精品解析：江苏省扬州中学2025-2026学年高二下学期3月自主学习评估数学试卷

江苏省扬州中学 2025-2026学年高二3 月自主学习评估 数 学 试 卷 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求的. 1. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据初等常见函数的求导公式以及求导法则和复合函数的求导法则，一一判断各选项即可. 【详解】由于为常数，故，故A错误； 而，故B错误； 而，故C正确； 而，故D错误． 2. 已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（ ）． A. B. 0 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到存在使得，从而得到方程组，得到答案. 【详解】因为不能构成空间的一个基底， 所以共面， 故存在使得， 即， 故，解得. 故选：C 3. 一质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，当时，，故质点在时的瞬时速度为. 4. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【详解】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 5. 设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调减区间，即可求解． 【详解】的定义域为， 由，解得． 由题意知， 解得． 故选：A 6. 若，则下列结论可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析化简不等式，构造新函数，求导判断单调性，根据单调性逐项判断不等式是否正确即可. 【详解】依题意得，则， 令，则. 因为，求导得， 易得在上递减，在上递增， 当，时，，即，B错误，D正确. 当，时，，即，A和C错误. 故选：D. 7. 如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 三棱锥的体积为 D. 直线BC与平面所成的角为 【答案】B 【解析】 【分析】A选项根据正方体的性质判断；对于B，D利用空间向量判断，对于C，利用体积公式求解即可. 【详解】A选项：为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故A错误； 如图建立空间直角坐标系，则， 对于B，设平面的法向量为，则， 令，则， 因为，所以，所以， 因为在平面外，所以直线与平面平行，所以B正确， 对于C， ，所以三棱锥的体积为，所以C错误， 对于D，，直线BC与平面所成的角为，，所以D错误， 故选：B. 8. 已知函数与（且）在上都是增函数，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对，和三种情况分类讨论，即可得到的取值范围. 【详解】若，则，从而不是上的增函数，不满足条件； 若，则对有，且 . 所以和都是上的增函数，满足条件. 若，则. 取，则，从而对有 . 从而在上递减，不满足条件. 综上，的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对的取值情况进行适当的分类讨论，从而确定的取值范围. 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分. 在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分. 9. 下列选项中正确的是（ ） A. 若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面； B. 若与共面，则存在实数x，y，使； C. 若向量所在的直线是异面直线，则向量一定不共线； D. 若是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 【答案】AC 【解析】 【分析】由空间向量共面定理即可判断AB，由共线向量的概念即可判断C，由空间向量基本定理即可判断D 【详解】由向量共面定理可知，若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面，故A正确； 若共线，不与共线，则不存在实数x，y，使，故B错误； 若向量所在的直线是异面直线，则的方向不相同也不相反，且所在直线也不 相交，所以向量一定不共线，故C正确； 若是空间三个基底向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使，故D错误； 故选：AC 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为的极大值点 B. 若，且，则 C. 若，则对，都有 D. 对，，使得有3个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，通过求导判断函数的单调性，进而可确定其极大值点； 对于选项B，根据导函数的二次函数的对称性即可判断； 对于选项C，通过计算，即可判断； 对于选项D，结合函数的单调性和极值情况即可判断其零点个数. 【详解】由，可得， 对于A选项，令，可解得或， 因为，所以当时，恒成立，函数单调递增， 当时，恒成立，函数单调递减， 当时，恒成立，函数单调递增，所以为的极大值点，故A正确； 对于B选项，因为，为开口向上的二次函数，对称轴为， 又，且，所以根据二次函数的对称性，可得，故B正确； 对于C选项，当时，， 则， 所以， 当时，即，可得，故C错误； 对于D选项，由前面分析可得，当时，为极大值点，为极小值点， 所以，， 当时，；当时，， 所以， 因为，所以，即， 所以对，，使且，所以有3个零点，故D正确. 故选：ABD 11. 在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列说法正确的有（ ） A. 存点，使得平面 B. 不存在点，使得直线与平面所成的角为 C. 的最小值为 D. 以为球心，为半径的球体积最小时，被正方形截得的弧长是 【答案】BCD 【解析】 【分析】方法一：AB选项，利用空间向量的方法判断；C选项，将的长度转化为与，距离之和，然后根据几何性质判断；D选项，利用函数的性质得到时最小，然后根据球的性质求弧长即可； 方法二：A选项，根据三垂线定理判断；B选项，利用空间向量的方法判断；C选项，将转化为平面上的长度，然后根据两点之间线段最短求最小值即可；D选项，根据题意得到球半径最小值为到的距离，然后根据球的性质求弧长. 详解】方法一： 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，，，, ，则， 对于A，因为为正方体， 所以， 由三垂线定理得，， 因为，平面， 所以平面， 是平面一个法向量， 假设面，则与共线矛盾，假设不成立，A错． 对于B，若存在，与所成角为，则或，或， ，不满足条件， 假设不成立，B对． 对于C， ． 表示与，距离之和， ，，C对． 对于D，， 时最小，，， 设截面小圆的圆心为，半径为，则平面，所以，， 因为， 所以球与面为圆心，为半径的圆弧， 因为， 所以在正方形内轨迹为半圆，弧长，选项D正确； 方法二：对于A，若平面，则，由三垂线定理知为中点，但此时不与垂直，故不存在这样的，A不正确； 对于B，同法一，B正确； 对于C，可将面与面摊平，，C正确． 对于D，球半径最小值为到的距离，，，在面上的射影为， 截面圆半径， 过作分别交，于，，， 球被正方体截得的弧长是半圆弧，长为，D正确， 故选：BCD． 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12. 若是函数的极值点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用即可求解. 【详解】由，且是的极值点， 所以， 整理得. 故答案为：. 13. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线运算得解. 【详解】由，得，解得， 又，得，解得， 所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且. 故答案为：. 14. 定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则关于______对称；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①对求导后得到导函数，结合函数的对称轴即可求出关于对称②利用和已知关系，推导出，进而得到周期为，再由周期性及特殊点取值确定每个周期内整数点函数值之和为零，最后根据项数进行分组求和得出结果. 【详解】①由条件，可知， 求导化简得：，即关于直线对称； ②由可得：， 即，为常数，， ， 代入得：， 即， 代入得：， 令得：，，，， 令得：，，，， 故， 进而，， 代入得， 即，是周期为的函数， 令得，则， 又， 故. 四、解答题：本题共 5小题，每小题 5分，共 77 分.解答题写出文字说明、证明过程或演算 步骤 . 15. 已知向量． （1）求； （2）求； （3）求在方向上的投影向量． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)利用空间向量数量积的坐标运算公式计算数量积即可； (2)利用模的平方运算来求模长； (3)利用投影向量公式来计算即可. 【小问1详解】 因为，所以； 【小问2详解】 因为向量，所以， 则； 【小问3详解】 由在方向上的投影向量为. 16. 已知函数. （1）求函数单调区间以及极值； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 （2）， 【解析】 【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，即可求出最大值，而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【小问1详解】 函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以在上的最小值为. 又因为，所以， 所以函数在上的最小值为，即. 17. 如图，在四棱锥中，底面为的中点，，且. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用勾股定理求得，利用基本事实4证明，进而利用平行四边形的判定与性质得，最后利用线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，表示各点坐标，求得平面的法向量，代入空间向量线面角的公式计算即可. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为，所以， 因为，所以， 因为分别为的中点，所以为的中位线， 所以，且， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，以的方向分别为轴､轴､轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 设平面的法向量为， 则，所以， 不妨设，则，所以. 设与平面所成角为， ， 所以与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数． （1）若函数和的图象都与平行于轴的同一条直线相切，求的值； （2）若函数有两个零点，证明：． 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）求导得到与的单调性，进而分别可得两函数斜率为0的切线方程，根据题意得到方程，求出的值； （2）令可得，由函数单调性可得，结合（1）可得，不妨设，构造差函数，解决极值点偏移问题. 【小问1详解】 由题意：函数的定义域为，， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 由可得，图象与直线相切． ，当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数，， 即图象与直线相切． 两函数图象均与平行于轴的同一条直线相切，则，即． 【小问2详解】 ，令， 由，得， 函数在上为减函数，故，即 即，不妨设， 要证，只需证， 只需证，即证， 因为， 只需证，即， 令， 则， 在上单调递增， ， 原题得证． 【点睛】方法点睛： 极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若函数较为复杂，可先结合函数特征变形，比如本题中设进行变形，得到再利用导函数进行求解. 19. 设，定义为的“函数”. （1）设为的“函数”，若，，求曲线在点处的切线方程； （2）设为的“函数”. （ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围； （ⅱ）若，方程有两个根，，且，求证：. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据新定义确定的解析式，求导利用导数的几何意义求解； （2）（ⅰ）求导，并根据极值的定义判断求解；（ⅱ）根据题意得方程有两个正根，，由韦达定理可得，且，求出，构造函数，利用导数求出最大值得证. 【小问1详解】 由题意，得，则，所以切点为， 又因为，所以， 所以曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 （ⅰ）由题，可得，定义域为， 则， 因为是的极小值点，则， 则 ， 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在，上单调递减， 所以是的极大值点，不满足题意； 若，则， 所以在上单调递减，无极值，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在，上单调递减， 所以是的极小值点，满足题意； 综上，是的极小值点时，的取值范围为. （ⅱ）由题， 设，抛物线的对称轴为直线， 因为方程有两个正根，，所以，解得， 由题意知，得. 因为，，所以， ， 令， 则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 因为，所以， 由，，得， 因为，所以，所以，则， 所以，所以，所以， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州中学 2025-2026学年高二3 月自主学习评估 数 学 试 卷 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求的. 1. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（ ）． A. B. 0 C. 5 D. 3. 一质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间关系为，则质点在时的瞬时速度为（   ） A. B. C. D. 4. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则下列结论可能成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 三棱锥的体积为 D. 直线BC与平面所成的角为 8. 已知函数与（且）在上都是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分. 在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分. 9. 下列选项中正确的是（ ） A. 若存实数x，y，使，则点P，M，A，B共面； B. 若与共面，则存在实数x，y，使； C. 若向量所在的直线是异面直线，则向量一定不共线； D. 若是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为极大值点 B. 若，且，则 C. 若，则对，都有 D. 对，，使得有3个零点 11. 在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列说法正确的有（ ） A. 存在点，使得平面 B. 不存在点，使得直线与平面所成的角为 C. 的最小值为 D. 以为球心，为半径的球体积最小时，被正方形截得的弧长是 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12. 若是函数极值点，则__________. 13. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 14. 定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则关于______对称；______． 四、解答题：本题共 5小题，每小题 5分，共 77 分.解答题写出文字说明、证明过程或演算 步骤 . 15. 已知向量． （1）求； （2）求； （3）求在方向上的投影向量． 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最值. 17. 如图，在四棱锥中，底面为的中点，，且. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数． （1）若函数和的图象都与平行于轴的同一条直线相切，求的值； （2）若函数有两个零点，证明：． 19. 设，定义为的“函数”. （1）设为的“函数”，若，，求曲线在点处的切线方程； （2）设为的“函数”. （ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围； （ⅱ）若，方程有两个根，，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $