精品解析：河北省盐山中学2026届高三下学期高考模拟卷·数学试卷

2026届高考模拟卷・数学 （120分钟 150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则（ ） A. －4 B. 4 C. D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知函数，则的极值点为（ ） A. B. 1 C. －1 D. 6. 已知定义在上的函数满足，且在区间上单调递增，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似的看作是半球与圆柱的组合体（如图2）．假设内壁表面光滑，其内壁表面积为cm2，半球的半径为cm，当时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1； B. 已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16. 10. 已知抛物线的焦点为，点为上一点，，延长与相交于另一点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 抛物线的准线方程为 C. 的面积为 D. 直线的方程为或 11. 在锐角中，若，则（ ） A. B. C. 最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则__________. 13. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________． 14. 某工厂6件产品中有3件次品，现在从中随机每次抽取1件且不放回，设为抽到第2件次品时的抽取次数，则的期望为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某人统计了2020-2024年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 交易额百亿元 9 12 17 21 26 （1）请根据表中提供的数据，用样本相关系数说明与的线性相关程度； （2）求出关于的经验回归方程，并预测2027年该网站“双11”当天的交易额. 附：在经验回归方程中，，，， 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 17. 已知椭圆左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，离心率为，且经过点． （1）求椭圆方程及长轴长； （2）点是椭圆上一动点，且不与顶点重合，点满足四边形是平行四边形，过点作轴的垂线交直线于点，连接交于点，求证：． 18. 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数. （1）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； （2）设，数列前项和为； ①求； ②若恒成立，求实数的最大值. 19. 已知函数，其中． （1）若函数有处取得极大值0，求的值； （2）函数． （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考模拟卷・数学 （120分钟 150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解两个不等式，求得集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】因，， 则 故选：D． 2. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法以及共轭复数的概念即可求解. 【详解】由题意，所以. 故选：B. 3. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则（ ） A. －4 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的方程求解渐近线，求出的值. 【详解】根据,得到, 则焦点在轴，故渐近线为， 则，故. 故选：A 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算列式求解. 【详解】由向量，，得， 由，得， 所以. 故选：B 5. 已知函数，则的极值点为（ ） A. B. 1 C. －1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性，进而得出极值点. 【详解】因为，所以． 令，得；令，得．所以在上单调递减，在上单调递增． 可知在处取得唯一极小值，所以的极值点为1． 故选：B. 6. 已知定义在上的函数满足，且在区间上单调递增，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对称性得单调性，然后由单调性、对称性解不等式． 【详解】因为函数满足，所以的图象关于直线对称， 又在区间上单调递增，所以在区间上单调递减． 因为，所以，即， 平方后解得，所以的取值范围为． 故选：B． 7. 唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似的看作是半球与圆柱的组合体（如图2）．假设内壁表面光滑，其内壁表面积为cm2，半球的半径为cm，当时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆柱的高为，根据圆柱和球的表面积公式求得，再根据圆柱和球的体积公式求出酒杯和半球的体积，结合题意求得的范围，即可得解. 【详解】设圆柱的高为， 则，所以, 酒杯的体积， 半球的体积， 因为酒杯的容积不大于半球体积的2倍， 所以，解得， 又因，所以， 所以， 当时，的最小值为. 故选：C. 8. 若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据半圆与直线的位置关系，求出切线斜率，数形结合得解. 【详解】由得， 直线经过定点，如图， ， 当直线与半圆相切时，， 所以恰有两个公共点时，由图可知，， 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1； B. 已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用简单随机抽样的意义判断A，利用平均数和方差的计算公式判断B，利用百分位数的定义判断C，利用方差的性质判断D. 【详解】对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为， 以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5样本，则指定的某个个体被抽到的概率为，故A正确； 对于B，因为数据1，2，，6，7的平均数是，所以， 这组数据的方差是，故B错误； 对于C，该组数据从小到大排列为12，14，15，17，19，23，27，30， 又，即第70百分位数为第6个数为23，故C正确； 对于D，依题意，，则， 故数据的标准差为，故D正确； 故选：ACD 10. 已知抛物线的焦点为，点为上一点，，延长与相交于另一点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 抛物线的准线方程为 C. 的面积为 D. 直线的方程为或 【答案】BC 【解析】 【分析】由抛物线的定义可求出的值，可得出抛物线的方程，将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，可判断A选项；根据抛物线的标准方程求出其准线方程，可判断B选项；分析可知轴，可求出点的坐标，进而可求得的面积，可判断C选项；求出直线的方程，可判断D选项. 【详解】对于A选项，抛物线的准线方程为， 因为点为上一点，，则，解得， 所以，抛物线的方程为， 将点的坐标代入抛物线的方程得，解得，A错； 对于B选项，抛物线的准线方程为，B对； 对于C选项，易知抛物线的焦点为， 若，则点的坐标为，所以轴，故点、关于轴对称， 则点，所以，所以， 若，同理可知，C对； 对于D选项，由C选项可知，轴，故直线的方程为，D错. 故选：BC. 11. 在锐角中，若，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角函数的平方关系和正弦定理对已知条件进行化简，得出角之间的关系，再据此分析各个选项. 【详解】将， 利用和， ()， 化简得:展开右边并整理得， 由于为锐角三角形， (舍去的不可能情况)，故，A正确； 由且为锐角三角形，得 在上单调递增，故， 而非 ，B错误； 由，，， 表达式可化：， 令,则， 则表达式化简为，等号在时取得，C正确； 表达式，又， 则表达式化简为，令， 则表达式为，等号在时取得，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数值求，以及，再求余弦值. 【详解】，则，，所以. 故答案为： 13. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求导，由在上恒成立，进而得，即，利用单调性求的最大值即可求解. 【详解】由题意有在上恒成立， 又，所以，即， 所以只需在上恒成立即可， 即在上恒成立，即， 又在上单调递减，所以， 故答案为：. 14. 某工厂6件产品中有3件次品，现在从中随机每次抽取1件且不放回，设为抽到第2件次品时的抽取次数，则的期望为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意确定的取值，然后求出其分布列，最后根据期望的计算公式计算. 【详解】由题意可知：的取值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某人统计了2020-2024年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 交易额百亿元 9 12 17 21 26 （1）请根据表中提供的数据，用样本相关系数说明与的线性相关程度； （2）求出关于的经验回归方程，并预测2027年该网站“双11”当天的交易额. 附：在经验回归方程中，，，， 【答案】（1）非常接近1，说明变量与的线性相关程度很强 （2），38.5百亿元 【解析】 【分析】（1）根据表格里的数据与公式计算样本相关系数的值，再根据的取值判断线性相关程度； （2）利用问题（1）中已算出的数据以及公式计算出的值，再代入样本中心点得的值，即得关于的经验回归方程，可得答案. 【小问1详解】 由题意，根据表格中的数据， 可得，， ，， ， 故， 所以， 非常接近，说明变量与的线性相关程度很强. 【小问2详解】 由（1）可得，，，， 所以， 则. 可得关于的经验回归方程为， 令，可得， 所以预测2027年该网站“双11”当天的交易额为38.5百亿元. 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】 【分析】（1）由底面为菱形，得，再由底面，可得，结合线面垂直的判定可得平面； （2）以点为坐标原点，以所在直线及过点且垂直于平面的直线分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：底面为菱形，， 底面，平面， 又，平面， 平面； （2）解：，，为等边三角形， . 底面，是直线与平面所成的角为， 在中，由，解得. 如图，以点为坐标原点，以所在直线及过点且垂直于平面的直线分别为轴 建立空间直角坐标系. 则，，，，. ，，，. 设平面与平面的一个法向量分别为，. 由，取，得； 由，取，得. . 平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题． 17. 已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，离心率为，且经过点． （1）求椭圆的方程及长轴长； （2）点是椭圆上一动点，且不与顶点重合，点满足四边形是平行四边形，过点作轴的垂线交直线于点，连接交于点，求证：． 【答案】（1）椭圆方程为，椭圆的长轴长为 （2）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组求出即可求解； （2）欲证，只需证明，由题意知斜率存在，设，联立椭圆方程，结合韦达定理得的坐标，求得方程，联立，可得，由题意得，求得方程，联立得，对比，即可得证. 【小问1详解】 由题意，解得， 所以椭圆的方程为，椭圆的长轴长为； 【小问2详解】 由题意知斜率存在，设， 联立与得，，化简得， 由韦达定理得，， 所以， 而直线，从而， 因为点满足四边形是平行四边形，关于中心对称， 根据平行四边形的中心对称性，可知也关于中心对称， 所以，而， 所以，显然，所以， 所以直线的方程为， 联立与，得， 即， 化简得，即， 因为，所以， 所以. 18. 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数. （1）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； （2）设，数列的前项和为； ①求； ②若恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②16 【解析】 【分析】（1）由题意，配方得，利用“平方递推数列”定义即可证明，两边取对数，根据等比数列的定义即可证明； （2）①求出，然后利用错位相减法求和即可； ②将原不等式恒成立转化为恒成立，分离参数恒成立，利用基本不等式求解最值即可得解. 【小问1详解】 点在函数的图象上， ，， 数列是“平方递推数列”， 因为， 对两边同时取对数得， 数列是以1为首项、2为公比的等比数列； 小问2详解】 ①由（1）知，所以， 则， . 两式相减可得， ； ②恒成立， 恒成立， 恒成立，恒成立， 又，当且仅当时，取到等号， ，即. 19. 已知函数，其中． （1）若函数有处取得极大值0，求的值； （2）函数． （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合； （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数与函数极值之间的俄关系，即可求解； （2）设点和点，由导数的几何意义写出这两点处的切线方程，假设切线重合，经运算可推出矛盾，即可证明结论； （3）对于恒成立时，求出．令，继而证明当时，在上恒成立，即可确定，使得成立时a的取值范围. 【小问1详解】 ，得， 由题设知，解得， 此时 当时，为增函数； 当时，为减函数； 所以函数在处取得极大值，满足题意， 故． 【小问2详解】 （i）函数． 由，得， 设点和点，不妨设， 则曲线在点处的切线方程为， 即； 同理曲线在点处的切线方程为； 假设与重合，则， 化简得， 两式消去，得，则， 令，， 由，所以在上单调递增， 所以，即无解，所以与不重合， 即对于曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合． （ⅱ）当时，先解决对于恒成立， 令，则在上恒成立， 由，解得． 下面证明当时，在上恒成立． 则当时，， 令，则， 则当时，由， 则，则在上单调递增，所以； 当时，令， 则，则在上单调递增， 所以，所以在上单调递减， 所以成立， 所以对于，不等式恒成立， 实数的取值范围为． 所以，使得成立，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $