21.3.3《正方形》正方形的判定 同步练习 2025--2026学年人教版八年级数学下册

21.3.3《正方形》---正方形的判定 一、单选题 1．下列条件不能判定▱ABCD是正方形的是（　　） A．∠ABC＝90°且AB＝AD B．AC⊥BD且AB＝AD C．AC⊥BD且AC＝BD D．AB＝BC且AC＝BD 2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定矩形是正方形的是（　　） A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC 3．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是正方形的是（　　） A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC 4．顺次连接下列各图形的中点，构成的图形一定是正方形的为（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．对角线互相垂直的等腰梯形 5．如图所示，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，以下说法正确的是（　　） A．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形 B．若AO＝CO，则▱ABCD是菱形 C．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 D．若∠ABC＝90°，则▱ABCD是正方形 6．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（　　） A．①对角相等 B．②对角线互相垂直 C．③有一组邻边相等 D．④对角线相等 7．三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这个点叫作三角形的内心，如图，在Rt△ABC中，点P是△ABC内心，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12．PD⊥BC于点D，则AP的长是（　　） A． B． C．4 D．2 8．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝a，HG＝b，则四边形ABDF的面积是（　　） A． B． C．（a+b）2 D．（a﹣b）2 9．将正方形ABCD（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；若把左上角的正方形依次划分下去，则第n次划分后，图中共有（　　）个正方形 A．4n+3 B．4n﹣1 C．4n+1 D．4n﹣3 10．如图，已知四边形ABCD为正方形，，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分∠DCF；④CE＝CF．其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 11．添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是 　 ． 12．如图，在菱形ABCD中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是 　 　 ． 13．矩形的两条邻边长分别是6cm和8cm，则顺次连接各边中点所得的四边形的面积是　 ． 14．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具制作成图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具制作成图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝acm，则图1中对角线AC的长为 cm． 15．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△DOF≌△COE；②CF＝BE；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝2OE2．其中正确的是 　 ． 三、解答题 16．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝17，CD＝7，作AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F． （1）求证：四边形AECF是正方形； （2）求四边形ABCD的面积． 17．在菱形ABCD中，E，F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE，AE，AF，CF． （1）求证：四边形AECF是正方形； （2）若BD＝4，BE＝3，求CD的长． 18．D、E分别是三角形ABC的边AB、AC的中点，O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E． （1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形； （2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的关系？若四边形DGFE是矩形，则OA与BC应满足怎样的关系？（直接写出答案，不需要说明理由） 19．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． （1）∠EAF＝　 　 °（直接写出结果不写解答过程）； （2）①求证：四边形ABCD是正方形． ②若BE＝EC＝3，求DF的长． 20．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 参考答案 一、单选题 1．B 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形， ∵AB＝AD， ∴平行四边形ABCD为正方形； 故A不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD；不能判断平行四边形ABCD是正方形， 故B符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD为菱形， ∵AC＝BD ∴平行四边形ABCD为正方形； 故C不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD为矩形， ∵AB＝BC， ∴平行四边形ABCD为正方形； 故D不符合题意； 故选：B． 2．B 【解答】解：A、正确．邻边相等的矩形是正方形，不符合题意； B、错误．矩形的对角线相等，但对角线相等的矩形不一定是正方形，故符合题意； C、正确．∵四边形ABCD是矩形， ∴OD＝OB，OC＝OA， ∵AC⊥BD ∴AD＝AB， ∴矩形ABCD为正方形，故不符合题意； D、正确，∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD，OB＝OD， ∴AC⊥BD，AD＝AB ∴矩形ABCD是正方形，故不符合题意． 故选：B． 3．A 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，OA＝OCAC，OB＝ODBD， A、AB＝AD时，不能判定菱形ABCD是正方形，故选项A符合题意； B、∵OA＝OB， ∴AC＝BD ∴菱形ABCD是正方形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是菱形， ∴AC＝BD， ∴菱形ABCD是正方形，故选项C不符合题意； D、∵DC⊥BC， ∴∠BCD＝90°， ∴菱形ABCD是正方形，故选项D不符合题意； 故选：A． 4．D 【解答】解：顺次连接下列各图形的中点，构成的四边形的两组对边分别平行于原图形的对角线，且每组边等于相对的对角线的一半，可判定为平行四边形，当原图形的对角线互相垂直时，又可判定为菱形，而等腰梯形的对角线相等，所以可判定为正方形，故选D． 5．A 【解答】解：A、∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形，原说法正确，符合题意； B、若AO＝CO，得不到▱ABCD是菱形，原说法错误，不符合题意； C、若AC⊥BD，得不到▱ABCD是正方形，原说法错误，不符合题意； D、若∠ABC＝90°，则▱ABCD是矩形，原说法错误，不符合题意． 故选：A． 6．A 【解答】解：A、对角相等的平行四边形不一定是矩形， ∴此选项填写错误， 故A符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴此选项填写正确， 故B不符合题意； C、有一组邻边相等的矩形是正方形， ∴此选项填写正确， 故C不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形， ∴此选项填写正确， 故D不符合题意． 故选：A． 7．B 【解答】解：如图，过P作PE⊥AB于E，过P作PF⊥AC于F， ∵P为三个内角平分线的交点，PD⊥BC， ∴PD＝PE＝PF， ∵∠ABC＝∠PDB＝∠PEB＝90°， ∴四边形PEBD为正方形， ∴PE＝BE＝BD＝PD， 在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12， 由勾股定理得：， ∵， ∴5×12＝（5+12+13）×PE， 解得：PE＝2， ∴PE＝BE＝BD＝PD＝2， ∴AE＝3， 在直角三角形AEP中，由勾股定理得：； 故选：B． 8．B 【解答】解：根据题意，AB＝BD＝DE＝AF，AH＝CD＝EF＝FG，AG＝BH＝BC＝DE， ∵CE＝a，HG＝b， ∴设CD＝m，DE＝n， ∴， ∴， 在Rt△BCD中，CD，BC， ∴BD2＝BC2+CD2， ∴四边形ABDF的面积是． 故选：B． 9．C 【解答】解：第1次划分后，分别连接正方形ABCD对边的中点，图中有1+4＝5个正方形， 第2次划分后，将图2左上角正方形AEMH再划分，图中有1+4×2＝9个正方形， 第3次划分后，图中有1+4×3＝13个正方形， …， 第n次划分后，图中共有（1+4n）个正方形， 故选：C． 10．A 【解答】解：已知四边形ABCD为正方形，，点E为对角线AC上一点， 如图，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点， ∵∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∵四边形DEFG是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形，故①正确； ∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠DCF＝90°， ∴CG平分∠DCF，故③正确； ∴，故②错误； 当DE⊥AC时，点C与点F重合， ∴CE不一定等于CF，故④错误． 故选：A． 二、填空题 11．AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）． 【解答】解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）． 理由：∵四边形ABCD是矩形， 又∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形． 或∵四边形ABCD是矩形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形， 故答案为：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）． 12．∠BAD＝90°（添加邻边相等亦可）． 【解答】解：因为有一个角是直角的菱形是正方形， 所以添加的条件可以为∠BAD＝90°． 故答案为：∠BAD＝90°（添加邻边相等亦可）． 13．24cm2 【解答】解：如图，连接EG、FH、AC、BD，设AB＝6cm，AD＝8cm， ∵四边形ABCD是矩形，E、F、G、H分别是四边的中点， ∴HF＝6cm，EG＝8cm，AC＝BD， EH＝FGBD，EF＝HGAC， ∴四边形EFGH是菱形， ∴S菱形EFGHFH×EG6×8＝24cm2． 故答案为24cm2． 14．a． 【解答】解：如图1，2中，连接AC． 在图2中，∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝90°， ∵AC＝a， ∴AB＝BCa， 在图1中，∵∠B＝60°，BA＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝BCa， 故答案为：a． 15．①②③④． 【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°， ∵∠EOF＝90°， ∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF， ∴∠COE＝∠DOF， 在△COE和△DOF中， ， ∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确； ②∵△COE≌△DOF， ∴CE＝DF， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝CD， ∴BE＝CF，故②正确； ③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等， ∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故③正确； ④在Rt△EOF中，∠EOF＝90°，根据勾股定理，得OE2+OF2＝EF2， ∵OE＝OF， ∴2OE2＝EF2， ∴DF2+CF2＝CE2+CF2＝EF2＝2OE2， ∵BE＝CF， ∴DF2+BE2＝2OE2．故④正确； 综上所述，正确的是①②③④， 故答案为：①②③④． 三、解答题 16．（1）证明：∵在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠ABE+∠ADC＝180°， ∵∠ADC+∠ADF＝180°， ∴∠ABE＝∠ADF， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AEC＝∠F＝90°， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF， ∴∠BAE+∠DAE＝∠DAF+∠DAE，即∠EAF＝∠BAD＝90°， ∴∠AEC＝∠F＝∠EAF＝90°， ∴四边形AECF是矩形， ∵AE＝AF， ∴四边形AECF是正方形； （2）解：设DF＝x，则AE＝CF＝7+x， 由（1）知△ABE≌△ADF， ∴BE＝DF＝x，S△ABE＝S△ADF， ∴S四边形ABCD＝S正方形AECF， ∵BC＝17， ∴EC＝BC﹣BE＝17﹣x． 由（1）知四边形AECF是正方形， ∴AE＝EC， ∴7+x＝17﹣x， 解得x＝5， ∴CE＝17﹣5＝12， ∴S四边形ABCD＝S正方形AECF＝CE2＝144， ∴四边形ABCD的面积为144． 17．（1）证明：连接AC，交BD于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO， ∵DF＝BE， ∴DF+DO＝BE+BO， 即FO＝EO ∵AO＝CO，AC⊥BD， ∴四边形AECF是菱形， ∴∠AEF＝∠CEF＝45°， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形AECF是正方形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∴EO＝BO+BE＝5， ∵四边形AECF是正方形， ∴AO＝EO＝5， 在Rt△ABO中，， ∴若BD＝4，BE＝3，则． 18．（1）证明：∵D，E分别是AB，AC的中点． ∴， ∵G，F分别是OB，OC的中点， ∴， ∴DE∥GF，DE＝GF， ∴四边形DGFE是平行四边形； （2）解：若四边形DGFE是菱形，则DG＝GF， 由（1）中位线可知GF平行且等于BC，DG平行且等于AO， ∴OA＝BC， 若四边形DGFE是矩形，则DG⊥GF， ∵DG∥AO，GF∥BC， ∴OA⊥BC． 19．（1）解：∵∠C＝90°， ∴∠CFE+∠CEF＝90°， ∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°， ∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF， ∴∠AFEDFE，∠AEFBEF， ∴∠AEF+∠AFE（∠DFE+∠BEF）270°＝135°， ∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°， 故答案为：45； （2）①证明：作AG⊥EF于G，如图1所示： 则∠AGE＝∠AGF＝90°， ∵AB⊥CE，AD⊥CF， ∴∠B＝∠D＝90°＝∠C， ∴四边形ABCD是矩形， ∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A， ∴AB＝AG，AD＝AG， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形； ②解：设DF＝x， ∵BE＝EC＝3， ∴BC＝6， 由①得四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝6， 在Rt△ABE与Rt△AGE中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）， ∴BE＝EG＝6， 同理，GF＝DF＝x， 在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2， 即32+（6﹣x）2＝（x+3）2， 解得：x＝2， ∴DF的长为2． 20．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE； （2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， 得矩形EMCN， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； ②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°， ∴CE⊥CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9． ∵CG＝3， ∴CE＝6， 连接EG， ∴EG3， ∴DEEG＝3． ∴正方形DEFG的边长为3． 学科网（北京）股份有限公司 $