精品解析：江苏苏州市西安交通大学苏州附属中学2024-2025学年度第二学期期中考试高二数学试题

2024～2025学年度第二学期期中考试 高二数学 命题人：郝敏 审核人：岳绪彬 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算的值为（ ）． A. 1 B. 0 C. 20 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】结合公式，进行求解． 【详解】计算得． 故选：D． 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，结合点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】因为，所以，，所求切线的斜率， 因此，所求切线的方程为，整理得． 故选：A． 3. 对变量有观测数据，得散点图1；对变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ） A. 变量与呈现正相关，且 B. 变量与呈现负相关，且 C. 变量与呈现正相关，且 D. 变量与呈现负相关，且 【答案】C 【解析】 【分析】利用散点图，结合相关系数的知识可得答案. 【详解】由题意可知，变量的散点图中，随的增大而增大，所以变量与呈现正相关； 再分别观察两个散点图，图比图点更加集中，相关性更好，所以线性相关系数. 故选：C. 4. 某公交车上有6位乘客，沿途有4个停靠站，乘客下车的可能方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 24种 D. 10种 【答案】B 【解析】 【分析】每位乘客都有4种选择，因此乘客下车的可能方式有种. 【详解】由题意，每一位乘客都有4种选择，故乘客下车的可能方式有种. 故选：B 5. 甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由全概率公式算出“任取一个零件，取到的零件是次品”的概率，再由贝叶斯公式即可求解. 【详解】设事件“任取一个零件，取到的零件是次品”，“任取一个零件，来自甲工厂”，“任取一个零件，来自乙工厂”， 由题意得，，，． 因为， 所以． 故选：D． 6. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得到，设，，作出与的大致图象求解. 【详解】令，得， 设，， 则，易知当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，， 当时，，当时，，当时，． 当时，， 易得的图象在处的切线方程为， 作出与的大致图象如图1所示， 可知与的图象有且仅有一个交点，即只有一个零点，不符合题意； 当时，作出与的大致图象如图2所示， 可知与的图象没有交点，即没有零点，不符合题意； 当时，作出与的大致图象如图3所示， 可知与的图象有两个交点，即有两个零点，符合题意． 综上，实数的取值范围为， 故选：B． （另解：令，得．令，，通过研究，的图象的交点情况求解） 7. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），每个位置出现的数字相互独立，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 五位二进制数10100与10001出现的概率不相同 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意判断随机变量服从二项分布，根据二项分布期望方差的定义逐项判断. 【详解】由题意知，表示5个独立位置中出现1的个数，因此服从二项分布 . ，A错误； 二项分布期望，B错误； 两个五位二进制数都含2个1、3个0，概率均为 ，概率相同，C错误； 二项分布方差，D正确. 8. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象分辨和的图象，然后对各选项中函数求导，利用图象判断函数单调性即可得解. 【详解】由图可知，两个函数图象都在轴上方，所以，单调递增， 所以实线为的图象，虚线为的图象，， 对A，，单调递增，无最大值，A错误； 对B，，， 由图可知，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，B正确； 对C，，由图可知， 所以在上单调递增，无最大值，C错误； 对D，， 由图可知，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得最大值，D错误. 故选：B 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数有极值，则的可能取值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】AB 【解析】 【分析】将函数有极值等价转化为导函数有变号零点，根据二次函数的性质可得结果. 【详解】函数，， ∵函数有极值， ∴有变号零点， 结合二次函数的性质可得：，解得， 结合选项可知的可能取值为8,9， 故选：AB. 【点睛】本题主要考查了函数的极值与导数的关系，将题意转化为导函数有变号零点是解题的关键，属于中档题. 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用给变量赋值可得系数关系，即可判断AD，对于B就得用构造的二项式展开式，利用展开式通项公式可求得指定项系数再来判断，对于C就得用等式两边求导思想，再赋值就可得到结果． 【详解】令，代入得：，故选项A正确的； 由得： ， 所以，， 即，，由于，所以，故选项B是错误的； 由两边求导得： ， 再令，代入上式得：，故选项C是正确的； 再令，代入可得： ， 因为，所以，故选项D是错误的； 故选：AC. 11. 已知连续函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递增 C. 函数存在极小值点 D. “”是“”的充要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数确定单调性判断A；举例说明判断B；利用极小值的意义，结合偶函数及单调性判断C；利用充要条件的意义，结合导数求函数最小值判断D. 【详解】由定义域在上的连续函数在区间上单调递增，得，， 对于A，，，函数在上单调递增，A正确； 对于B，取函数，显然符合题意，函数， ，当时，，函数在上不单调，B错误； 对于C，函数定义域为，，函数是偶函数， 令，因函数，在上都是增函数，则在上也是增函数， 因是偶函数，故在上是减函数， 因此是函数的一个极小值点，C正确； 对于D，当时，依题意，，， 令，则， 当时，；当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，， 故有； 而当时，取，得，则， 所以“”是“”的充要条件，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知A、B是一个随机试验中的两个事件，且，，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，再结合即可求解. 【详解】已知A、B是一个随机试验中的两个事件，且，， 解得，所以. 故答案为：. 13. 袋中有大小形状相同的红球、黑球和白球共9个，其中白球有2个，从袋中取出2球，至少得到1个红球的概率为，则红球有________个．在此情况下，若从袋中取出3球，记取到黑球的个数为X，则随机变量X的数学期望为_______． 【答案】 ①. 4 ②. 1 【解析】 【分析】①设出红球个数，直接由至少得到1个红球的概率为得到方程，解方程即可； ②分别求出X为的概率，再按照期望公式计算即可. 【详解】①设红球个，则黑球个，至少取到1个红球的概率为，解得； ②由上知：黑球有3个，易知X的所有取值为，， ，故期望为. 故答案为：4；1. 14. 若不等式对任意恒成立，则正实数t的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同构思想将问题转化为恒成立，再构造函数，得出其单调性，进而得出对任意恒成立，再利用参变分离，构造函数，求最大值即可. 【详解】因,则等价于， 即， 令，则，则在上单调递增， 因为不等式对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 因为，所以，， 所以对任意恒成立， 则对任意恒成立， 令，则， 令， 则，则在上单调递减， 因为， 所以，则，即在上单调递减， 则，故， 则正实数t的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为． （1）求n的值； （2）求展开式中系数最大项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得出方程可得，结合组合数的计算公式，求得的值； （2）设展开式中第项的系数最大，得出不等式组，结合组合数的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由二项式展开式的通项为， 因为展开式中第5项与第3项的二项式系数之比为 可得，即，解得或（舍去）， 所以的值为. 【小问2详解】 解：由（1）知：二项展开式的通项为，其中， 设展开式中第项的系数最大，其中， 则满足，可得，解得， 因为，所以， 所以展开式中系数最大的项为. 16. 某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． （1）已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； （2）在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 【答案】（1）1587 （2）0.0989 【解析】 【分析】根据正态分布的性质即可求解. 【小问1详解】 已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布． 由题意得.因为，又. 即，所以，解得. 因为甲市学生A的成绩为分，且. 又，即. 所以学生在甲市的大致名次为名. 【小问2详解】 在本次模拟考试的学生中，抽取名化学成绩在之内的概率为. 所以抽取名化学成绩在之外的概率为. 所以随机变量Y服从二项分布，即， 所以. 17. 已知函数 （1）当时，求证：； （2）当时，，求的取值范围. 【答案】（1） 证明：当时，， 则， 令，解得， 当时，，当时，0， 所以在区间内单调递减， 在区间内单调递增， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分析函数的单调性，得出函数的最小值是从而得证； （2）时，类似（1）的做法利用导数分析得出的最小值是；时，推出矛盾，从而可以得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得， ，且， 设， 则在区间内单调递增， 当时，在区间内，，单调递增， 所以， 所以在区间内单调递增，所以. 当时，，且， 又，所以当时， 单调递减，所以， 所以在区间内单调递减， 所以，与题设矛盾. 综上，的取值范围为. 18. 随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用．在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位．且向四个方向移动的概率均为．例如在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处 （1）设粒子在第2秒末移动到点记的取值为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）记第秒末粒子回到原点的概率为． ①求，； ②已知，求． 【答案】（1）分布列见解析， （2）① ，；② 【解析】 【分析】（1）根据第2秒末粒子的可能位置进行列举，确定随机变量的所有可能值，利用古典概型概率公式计算概率，即得分布列和数学期望； （2）①根据第1秒末粒子的所有可能位置，易得第2秒末回到原点的概率，根据粒子在第4秒末回到原点，可分两种情况考虑，即按照四个不同方向的排列或按照两个相反方向的排列，利用互斥事件的概率加法公式计算即得；②因第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动了步，向右移动了步，向上移动了步，向下移动了步，由此列出，利用组合式公式和题设公式化简即得. 【小问1详解】 因在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处， 故在第2秒末可能运动到点各两种情形，各一种情形，有4种情形，共计16种情形， 随机变量表示的取值，故的可能取值为， 对应的概率分别为：，，. 故的分布列为： 数学期望. 【小问2详解】 ① 因第1秒末，粒子等可能地出现在，，，四点， 第2秒末，每个位置的粒子都有的可能回到原点，故； 对于粒子在第4秒末回到原点，分两种情况考虑： 每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有种情形； 每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右，上上下下”，共有种情形. 故. ② 第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动了步，向右移动了步， 向上移动了步，向下移动了步， 故 ， 因，故. 【点睛】关键点点睛：本题（2）②，将理解为第秒末粒子要回到原点，则向左移动了步，向右移动了步，向上移动了步，向下移动了步最为关键，从而得到，其次利用组合式公式与求和符号含义，题设公式结合应用为第二关键. 19. 若函数的定义域为，有，使且，称函数为恒切函数． （1）判断函数是否为恒切函数，并说明理由； （2）若函数为恒切函数． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）当取最大值时，若函数为恒切函数，记，证明：．（参考数据：） 【答案】（1） 设函数为恒切函数，则有， 使且，即， 解得，故函数是恒切函数. （2）（i）； （ii）当时，， 函数为恒切函数.又， 所以存在，使得，即. 令，则， 当时，递减；当时，递增. 所以当时， ，， 故在上存在唯一， 使得，即. 又由， 得， 由得，所以. 又，所以当时，有唯一零点， 故由得，即. . 【解析】 【分析】（1）对求导，利用恒切函数的定义求出，即可判断； （2）（i）根据恒切函数的定义解方程，用表示，再利用导数即可求解的取值范围； （ii）由的值可得的值，从而可得的解析式，利用新定义，可得，令，求出的取值范围，由，从而可得的取值范围，从而得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由函数为恒切函数可知， 存在，使得且， 即解得，， 设，， 当时，递增；当时，递减. ，即实数的取值范围是. （ii）略 【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 2.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着很好的效果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期期中考试 高二数学 命题人：郝敏 审核人：岳绪彬 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算的值为（ ）． A. 1 B. 0 C. 20 D. 21 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 对变量有观测数据，得散点图1；对变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ） A. 变量与呈现正相关，且 B. 变量与呈现负相关，且 C. 变量与呈现正相关，且 D. 变量与呈现负相关，且 4. 某公交车上有6位乘客，沿途有4个停靠站，乘客下车的可能方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 24种 D. 10种 5. 甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），每个位置出现的数字相互独立，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 五位二进制数10100与10001出现的概率不相同 D. 8. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数有极值，则的可能取值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知连续函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递增 C. 函数存在极小值点 D. “”是“”的充要条件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知A、B是一个随机试验中的两个事件，且，，则_______ 13. 袋中有大小形状相同的红球、黑球和白球共9个，其中白球有2个，从袋中取出2球，至少得到1个红球的概率为，则红球有________个．在此情况下，若从袋中取出3球，记取到黑球的个数为X，则随机变量X的数学期望为_______． 14. 若不等式对任意恒成立，则正实数t的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为． （1）求n的值； （2）求展开式中系数最大项． 16. 某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． （1）已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； （2）在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 17. 已知函数 （1）当时，求证：； （2）当时，，求的取值范围. 18. 随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用．在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位．且向四个方向移动的概率均为．例如在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处 （1）设粒子在第2秒末移动到点记的取值为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）记第秒末粒子回到原点的概率为． ①求，； ②已知，求． 19. 若函数的定义域为，有，使且，称函数为恒切函数． （1）判断函数是否为恒切函数，并说明理由； （2）若函数为恒切函数． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）当取最大值时，若函数为恒切函数，记，证明：．（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $