专题02 复数9考点（期中真题汇编，北京专用）高一数学下学期人教A版

专题02复数 9大高频考点概览 考点01 复数的四则运算 考点02 共轭复数 考点03 复数的模长 考点04 复数的相等求参数 考点05 已知复数类型求参数 考点06 复数与点坐标 考点07 复数的实部虚部问题 考点08 复数方程问题 考点09 复数与轨迹方程 地 城 考点01 复数的四则运算 1．(23-24高一下·北京第二十二中学·期中)已知复数，那么__________. 【答案】 【分析】根据题意结合复数的乘法运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 2．(22-23高一下·北京海淀区·期末)在复平面内，复数对应的点的坐标是，则__________． 【答案】 【分析】先求出，再根据复数的除法运算求解即可. 【详解】因为复数对应的点的坐标是， 所以， 则， 故答案为： 3．(22-23高一下·北京顺义区·期中)若实数b满足，则______. 【答案】 【分析】根据复数的乘法运算化简，根据复数相等即可求解. 【详解】, 所以，即. 故答案为:. 4．(22-23高一下·北京大兴区·期中)复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘法法，准确计算，即可求解. 【详解】由复数的运算法则，可得. 故选：D. 5．(24-25高一下·北京广渠门中学·期中)复数（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用复数乘方运算求解即得. 【详解】复数. 故选：D 地 城 考点02 共轭复数 1．(24-25高一下·北京广渠门中学·期中)复数的虚部是________，共轭复数是________． 【答案】 / 【分析】利用复数除法求出复数，再求其虚部及共轭复数. 【详解】复数，其虚部为，共轭复数为. 故答案为：； 2．(24-25高一下·北京汇文中学教育集团·期中)已知是虚数单位，复数的共轭复数为，则复数的模长__________. 【答案】 【分析】利用复数除法求出，再利用共轭复数及复数模的意义求解. 【详解】依题意，，则， 所以. 故答案为： 3．(24-25高一下·北京平谷区第五中学·期中)在复平面内，复数z对应的点为，则z的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义可得，即可得共轭复数. 【详解】因为复数z对应的点为，则， 所以z的共轭复数. 故选：A. 4．(24-25高一下·北京大兴区·期中)已知复数，则______. 【答案】3 【分析】由复数的除法结合共轭复数的定义计算可得. 【详解】，所以， 所以. 故答案为：3 5．(24-25高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)设复数，则z的共轭复数________；z的模________． 【答案】 2 【分析】根据共轭复数的概念及复数模的定义求解. 【详解】由可知，， ， 故答案为：；2 地 城 考点03 复数的模长 1．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)若复数，其中为虚数单位，则__________. 【答案】 【分析】由复数除法的几何意义及模长的求法求. 【详解】由. 故答案为： 2．(24-25高一下·北京平谷区第五中学·期中)已知复数，则______． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算可得，即可得模长. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 3．(24-25高一下·北京第二中学朝阳学校·期中)若复数满足：，其中为虚数单位，则___________． 【答案】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其模. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为： 4．(24-25高一下·北京顺义区杨镇第一中学·期中)复数，则（   ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】由复数的模长计算可得. 【详解】由题意可得. 故选：B. 5．(24-25高一下·北京大兴区·期中)已知复数在复平面内对应的点为，则（   ） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【分析】由复平面内几何表示及其模长的计算可得. 【详解】由题意可得实部为，虚部为1，所以. 故选：D 地 城 考点04 复数的相等求参数 1．(23-24高一下·北京第八十中学·期中)定义运算，则符合条件的复数_______． 【答案】 【分析】由定义建立等量关系，设，代入由复数相等计算求解即可. 【详解】由题意得．设， 则， 所以，解得， 所以． 故答案为：. 2．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位、三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被称为“数学中的天桥”，若复数满足，则的虚部是__________，实部是__________. 【答案】 / / 【分析】利用复数的三角形式结合复数的除法可化简得出复数，利用复数的概念可得出复数的实部和虚部. 【详解】由题意可得，所以， 所以. 因此，复数的虚部为，实部为. 故答案为：；. 3．(24-25高一下·北京通州区·期中)设复数． (1)若，求、的值． (2)若与复数是互为共轭复数，求； (3)当时，若，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用复数的乘法结合复数相等可得出、的值； （2）利用共轭复数的定义和复数的乘法可得出的值； （3）利用复数的运算结合复数的概念可求出，结合复数的模长公式可求出的值. 【详解】（1）因为，故，. （2）因为与复数是互为共轭复数，则，故. （3）因为，， 则， 故， 因为，故，所以. 4．(23-24高一下·北京通州区·期中)若复数满足，其中为虚数单位，其共轭复数为. (1)求复数和； (2)若，（，），求实数，的值. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用复数除法运算求出，再求出复数的模. （2）由（1）及复数乘法求出，再利用复数相等求解即得. 【详解】（1）由，得；. （2）由（1）知，，则， 由，得， 所以. 5．(23-24高一下·北京丰台区·期中)已知复数为虚数单位． (1)若，求的值； (2)若为实数，求的值． (3)若在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据复数模长公式得到方程，求出； （2）利用复数除法法则化简，得到方程，求出； （3）利用复数乘法法则得到，得到不等式组，求出答案. 【详解】（1）因为，所以． （2）因为为实数， 所以，解得． （3）因为且， 所以， 因为在复平面上对应的点在第一象限， 所以，解得，故 地 城 考点05 已知复数类型求参数 1．(24-25高一下·北京通州区·期中)已知复数，，若为纯虚数，则实数________． 【答案】 【分析】计算出，根据纯虚数定义得到方程，求出答案. 【详解】， 由题意得，解得，此时，满足要求. 故答案为： 2．(24-25高一下·北京丰台区·期中)已知复数为纯虚数，则___． 【答案】1 【分析】利用复数的除法求出，再利用纯虚数的定义求得答案. 【详解】依题意，复数， 由是纯虚数，得且，所以. 故答案为：1 3．(23-24高一下·北京通州区·期中)若复数为纯虚数，则实数_____________. 【答案】1 【分析】利用纯虚数的定义直接求出值. 【详解】依题意，，所以. 故答案为：1 4．(24-25高一下·北京大兴区·期中)已知复数． (1)当时，求的值； (2)若复数为纯虚数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，求得，根据复数的运算法则及复数的模求解即可. （2）根据复数为纯虚数的条件求得的值，再根据复数的乘法法则求解即可. 【详解】（1）当时， 所以 . （2） 由为纯虚数知， 得，解得. 所以． . 5．(23-24高一下·北京大兴区·期中)已知复数（为虚数单位）． (1)若是纯虚数，求； (2)若，求的值； (3)若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由复数的乘法运算得到，再由纯虚数解出的值，从而得到； （2）由得到和，从而，解出的值； （3）由得到，对应的点为，由点在第二象限解不等式得到的取值范围. 【详解】（1）， 因为是纯虚数，所以，解得， 所以. （2）因为，所以，，解得. （3）因为，所以，则在复平面上对应的点为， 因为位于第二象限，所以，解得， 所以的取值范围为. 地 城 考点06 复数与点坐标 1．(24-25高一下·北京通州区·期中)若复数满足，则在复平面内，复数对应的点所在象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数的运算法则求出，进而判断即可. 【详解】由，则， 则复数对应的点为，在第三象限. 故选：C. 2．(24-25高一下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)在复平面内，复数对应的点的坐标为，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由题意有，虚部相等即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 故. 故选：C. 3．(24-25高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)已知复数，则在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为， 所以在复平面内对应的点在，位于第二象限. 故选：B 4．(23-24高一下·北京中央民族族大学附属中学·期中)若复数，，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出答案． 【详解】，， ， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 5．(23-24高一下·北京丰台区·期中)复数. (1)若复数是实数，求实数的值; (2)若复数是纯虚数，求实数的值; (3)在复平面内，复数对应的点位于第三象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)； (3) 【分析】（1）令虚部为零，解一元二次方程即可； （2）令实部为零，虚部不为零，解方程组即可； （3）令实部和虚部同时小于零，解不等式组求交集即可； 【详解】（1）因为复数是实数， 所以， 解得或； （2）因为复数是纯虚数 所以， 所以， 解得； （3）因为复数对应的点位于第三象限， 所以 所以， 解得的取值范围是 地 城 考点07 复数的实部虚部问题 1．(22-23高一下·北京通州区·期中)已知复数，则的虚部为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据复数虚部的概念直接求解即可. 【详解】因为复数，所以的虚部为. 故选：B 2．(23-24高一下·北京广渠门中学·期中)已知复数满足，则的虚部为______. 【答案】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部即可. 【详解】因为，所以， 所以的虚部为. 故答案为： 3．(23-24高一下·北京一六六中学·期中)若复数，则的虚部为______. 【答案】 【分析】根据复数的乘方化简复数，即可判断其虚部. 【详解】因为，， 所以， 所以的虚部为. 故答案为： 4．(23-24高一下·北京陈经纶中学·期中)已知复数的实部和虚部相等，且，则__________. 【答案】或. 【分析】设，由题意可得，解方程求出，即可得出答案. 【详解】因为复数的实部和虚部相等， 所以，而， 所以，解得：. 所以或. 故答案为：或. 地 城 考点08 复数方程问题 1．(23-24高一下·北京大兴区·期中)方程在复数范围内的解为_____________． 【答案】 【分析】由即可解方程. 【详解】由得，所以， 故答案为： 2．(21-22高一下·北京大兴区·期中)是关于x的方程的一个根，则实数______． 【答案】 【分析】根据复数根的特点可知两复数根是互为共轭复数，再利用韦达定理即可求解. 【详解】是关于x的方程的一个根，另一个根为 由韦达定理得：，解得： 故答案为：. 3．(24-25高一下·北京大学附属中学元培学院·期中)已知复数（，为虚数单位），在复平面上对应的点在第四象限，且满足． (1)求实数的值； (2)若复数是关于的方程（且）的一个复数根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，可得，再由共轭复数及复数乘法计算求解. （2）利用方程根的意义，结合复数乘方运算、复数相等求解即可. 【详解】（1）由，，得，即， 因为在复平面上对应的点在第四象限，则， 所以, （2）由（1）知，， 由复数是关于x的方程的根， 得, 整理得， 因为，所以, 解得. 4．(22-23高一下·北京大兴区·期中)已知复数，为虚数单位． (1)若，求的值； (2)若为实数，求的值； (3)若是关于的实系数方程的一个复数根，求的值． 【答案】(1)0 (2)1 (3)或 【分析】（1）直接列方程求解即可； （2）把代入化简，然后由虚部为零，可求出的值； （3）把代入方程化简，然后列方程组可求出的值． 【详解】（1）因为，所以. （2）因为为实数， 所以，解得. （3）因为是关于的实系数方程的一个复数根， 所以， 整理得， 所以，解得或. 5．(22-23高一下·北京顺义区·期中)已知复数（i为虚数单位）. (1)求复数的模； (2)求复数的共轭复数； (3)若是关于的方程一个虚根，求实数的值. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据复数的模长公式计算； （2）根据共轭复数的定义即可得答案； （3）根据题意，将复数代入方程可得，化简计算即可得的值. 【详解】（1）根据复数的模长公式可得， （2）根据共轭复数的定义，复数的共轭复数为 （3）由题意，， 则，得， 所以实数的值为 地 城 考点09 复数与轨迹方程 1．(24-25高一下·北京大学附属中学元培学院·期中)若复数满足，则在复平面内，复数对应的点组成图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的几何意义可知在复平面表示的是以为圆心，半径为3的圆，由圆的周长公式即可得出答案. 【详解】由复数的几何意义可知表示在复平面上，复数对应的点到复数所对的点即的距离为3， 也即以为圆心，半径为3的圆，故图形周长为. 故选：C. 2．(23-24高一下·北京第八十中学·期中)复数满足，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，先由复数的运算结合相关概念可得，再根据复数的模运算求解. 【详解】设，则， 由题意可得：，解得， 则. 故选：D. 3．(21-22高一下·北京第五中学·期中)已知复数满足，则的最大值为______. 【答案】 【分析】利用复数的几何意义求解. 【详解】解：因为复数满足， 所以复数所对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上， 而表示圆上的点到点（-2，2）的距离， 圆心到点（-2，2）的距离为， 所以的最大值为， 故答案为： 4．(21-22高一下·北京大兴区·期中)已知复数（a，），且． (1)若z的实部和虚部相等，求z对应的点的坐标； (2)在复平面内z对应的点的集合是什么图形？并画出此图； (3)若，求a，b的值． 【答案】(1)； (2)圆，图形见解析； (3)，或 【分析】（1）根据复数实部和虚部的定义，结合复数模的计算公式进行求解即可； （2）根据复数模的计算公式，结合圆的定义进行求解即可； （3）根据复数模的计算公式，解方程组进行求解即可. 【详解】（1）因为z的实部和虚部相等， 所以，因为，所以， 当时，；当时，， 因此z对应的点的坐标为； （2）因为， 所以有，它表示在复平面内z对应的点到原点的距离为， 即在复平面内z对应的点是以为圆心，为半径的圆，图形如下图： （3）因为， 所以， 又因为， 所以， 于是有，或. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02复数 ☆9大高频考点概览 考点01复数的四则运算 考点02共轭复数 考点03复数的模长 考点04复数的相等求参数 考点05己知复数类型求参数 考点06复数与点坐标 考点07复数的实部虚部问题 考点08复数方程问题 考点09复数与轨迹方程 目目 考点01 复数的四则运算 1.(23-24高一下·北京第二十二中学期中)已知复数21=1，z2=2+1,那么21·22= 2.(22-23高一下北京海淀区期末)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则导= 3.(22-23高一下.北京顺义区期中)若实数b满足(2+b1)1=2+2i,则b=· 4.(22-23高一下.北京大兴区期中)复数(1+(1-)=() A.0 B.1 c.21 D.2 5.(24-25高一下北京广渠门中学期中)复数(1-i)2=() A.0 B.1 C.21 D.-21 目目 考点02 共轭复数 1.(24-25高一下北京广渠门中学期中)复数斗型的虚部是 共轭复数是 2.(24-25高一下北京汇文中学教育集团期中)已知是虚数单位，复数z的共轭复数为z=多，则复数z的 模长z= 3.(24-25高一下·北京平谷区第五中学期中)在复平面内，复数z对应的点为Z(1,-1),则z的共轭复数 z=() A.1+i B.1-i c.-1+i D.-1-i 4.(24-25高一下北京大兴区期中)已知复数z=柒，则z十z=一 1/5 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(24-25高一下北京师范大学附属实验中学期中设复数z=1+V3i,则z的共轭复数z= 的模|z= 目目 考点03 复数的模长 1.(24-25高一下北京第八十中学期中)若复数z=舜，其中为虚数单位，则|z= 2.(2425高一下北京平谷区第五中学期中)已知复数z=,则|z到= 3.(24-25高一下北京第二中学朝阳学校期中)若复数z满足：(z+2)(2+)=3-1,其中i为虚数单位， 则z= 4.(24-25高一下·北京顺义区杨镇第一中学期中)复数z=2-3i,则z=() A.2+3i B.V13 C.5 D.5 5.(24-25高一下北京大兴区期中)已知复数z在复平面内对应的点为(-2,1)，则z2=() A.3 B.3-41 C.5-41 D.5 目目 考点04 复数的相等求参数 a 1.(23-24高一下.北京第八十中学.期中定义运算 c d =ad-bc,则符合条件zzi 11-1 =4+21的复数 Z= 2.(24-25高一下·北京第八十中学期中)欧拉公式e9=cos0+isin0把自然对数的底数e、虚数单位i、三角 函数cos日和sin日联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被称为数学中的天桥”，若复数z满足 (eiπ+)·z=i,则z的虚部是 ，实部是 3.(24-25高一下.北京通州区·期中)设复数z=a+bi(a,b∈R). (1)若z=i(2+i),求a、b的值 (2)若z与复数21=2+1是互为共轭复数，求z:z1: (3)当b≠0时，若z+=t(t∈R),求|z. 4.(23-24高一下北京通州区期中)若复数z满足(1-)·z=3+1,其中1为虚数单位，其共轭复数为z (1)求复数z和z: (②)若z·z=a十bi,(a,b∈R),求实数a,b的值 5.(23-24高一下·北京丰台区期中)已知复数z=a+1(a∈R),1为虚数单位. (1)若|z=1,求a的值； (2)若异为实数，求a的值. 2/5 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)若21=z(1-2i),21在复平面上对应的点在第一象限，求a的取值范围. 目目 考点05 已知复数类型求参数 1.(24-25高一下·北京通州区期中已知复数21=m十(m-1)i,22=2-2i,若21十z2为纯虚数，则实数 m= 2.(24-25高一下北京丰台区期中)已知复数z=普(a∈R)为纯虚数，则a=一 3.(23-24高下北京通州区期中若复数z=(a-1)+1为纯虚数，则实数a= 4.(24-25高一下北京大兴区期中)已知复数z1=(a2-2)-(2a+4)i,z2=a-(a2+1)i,a∈R (1)当a=0时，求|z1十22的值； (2)若复数z=21~22为纯虚数，求z1'22的值. 5.(23-24高一下，北京大兴区期中)已知复数z=a+41(a∈R)(1为虚数单位). (1)若(1-)z是纯虚数，求z: (2)若z=5,求a的值： (3)若复数22在复平面上对应的点位于第二象限，求a的取值范围. 目目 考点06 复数与点坐标 1.(24-25高一下·北京通州区期中)若复数z满足1·z=1-21,则在复平面内，复数z对应的点所在象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(24-25高一下·北京顺义牛栏山第一中学期中)在复平面内，复数21(i+m)对应的点的坐标为(-2,4)， 则实数m=(） A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.(24-25高一下北京师范大学附属实验中学期中)已知复数z=高，则z在复平面内对应的点在() A,第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(23-24高一下北京中央民族族大学附属中学期中)若复数21=1+5i,z2=-3+7i,则复数 z=21十z2在复平面内对应的点在() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.(23-24高一下.北京丰台区期中)复数z=(m2-m-2)+m(m+1)i (1)若复数z是实数，求实数m的值： (2)若复数z是纯虚数，求实数m的值： (3)在复平面内，复数z对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围 3/5 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点07 复数的实部虚部问题 1.(22-23高一下·北京通州区期中)已知复数z=3-2i,则z的虚部为() A.3 B.-2 C.2 D.-21 2.(23-24高一下·北京广渠门中学期中)已知复数z满足z=2+1,则z的虚部为 3,(23-24高一下北京一六六中学期中若复数z=1+2i+32+43,则z的虚部为 4.(23-24高一下北京陈经纶中学期中)已知复数z的实部和虚部相等，且z=V2,则z= 目目 考点08 复数方程问题 1.(23-24高一下·北京大兴区·期中)方程x2+2=0在复数范围内的解为 2.(21-22高一下·北京大兴区·期中)2+i是关于x的方程x2-4x+m=0的一个根，则实数m= 3.(24-25高一下.北京大学附属中学元培学院期中)已知复数z=1+bi(b∈R,i为虚数单位)，z在复平 面上对应的点在第四象限，且满足z·2=4· (1)求实数b的值： (2)若复数z是关于x的方程Px2+2x+q=0(p≠0且P,q∈R)的一个复数根，求P,9的值。 4.(22-23高一下北京大兴区期中)已知复数z=a+〔a∈R),1为虚数单位. (1)若|z=1,求a的值： (2)若系为实数，求a的值： (3)若z是关于x的实系数方程x2+bx+2=0的一个复数根，求a,b的值. 5.(22-23高一下·北京顺义区期中)已知复数z=3+41(i为虚数单位)· (1)求复数z的模z: (2)求复数z的共轭复数； (3)若z是关于x的方程x2-6x+m=0一个虚根，求实数m的值 目目 考点09 复数与轨迹方程 1.(24-25高一下·北京大学附属中学元培学院·期中)若复数z满足z+=3,则在复平面内，复数z对应的 点组成图形的周长为() A.2T B.4π C.6T D.8It 2.(23-24高下.北京第八十中学·期中)复数z满足1<z-2+1<3,则z的范围是（) A.（V5-1,5+3) B.(10,26) C.[0,5+3)D.(10,26) 3.(21-22高一下北京第五中学期中)已知复数z满足|z=1,则川z十2-2的最大值为 4/5 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(21-22高一下北京大兴区期中已知复数z=a+bi(a,bER),且|z=V2 (1)若z的实部和虚部相等，求z对应的点的坐标： (2)在复平面内z对应的点的集合是什么图形？并画出此图： (3)若|z+1=z-i，求a,b的值. 2 1 -2-10 12x 2 5/5