1.5向量的数量积练习-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

第一章平面向量及其应用 考查范围：1.5向量的数量积 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题：本题共8小题，每小题6分，共48分. 1.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则( ) A.1 B. C. D.2 2.在中，，，则向量与的夹角是( ) A. B. C. D. 3.已知向量a，b满足，，，则( ) A. B. C.1 D.2 4.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.如图，正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD四条边上的一个动点，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.在中，，，N是边BC上的点，且，O为的外心，则( ) A.3 B. C. D. 7.对于任意三个空间向量a，b，c，下列说法正确的是( ) A.若且，则 B. C.若，且，则 D. 8.下列命题正确的是( ) A.若，，且，则 B.若，，则a，b不共线 C.若，是平面内不共线的向量，且存在实数y使得，则A，B，C三点共线 D.若，，则b在a上的投影向量为 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分. 9.已知平面向量，，且，则( ) A. B. C. D. 10.下列说法正确的有( ) A.若，，则 B.向量与a垂直 C.若（且），则 D.若，则a方向上的单位向量是 三、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分. 11.已知单位向量a，b的夹角为，与a垂直，则_________. 12.若，，其中，则最大时，__________. 13.在中，，且，则边AB的长为__________. 14.在中，，，E，F分别为边AB，AC的中点，且，则角A的大小是__________. 四、解答题：本题共1小题，共16分. 15.已知，，a与b的夹角为，计算下列各式： （1）； （2）. 参考答案 1.答案：A 解析：由，得.因为C为半圆上的点，所以，所以.故选A. 2.答案：C 解析：如图，作向量，则是与的夹角.在中，因为，，所以，所以.故选C. 3.答案：C 解析：，又，，，，.故选C. 4.答案：A 解析：由题意知，的模为2，根据正六边形的特征，可得在上的投影向量的模的取值范围是，结合向量数量积的定义，可知等于的模与在上的投影向量的模的乘积，所以的取值范围是.故选A. 5.答案：D 解析：如图，以点D为坐标原点，DC，DA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，. 当点P在CD上时，设，则，，所以；当点P在BC上时，设，则，，所以；当点P在AB上时，设，则，，所以；当点P在AD上时，设，则，，所以.综上可知，的取值范围是.故选D. 6.答案：B 解析：如图，因为，所以N是BC的中点，所以.设外接圆的半径为r，则.故选B. 7.答案：B 解析：若，则由且，不能得出，A错误； 由数量积运算的分配律知，B正确； 若，则，当时，等式成立，当时，等式也成立，C错误； 是与c平行的向量，是与a平行的向量，它们一般不相等，D错误.故选B. 8.答案：C 解析：由，，得，即，则，所以A错误；若，，则满足，但此时a，b共线，所以B错误；由，可得，即，故A，B，C三点共线，所以C正确；若，，b在a上的投影向量为，所以D错误.故选C. 9.答案：ABD 解析：由题意，得，.因为，所以，解得，C错误.易得，所以，D正确.，A正确.因为，所以，B正确.故选ABD. 10.答案：BD 解析：向量不可以比较大小，所以A错误；因为，所以向量与a垂直，所以B正确；若（且），则或，所以C错误；若，则a方向上的单位向量是，所以D正确.故选BD. 11.答案： 解析：由题意得，由非零向量垂直的充分必要条件可得，即，解得. 12.答案： 解析：由题意，得，而，所以，故当时，有最大值. 13.答案：1 解析：因为在中，，且，所以，所以，即边AB的长为1. 14.答案： 解析：如图， ，.，. 15.答案：（1）20 （2）84 解析：（1）因为，， 所以. （2）因为，，a与b的夹角为， 所以， 所以. $