精品解析：广东雷州市英利初级中学2025-2026学年八年级第二学期第一次诊断数学试卷

八年级第二学期第一次诊断数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 二次根式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数是非负数列出不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 故选D． 2. 下列式子中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个验证选项即可。 【详解】∵最简二次根式的定义为：满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式， 对选项A，=，被开方数含有分母，不是最简二次根式， 对选项C，分母含有根式，可化简为，不是最简二次根式， 对选项D，==，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 对选项B，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义， ∴选B. 3. 下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，8，9 C. 1，2， D. 5，12，14 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A、∵32+42＝52，∴能构成直角三角形，故本选项正确； B、∵62+82≠92，∴不能构成直角三角形，故本选项错误； C、∵12+22≠（）2，∴不能构成直角三角形，故本选项错误； D、∵52+122≠142，∴不能构成直角三角形，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 4. 比较大小：，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选D． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．根据二次根式的运算法则进行一一判断即可． 【详解】，故选项A错误． 与不能合并，C中与也不能合并，故选项B、C均错误． ，故选项D正确． 故选：D 6. 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.已知b＝8，c＝10，则a的值为(　　) A. 2 B. 6 C. 5 D. 36 【答案】B 【解析】 【详解】解：a===6．故选B． 7. 下列与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将选项中的二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义（几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式）来判断哪个选项与是同类二次根式．本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义（几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式）是解题的关键． 【详解】解：∵ ，其被开方数为（可看作），与的被开方数不同 ∴ 与不是同类二次根式 ∵ ，其被开方数为，与的被开方数不同 ∴ 与不是同类二次根式 ∵ ，其被开方数为，与被开方数不同 ∴ 与不是同类二次根式 ∵ ，其被开方数为，与被开方数相同 ∴ 与是同类二次根式 故选：D． 8. 如图字母所代表的正方形的面积是（ ） A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查勾股定理．根据已知两个正方形的面积169和25，求出各个的边长，然后再利用勾股定理求出字母所代表的正方形的边长，然后即可求得其面积． 【详解】解：∵， ∴字母所代表的正方形的面积． 故选：C． 9. 如图，四边形是矩形，，则点M表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，矩形的性质等知识．熟练掌握勾股定理，实数与数轴，矩形的性质是解题的关键． 由勾股定理得，，则，进而可得点M表示的数是． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴， ∴点M表示的数是， 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点A的坐标为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查了图形与坐标，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点分别作轴，轴，再证明，根据全等三角形的对应边相等且A的坐标为，即可作答． 【详解】解：如图：过点分别作轴，轴， ∵四边形是正方形 ∴ ∵ ∴ ∵轴，轴， ∴ ∴ ∴ ∵点C的坐标在第一象限， ∴点C的坐标为 故选：C 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 当x＝2时，二次根式的值是 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】将x=2代入即可求解． 【详解】解：将x=2代入可得：． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了求二次根式的值，掌握二次根式的值的求法是解答本题的关键． 12. 计算______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，通过合并同类项即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 如果两个最简二次根式与能合并，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式，两个最简二次根式能合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相等，列出方程求解即可． 【详解】解：两个最简二次根式 与 能合并， 与 的被开方数相同， ， 解得：． 故答案为：. 14. 若，则代数式的值为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值、二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用配方法可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：8． 15. 已知是整数，则正整数n的最小值为____． 【答案】2 【解析】 【分析】将化为，然后根据题目意思进行计算即可． 【详解】解：∵，要使它是整数，则正整数n的最小值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了最简二次根式，解决本题关键是理解二次根式的性质． 16. 在中，，，边上的高，则边之长等于______． 【答案】14或4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，注意分类讨论是解题的关键． 根据题意作出两个图，分两种情况分别求解即可． 【详解】①如图，在中，，，边上的高， ∴， ， ∴． ②如图，在中，，，边上的高， ∴， ， ∴． 三、解答题（每小题7分，共21分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据零指数幂、立方根、负整数指数幂、绝对值的性质计算，再合并即可； （2）先根据二次根式的除法、平方差公式计算，再根据有理数加减法则计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 18. 已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）由已知可得，，再利用平方差公式计算即可； （）由已知可得，，再把原式转化为，进而代入计算即可求解； 本题考查了二次根式的求值，平方差公式的应用，完全平方公式的应用，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴ ． 19. 如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上． （1）线段AB的长度是 ，线段CD的长度是 ． （2）若EF的长为，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由． 【答案】（1），2 （2）以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，可以求得AB和CD的长； （2）根据勾股定理的逆定理可以判断以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形． 【小问1详解】 解：由图可得， AB==，CD==2， 故答案为：，2； 【小问2详解】 解：以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形， 理由：∵AB=，CD=2，EF=， ∴CD2+EF2=（2）2+（）2=8+5=13=AB2， ∴以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 四、解答题（每小题9分，共27分） 20. 如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离． （1）求旗杆折断处点距离地面的高度； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的处，形成一个直角，请求出的长． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）由题意可知米，根据勾股定理可得：，又因为米，所以可求得的长， （3）先求出D点距地米，米，再根据勾股定理可以求得米． 【小问1详解】 解：由题意可知：米， ∵， ∴， 又∵米， ∴， ∴米； 【小问2详解】 解：∵D点距地面米， ∴米， ∴米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图 21. 如图，已知中，，，，P，Q分别是的边上的两动点，点P从点B开始沿B→A方向运动，速度为每秒，到达A点后停止；点Q从A开始沿A→C→B的方向运动，速度为每秒，到达B点后停止，它们同时出发，设出发时间为． （1）求的长度； （2）当t为何值时，点P恰好在边的垂直平分线上？并求出此时的长； （3）当点Q在边上运动时，直接写出为等腰三角形时t的值． 【答案】（1） （2）， （3）6秒或秒或秒 【解析】 【分析】（1）由勾股定理即可得出结论； （2）可得，，则，解出．可求出； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分、和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【小问1详解】 解：，，， ． 【小问2详解】 点在边的垂直平分线上，取的中点，作，交于，连接， ，，， 在中，，即， 解得：． 此时，此时走了； ，点在边上， ． 【小问3详解】 ①当时， 秒． ②当时， ， ， ， ， ， 秒． ③当时，过点作于点， ， ． ， 秒． 综上所述：当为6秒或秒或秒时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用． 22. 【阅读】 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． 【理解】 （1）①若，，则____________“准直角三角形”；（填“是”或“不是”） ②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为____________． 【应用】 （2）如图，在中，点在上，连接．若，，，，试说明是“准直角三角形”． 【答案】（1）①是；②或；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）①根据三角形内角和定理求出，则，再根据“准直角三角形”的定义即可得到答案；②设，则，根据“准直角三角形”的定义得到或，然后分情况讨论求解即可； （2）先求出，则，，利用勾股定理的逆定理证明，即可证明，则是“准直角三角形”． 【详解】解：（1）①∵在中，，， ∴， ∴， ∴是“准直角三角形”， 故答案为：是； ②设， ， ． ， 是钝角． 是“准直角三角形”， ∴或． 当时， 即， 解得， ∴； 当时， 即， 解得， ∴； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴， ∴是“准直角三角形”． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 五、解答题（每小题12分，共24分） 23. 阅读材料： 双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．当然也可以利用得，故 像这样，通过分子、分母同乘以（或除以）一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 解决问题： （1）化简： （2）计算： （3）若求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）给分子分母同乘分母的有理化因式，结合平方差公式进行分母有理化化简； （2）对每个分式分别分母有理化后，利用中间项抵消的规律简便计算； （3）先将分母有理化，再利用完全平方公式变形所求式子后代入计算． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： ∴ 24. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角： ； （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时， °； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用 在（2）探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，求的长． 【答案】（1）或或或（任写一个即可）； （2）①；②，理由见解析； （3）或． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，，由，，可求，即可求解； （2）①由“”可证，可得； ②由“”可证，可得； （3）分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【小问1详解】 解：∵对折矩形纸片， ∴，， ∵沿折叠，使点A落在矩形内部点M处， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或或或（任写一个即可）； 【小问2详解】 解：①由（1）可知， ∵四边形正方形， ∴，， 由折叠可得：，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得：，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由折叠的性质可得，， ∵， ∴， 当点Q在线段上时，∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 当点Q在线段上时，∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级第二学期第一次诊断数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 二次根式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，8，9 C. 1，2， D. 5，12，14 4. 比较大小：，，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.已知b＝8，c＝10，则a的值为(　　) A. 2 B. 6 C. 5 D. 36 7. 下列与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图字母所代表的正方形的面积是（ ） A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 9. 如图，四边形是矩形，，则点M表示的数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点A的坐标为，则点C的坐标为（ ） A B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 当x＝2时，二次根式的值是 _____． 12. 计算______ 13. 如果两个最简二次根式与能合并，那么_____． 14. 若，则代数式的值为___________． 15. 已知是整数，则正整数n的最小值为____． 16. 在中，，，边上的高，则边之长等于______． 三、解答题（每小题7分，共21分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 19. 如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上． （1）线段AB的长度是 ，线段CD的长度是 ． （2）若EF的长为，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由． 四、解答题（每小题9分，共27分） 20. 如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离． （1）求旗杆折断处点距离地面高度； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的处，形成一个直角，请求出的长． 21. 如图，已知中，，，，P，Q分别是的边上的两动点，点P从点B开始沿B→A方向运动，速度为每秒，到达A点后停止；点Q从A开始沿A→C→B的方向运动，速度为每秒，到达B点后停止，它们同时出发，设出发时间为． （1）求的长度； （2）当t为何值时，点P恰好在边的垂直平分线上？并求出此时的长； （3）当点Q在边上运动时，直接写出为等腰三角形时t的值． 22. 【阅读】 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． 【理解】 （1）①若，，则____________“准直角三角形”；（填“是”或“不是”） ②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为____________． 【应用】 （2）如图，在中，点在上，连接．若，，，，试说明是“准直角三角形”． 五、解答题（每小题12分，共24分） 23. 阅读材料： 双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．当然也可以利用得，故 像这样，通过分子、分母同乘以（或除以）一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 解决问题： （1）化简： （2）计算： （3）若求值． 24. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角： ； （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时， °； ②改变点P在上位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $