21.3.3 正方形 四大模型专项突破 2025-2026学年人教版八年级下册

正方形四大模型专项突破2025-2026学年 人教版八年级下册 模型一：正方形“十字架模型” 【十字架-模型归纳】 分别连接正方形的两组对边上任意两点，得到的两条线段（如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段EF与MN，图3中的线段BE与AF）满足：若垂直，则相等。 专题突破训练 1.如图，在边长为的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则AF的长为（　　） A． B． C． D． 2.如图所示，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH＝AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为（　　） A． B． C． D． 3.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③ 4.如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，正确结论的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，BE＝CF，连接AF，DE交于点G，求证： （1）△ADF≌△DCE； （2）AF⊥DE． 6.在正方形ABCD中，P是边BC上一动点（不与点B、C重合），E是AP的中点， 过点E作MN⊥AP，分别交AB、CD于点M，N． （1）判定线段MN与AP的数量关系，并证明； （2）连接BD交MN于点F． ①根据题意补全图形； ②用等式表示线段ME，EF，FN之间的数量关系，直接写出结论 　 　． 题型二：正方形“对角互补”模型 【对角互补-模型归纳】 在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB、BC上，若∠EOF为直角，OE、OF分别与DA、AB的延长线交于点G、H，则▲AOE≌BOF，▲AOG≌▲BOH，▲OGH是等腰直角三角形， 专题突破训练 1.如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF．若，则EF的长为（　　） A．2 B．2+ C．+1 D．3 2.如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP＝，Q为CD中点，则下列结论： ①∠PBC＝∠PQD；②BP＝PQ；③∠BPC＝∠BQC；④正方形ABCD的面积是16； 其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3.如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论： ①D、A、E三点共线； ②DC平分∠BDA； ③∠E＝∠BAC； ④DC＝DB+DA． 其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4.已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°． 求证：CE＝DF． 5.如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°． 求证：AE＝BF． 6.如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O． （1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系； （2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明． 题型三：正方形“外角平分线”模型 【外角平分线-模型归纳】 专题突破训练 1.如图，在边长为5的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF＝2，则BE的长为（　　） A． B． C． D．2 2.如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，已知正方形边长为4，则EF的长为 　 　． 3.如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，且∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．若正方形边长是8，EC＝2，则FC的长为　 　． 4.如图，四边形ABCD是正方形，E是BC边所在直线上的点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F． （1）当点E在线段BC中点时（如图1），易证AE＝EF，不需证明； （2）当点E在线段BC上（如图2）或在线段BC延长线上（如图3）时，（1）中的结论是否仍然成立？请写出你的猜想，并选择图2或图3的一种结论给予证明． 5.如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F． （1）如图2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF． （2）如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由． 题型四：正方形“半角”模型 【半角-模型归纳】 专题突破训练 1.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE＝2．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是（　　） A．1 B． C． D．﹣1 2.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（6，6），点E、F分别在边BC、BA上，OE＝3．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是（　　） A．2 B． C． D．﹣1 3.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝2，且∠ECF＝45°，则CF的长为（　　） A． B． C． D． 4.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为　　． 5.正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM． （1）求证：EF＝CF+AE； （2）当AE＝2时，求EF的长． 6.（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE， 求证：CE＝CF． （2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，求证：GE＝BE+GD． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12．E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求直角梯形ABCD的面积． 【答案】 正方形四大模型专项突破2025-2026学年 人教版八年级下册 模型一：正方形“十字架模型” 【十字架-模型归纳】 分别连接正方形的两组对边上任意两点，得到的两条线段（如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段EF与MN，图3中的线段BE与AF）满足：若垂直，则相等。 专题突破训练 1.如图，在边长为的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则AF的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 2.如图所示，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH＝AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 3.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 4.如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，正确结论的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 5.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，BE＝CF，连接AF，DE交于点G，求证： （1）△ADF≌△DCE； （2）AF⊥DE． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°， ∵BE＝CF， ∴BC﹣BE＝CD﹣CF，即CE＝DF， 在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（SAS）； （2）由（1）知△ADF≌△DCE， ∴∠DAF＝∠CDE， ∵∠ADC＝90°，即∠CDE+∠EDA＝90°， ∴∠DAF+∠EDA＝90°， ∴∠AGD＝180°﹣（∠DAF+∠EDA）＝90°， ∴AF⊥DE． 6.在正方形ABCD中，P是边BC上一动点（不与点B、C重合），E是AP的中点， 过点E作MN⊥AP，分别交AB、CD于点M，N． （1）判定线段MN与AP的数量关系，并证明； （2）连接BD交MN于点F． ①根据题意补全图形； ②用等式表示线段ME，EF，FN之间的数量关系，直接写出结论 　 　． 【答案】解：（1）MN＝AP． 证明：过点M作MG⊥CD于点G，则四边形AMGD是矩形， ∴MG＝AD，∠MGN＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABP＝90°，AB＝BC＝AD， ∴MG＝AB，∠ABP＝∠MGN， 又∵MN⊥AP， ∴∠AEM＝90°， ∴∠AME+∠BAP＝90°， 又∵∠NMG+∠AME＝90°， ∴∠NMG＝∠BAP， ∴△ABP≌△MGN（ASA）， ∴AP＝MN； （2）①补全图形如图2， ②如图3，过点P作PH∥AB交MN于点H，交BD于点K，过点M作MG⊥CD于点G， ∵AM∥PH， ∴∠MAE＝∠EPH， ∵E为AP的中点， ∴AE＝EP， 又∵∠AEM＝∠PEH， ∴△AME≌△PHE（ASA）， ∴ME＝EH，AM＝PH， ∵四边形AMGD是矩形， ∴AM＝DG， ∴DG＝PH， ∵∠CBD＝45°，∠BPK＝90°， ∴∠BPK＝∠BKP＝45°， ∴BP＝PK， 由（1）知△ABP≌△MGN， ∴BP＝NG， ∴PK＝NG， ∴HK＝DN， 又∵NK∥DN， ∴∠HKF＝∠NDF， ∴△HKF≌△NDF（AAS）， ∴HF＝NF， ∴EF＝EH+HF＝EM+FN． 故答案为：EF＝EM+FN． 题型二：正方形“对角互补”模型 【对角互补-模型归纳】 在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB、BC上，若∠EOF为直角，OE、OF分别与DA、AB的延长线交于点G、H，则▲AOE≌BOF，▲AOG≌▲BOH，▲OGH是等腰直角三角形， 专题突破训练 1.如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE⊥OF，连接EF．若，则EF的长为（　　） A．2 B．2+ C．+1 D．3 【答案】A 2.如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP＝，Q为CD中点，则下列结论： ①∠PBC＝∠PQD；②BP＝PQ；③∠BPC＝∠BQC；④正方形ABCD的面积是16； 其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 3.如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论： ①D、A、E三点共线； ②DC平分∠BDA； ③∠E＝∠BAC； ④DC＝DB+DA． 其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 4.已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°． 求证：CE＝DF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°， ∴∠DOF+∠COF＝90°， ∵∠EOF＝90°，即∠COE+∠COF＝90°， ∴∠COE＝∠DOF， ∴△COE≌△DOF（ASA）， ∴CE＝DF． 5.如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°． 求证：AE＝BF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，∠AOB＝90°， ∵∠EOF＝90°， ∴∠EOF﹣∠AOF＝∠AOB﹣∠AOF， 即∠AOE＝∠BOF， 在△AOE和△BOF中， ， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴AE＝BF． 6.如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O． （1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系； （2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） EF2＝AF2+BF2 （2）EF2＝BF2+AE2 【解答】解：（1）EF2＝AF2+BF2． 理由：如图1，∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD， ∴∠EOF＝∠AOB＝90°， ∴∠EOA＝∠FOB， 在△EOA和△FOB中， ， ∴△EOA≌△FOB（ASA）， ∴AE＝BF， 在Rt△EAF中，EF2＝AE2+AF2＝AF2+BF2； （2）在BC上取一点H，使得BH＝AE． ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBH，∠AOB＝90°， 在△OAE和△OBH中， ∴△OAE≌△OBH（SAS）， ∴AE＝BH，∠AOE＝∠BOH，OE＝OH， ∵∠EOF＝45°， ∴∠AOE+∠BOF＝45°， ∴∠BOF+∠BOH＝45°， ∴∠FOE＝∠FOH＝45°， 在△FOE和△FOH中•， ， ∴△FOE≌△FOH（SAS）， ∴EF＝FH， ∵∠FBH＝90°， ∴FH2＝BF2+BH2， ∴EF2＝BF2+AE2， 题型三：正方形“外角平分线”模型 【外角平分线-模型归纳】 专题突破训练 1.如图，在边长为5的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF＝2，则BE的长为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 2.如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，已知正方形边长为4，则EF的长为 　 　． 【答案】2 3.如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，且∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．若正方形边长是8，EC＝2，则FC的长为　 　． 【答案】6 4.如图，四边形ABCD是正方形，E是BC边所在直线上的点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F． （1）当点E在线段BC中点时（如图1），易证AE＝EF，不需证明； （2）当点E在线段BC上（如图2）或在线段BC延长线上（如图3）时，（1）中的结论是否仍然成立？请写出你的猜想，并选择图2或图3的一种结论给予证明． 【答案】 （2）成立 【解答】解：（1）取AB中点M，连接ME， ∵点E在线段BC中点，点M是AB中点， ∴AM＝BM＝BE＝CE ∴∠BME＝45°， ∴∠AME＝135°， ∵CF是外角平分线， ∴∠DCF＝45°， ∴∠ECF＝135°， ∴∠AME＝∠ECF， ∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°， ∴∠BAE＝∠CEF， ∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF． （2）图2：结论是AE＝EF 理由如下： 在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME． ∴BM＝BE， ∴∠BME＝45°， ∴∠AME＝135°， ∵CF是外角平分线， ∴∠DCF＝45°， ∴∠ECF＝135°， ∴∠AME＝∠ECF， ∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°， ∴∠BAE＝∠CEF， ∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF． 图3结论是AE＝EF， 理由如下： 在BA的延长线上取一点N． 使AN＝CE，连接NE． ∴BN＝BE， ∴∠N＝∠NEC＝45°， ∵CF平分∠DCG， ∴∠FCE＝45°， ∴∠N＝∠ECF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BE， ∴∠DAE＝∠BEA， 即∠DAE+90°＝∠BEA+90°， ∴∠NAE＝∠CEF， ∴△ANE≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF． 5.如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F． （1）如图2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF． （2）如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由． 【答案】（1）略 （2）AE＝EF成立 【解答】（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示 ∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF； ∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90° ∴∠1＝∠2， ∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°， ∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE， 在△AHE和△ECF中， ， ∴△AHE≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF； （2）解：AE＝EF成立， 理由如下：如图2，延长BA到M，使AM＝CE， ∵∠AEF＝90°， ∴∠FEG+∠AEB＝90°． ∵∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠FEG， ∴∠MAE＝∠CEF． ∵AB＝BC， ∴AB+AM＝BC+CE， 即BM＝BE． ∴∠M＝45°， ∴∠M＝∠FCE． 在△AME与△ECF中， ， ∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF． 题型四：正方形“半角”模型 【半角-模型归纳】 专题突破训练 1.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE＝2．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是（　　） A．1 B． C． D．﹣1 【答案】B 2.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（6，6），点E、F分别在边BC、BA上，OE＝3．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是（　　） A．2 B． C． D．﹣1 【答案】A 3.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝2，且∠ECF＝45°，则CF的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 4.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为　　． 【答案】 5.正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM． （1）求证：EF＝CF+AE； （2）当AE＝2时，求EF的长． 【答案】（1） 略 （2）EF＝5 【解答】（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM， ∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM， ∴F、C、M三点共线， ∴DE＝DM，∠EDM＝90°， ∴∠EDF+∠FDM＝90°， ∵∠EDF＝45°， ∴∠FDM＝∠EDF＝45°， 在△DEF和△DMF中， ∵， ∴△DEF≌△DMF（SAS）， ∴EF＝MF， ∴EF＝CF+AE； （2）解：设EF＝MF＝x， ∵AE＝CM＝2，且BC＝6， ∴BM＝BC+CM＝6+2＝8， ∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x， ∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4， 在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2， 即42+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝5， 则EF＝5． 6.（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE， 求证：CE＝CF． （2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，求证：GE＝BE+GD． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12．E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求直角梯形ABCD的面积． 【答案】（1） 略 （2）略 （3）108． 【解答】解：（1）证明：如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠B＝∠CDF＝90°， 又∵BE＝DF， ∴△CBE≌△CDF（SAS）， ∴CE＝CF； （2）成立． ∵∠GCE＝45°， ∴∠BCE+∠GCD＝45°， ∵△BEC≌△DFC， ∴∠BCE＝∠DCF， ∴∠DCF+∠GCD＝45°，即∠GCF＝45°， ∴∠GCE＝∠GCF，且GC＝GC，CE＝CF， ∴△GCE≌△GCF（SAS）， ∴GE＝GF， ∴GE＝GD+DF＝BE+GD； （3）如图：过点C作CF⊥AD于F， ∵AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠A＝90°， ∵∠A＝∠B＝90°，FC⊥AD， ∴四边形ABCF是矩形，且AB＝BC＝12， ∴四边形ABCF是正方形， ∴AF＝12， 由（2）可得DE＝DF+BE， ∴DE＝4+DF， 在△ADE中，AE2+DA2＝DE2． ∴（12﹣4）2+（12﹣DF）2＝（4+DF）2． ∴DF＝6， ∴AD＝6， ∴S四边形ABCD＝＝＝108 学科网（北京）股份有限公司 $