、模长相关的问题 命题趋势：重中之重，必考考点，解答题核心考查内容，选择题、填空题也会涉及，难度中等偏上；易错点：混淆数量积与向量模长的运算，夹角公式中忽略夹角范围（），垂直关系判断时忽略零向量，坐标运算时计算失误 平面向量在几何中的应用 1.能将几何图形中的边、角转化为向量，利用向量知识表示几何关系；2.能运用向量运算证明平行、垂直，求解线段长度、夹角；3.能解决三角形、平行四边形中的简单向量应用题，实现几何问题与向量问题的转化 命题趋势：常考考点，多以解答题形式考查（结合数量积），难度中等；易错点：几何图形与向量的转化不熟练，不会用向量表示几何关系，忽略几何图形中的隐含条件（如三角形内角和、边长关系） 平面向量在物理中的简单应用（次要考点） 1.能区分物理量中的向量与数量，用向量表示位移、力、速度；2.能运用向量线性运算求解合力、合速度，理解物理意义；3.能解决简单的物理平衡问题，实现向量知识与物理知识的结合 命题趋势：次要考点，偶尔以选择题、填空题形式考查，难度偏低；易错点：混淆物理量的方向（如力的方向、速度方向），不会将物理问题转化为向量问题，忽略物理量的单位 正余弦定理（期中常考） 1.熟记正余弦定理及核心变形公式，理解公式中各量的几何意义；2.能熟练运用正弦定理求三角形的边长、内角，判断三角形解的个数；3.能运用余弦定理求边长、内角、判断三角形形状，结合平面向量数量积解决三角形中的夹角、边长问题；4.能区分正余弦定理的适用场景，灵活选择公式解题 命题趋势：高频考点，多以解答题形式考查（结合平面向量数量积、三角形几何性质），偶尔出选择题、填空题，，难度中等；易错点：正弦定理应用时忽略三角形解的个数判断（如已知两边及其中一边的对角），余弦定理公式记忆错误、计算失误，忽略三角形内角和为，不会结合平面向量知识解决三角形问题 知识点01 平面向量的概念及表示 一、基础知识与核心概念 向量：既有大小又有方向的量区别于只有大小没有方向的数量如长度、质量 向量的表示方法 几何表示：用有向线段表示有向线段的长度表示向量的大小（模）箭头方向表示向量的方向记为起点为A终点为B 字母表示：用小写字母加箭头表示如、也可省略箭头记为a、b期中考查中多带箭头规范书写 核心特殊向量 零向量：长度为0的向量记为方向任意模 单位向量：长度为1的向量方向可任意若为非零向量则与同向的单位向量为 相等向量：长度相等且方向相同的向量记为与起点无关只看大小和方向 共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量记为零向量与任意向量共线（平行） 二、公式与法则 向量的模：向量的大小记为或零向量的模为0单位向量的模为1 三、解题技巧方法 概念辨析题：抓住各概念的核心特征逐一判断——零向量看“长度为0”单位向量看“长度为1”相等向量看“大小+方向”共线向量看“方向（相同/相反）” 判断共线/相等向量：先看模长相等向量模长必相等共线向量模长可不等再看方向共线向量方向相同/相反相等向量方向必相同 四、易错点（重点规避） 混淆“共线向量”与“相等向量”：共线向量只需方向相同/相反与模长无关相等向量必须模长相等且方向相同二者无必然联系 忽略零向量的特殊性：误将零向量当作有固定方向的向量或忘记“零向量与任意向量共线”导致判断失误 误解单位向量：认为单位向量方向唯一实则单位向量有无数个只要长度为1方向可任意 书写不规范：省略向量箭头或将有向线段的起点、终点写反如与是相反向量不是相等向量 知识点02 平面向量的线性运算（加减、数乘） 一、基础知识与核心概念 向量加法：求两个向量和的运算结果仍为向量（和向量） 向量减法：求两个向量差的运算是加法的逆运算结果仍为向量（差向量） 向量数乘：实数与向量的积记为结果仍为向量反映向量的伸缩与方向变化 共线向量定理：非零向量与共线（平行）的充要条件是存在唯一实数使得 二、公式与法则 向量加法法则 三角形法则：将第二个向量的起点与第一个向量的终点重合从第一个向量的起点指向第二个向量的终点即为和向量 平行四边形法则：以两个向量为邻边作平行四边形从公共起点出发的对角线即为和向量O为公共起点C为平行四边形对角顶点 向量减法法则（三角形法则）：将两个向量的起点重合差向量的起点为减向量的终点终点为被减向量的终点核心：差向量指向被减向量 向量数乘运算性质（、为实数） （结合律） （分配律） （分配律） 模长关系： 方向关系：时与同向时与反向时 三、解题技巧方法 向量加减运算：优先用三角形法则复杂图形可先将向量转化为“首尾相连”的形式再进行加减如 数乘化简：利用运算性质去括号、合并同类项将复杂线性表达式化为最简形式如 共线向量定理应用：已知与共线求参数可设结合向量表达式列方程求解注意先判断不为零向量避免零向量导致参数不唯一 四、易错点（重点规避） 向量减法方向错误：误将差向量指向减向量牢记“差向量指向被减向量”如的方向从的终点指向的终点 数乘运算符号失误：忽略的正负对向量方向的影响或计算时符号出错如易漏乘负号 共线向量定理应用忽略零向量：当时无论取何值此时若为零向量共线但参数不唯一解题时需先说明为非零向量 平行四边形法则适用错误：平行四边形法则仅适用于“两个向量有公共起点”的情况无公共起点需先平移向量 知识点03 平面向量的坐标表示及坐标运算 一、基础知识与核心概念 平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中设向量的起点O为原点终点A的坐标为则其中x为向量的横坐标y为向量的纵坐标 坐标与向量的对应关系：一个向量的坐标唯一确定一个坐标对应唯一的向量与起点无关只看终点坐标相对于原点的位置 向量坐标的几何意义：向量的模长为方向由横坐标、纵坐标共同决定与x轴正方向的夹角可通过坐标计算 二、公式与法则 向量坐标运算（设为实数） 加法：横坐标相加纵坐标相加 减法：横坐标相减纵坐标相减 数乘：横坐标、纵坐标分别乘 向量共线的坐标表示：（、为非零向量）的充要条件是 向量坐标与有向线段的关系：若、则终点坐标减起点坐标 三、解题技巧方法 求向量坐标：若已知起点和终点坐标直接用“终点坐标-起点坐标”若已知向量的几何表示先确定终点相对于原点的坐标再写出向量坐标 坐标运算：遵循“横横相加/减、纵纵相加/减”的原则数乘运算需将实数乘到每个坐标上计算时注意符号 共线坐标应用：已知两向量共线求参数直接代入列方程求解后验证避免两向量均为零向量的情况 四、易错点（重点规避） 坐标运算符号错误：减法运算时误将“起点坐标-终点坐标”当作向量坐标牢记 共线坐标公式记忆混淆：误将记为导致判断共线时出错 忽略坐标与向量的对应关系：认为“向量坐标与起点坐标有关”实则向量坐标只与终点相对于原点的位置有关与起点无关 数乘运算失误：将实数只乘到横坐标或只乘到纵坐标上如误写为 知识点04 平面向量的数量积（核心重点） 一、基础知识与核心概念 数量积的定义：已知两个非零向量与它们的夹角为（）则与的数量积（点积）为结果为实数区别于向量线性运算的结果的向量 数量积的几何意义：等于与在方向上的投影（）的乘积或与在方向上的投影（）的乘积 向量夹角：两个非零向量与将它们的起点重合所形成的角（范围）记为若与同向夹角为0反向夹角为垂直夹角为 向量垂直的充要条件：非零向量的充要条件是 二、公式与法则 数量积运算性质（、、为向量为实数） 交换律： 数乘结合律： 分配律： 自身数量积：核心变形： 零向量性质：结果为实数0不是零向量 数量积的坐标运算（设）： 向量模长公式（坐标形式）：由推导 向量夹角公式（坐标形式）：（） 向量垂直的坐标表示： 三、解题技巧方法 数量积求值：若已知向量模长和夹角直接用定义式若已知向量坐标用坐标公式优先用坐标运算更简便 模长计算：核心用若已知坐标直接代入若已知其他向量的模长和数量积通过变形如求解 夹角计算：先求、、再代入夹角公式最后根据的值确定夹角注意 垂直问题：若判断垂直直接验证或坐标形式若已知垂直求参数列方程求解即可 四、易错点（重点规避） 混淆数量积与向量模长：误将数量积（实数）当作向量或混淆与忽略的影响 夹角范围忽略：计算夹角时忘记导致由的值求时出错如夹角应为而非 垂直关系判断忽略零向量：若则但此时与不一定垂直零向量与任意向量数量积为0解题时需说明“非零向量” 坐标运算失误：计算时符号出错或计算错误模长计算时忘记开平方如遗漏根号 分配律应用错误：误将写成忽略数量积的分配律是“向量与向量相乘结果相加” 知识点05 平面向量在几何中的应用 一、基础知识与核心概念 向量与几何的联系：平面几何中的边、角、平行、垂直、长度、夹角等关系均可通过向量表示和运算来解决核心是“将几何关系转化为向量关系” 常见应用场景：三角形、平行四边形、矩形、菱形等简单平面图形涉及边的平行、垂直线段长度角的大小等问题 二、公式与法则 平行关系：向量（共线）对应几何中“两直线平行”需说明两直线不重合 垂直关系：向量（）对应几何中“两直线垂直” 线段长度：几何中线段AB的长度对应向量的模长 角的大小：几何中两线段的夹角对应两个向量的夹角需将向量起点重合 三、解题技巧方法 几何问题向量化：第一步建立平面直角坐标系或不建系用向量字母表示将几何图形中的边转化为向量如三角形ABC中、表示两边第二步将几何关系（平行、垂直、长度、夹角）转化为向量关系（共线、垂直、模长、数量积）第三步通过向量运算求解再将结果转化为几何结论 证明平行：转化为证明两个向量共线（非零向量）用共线向量定理或坐标表示（） 证明垂直：转化为证明两个向量的数量积为0用数量积定义或坐标表示（） 求线段长度：转化为求对应向量的模长用模长公式计算 求角的大小：转化为求两个向量的夹角用夹角公式计算注意结合几何图形判断夹角范围 四、易错点（重点规避） 几何与向量转化不熟练：不会将几何中的边、角转化为向量或转化时向量方向错误如将“BC边”误表示为 忽略几何图形的隐含条件：如三角形内角和为、平行四边形对边相等且平行等导致向量转化后求解出错 共线与平行混淆：向量共线对应几何中“两直线平行或重合”证明两直线平行时需额外说明“两向量不共线且两直线不重合” 向量夹角与几何夹角混淆：几何中两线段的夹角可能是向量夹角的补角如三角形中内角与向量夹角的关系需结合图形判断 知识点06 平面向量在物理中的简单应用（次要考点） 一、基础知识与核心概念 向量在物理中的对应：物理中位移、力、速度、加速度等物理量均为向量既有大小又有方向路程、速率、质量等为数量只有大小 常见应用场景：位移的合成与分解、力的合成与分解、速度的合成与分解、简单的物理平衡问题 二、公式与法则 位移合成：多个位移的合位移用向量加法（三角形法则、平行四边形法则）求解 力的合成：多个力的合力用向量加法求解合力的大小和方向由和向量决定 力的平衡：物体处于平衡状态时所有力的合力为零向量 速度合成：合速度等于各分速度的向量和用向量加法求解 三、解题技巧方法 物理问题向量化：第一步将物理量（位移、力、速度）转化为向量明确各向量的大小和方向第二步根据物理问题的要求用向量加法、减法、数乘运算求解合向量（合力、合位移、合速度）第三步将向量结果转化为物理结论如合力的大小、方向位移的大小、方向 力的平衡问题：将所有力转化为向量根据“合力为零向量”列方程求解未知力的大小和方向 合成与分解：优先用平行四边形法则（两个分向量有公共起点）复杂问题用三角形法则注意分向量与合向量的方向关系 四、易错点（重点规避） 混淆物理量的向量与数量：误将路程（数量）当作位移（向量）或速率（数量）当作速度（向量）忽略方向的影响 力、速度的方向判断错误：如斜面上的重力分解误将分力方向画错导致向量表示错误进而求解出错 不会将物理问题转化为向量问题：无法将实际物理场景中的力、位移等转化为向量进行运算思路不清晰 忽略物理量的单位：向量运算时只关注大小和方向忘记标注物理单位如力的单位N、位移的单位m导致结论不完整 知识点07 正余弦定理（期中常考） 一、基础知识与核心概念 正余弦定理：描述三角形中边长与内角的关系是平面向量数量积在三角形中的延伸应用核心用于“解三角形”求边长、角度、判断三角形形状 解三角形：已知三角形的部分边和角求其余的边和角或判断三角形的形状 三角形外接圆：三角形三个顶点确定的圆半径记为R正弦定理中涉及的R即为三角形外接圆半径 二、公式与法则 正弦定理 核心公式：（R为三角形外接圆半径） 核心变形 边长转化为角： 角转化为边长： 边长比例关系： 余弦定理 核心公式（求边长）： 核心变形（求角）： 三角形解的个数判断（正弦定理应用）：已知两边及其中一边的对角（如a、b、A）判断三角形解的个数 当为锐角时：无解一解两解一解 当为直角或钝角时：无解一解 三角形形状判断（结合正余弦定理） 锐角三角形：三个角均为锐角（、、） 直角三角形：有一个角为直角（如对应） 钝角三角形：有一个角为钝角（如对应为钝角） 三、解题技巧方法 解三角形的核心思路：先判断已知条件类型（已知两角一边、两边及夹角、两边及其中一边的对角、三边）再选择对应公式 已知两角一边：用正弦定理先求第三角再求另外两边 已知两边及夹角：用余弦定理先求第三边再用正弦定理求其余两角 已知两边及其中一边的对角：用正弦定理先求另一角注意判断解的个数也可用余弦定理列方程求解 已知三边：用余弦定理先求三个角 结合平面向量：若题目中涉及三角形中的向量数量积先将向量转化为边长和夹角（如）再结合正余弦定理求解 判断三角形形状：优先用余弦定理（通过边长关系判断角的类型）也可用正弦定理（通过角的关系判断边长关系）避免只看一个角导致判断失误 四、易错点（重点规避） 正弦定理应用忽略解的个数：已知两边及其中一边的对角时未判断解的个数导致多解或漏解如已知a=3、b=4、A=30°易忽略两解情况 余弦定理公式记忆错误：误将记为符号错误导致计算失误 忽略三角形内角和为：求角时忘记三个角的和为导致计算出的角之和不等于未及时检查纠错 不会结合平面向量：遇到三角形中的向量数量积问题无法将向量转化为边长和夹角衔接正余弦定理求解 角度计算错误：用余弦定理求出后误将角度算成锐角如误算为实际为 题型一 平面向量的概念辨析 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1区分向量与数量向量必须同时具备大小和方向 2相等向量判定 且方向相同 3共线向量判定 方向相同或相反与模长无关 4特殊向量结论 模为0方向任意与任意向量共线 单位向量方向不唯一 考场技巧 绝对化词语优先举反例 易错点共线不一定相等相等一定共线 【典例1】（24-25高一下·江苏无锡·月考）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用相等向量和相反向量的定义，结合充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】若与是相反向量，且均不为零向量，显然满足且，但得不到， 若，由相等向量的定义知且，所以“且”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 【变式1】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 【答案】C 【分析】根据单位向量、零向量、共线向量的定义判断即可. 【详解】对于A：单位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误； 对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误． 对于C：模为的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故C正确； 对于D：模相等的两个共线向量可能是相同的向量也可能是相反向量，故D错误. 故选：C． 【变式2】（24-25高一下·上海长宁·期中）下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．若，是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则，不是共线向量 D．若，，则 【答案】B 【分析】对于A，由题意或，对于B，由相等向量的定义即可得解；对于CD，举反例即可判断. 【详解】对于A，若，是共线的单位向量，则或，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，满足，但此时，是共线向量，故C错误； 对于D，设是两个不共线的非零向量，，满足，，但此时不成立，故D错误. 故选：B. 【变式3】（24-25高一下·山东聊城·期中）下列说法正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若，则 D．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量 【答案】D 【分析】根据单位向量、共线向量的定义及零向量的性质判断各项的正误即可. 【详解】A：单位向量长度相等，但方向不一定相同，错； B：若为零向量时，不一定共线，错； C：若，只能说明的模长相等，但方向不一定相同，错； D：长度不相等而方向相反的两个向量是共线向量，即平行向量，对. 故选：D 题型二 平面向量在几何图形中的线性运算 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1统一向量起点优先从同一顶点出发 2运用三角形法则 3中点直接用结论 4去括号合并同类向量注意符号 考场技巧 复杂图形拆成首尾相连再相加 易错点差向量指向被减向量 【典例1】（24-25高三上·天津武清·月考），点P在边AB上，，设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，利用向量的四边形法则计算即可. 【详解】 依题意，. 答案：B. 【变式1】（2025·四川资阳·一模）如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意， . 故选：D 【变式2】（25-26高三上·广东深圳·开学考试）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算法则计算. 【详解】因为， 所以，又， 所以. 故选：A. 【变式3】（24-25高一下·内蒙古·期末）在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出符合题意的图形，结合平面向量的加法和减法法则求解即可. 【详解】因为，所以是的中点，， 因为，所以是上靠近的三等分点，， 如图，连接，，作出平行四边形，    由题意得 ，故C正确. 故选：C 题型三 向量的共线与点的共线 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1构造共起点向量 与 2证明 3有公共点A即得A BC三点共线 坐标形式 考场技巧 点共线=向量共线+公共点 易错点只证共线忘公共点 【典例1】（24-25高一下·北京通州·期中）已知平面向量，是不共线的两个向量，，，，则（   ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 【答案】D 【分析】利用平面向量共线向量定理求解即可. 【详解】由题意，，，， 不存在唯一的实数使得，所以，，三点不共线，故A错误， 由于， 所以，则，，三点共线，故D正确. 由于， 不存在唯一的实数使得， 不存在唯一的实数使得，故BC错误， 故选：D. 【变式1】（24-25高一下·四川绵阳·期中）设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 【答案】 【分析】利用共线向量定理结合平面向量基本定理列式计算得解. 【详解】由， 由三点共线，得， 则，又不共线，因此，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 【变式2】【多选题】（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量不共线，若，，且三点共线，则关于实数的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用向量共线定理得，结合已知有，进而得到，即可得. 【详解】因为三点共线，则存在实数，使， 即，即， 所以， 又向量不共线，所以，解得， 所以实数的值互为倒数. 故选：AB 【变式3】（25-26高三上·湖北黄冈·期中）设向量、不共线，若向量与向量平行，则实数的值为_____. 【答案】 【分析】利用向量平行的性质建立方程组，求解参数即可. 【详解】若向量与向量平行，则， 即，又因为向量、不共线，所以，解得. 故答案为： 题型四 平面向量的共线定理及其推论 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1由共线定理设 2代入表达式左右对应系数相等 3解方程组得参数 常用推论 若且A BC共线 则 【典例1】（24-25高一下·内蒙古乌海·期中）如图所示，在△OAB中，，，M，N分别是OA，OB上的点，且，.设AN与BM交于点P，用向量表示=_____ 【答案】 【分析】先根据相似三角形求出点P在线段上的具体位置，再根据平面向量的加减法几何运算，用平面向量基底表示出目标向量即可. 【详解】 如图所示，作中点，连接，是得三等分点，则， 在中点为中点，点为中点，所以， 所以，因为，可得， 所以， 由， 故答案为：. 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）在△中，过中线的中点作一条直线分别交、于、两点，若，，则的最小值为__． 【答案】 【分析】由向量的线性运算可得，则，再由基本不等式求解即可. 【详解】解：因为是中线，所以， 又因为是的中点，所以 因为，所以， 所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，取到最小值， 故答案为：. 【变式2】【多选题】（24-25高二下·贵州·期中）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是8 【答案】BC 【分析】由平面向量的基本定理及共线的推论得，再应用基本不等式、二次函数性质判断各项正误. 【详解】 因为，则， 又，，共线，所以，A错误； 由，则，则， 当且仅当时取等号，B正确； 由，当时，的最小值为，C正确； 因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是9，D错误. 故选：BC 【变式3】（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，为中点，，设与交于点，则_____． 【答案】/ 【分析】以、为基底表示出，再根据平面向量共线定理及推论求出，即可求出，，即可得解. 【详解】因为， 所以， 由三点共线，可设， 所以. 又三点共线，所以， 又、不共线，所以，解得， 所以，又， ， 所以，即. 故答案为： 题型五 平面向量的基底定理及求参数 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1确认与不共线可作为基底 2全部向量统一表示为 3等式两边系数分别相等 4解二元一次方程组 考场技巧 几何题优先选共点不共线两边作基底 易错点系数对应错误符号写错 【典例1】（25-26高三上·福建厦门·期中）如图，为等边的重心，为边上靠近的四等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形重心的性质和点满足的条件，将和用和表示，结合图形可得，将其用和表示，对比两式求出和即可. 【详解】∵为等边的重心， ∴， ∵为边上靠近的四等分点， ∴， 由图知，； 又∵ ∴ ∴ 故选：C 【变式1】（25-26高三上·江西南昌·期中）在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】以向量为一组基底，利用向量的加法和数乘运算表示出即可. 【详解】由题可得，向量不共线，则以向量为一组基底， 所以，则. 故选：D. 【变式2】（25-26高三上·江西·期中）在中，是的中点，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算可得，可求的值. 【详解】因为D是BC的中点，所以， 所以，又， 所以， 所以， 又，所以，. 所以. 故选：B. 【变式3】（25-26高二上·河北石家庄·期中）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，可得，结合已知和三点共线，即可求出的值. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C. 题型六 求几何图形中的数量积 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1确定与夹角 2代入定义 3几何中平移向量使起点重合再定夹角 4利用分配律 考场技巧 垂直直接得数量积为0 易错点内角与向量夹角混淆可能互补 【典例1】（25-26高三上·河北衡水·期中）如图，在中，且点满足，，则___________．    【答案】/ 【分析】根据已知及向量的加减、数乘的几何意义得，再应用数量积的运算律及已知求. 【详解】由题设， 所以， 因为，，所以. 故答案为： 【变式1】（25-26高三上·山东菏泽·期中）中，，，，，则________（用，表示），若，，则________. 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算得，根据平面向量基本定理得，，由得，又得，进而得，计算即可求解. 【详解】由题意有： ， 所以， ， 由， 所以， 即①， 由，所以， 即②， 由①②有：， 所以， 故答案为：；. 【变式2】（25-26高三上·江苏南通·期中）在边长为的等边三角形中，，则________. 【答案】 【分析】先将用与表示出来，再根据向量数量积的运算律计算. 【详解】已知，因此， 又因为在三角形中，，所以： ， 等边三角形的边长为，因此，且与的夹角为， 则， ， 所以， 因此，. 故答案为：. 【变式3】（25-26高三上·天津·期中）在中，已知，，点为三角形的外心，则_____. 【答案】14 【分析】如图，利用平面向量数量积的几何意义求解即可． 【详解】如图，过点作，垂足分别为， 因为为三角形的外心，所以分别为的中点， 则. 故答案为：14 题型七 数量积的模长夹角计算 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1模长先平方展开 2代入计算 3夹角公式 4由正负判断锐钝角 考场技巧 模长问题一律先平方再开方 易错点忘记开方夹角超出 【典例1】（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知向量，满足，，的夹角是，则与的夹角是_____． 【答案】/ 【分析】根据向量的夹角公式求解，即可得答案. 【详解】由题意得，故， 则， 结合，故与的夹角是． 故答案为： 【变式1】（25-26高三上·湖南·期中）已知向量满足，且，则_______ 【答案】 【分析】根据题意得到，再由计算即可． 【详解】，， 又因为，所以，即， 所以． 故答案为：． 【变式2】（25-26高三上·江苏南京·期中）已知为单位向量，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求解出向量的模长，再根据向量的夹角公式进行求解即可. 【详解】已知，由于， 可得：， 又，可得：. 故选：D 【变式3】（25-26高三上·河北·期中）已知平面向量均为单位向量，若，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据结合模长关系可得，结合题意可得，进而可求模长. 【详解】因为，且， 则， 即，可得， 又因为，则 则， 所以. 故选：C. 题型八 求投影或投影向量 解｜题｜技｜巧 解题步骤 投影（实数） 1 投影向量（向量） 2 考场技巧 看清问投影还是投影向量 易错点求向量时漏乘 【典例1】（25-26高三上·天津·期中）已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由题意列出等量关系，然后由向量的数量积化简等式，进而得到即可. 【详解】由题意得，则， ∴，∴，∴. 故选：A. 【变式1】（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件并结合模长求出，最后代入投影向量公式求解. 【详解】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 【变式2】（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）向量为满足：在方向上的投影向量为，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】先根据投影向量的定义求得，再利用数量积求模即可得解. 【详解】因为在方向上的投影向量为， 所以， ， ， . 故选：C. 【变式3】（25-26高二上·云南红河·期中）若非零向量满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将平方化简求出，再利用公式求解即可. 【详解】因， 则 ， 所以， 所以在方向上的投影向量为. 故选：B 题型九 数量积的坐标运算 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1设 2数量积 3模长 4垂直 5共线 考场技巧 坐标运算最不易错优先建系 易错点垂直与共线公式记混 【典例1】（25-26高三上·河北衡水·期中）正方形的边长为是的中点，是边上靠近的三等分点，则的值为___________． 【答案】 【分析】由是正方形，则以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，由正方形的边长为，写出各点坐标，求出，利用数量积的坐标公式求解. 【详解】是正方形，以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系， 正方形的边长为， ， 是的中点，， 是边上靠近的三等分点，， ，. 故答案为：. 【变式1】（25-26高三上·广东汕头·期中）已知向量，，函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，且，求的值. 【答案】(1)（）； (2). 【分析】（1）先根据向量的数量积结合二倍角公式和辅助角公式，化简函数，得，再根据正弦函数的单调性，即可求解； （2）由（1）得，代入已知条件得，再利用正弦的两角差公式进行凑角求解即可. 【详解】（1）因为向量，， 所以函数 ， 令（）， 解不等式得（）， 所以函数的单调递增区间为（）. （2）由（1）得，， 又，即， 又，所以， 又，所以，所以， 所以 ， 所以的值为. 【变式2】（25-26高三上·江苏南京·期中）已知为等腰直角三角形，为直角，直角边长为，点在三角形所在平面上，向量为单位向量，点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，可得，利用平面向量数量积的坐标运算以及正弦函数的有界性可求得的最小值. 【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、、， 因为为单位向量，所以点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 因为，则点为线段的中点， 设点，则点， 所以，， 故，故当时，取最小值. 故选：B. 【变式3】（25-26高二上·北京延庆·期中）已知是边长为的等边三角形，为平面内的一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，以边中点为原点，建立直角坐标系，利用等边三角形的性质得出相应点的坐标，进而得出的坐标，再运用向量坐标运算计算，求最小值． 【详解】设点，以边中点为原点，建立如图所示直角坐标系， 是边长为的等边三角形， ，， ， ， ， 当时，即点为中点时，取最小值，最小值为． 故选：A 题型十 平面向量综合题型 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1能建系则全部坐标化 2几何条件翻译 平行→共线垂直→数量积为0长度→模 3列方程或方程组求参数 4检验参数合理性 考场技巧 综合题优先坐标法降低思维难度 【典例1】【多选题】（25-26高一上·河北保定·期中）在中，是的中点，是线段上的点，过作一直线分别与交于点，设，其中，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是等边三角形 C．若，则 D．若，则的最小值为 【答案】AD 【分析】利用平面向量的线性运算，以及数量积公式，基本不等式依次求解即可. 【详解】因为， 则，即， 则， 所以，A正确； 因为，所以， 所以，同理，点是的垂心， 又是边的中点，，易知是等腰三角形，无法确定是等边三角形，B错误； 由题意知，，所以， 又三点共线，则， 所以，即，解得，C错误； ，又三点共线，则， 因此， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，D正确. 故选：AD. 【变式1】【多选题】（25-26高三上·辽宁营口·期中）在等腰梯形中，，是边的中点，与交于点．设，则（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】BC 【分析】根据等腰梯形的性质结合已知条件，运用投影向量与平面向量基本定理计算求解． 【详解】连接， 为的中点，， ，故B正确. 三点共线，存在x，y满足，且， 又三点共线， ， 由平面向量基本定理得，， ，，故A错误，C正确； 四边形是等腰梯形，，过点作，垂足为， ，即， 在上的投影向量为，故D错误． 故选：BC． 【变式2】【多选题】（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）某公益组织一直关注青少年的成长，该组织的会标设计灵感便来源于“成长”一词的拼音首字母，该会标的大致轮廓为如图所示的一个以为圆心、为直径的半圆，和一段形折线组成， 其中. 现有两动点在圆弧和线段(包含端点)上运动， 则下列说法正确的有（    ） A．的最大值为 B．若，则的取值范围是 C．最大值为 2 D．若，则在上的投影向量模长的取值范围是. 【答案】ACD 【分析】A.利用数形结合，以及圆的形式，即可判断；B.建立坐标系，设，，利用坐标法以及三角函数表示，即可求解；C.讨论点的位置，利用坐标法，以及变量的范围，即可求解；D.分点的位置，讨论投影向量的模长. 【详解】A.由图可知，，当点三点共线时，等号成立， 所以的最大值为 ，故A正确； B.如图，建立平面直角坐标系，，，，，，，， 所以，所以， 所以，故B错误； C. 设在线段上时，设， ，, 所以， 所以的最大值为2， 当点在线段上时，所在直线方程为，设， ，， 所以的最大值为2， 综上可知，的最大值为2，故C正确； D. 设在线段上时，，，当点与点重合时，， 此时在上的投影向量模长为0， 当点在线段上时，，， ，，由可知， ，， 在上的投影向量模长为， 设，， 设，所以的值域是， 所以的值域是， 综上可知，在上的投影向量模长的取值范围是，故D正确. 故选：ACD 【变式3】【多选题】（25-26高三上·重庆南岸·期中）在中，，，，点D，E分别是边和的中点，且，交于点O.设向量，，则（   ） A． B． C．向量在向量方向上的投影向量为 D． 【答案】BCD 【分析】由向量的四边形法则和中点关系可得A错误；由三角形面积组合可判断B；由投影向量的计算可得C；由数量积和模长求出夹角可判断D. 【详解】对于A，因为点为中线的交点，E是边的中点， 所以，故A错误； 对于B，设中点为，则， 因为，所以，故B正确； 对于C，向量在向量方向上的投影向量为，故C正确； 对于D，， 所以， 故D正确； 故选：BCD.    题型十一 正余弦定理求角度 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1已知三边或两边夹角用余弦定理 2已知两边一对角用正弦定理 3求角优先余弦定理避免多解 4角范围注意钝角判断 考场技巧 求角首选余弦符号直接定锐钝 【典例1】（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理可求解. 【详解】由正弦定理可得． 故选：C 【变式1】（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期中）在中，，， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理求得，结合三角形边角关系即可求出角. 【详解】由正弦定理，，可得， 因，则，故. 故选：A. 【变式2】（25-26高三上·山东聊城·期中）记内角、、的对边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由正弦定理、三角形面积公式、余弦定理及基本不等式求解即可. 【详解】因为，由正弦定理可得：，因为， 所以，则, 因为，当且仅当时取等号， 所以，则. 故选：B 【变式3】（25-26高三上·安徽·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理将边化角即可求出，再由余弦定理及正弦定理得到，即可得解. 【详解】因为，由正弦定理可得，代入得到， 由余弦定理，所以， 由正弦定理可得，所以， 又，， 所以. 故选：C. 题型十二 正余弦定理求边长 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1已知两角一边用正弦定理 2已知两边夹角用余弦定理 3统一表达式后计算 考场技巧 求边优先看是否有夹角有夹角直接余弦 【典例1】（25-26高三上·贵州贵阳·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先求出，再由正弦定理即可求解. 【详解】因为，所以， 由正弦定理可知. 故选：C 【变式1】（25-26高三上·江苏南京·期中）在中，的角平分线交于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，根据三角形的面积公式，建立方程，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 因为的角平分线为，则， 由，则， 代入数据可得，化简可得， 解得. 故选：B 【变式2】（25-26高三上·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为，若，则边的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】利用余弦定理化简得出，利用诱导公式化简得出，最后利用正弦定理即可. 【详解】由结合余弦定理可得， 化简得，则， 又，则， 则，即， 则由正弦定理，得. 故选：B 【变式3】（25-26高二上·浙江·期中）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，.则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由，根据正弦定理化简可得，再结合余弦定理即可求解. 【详解】由， 根据正弦定理得，， 在中，，则，即， 又，则， 由余弦定理得，，则， 即，则，则， 所以. 故选：B 题型十三 正余弦定理判断三角形解的个数 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1若为锐角 无解 一解 两解 一解 2若为直角或钝角 无解 一解 【典例1】（24-25高一下·河南·期中）在中，内角所对的边分别为，已知（为常数），若该三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形有两个解可得，代入值求解即可. 【详解】若该三角形有两个解，则，又， 所以，解得，所以的取值范围是. 故选：C. 【变式1】（24-25高一下·山东泰安·期中）的内角的对边分别是，若，则当有两解时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】理由正弦定理，将问题转换为三角方程根的个数求参数问题即可. 【详解】由正弦定理有，即，即有两解， 因为，所以，从而，解得. 故选：C. 【变式2】（24-25高一下·安徽合肥·月考）在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合正弦定理，根据三角形有两解的条件列不等式求解即可. 【详解】因为三角形有两个解，所以， 所以，所以，即AC的取值范围是. 故选：A 【变式3】（24-25高一下·江苏镇江·期中）在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理求出关于的表达式，再结合三角形有两解的条件确定的取值范围. 【详解】已知，，，由正弦定理可得： ，即. 因为，所以. 要使有两解，则，且，此时的取值范围是. 由，且，可得.得到. 的取值范围是， 故选：B. 题型十四 正余弦定理判断三角形形状 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1统一成边或统一成角 2边用余弦定理 3角用正弦定理 或 考场技巧 看到平方关系优先余弦定理 【典例1】（24-25高一下·天津南开·期中）在中，下列命题不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则一定为等腰三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若，，，则有两解 【答案】B 【分析】根据三角形中的边角关系，边角互化可判断；根据三角函数值相等及正弦函数的性质可判断；利用余弦定理判断三角形形状可判断；利用正弦定理及正弦函数的性质可判断. 【详解】对于：若，则，所以， 所以，故正确； 对于：，则或， 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故错误； 对于：，则， 所以角为钝角，所以为钝角三角形，故正确； 对于：， 因为，，所以角可能是锐角，也可能是钝角， 故有两解，故正确. 故选：. 【变式1】（24-25高一下·北京朝阳·期中）在，若，且，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】利用正弦定理以及两角差的正弦公式逆用可得，再由可得，可得出结论. 【详解】因为，由正弦定理可得，则， ．所以， 又因为，所以， 又，可得，故的形状是等腰直角三角形. 故选：C 【变式2】（25-26高三上·山东淄博·期中）已知角，，是的三个内角，下列命题正确的个数是（    ） ①若，则一定是等腰三角形 ②若，则 ③若是锐角三角形，则 ④若，则一定是锐角三角形 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用和差角的余弦公式判断①，根据正弦定理判断②，结合锐角三角形及正弦函数的性质判断③，结合两角和的余弦公式判断④. 【详解】对于①：若，即， 即，则， 所以，所以， 又，所以，所以，则，所以， 则一定是等腰三角形，故①正确； 对于②：在中，由正弦定理及，得，故②正确； 对于③：由是锐角三角形，得，所以， 又在上单调递增， 因此，即，故③正确； 对于④：由，得，在中，， 所以， 则，即，于是， 即，所以，因此是钝角，则为钝角三角形，故④错误. 故选：C 【变式3】（24-25高一下·江苏·月考）在中，内角、、的对边分别为、、，已知，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】利用正弦定理化简得出、的值，结合三角形内角的取值范围可得出角、的值，即可得出结论. 【详解】因为，由正弦定理可得， 所以， 因为、，故，， 因此，为等腰直角三角形. 故选：A. 题型十五 正余弦定理求周长或面积 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1面积公式 2周长先求各边再相加 3已知一角一对边用正弦定理表示其余边 4代入计算 考场技巧 有夹角优先面积正弦公式 【典例1】（23-24高一下·福建厦门·期中）已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由正弦定理角化边，结合余弦定理及三角形面积公式即可求解. 【详解】由正弦定理角化边得到：， 即 ， 所以 ，， ， 又， 且， 得，即， 所以 . 故选：A 【变式1】（25-26高二上·广东深圳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，， ，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由正弦定理得，进而得到，接着可得，再利用余弦定理求出，根据正弦定理求的边，最后利用三角和差和三角形面积公式求解即可． 【详解】因为，且， 所以， 由正弦定理得， , 所以，即， 因为，所以； 由得， 因为，所以， 由余弦定理，得， 所以，因为，所以， 由正弦定理得，即， ，， 所以三角形的面积为． 故选：A． 【变式2】（25-26高三上·山东临沂·期中）已知的内角，，满足，其外接圆半径为2，则的面积为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先用和、差角的正弦公式及二倍角公式化简得到，再利用三角形的面积公式结合正弦定理即可求得结果. 【详解】因为， 即， 即 又，故， 所以 所以 ， 因为外接圆半径为2， 又因为， 所以， 故选：A. 【变式3】（24-25高一下·重庆南岸·期中）外接圆半径为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设及正弦定理易得，，，结合平方关系可得，进而结合余弦定理求得，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】由，根据正弦定理得， 则，又，则， 显然或，则为锐角， 所以， 又，则， 则， 则，即， 所以的面积为. 故选：D. 题型十六 正余弦定理的实际应用 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1画示意图标出已知边角 2抽象为解三角形模型 3选择正弦或余弦定理 4计算并还原实际意义 考场技巧 统一长度单位注意仰角俯角 【典例1】（25-26高一上·四川绵阳·期中）某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 【答案】D 【分析】做出图形，根据正弦定理计算角度，得出角的大小，分情况求出的值． 【详解】设出发点为，向东航行到处后改变航向到达， 则，，，， 由正弦定理可得：，即， ． 或， （1）若，则，为直角三角形， ； （2）若，则，为等腰三角形， 综上，的值为30或60. 故选：D． 【变式1】（25-26高三上·河北衡水·开学考试）如图，两座山峰的高分别为，，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为30°，N点的仰角为60°，且，则两座山峰峰顶之间的距离（   ） A．200m B． C．400m D．600m 【答案】A 【分析】根据题意，分别求得的长，然后在中，由余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】在中，，. 在中，. 在中， . 故选：A 【变式2】（24-25高一下·山东淄博·期中）一艘海轮从处出发，以每小时50海里的速度沿南偏东的方向直线航行，2小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔．其方向是北偏东，那么两点间的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【分析】确定中各角度数，利用正弦定理即可求出答案. 【详解】由已知可知（海里）， 则，故（海里）， 故选：A 【变式3】（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出. 【详解】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，， 即圣.索菲亚教堂的高度约为. 故答案为：D. 题型十七 正余弦定理求周长面积最值与范围 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1用正弦定理边化角 2面积 结合基本不等式 3周长 用 4限制角范围 考场技巧 一角对边固定常用均值不等式 【典例1】（25-26高三上·江苏镇江·期中）已知的面积记为.请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题. ①；②；③ 内角，，的对边分别为，，，已知__________. (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）选①，根据正弦定理边角互换，再结合恒等变形可得；选②，由数量积及三角形面积公式可得即可求解；选③，整理化简得，再利用余弦定理求解即可； （2）由正弦定理得，，再根据恒等变形化简得，结合锐角三角形及正弦型函数求值域即可． 【详解】（1）选①在中，由及正弦定理，得， 则，即， 整理得：，又， 因此，又， 所以. 选②由，得， 因为，所以，又， 所以. 选③由，得到， 所以， 又，所以. 根据余弦定理， 得. 即，整理得. 解得或（舍去）.所以. （2）由， 得，， 因为，则，， 所以， ， 因为为锐角三角形，所以则， 所以，即取值范围为. 【变式1】（2025·陕西榆林·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦的两角和公式化简得，可得，即可得解； （2）利用余弦定理结合已知条件计算可得，再利用三角形面积公式计算即可. （3）利用正弦定理把边转化为角，结合角的范围，即可求解. 【详解】（1）根据， 可得， 所以，因为，所以； （2）由（1）可知，，根据余弦定理， 因为，则，即， 又因为，所以，解得， 所以的面积； （3）因为，所以， 所以，， 所以的周长 ， 因为，所以，所以， 所以. 【变式2】（25-26高三上·江西南昌·期中）如图，在平面四边形ABCD中，．    (1)若，求四边形的面积； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，在中与中分别使用余弦定理，从而可得的值，再根据三角形面积公式求解四边形的面积； （2）结合余弦定理，三角面积公式以及正弦型三角函数即可得四边形面积的最大值． 【详解】（1）连接BD，    在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，则， 从而， 因此四边形ABCD的面积为：． （2）连接BD．在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 则， 因为， 所以， 因为，所以， 四边形ABCD的面积， 则①， 由，则②， 联立①②，解得，则， 当且仅当时，等号成立，四边形ABCD的面积取得最大值． 【变式3】（25-26高三上·山东烟台·开学考试）满足： (1)求角的大小； (2)为的中点，且，求的最大值 (3)若为外一点，，求四边形面积的最大值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理化为边，再利用余弦定理即可求解； （2）在中，利用余弦定理和基本不等式即可求解； （3）设，在中，由余弦定理得，四边形的面积为，利用三角恒等变换化简得，最后利用三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）根据题意由正弦定理有：，即， 由余弦定理有，又， 所以； （2）在中，， 由余弦定理有：， 所以， 所以 当时，即时，等号成立， 的最大值为； （3）设，在中，由余弦定理得， 所以， 又，所以为等边三角形， 所以四边形的面积为 ， 当时，即时，， 所以四边形的面积最大值为. 题型十八 正余弦定理求边长或角度最值与范围 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1边最值余弦定理+基本不等式 2角最值用单调性 3已知一边一对角正弦定理转化为角范围 4保证三角均为正角 考场技巧 角越大余弦越小范围必受内角和限制 【典例1】（25-26高三上·江苏南京·期中）已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用正弦定理进行边化角，再运用辅助角公式，即可得解； （2）由三角形面积可得，再将用与进行表示，表示出后，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）由正弦定理，可转化为， 在三角形中，恒成立，两边同除，得， 即，则，则或， 则或（舍去）， 故. （2） 由题可知，为的中点，为的三等分点，且. 又， . 由，可得. ， 当且仅当时，即时，等号成立. 故的最小值为. 【变式1】（25-26高三上·江西抚州·期中）在中，内角对应的边分别是，且. (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，，求的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合正弦定理和诱导公式，化简求值即可； （2）通过正弦定理，将边用角表示，然后结合三角形中角的关系，将问题表示为单一变量角的函数，再结合锐角三角形，确定角的取值范围，再利用正弦函数求取值范围即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 因为在中，， 所以，又， 所以. （2）因为，，结合正弦定理，得， 所以，. 在中，， 所以 . 因为为锐角三角形， 所以， 所以，则， 所以， 所以. 【变式2】（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知的内角，，的对边分别为，，且. (1)求； (2)若，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将角化边整理得到，再利用余弦定理得到，从而得到； （2）先利用向量基本定理得到，两边平方化简得到，最后利用基本不等式得到，从而得到的最小值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得到，整理得到； 由余弦定理，因为，所以 （2）因为，所以； 因为，所以 又因为； 所以 利用基本不等式 所以，当且仅当，即时等号成立 即，所以的最小值为. 【变式3】（25-26高二上·云南怒江·期中）已知函数，将图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像. (1)求的单调递增区间； (2)求在上的值域； (3)若锐角三角形的内角，，所对的边分别为，，，且，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简函数，令，解得区间即为函数单调递增区间； （2）化简函数，由范围，求出范围，然后得到函数在区间上的最值，即求出函数在该区间上的值域； （3）由求得，由正弦定理求得，根据题意列关于的不等式，基于的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】（1）由题意可得. 令，             解得，即的单调递增区间为. （2）由题意可得.     因为，所以.         当，即时，取得最小值，最小值为；     当，即时，取得最大值，最大值为.     故在上的值域为. （3）因为，所以，所以. 因为是锐角三角形，所以，所以，则.     因为，所以，则，，     所以， 因为是锐角三角形，所以解得，     所以，所以，所以，即的取值范围是. 期中基础通关练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．(24-25高一下·浙江台金七校联盟·期中)在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算，可得答案. 【详解】 ，，. 故选：C. 2．(24-25高一下·江苏苏州·期中)在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量运算法则计算即可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：A. 3．(24-25高一下·贵州毕节金沙县第一中学·期中)在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】由题意利用同角三角函数关系求得，利用三角形面积公式得，结合，利用余弦定理求解即可． 【详解】由可知，三边成等差数列， 所以是长度居中的边，其所对的角也为大小居中的角， 因为三角形中若有钝角，则必为最大角，所以必为锐角， 又，所以. 由题意可得：，化简得， 又，， 所以， 所以，解得（负根舍去）. 故选：B． 4．(25-26高三上·广东仲元中学·期中)在平面内，三个非零向量，，两两的夹角相等，且，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，按夹角大小分类，利用平面向量数量积定义以及运算律列式求解. 【详解】依题意，平面向量两两夹角可以为或， 当向量两两夹角为时，，解得，不符合题意； 当向量两两夹角为时，， 则 ， 因此，解得或（舍去）. 故选：C 5．(25-26高三上·安徽淮北实验高级中学·期中)已知向量满足则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由平方求得，再由向量夹角公式即可求解. 【详解】由，两边取平方可得， 因，代入解得， 所以. 故选：B 6．单位向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，对两边平方即可求出的值，进而求出的值，从而得出与的夹角． 【详解】由题意，， 则， 解得，即， 又，所以的夹角为， 故选：C. 7．(24-25高一下·天津第二南开学校·期中)若非零向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照向量，共线和不共线两种情况分类讨论，共线时利用向量模的关系得，不共线时，利用三角形的性质判断向量模的大小关系，即可得解. 【详解】若向量，共线，则由于，是非零向量，且，则必有， 代入可知只有A、C满足； 若向量，不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形， 使其满足；令，，则， 所以且， 又，所以，所以， 综上，. 故选：A 二、多选题 8．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B．为锐角三角形 C．的面积为 D．外接圆的面积为 【答案】ACD 【分析】对AB，利用余弦定理求解判断；对C，由三角形面积公式计算判断；对D，由正弦定理求出外接圆的半径得解. 【详解】对于A，由余弦定理知，因为，所以，故A正确； 对于B，由余弦定理知，所以，为钝角三角形，故B错误； 对于C，的面积，故C正确； 对于D，因为，所以外接圆的半径， 所以外接圆的面积为，故D正确. 故选：ACD. 9．(25-26高三上·江西南昌中学三经路校区·期中)已知，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若向量与向量的夹角为钝角，则 D．的最小值为4 【答案】AD 【分析】由向量平行、垂直的坐标表示列方程求参数值判断A、B，由向量夹角的坐标求法，结合反向共线的情况判断C，应用向量的坐标运算求模长判断D. 【详解】若，则，可得，A对， 若，则，可得，B错， 由，则， 若，则，可得， 由向量的夹角为钝角，则且，C错， 由，则， 当且仅当时取等号，故的最小值为4，D对. 故选：AD 三、填空题 10．(24-25高一下·广东东莞第十一中学·)如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为__________h. 【答案】2 【分析】当实际速度垂直于河岸航程最短，根据向量加法的平行四边形法则求解即可. 【详解】当实际速度垂直于河岸，船的航程最短， 设实际速度、船速、水流速度分别为、、， 如图，，已知， 则，河宽， 所以，船的航行时间， 所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要. 故答案为：2. 四、解答题 11．(25-26高二上·湖北云学联盟·期中)在中，所对的边为，已知 (1)求角的大小． (2)若的面积为且，求的周长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用正弦边角关系及余弦定理求得，即可得； （2）由三角形面积公式、余弦定理求得、，进而得到，即可得三角形的周长. 【详解】（1）由题设及正弦边角关系知，则， 由，所以； （2）由题意，则， 由余弦定理，则， 所以，则， 周长为. 12．(25-26高三上·山东济宁·期中)已知向量是单位向量，，与同向. (1)求向量； (2)若向量，，求在上的投影向量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量同向列方程，由此求得. （2）根据向量垂直列方程求得，根据投影向量的知识求得在上的投影向量. 【详解】（1）设向量，. 是单位向量  ，解得， . （2），，解得， . ， ，. 在上的投影向量为. 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．(25-26高三上·河北沧衡名校联盟·期中)某智能物流车的“实际配送向量”“规划路线向量”“交通拥堵修正向量”满足关系式：.已知条件如下：实际配送向量，交通拥堵修正向量与向量垂直，.配送效率等级通过“规划路线向量的模（单位：）”判定，标准如下表（一般情况下，认定“停滞”属于无效配送）： 配送效率等级 超高效 高效 常规 低效 停滞 模的范围 若此次配送为有效配送，则此次配送的效率等级为（    ） A．超高效 B．高效 C．常规 D．低效 【答案】B 【分析】根据向量垂直的坐标表示，以及向量模长的坐标表示，求出交通拥堵修正向量，根据题目概念，以及向量的线性运算，求出规划路线向量，求出模长，判断结果. 【详解】设交通拥堵修正向量，则，解得或， 即或， 当时，由题意得，则， 则，可知，此次配送为高效配送； 当时，，则，属于无效配送，不符合题意； 故选：B. 2．(25-26高三上·江苏无锡·期中)在四边形中，，，．若四边形的面积为，则实数的值为（    ）． A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的模长及数量积为0，可得四边形为直角梯形，然后结合模长关系利用面积建立方程求解即可. 【详解】因为，，，所以四边形为梯形， 又，所以，即， 所以四边形为直角梯形，则， 又四边形的面积为，所以， 所以， 所以. 故选：C 3．(24-25高二上·云南昆明·期中)已知菱形ABCD的边长为，若点是BC的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知求得，且为等边三角形，可得、，再由及向量数量积的定义求值. 【详解】因为，则，    而，所以， 根据菱形ABCD，则为等边三角形，故， 点是BC的中点，则， . 故选：A 4．(24-25高二上·海南·)已知是空间中的三个单位向量，若 ，则 的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可求得，再结合数量积的定义分析运算. 【详解】因为，则， 又， 所以， 又， 故当，即与同向时，有最大值. 所以. 故选：B 二、多选题 5．(25-26高三上·吉林长春第八中学·月考)已知分别为内角的对边，下面四个结论不正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．在钝角中，为锐角，则不等式恒成立 C．若，的平分线交于点，，则的最小值为 D．若，，且有两解，则的取值范围是 【答案】ABD 【分析】利用余弦定理角化边可证得A错误；根据诱导公式和正弦函数单调性可知B错误；利用面积法和基本不等式可求得C错误；根据作圆法可知D错误. 【详解】对于A，由余弦定理得：， ， 即， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形，A错误； 对于B，为钝角三角形，为锐角，，， ，B错误； 对于C，的平分线交于点，，又 ，即，， （当且仅当，即，时取等号）， 即的最小值为，C正确； 对于D，如图，若有两解，则，，D错误. 故选：ABD. 6．(25-26高二上·云南昆明第八中学·期中)在中，对应的边分别为，下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则为等腰三角形或直角三角形 C．若，则为锐角三角形 D．在锐角三角形中，不等式恒成立 【答案】BCD 【分析】利用正弦边角关系判断A；应用三角恒等变换可得，结合三角形内角和性质得或，判断B；由三角形内角和，结合即可判断C；由锐角三角形，结合诱导公式判断D. 【详解】对于A：由，则， 结合，（为外接圆的半径），可得，故A错误； 对于B：由，则， 整理得，而，， 所以或，即为等腰三角形或直角三角形，故B正确； 对于C：由，而， 若中有一个为钝角，不妨令为钝角，则、为锐角， 所以，，，不满足，故舍去； 若中有一个为直角，不妨令为直角，则、为锐角， 所以，，，不满足，故舍去； 所以均为锐角，则为锐角三角形，故C正确； 对于D：锐角三角形中，所以， 又在上单调递增，所以，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 7．(25-26高三上·安徽A10联盟·期中)如图，在梯形中，，，连接交于点，则______． 【答案】 【分析】设，可得，，可得，利用向量相等关系求解即可. 【详解】设，因为， 所以， 所以 因为三点共线，设， 所以， 则， 所以，解得：； 所以； 故答案为： 8．(25-26高三上·山西太原·期中)八卦是中国文化的重要哲学概念．如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，点是其中心，且，则_____________． 【答案】/ 【分析】根据题意可得，，结合数量积的运算律求解即可. 【详解】由题意可知：，，， 则，， 所以. 故答案为：. 四、解答题 9．(25-26高三上·山东济宁兖州区·期中)记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，，且， (1)求B； (2)若的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式、正弦定理将已知式化成，结合余弦定理得，可得，再由可求得； （2）由（1）知， ，，根据正弦定理得，，再由三角形面积公式计算即得. 【详解】（1）因， 由可得： ， 化简得 又由正弦定理，可得， 由余弦定理，可得， 因为，所以 又因为，所以，得， 又，所以. （2）由（1）已得， ，， 而， 由正弦定理有， 从而，， 则， 解得. 10．(25-26高三上·山东威海文登区·期中)在中，内角的对边分别为，且的面积为． (1)若是的角平分线，，求的周长； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)19． (2)． 【分析】（1）由三角形面积公式及余弦定理化简求出，再由角平分线的性质及面积公式得出，再由余弦定理求出即可； （2）利用向量数量积的运算可得，再由正弦定理及三角恒等变换化简可得，利用三角函数最值即可得解. 【详解】（1）在中，由三角形的面积公式可得， 所以，所以， 因为，所以． 因为是的角平分线，所以， 所以，所以， 由余弦定理可知：， 所以， 所以，整理得， 解得或（舍去）， 所以，所以的周长为19． （2）由题意知， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以当，即时，的最大值为1，此时有最小值， 所以的最小值为． 11．(25-26高三上·湖南部分学校·期中)在中，点在边上，且，. (1)若，求的值. (2)设平分. ①求； ②求的面积. 【答案】(1)； (2)①；②3. 【分析】（1）由题意求得，利用正弦定理可求解； （2）①由题意可得，进而得，计算可求解；②在和中，由余弦定理可得，可求的面积. 【详解】（1）由题意可得，是等腰直角三角形，所以. 又，所以， 在中，. 在中，由正弦定理得， 所以，解得. （2）①因为，所以. 因为平分，所以. 因为， 所以，即. ②在和中，由余弦定理得 ， ， 所以， ， 解得. ， . 12．(25-26高三上·福建福州第一中学·期中)已知四边形的顶点坐标为、、，且. (1)若点在第一象限，求实数的取值范围； (2)若点为直线外一点，为四边形对角线的交点，，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点的坐标为，，，由，可得出，结合，可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）化简得到，根据得到，再结合三角形相似可得到答案. 【详解】（1）因为、，所以. 设点的坐标为，，，则. 由，得，解得， 因为点在第一象限，所以，，则，解得. 故实数的取值范围是. （2）由得， 即，所以. 因为，所以， 又点恰为四边形对角线的交点， 所以，则， 又，所以. 13．已知向量，，，记函数，且函数的最小正周期为． (1)求函数的单调递增区间； (2)把函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若锐角满足，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由向量数量积坐标运算、二倍角公式及辅助角公式化简可得，根据周期可得，再由正弦型函数性质计算即可求解； （2）根据函数变换可得，进而可得，再由两角和的正弦公式计算即可求解. 【详解】（1）因为向量，， 所以 ． 因为函数的最小正周期为，所以，即， 所以， 解，，得，， 所以函数的单调递增区间为，， （2）把函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象， 再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 由题意，得， ， 因为，所以， 因为是锐角，所以， 所以， 所以． 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象、八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点为该正八边形的中心，设，下列结论中正确的个数是（    ）    ①； ②； ③在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）； ④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4. A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由图可知对于线段长和夹角的值，由向量的相关计算分别得出对于命题的结果，从而得出结论. 【详解】由题意可知：， ∴，故①不成立； ∵， ∴，故②成立； ∵在上的投影： ∴在上的投影向量为，成立；故③成立； 如图：    当点在线段上时，此时在上的投影最大， 在中，，∴ ∴ ，故④不正确. 故选：C. 2．(23-24高一下·河北沧州沧县中学等校·)十七世纪法国数学家､被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点被称为费马点.已知分别是的内角的对边，且，若为的费马点，则（    ） A．-1 B．-2 C．-3 D． 【答案】D 【分析】首先分析题意，根据两角和的三角函数公式进行化简，下一步依据三角函数的同角关系，余弦定理，结合向量数量积的定义进行求解即可. 【详解】因为， ， 所以， 即.因为，所以. 因为，所以. 由三角形内角和性质可知，的三个内角均小于，结合题设易知点一定在的内部. 由余弦定理可得3， 解得， 所以， 所以 . 故选：D. 二、多选题 3．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)中国古代杰出数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（S为三角形的面积，为三角形的三边）．现有满足，且的面积，则（   ） A．的最长边长为14 B．的三个内角满足 C．的三条高的和为 D．的中线的长为 【答案】ABD 【分析】由，得，则设，再结合面积公式及的面积可求出，从而可求出三边长，然后逐个分析判断即可. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 设，由的面积，得， 化简整理得，解得，则， 对于A，的最长边长为14，A正确； 对于B，由余弦定理得， 而，则，，B正确； 对于C，的三条高的和为，C错误； 对于D，由为的中线，得， ，D正确. 故选：ABD 三、解答题 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期中)如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． (1)若，求的模长； (2)若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； (3)若在仿射坐标系下，设，若对恒成立，求的范围及的最大值． 【答案】(1)； (2)不正确，证明见解析； (3)，的最大值为. 【分析】（1）应用向量数量积的运算律求向量的模即可； （2）由向量数量积的坐标表示及垂直关系，结合充分、必要性的定义判断证明； （3）根据题设得到对恒成立，再应用二次函数的性质得，再由向量的夹角公式得，即可得最值. 【详解】（1）因为，则，又， 则． （2）不正确，理由如下， 因为，则，又， 则， 若，则，则， 所以“”的充要条件是“”， 故“”的充要条件是“”是不正确的． （3）因为，则， ， ， ， 由，得， 所以， 即对恒成立， 又，所以，解得， 因为，所以满足题意， 所以 ， 又，所以，则的最大值为． 5．(24-25高一下·湖南长沙铁路第一中学·期中)已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． (1)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相反的单位向量； (2)记向量的相伴函数为，若且，求的值； (3)已知，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）结合相伴函数定义及反向定义求解； （2）先根据相伴函数定义再结合两角和差公式计算即可； （3）先设点的坐标，再应用函数求解计算可解． 【详解】（1）因为 故函数的相伴特征向量， 则与反向的单位向量为. （2）由题意知，向量的相伴函数为， 由题意， 且， 故 . （3）因为， 其相伴特征向量， 故，所以， 则， ， 设点， 又， 所以， 若，则， 即， 因为， 故， 又，故当且仅当时，成立， 故在的图象上存在一点，使得. 6．(25-26高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中)已知的三边分别为，，，面积为，，. (1)求； (2)若，点，是边上的两个动点，. （Ⅰ）当时，求面积的最小值； （Ⅱ）设，，则是否存在常数和，对于任意满足题意的，都有都成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，且， 【分析】（1）借助三角形面积公式与余弦定理计算即可得； （2）（Ⅰ）设，借助正弦定理与三角形面积公式可表示出，再结合三角恒等变换公式与的范围计算即可得；（Ⅱ）由题意可得为定值，则可借助三角恒等变换公式将等式变形成含有相关角的形式，再令含变量的系数为计算即可得解. 【详解】（1），则， 则； （2）（Ⅰ）由，则， 则， 又，则，，有， 故，， 不妨设更靠近，如下图，设，则， 则，， 在中，有，即， 在中，有，即， 则 ， 由，则，故， 故； （Ⅱ） ， 由 ， 则， 故可变形为： ， 即， 由，，，故， 则当为常数时，为定值，又为常数， 则需满足， 则， 即，又，故， 则， 故存在，且，，使得对于任意满足题意的，， 都有恒成立. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量及其应用（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平面向量的概念辨析 题型02 平面向量在几何图形中的线性运算 题型03 向量的共线与点的共线 题型04 平面向量的共线定理及其推论 题型05 平面向量的基底定理及求参数 题型06 求几何图形中的数量积 题型07 数量积的模长夹角计算 题型08 求投影或投影向量 题型09 数量积的坐标运算 题型10 平面向量的综合题型 题型11 正余弦定理求角度 题型12 正余弦定理求边长 题型13 正余弦定理判断三角形解的个数 题型14 正余弦定理判断三角形的形状 题型15 正余弦定理求周长或面积 题型16 正余弦定理的实际应用 题型17 正余弦定理求周长面积的最值与范围 题型18 正余弦定理求边长或角度的最值与范围 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面向量的概念及表示 1.能准确区分向量与数量，熟练掌握向量的两种表示方法；2.能精准判断零向量、单位向量、相等向量、共线向量，明确各概念的核心特征；3.能解决简单的概念辨析题，不混淆易混概念 命题趋势：以基础选择题、填空题为主，侧重概念辨析，难度偏低；易错点：混淆“共线向量（平行向量）”与“相等向量”，忽略零向量的特殊性（零向量与任意向量共线、零向量方向任意），单位向量的方向不唯一 平面向量的线性运算（加减、数乘） 1.能熟练运用两种加法法则、减法法则进行向量线性运算，准确画出运算后的向量；2.掌握向量数乘的运算性质，能进行简单的线性化简；3.能利用共线向量定理判断两个向量是否共线，求解相关参数（如已知与共线，求） 命题趋势：必考考点，选择题、填空题、解答题（第一问）均可能考查，侧重运算能力与共线向量定理的应用；易错点：向量减法方向判断错误（差向量指向被减向量），数乘运算中符号判断失误，共线向量定理应用时忽略零向量的特殊情况 平面向量的坐标表示及坐标运算 1.能根据向量的几何表示写出向量坐标，根据坐标画出向量；2.熟练掌握坐标形式下的加减、数乘运算，能快速准确计算；3.能利用向量共线的坐标表示判断向量共线、求解参数，解决简单的坐标运算问题 命题趋势：高频考点，与线性运算结合考查，多为选择题、填空题，偶尔结合解答题考查，难度中等；易错点：坐标运算时符号错误，共线坐标公式记忆混淆（误写为），忽略坐标与向量的对应关系 平面向量的数量积（核心重点） 1.理解数量积的定义与几何意义，能区分数量积与向量线性运算（向量）的区别；2.熟练掌握数量积的运算性质与坐标运算，能进行模长、夹角的计算；3.能利用数量积判断两向量的垂直关系（），解决与夹角、模长相关的问题 命题趋势：重中之重，必考考点，解答题核心考查内容，选择题、填空题也会涉及，难度中等偏上；易错点：混淆数量积与向量模长的运算，夹角公式中忽略夹角范围（），垂直关系判断时忽略零向量，坐标运算时计算失误 平面向量在几何中的应用 1.能将几何图形中的边、角转化为向量，利用向量知识表示几何关系；2.能运用向量运算证明平行、垂直，求解线段长度、夹角；3.能解决三角形、平行四边形中的简单向量应用题，实现几何问题与向量问题的转化 命题趋势：常考考点，多以解答题形式考查（结合数量积），难度中等；易错点：几何图形与向量的转化不熟练，不会用向量表示几何关系，忽略几何图形中的隐含条件（如三角形内角和、边长关系） 平面向量在物理中的简单应用（次要考点） 1.能区分物理量中的向量与数量，用向量表示位移、力、速度；2.能运用向量线性运算求解合力、合速度，理解物理意义；3.能解决简单的物理平衡问题，实现向量知识与物理知识的结合 命题趋势：次要考点，偶尔以选择题、填空题形式考查，难度偏低；易错点：混淆物理量的方向（如力的方向、速度方向），不会将物理问题转化为向量问题，忽略物理量的单位 正余弦定理（期中常考） 1.熟记正余弦定理及核心变形公式，理解公式中各量的几何意义；2.能熟练运用正弦定理求三角形的边长、内角，判断三角形解的个数；3.能运用余弦定理求边长、内角、判断三角形形状，结合平面向量数量积解决三角形中的夹角、边长问题；4.能区分正余弦定理的适用场景，灵活选择公式解题 命题趋势：高频考点，多以解答题形式考查（结合平面向量数量积、三角形几何性质），偶尔出选择题、填空题，，难度中等；易错点：正弦定理应用时忽略三角形解的个数判断（如已知两边及其中一边的对角），余弦定理公式记忆错误、计算失误，忽略三角形内角和为，不会结合平面向量知识解决三角形问题 知识点01 平面向量的概念及表示 一、基础知识与核心概念 向量：既有大小又有方向的量区别于只有大小没有方向的数量如长度、质量 向量的表示方法 几何表示：用有向线段表示有向线段的长度表示向量的大小（模）箭头方向表示向量的方向记为起点为A终点为B 字母表示：用小写字母加箭头表示如、也可省略箭头记为a、b期中考查中多带箭头规范书写 核心特殊向量 零向量：长度为0的向量记为方向任意模 单位向量：长度为1的向量方向可任意若为非零向量则与同向的单位向量为 相等向量：长度相等且方向相同的向量记为与起点无关只看大小和方向 共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量记为零向量与任意向量共线（平行） 二、公式与法则 向量的模：向量的大小记为或零向量的模为0单位向量的模为1 三、解题技巧方法 概念辨析题：抓住各概念的核心特征逐一判断——零向量看“长度为0”单位向量看“长度为1”相等向量看“大小+方向”共线向量看“方向（相同/相反）” 判断共线/相等向量：先看模长相等向量模长必相等共线向量模长可不等再看方向共线向量方向相同/相反相等向量方向必相同 四、易错点（重点规避） 混淆“共线向量”与“相等向量”：共线向量只需方向相同/相反与模长无关相等向量必须模长相等且方向相同二者无必然联系 忽略零向量的特殊性：误将零向量当作有固定方向的向量或忘记“零向量与任意向量共线”导致判断失误 误解单位向量：认为单位向量方向唯一实则单位向量有无数个只要长度为1方向可任意 书写不规范：省略向量箭头或将有向线段的起点、终点写反如与是相反向量不是相等向量 知识点02 平面向量的线性运算（加减、数乘） 一、基础知识与核心概念 向量加法：求两个向量和的运算结果仍为向量（和向量） 向量减法：求两个向量差的运算是加法的逆运算结果仍为向量（差向量） 向量数乘：实数与向量的积记为结果仍为向量反映向量的伸缩与方向变化 共线向量定理：非零向量与共线（平行）的充要条件是存在唯一实数使得 二、公式与法则 向量加法法则 三角形法则：将第二个向量的起点与第一个向量的终点重合从第一个向量的起点指向第二个向量的终点即为和向量 平行四边形法则：以两个向量为邻边作平行四边形从公共起点出发的对角线即为和向量O为公共起点C为平行四边形对角顶点 向量减法法则（三角形法则）：将两个向量的起点重合差向量的起点为减向量的终点终点为被减向量的终点核心：差向量指向被减向量 向量数乘运算性质（、为实数） （结合律） （分配律） （分配律） 模长关系： 方向关系：时与同向时与反向时 三、解题技巧方法 向量加减运算：优先用三角形法则复杂图形可先将向量转化为“首尾相连”的形式再进行加减如 数乘化简：利用运算性质去括号、合并同类项将复杂线性表达式化为最简形式如 共线向量定理应用：已知与共线求参数可设结合向量表达式列方程求解注意先判断不为零向量避免零向量导致参数不唯一 四、易错点（重点规避） 向量减法方向错误：误将差向量指向减向量牢记“差向量指向被减向量”如的方向从的终点指向的终点 数乘运算符号失误：忽略的正负对向量方向的影响或计算时符号出错如易漏乘负号 共线向量定理应用忽略零向量：当时无论取何值此时若为零向量共线但参数不唯一解题时需先说明为非零向量 平行四边形法则适用错误：平行四边形法则仅适用于“两个向量有公共起点”的情况无公共起点需先平移向量 知识点03 平面向量的坐标表示及坐标运算 一、基础知识与核心概念 平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中设向量的起点O为原点终点A的坐标为则其中x为向量的横坐标y为向量的纵坐标 坐标与向量的对应关系：一个向量的坐标唯一确定一个坐标对应唯一的向量与起点无关只看终点坐标相对于原点的位置 向量坐标的几何意义：向量的模长为方向由横坐标、纵坐标共同决定与x轴正方向的夹角可通过坐标计算 二、公式与法则 向量坐标运算（设为实数） 加法：横坐标相加纵坐标相加 减法：横坐标相减纵坐标相减 数乘：横坐标、纵坐标分别乘 向量共线的坐标表示：（、为非零向量）的充要条件是 向量坐标与有向线段的关系：若、则终点坐标减起点坐标 三、解题技巧方法 求向量坐标：若已知起点和终点坐标直接用“终点坐标-起点坐标”若已知向量的几何表示先确定终点相对于原点的坐标再写出向量坐标 坐标运算：遵循“横横相加/减、纵纵相加/减”的原则数乘运算需将实数乘到每个坐标上计算时注意符号 共线坐标应用：已知两向量共线求参数直接代入列方程求解后验证避免两向量均为零向量的情况 四、易错点（重点规避） 坐标运算符号错误：减法运算时误将“起点坐标-终点坐标”当作向量坐标牢记 共线坐标公式记忆混淆：误将记为导致判断共线时出错 忽略坐标与向量的对应关系：认为“向量坐标与起点坐标有关”实则向量坐标只与终点相对于原点的位置有关与起点无关 数乘运算失误：将实数只乘到横坐标或只乘到纵坐标上如误写为 知识点04 平面向量的数量积（核心重点） 一、基础知识与核心概念 数量积的定义：已知两个非零向量与它们的夹角为（）则与的数量积（点积）为结果为实数区别于向量线性运算的结果的向量 数量积的几何意义：等于与在方向上的投影（）的乘积或与在方向上的投影（）的乘积 向量夹角：两个非零向量与将它们的起点重合所形成的角（范围）记为若与同向夹角为0反向夹角为垂直夹角为 向量垂直的充要条件：非零向量的充要条件是 二、公式与法则 数量积运算性质（、、为向量为实数） 交换律： 数乘结合律： 分配律： 自身数量积：核心变形： 零向量性质：结果为实数0不是零向量 数量积的坐标运算（设）： 向量模长公式（坐标形式）：由推导 向量夹角公式（坐标形式）：（） 向量垂直的坐标表示： 三、解题技巧方法 数量积求值：若已知向量模长和夹角直接用定义式若已知向量坐标用坐标公式优先用坐标运算更简便 模长计算：核心用若已知坐标直接代入若已知其他向量的模长和数量积通过变形如求解 夹角计算：先求、、再代入夹角公式最后根据的值确定夹角注意 垂直问题：若判断垂直直接验证或坐标形式若已知垂直求参数列方程求解即可 四、易错点（重点规避） 混淆数量积与向量模长：误将数量积（实数）当作向量或混淆与忽略的影响 夹角范围忽略：计算夹角时忘记导致由的值求时出错如夹角应为而非 垂直关系判断忽略零向量：若则但此时与不一定垂直零向量与任意向量数量积为0解题时需说明“非零向量” 坐标运算失误：计算时符号出错或计算错误模长计算时忘记开平方如遗漏根号 分配律应用错误：误将写成忽略数量积的分配律是“向量与向量相乘结果相加” 知识点05 平面向量在几何中的应用 一、基础知识与核心概念 向量与几何的联系：平面几何中的边、角、平行、垂直、长度、夹角等关系均可通过向量表示和运算来解决核心是“将几何关系转化为向量关系” 常见应用场景：三角形、平行四边形、矩形、菱形等简单平面图形涉及边的平行、垂直线段长度角的大小等问题 二、公式与法则 平行关系：向量（共线）对应几何中“两直线平行”需说明两直线不重合 垂直关系：向量（）对应几何中“两直线垂直” 线段长度：几何中线段AB的长度对应向量的模长 角的大小：几何中两线段的夹角对应两个向量的夹角需将向量起点重合 三、解题技巧方法 几何问题向量化：第一步建立平面直角坐标系或不建系用向量字母表示将几何图形中的边转化为向量如三角形ABC中、表示两边第二步将几何关系（平行、垂直、长度、夹角）转化为向量关系（共线、垂直、模长、数量积）第三步通过向量运算求解再将结果转化为几何结论 证明平行：转化为证明两个向量共线（非零向量）用共线向量定理或坐标表示（） 证明垂直：转化为证明两个向量的数量积为0用数量积定义或坐标表示（） 求线段长度：转化为求对应向量的模长用模长公式计算 求角的大小：转化为求两个向量的夹角用夹角公式计算注意结合几何图形判断夹角范围 四、易错点（重点规避） 几何与向量转化不熟练：不会将几何中的边、角转化为向量或转化时向量方向错误如将“BC边”误表示为 忽略几何图形的隐含条件：如三角形内角和为、平行四边形对边相等且平行等导致向量转化后求解出错 共线与平行混淆：向量共线对应几何中“两直线平行或重合”证明两直线平行时需额外说明“两向量不共线且两直线不重合” 向量夹角与几何夹角混淆：几何中两线段的夹角可能是向量夹角的补角如三角形中内角与向量夹角的关系需结合图形判断 知识点06 平面向量在物理中的简单应用（次要考点） 一、基础知识与核心概念 向量在物理中的对应：物理中位移、力、速度、加速度等物理量均为向量既有大小又有方向路程、速率、质量等为数量只有大小 常见应用场景：位移的合成与分解、力的合成与分解、速度的合成与分解、简单的物理平衡问题 二、公式与法则 位移合成：多个位移的合位移用向量加法（三角形法则、平行四边形法则）求解 力的合成：多个力的合力用向量加法求解合力的大小和方向由和向量决定 力的平衡：物体处于平衡状态时所有力的合力为零向量 速度合成：合速度等于各分速度的向量和用向量加法求解 三、解题技巧方法 物理问题向量化：第一步将物理量（位移、力、速度）转化为向量明确各向量的大小和方向第二步根据物理问题的要求用向量加法、减法、数乘运算求解合向量（合力、合位移、合速度）第三步将向量结果转化为物理结论如合力的大小、方向位移的大小、方向 力的平衡问题：将所有力转化为向量根据“合力为零向量”列方程求解未知力的大小和方向 合成与分解：优先用平行四边形法则（两个分向量有公共起点）复杂问题用三角形法则注意分向量与合向量的方向关系 四、易错点（重点规避） 混淆物理量的向量与数量：误将路程（数量）当作位移（向量）或速率（数量）当作速度（向量）忽略方向的影响 力、速度的方向判断错误：如斜面上的重力分解误将分力方向画错导致向量表示错误进而求解出错 不会将物理问题转化为向量问题：无法将实际物理场景中的力、位移等转化为向量进行运算思路不清晰 忽略物理量的单位：向量运算时只关注大小和方向忘记标注物理单位如力的单位N、位移的单位m导致结论不完整 知识点07 正余弦定理（期中常考） 一、基础知识与核心概念 正余弦定理：描述三角形中边长与内角的关系是平面向量数量积在三角形中的延伸应用核心用于“解三角形”求边长、角度、判断三角形形状 解三角形：已知三角形的部分边和角求其余的边和角或判断三角形的形状 三角形外接圆：三角形三个顶点确定的圆半径记为R正弦定理中涉及的R即为三角形外接圆半径 二、公式与法则 正弦定理 核心公式：（R为三角形外接圆半径） 核心变形 边长转化为角： 角转化为边长： 边长比例关系： 余弦定理 核心公式（求边长）： 核心变形（求角）： 三角形解的个数判断（正弦定理应用）：已知两边及其中一边的对角（如a、b、A）判断三角形解的个数 当为锐角时：无解一解两解一解 当为直角或钝角时：无解一解 三角形形状判断（结合正余弦定理） 锐角三角形：三个角均为锐角（、、） 直角三角形：有一个角为直角（如对应） 钝角三角形：有一个角为钝角（如对应为钝角） 三、解题技巧方法 解三角形的核心思路：先判断已知条件类型（已知两角一边、两边及夹角、两边及其中一边的对角、三边）再选择对应公式 已知两角一边：用正弦定理先求第三角再求另外两边 已知两边及夹角：用余弦定理先求第三边再用正弦定理求其余两角 已知两边及其中一边的对角：用正弦定理先求另一角注意判断解的个数也可用余弦定理列方程求解 已知三边：用余弦定理先求三个角 结合平面向量：若题目中涉及三角形中的向量数量积先将向量转化为边长和夹角（如）再结合正余弦定理求解 判断三角形形状：优先用余弦定理（通过边长关系判断角的类型）也可用正弦定理（通过角的关系判断边长关系）避免只看一个角导致判断失误 四、易错点（重点规避） 正弦定理应用忽略解的个数：已知两边及其中一边的对角时未判断解的个数导致多解或漏解如已知a=3、b=4、A=30°易忽略两解情况 余弦定理公式记忆错误：误将记为符号错误导致计算失误 忽略三角形内角和为：求角时忘记三个角的和为导致计算出的角之和不等于未及时检查纠错 不会结合平面向量：遇到三角形中的向量数量积问题无法将向量转化为边长和夹角衔接正余弦定理求解 角度计算错误：用余弦定理求出后误将角度算成锐角如误算为实际为 题型一 平面向量的概念辨析 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1区分向量与数量向量必须同时具备大小和方向 2相等向量判定 且方向相同 3共线向量判定 方向相同或相反与模长无关 4特殊向量结论 模为0方向任意与任意向量共线 单位向量方向不唯一 考场技巧 绝对化词语优先举反例 易错点共线不一定相等相等一定共线 【典例1】（24-25高一下·江苏无锡·月考）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（   ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 【变式2】（24-25高一下·上海长宁·期中）下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．若，是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则，不是共线向量 D．若，，则 【变式3】（24-25高一下·山东聊城·期中）下列说法正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若，则 D．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量 题型二 平面向量在几何图形中的线性运算 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1统一向量起点优先从同一顶点出发 2运用三角形法则 3中点直接用结论 4去括号合并同类向量注意符号 考场技巧 复杂图形拆成首尾相连再相加 易错点差向量指向被减向量 【典例1】（24-25高三上·天津武清·月考），点P在边AB上，，设，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025·四川资阳·一模）如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·广东深圳·开学考试）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记，则＝（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一下·内蒙古·期末）在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 题型三 向量的共线与点的共线 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1构造共起点向量 与 2证明 3有公共点A即得A BC三点共线 坐标形式 考场技巧 点共线=向量共线+公共点 易错点只证共线忘公共点 【典例1】（24-25高一下·北京通州·期中）已知平面向量，是不共线的两个向量，，，，则（   ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 【变式1】（24-25高一下·四川绵阳·期中）设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 【变式2】【多选题】（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量不共线，若，，且三点共线，则关于实数的值可以是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三上·湖北黄冈·期中）设向量、不共线，若向量与向量平行，则实数的值为_____. 题型四 平面向量的共线定理及其推论 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1由共线定理设 2代入表达式左右对应系数相等 3解方程组得参数 常用推论 若且A BC共线 则 【典例1】（24-25高一下·内蒙古乌海·期中）如图所示，在△OAB中，，，M，N分别是OA，OB上的点，且，.设AN与BM交于点P，用向量表示=_____ 【变式1】（24-25高一下·上海·期中）在△中，过中线的中点作一条直线分别交、于、两点，若，，则的最小值为__． 【变式2】【多选题】（24-25高二下·贵州·期中）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是8 【变式3】（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，为中点，，设与交于点，则_____． 题型五 平面向量的基底定理及求参数 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1确认与不共线可作为基底 2全部向量统一表示为 3等式两边系数分别相等 4解二元一次方程组 考场技巧 几何题优先选共点不共线两边作基底 易错点系数对应错误符号写错 【典例1】（25-26高三上·福建厦门·期中）如图，为等边的重心，为边上靠近的四等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三上·江西南昌·期中）在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式2】（25-26高三上·江西·期中）在中，是的中点，.若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·河北石家庄·期中）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型六 求几何图形中的数量积 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1确定与夹角 2代入定义 3几何中平移向量使起点重合再定夹角 4利用分配律 考场技巧 垂直直接得数量积为0 易错点内角与向量夹角混淆可能互补 【典例1】（25-26高三上·河北衡水·期中）如图，在中，且点满足，，则___________．    【变式1】（25-26高三上·山东菏泽·期中）中，，，，，则________（用，表示），若，，则________. 【变式2】（25-26高三上·江苏南通·期中）在边长为的等边三角形中，，则________. 【变式3】（25-26高三上·天津·期中）在中，已知，，点为三角形的外心，则_____. 题型七 数量积的模长夹角计算 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1模长先平方展开 2代入计算 3夹角公式 4由正负判断锐钝角 考场技巧 模长问题一律先平方再开方 易错点忘记开方夹角超出 【典例1】（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知向量，满足，，的夹角是，则与的夹角是_____． 【变式1】（25-26高三上·湖南·期中）已知向量满足，且，则_______ 【变式2】（25-26高三上·江苏南京·期中）已知为单位向量，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三上·河北·期中）已知平面向量均为单位向量，若，则（   ） A． B． C． D．5 题型八 求投影或投影向量 解｜题｜技｜巧 解题步骤 投影（实数） 1 投影向量（向量） 2 考场技巧 看清问投影还是投影向量 易错点求向量时漏乘 【典例1】（25-26高三上·天津·期中）已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（   ） A．3 B． C．2 D． 【变式1】（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）向量为满足：在方向上的投影向量为，则（   ） A． B． C．2 D．4 【变式3】（25-26高二上·云南红河·期中）若非零向量满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型九 数量积的坐标运算 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1设 2数量积 3模长 4垂直 5共线 考场技巧 坐标运算最不易错优先建系 易错点垂直与共线公式记混 【典例1】（25-26高三上·河北衡水·期中）正方形的边长为是的中点，是边上靠近的三等分点，则的值为___________． 【变式1】（25-26高三上·广东汕头·期中）已知向量，，函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，且，求的值. 【变式2】（25-26高三上·江苏南京·期中）已知为等腰直角三角形，为直角，直角边长为，点在三角形所在平面上，向量为单位向量，点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·北京延庆·期中）已知是边长为的等边三角形，为平面内的一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型十 平面向量综合题型 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1能建系则全部坐标化 2几何条件翻译 平行→共线垂直→数量积为0长度→模 3列方程或方程组求参数 4检验参数合理性 考场技巧 综合题优先坐标法降低思维难度 【典例1】【多选题】（25-26高一上·河北保定·期中）在中，是的中点，是线段上的点，过作一直线分别与交于点，设，其中，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是等边三角形 C．若，则 D．若，则的最小值为 【变式1】【多选题】（25-26高三上·辽宁营口·期中）在等腰梯形中，，是边的中点，与交于点．设，则（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【变式2】【多选题】（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）某公益组织一直关注青少年的成长，该组织的会标设计灵感便来源于“成长”一词的拼音首字母，该会标的大致轮廓为如图所示的一个以为圆心、为直径的半圆，和一段形折线组成， 其中. 现有两动点在圆弧和线段(包含端点)上运动， 则下列说法正确的有（    ） A．的最大值为 B．若，则的取值范围是 C．最大值为 2 D．若，则在上的投影向量模长的取值范围是. 【变式3】【多选题】（25-26高三上·重庆南岸·期中）在中，，，，点D，E分别是边和的中点，且，交于点O.设向量，，则（   ） A． B． C．向量在向量方向上的投影向量为 D． 题型十一 正余弦定理求角度 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1已知三边或两边夹角用余弦定理 2已知两边一对角用正弦定理 3求角优先余弦定理避免多解 4角范围注意钝角判断 考场技巧 求角首选余弦符号直接定锐钝 【典例1】（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期中）在中，，， ，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·山东聊城·期中）记内角、、的对边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D．或 【变式3】（25-26高三上·安徽·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型十二 正余弦定理求边长 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1已知两角一边用正弦定理 2已知两边夹角用余弦定理 3统一表达式后计算 考场技巧 求边优先看是否有夹角有夹角直接余弦 【典例1】（25-26高三上·贵州贵阳·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．3 B． C．4 D．5 【变式1】（25-26高三上·江苏南京·期中）在中，的角平分线交于，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为，若，则边的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式3】（25-26高二上·浙江·期中）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，.则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型十三 正余弦定理判断三角形解的个数 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1若为锐角 无解 一解 两解 一解 2若为直角或钝角 无解 一解 【典例1】（24-25高一下·河南·期中）在中，内角所对的边分别为，已知（为常数），若该三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·山东泰安·期中）的内角的对边分别是，若，则当有两解时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·安徽合肥·月考）在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一下·江苏镇江·期中）在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型十四 正余弦定理判断三角形形状 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1统一成边或统一成角 2边用余弦定理 3角用正弦定理 或 考场技巧 看到平方关系优先余弦定理 【典例1】（24-25高一下·天津南开·期中）在中，下列命题不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则一定为等腰三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若，，，则有两解 【变式1】（24-25高一下·北京朝阳·期中）在，若，且，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【变式2】（25-26高三上·山东淄博·期中）已知角，，是的三个内角，下列命题正确的个数是（    ） ①若，则一定是等腰三角形 ②若，则 ③若是锐角三角形，则 ④若，则一定是锐角三角形 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（24-25高一下·江苏·月考）在中，内角、、的对边分别为、、，已知，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 题型十五 正余弦定理求周长或面积 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1面积公式 2周长先求各边再相加 3已知一角一对边用正弦定理表示其余边 4代入计算 考场技巧 有夹角优先面积正弦公式 【典例1】（23-24高一下·福建厦门·期中）已知的内角 的对边分别为 ， 且， 若， 则 的面积为 （ ） A． B． C． D．2 【变式1】（25-26高二上·广东深圳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，， ，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·山东临沂·期中）已知的内角，，满足，其外接圆半径为2，则的面积为（    ） A．3 B． C．4 D． 【变式3】（24-25高一下·重庆南岸·期中）外接圆半径为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 题型十六 正余弦定理的实际应用 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1画示意图标出已知边角 2抽象为解三角形模型 3选择正弦或余弦定理 4计算并还原实际意义 考场技巧 统一长度单位注意仰角俯角 【典例1】（25-26高一上·四川绵阳·期中）某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 【变式1】（25-26高三上·河北衡水·开学考试）如图，两座山峰的高分别为，，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为30°，N点的仰角为60°，且，则两座山峰峰顶之间的距离（   ） A．200m B． C．400m D．600m 【变式2】（24-25高一下·山东淄博·期中）一艘海轮从处出发，以每小时50海里的速度沿南偏东的方向直线航行，2小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔．其方向是北偏东，那么两点间的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【变式3】（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 题型十七 正余弦定理求周长面积最值与范围 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1用正弦定理边化角 2面积 结合基本不等式 3周长 用 4限制角范围 考场技巧 一角对边固定常用均值不等式 【典例1】（25-26高三上·江苏镇江·期中）已知的面积记为.请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题. ①；②；③ 内角，，的对边分别为，，，已知__________. (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【变式1】（2025·陕西榆林·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)求周长的取值范围． 【变式2】（25-26高三上·江西南昌·期中）如图，在平面四边形ABCD中，．    (1)若，求四边形的面积； (2)求四边形面积的最大值． 【变式3】（25-26高三上·山东烟台·开学考试）满足： (1)求角的大小； (2)为的中点，且，求的最大值 (3)若为外一点，，求四边形面积的最大值 题型十八 正余弦定理求边长或角度最值与范围 解｜题｜技｜巧 解题步骤 1边最值余弦定理+基本不等式 2角最值用单调性 3已知一边一对角正弦定理转化为角范围 4保证三角均为正角 考场技巧 角越大余弦越小范围必受内角和限制 【典例1】（25-26高三上·江苏南京·期中）已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，且，求的最小值. 【变式1】（25-26高三上·江西抚州·期中）在中，内角对应的边分别是，且. (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，，求的范围. 【变式2】（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知的内角，，的对边分别为，，且. (1)求； (2)若，，求的最小值. 【变式3】（25-26高二上·云南怒江·期中）已知函数，将图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像. (1)求的单调递增区间； (2)求在上的值域； (3)若锐角三角形的内角，，所对的边分别为，，，且，，求的取值范围. 期中基础通关练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．(24-25高一下·浙江台金七校联盟·期中)在中，，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·江苏苏州·期中)在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·贵州毕节金沙县第一中学·期中)在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（   ） A． B．2 C．4 D． 4．(25-26高三上·广东仲元中学·期中)在平面内，三个非零向量，，两两的夹角相等，且，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．(25-26高三上·安徽淮北实验高级中学·期中)已知向量满足则（ ） A． B． C．1 D． 6．单位向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一下·天津第二南开学校·期中)若非零向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B．为锐角三角形 C．的面积为 D．外接圆的面积为 9．(25-26高三上·江西南昌中学三经路校区·期中)已知，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若向量与向量的夹角为钝角，则 D．的最小值为4 三、填空题 10．(24-25高一下·广东东莞第十一中学·)如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为__________h. 四、解答题 11．(25-26高二上·湖北云学联盟·期中)在中，所对的边为，已知 (1)求角的大小． (2)若的面积为且，求的周长． 12．(25-26高三上·山东济宁·期中)已知向量是单位向量，，与同向. (1)求向量； (2)若向量，，求在上的投影向量. 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．(25-26高三上·河北沧衡名校联盟·期中)某智能物流车的“实际配送向量”“规划路线向量”“交通拥堵修正向量”满足关系式：.已知条件如下：实际配送向量，交通拥堵修正向量与向量垂直，.配送效率等级通过“规划路线向量的模（单位：）”判定，标准如下表（一般情况下，认定“停滞”属于无效配送）： 配送效率等级 超高效 高效 常规 低效 停滞 模的范围 若此次配送为有效配送，则此次配送的效率等级为（    ） A．超高效 B．高效 C．常规 D．低效 2．(25-26高三上·江苏无锡·期中)在四边形中，，，．若四边形的面积为，则实数的值为（    ）． A．3 B． C． D． 3．(24-25高二上·云南昆明·期中)已知菱形ABCD的边长为，若点是BC的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·海南·)已知是空间中的三个单位向量，若 ，则 的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．(25-26高三上·吉林长春第八中学·月考)已知分别为内角的对边，下面四个结论不正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．在钝角中，为锐角，则不等式恒成立 C．若，的平分线交于点，，则的最小值为 D．若，，且有两解，则的取值范围是 6．(25-26高二上·云南昆明第八中学·期中)在中，对应的边分别为，下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则为等腰三角形或直角三角形 C．若，则为锐角三角形 D．在锐角三角形中，不等式恒成立 三、填空题 7．(25-26高三上·安徽A10联盟·期中)如图，在梯形中，，，连接交于点，则______． 8．(25-26高三上·山西太原·期中)八卦是中国文化的重要哲学概念．如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，点是其中心，且，则_____________． 四、解答题 9．(25-26高三上·山东济宁兖州区·期中)记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，，且， (1)求B； (2)若的面积为，求． 10．(25-26高三上·山东威海文登区·期中)在中，内角的对边分别为，且的面积为． (1)若是的角平分线，，求的周长； (2)若，求的最小值． 11．(25-26高三上·湖南部分学校·期中)在中，点在边上，且，. (1)若，求的值. (2)设平分. ①求； ②求的面积. 12．(25-26高三上·福建福州第一中学·期中)已知四边形的顶点坐标为、、，且. (1)若点在第一象限，求实数的取值范围； (2)若点为直线外一点，为四边形对角线的交点，，求实数的值. 13．已知向量，，，记函数，且函数的最小正周期为． (1)求函数的单调递增区间； (2)把函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若锐角满足，求的值． 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象、八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点为该正八边形的中心，设，下列结论中正确的个数是（    ）    ①； ②； ③在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）； ④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4. A．4 B．3 C．2 D．1 2．(23-24高一下·河北沧州沧县中学等校·)十七世纪法国数学家､被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点被称为费马点.已知分别是的内角的对边，且，若为的费马点，则（    ） A．-1 B．-2 C．-3 D． 二、多选题 3．(24-25高一下·江苏沭阳如东中学·期中)中国古代杰出数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即（S为三角形的面积，为三角形的三边）．现有满足，且的面积，则（   ） A．的最长边长为14 B．的三个内角满足 C．的三条高的和为 D．的中线的长为 三、解答题 4．(24-25高一下·黑龙江哈尔滨第四中学校·期中)如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． (1)若，求的模长； (2)若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； (3)若在仿射坐标系下，设，若对恒成立，求的范围及的最大值． 5．(24-25高一下·湖南长沙铁路第一中学·期中)已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． (1)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相反的单位向量； (2)记向量的相伴函数为，若且，求的值； (3)已知，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 6．(25-26高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中)已知的三边分别为，，，面积为，，. (1)求； (2)若，点，是边上的两个动点，. （Ⅰ）当时，求面积的最小值； （Ⅱ）设，，则是否存在常数和，对于任意满足题意的，都有都成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $