专题09 计数原理与统计及统计案例（6大考点）（山东专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题09 计数原理与统计及统计案例 6大考点概览 考点01排列与组合 考点02二项式定理 考点03 回归方程 考点04 统计小题 考点05 统计与统计案例综合 考点06 融合创新 ( 排列与组合 考点1 ) 1．（2026·山东日照·一模）某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有（   ） A．120种 B．144种 C．240种 D．288种 【答案】C 【解析】由题意可得，小王同学有两天吃同一种套餐，先从5天中选出两天吃同一种套餐， 然后将4种不同的套餐安排在这两天和另外3天中，则不同的方案共有种，故选C. 2．（2026·山东滨州·一模）春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（    ） A．24 B．60 C．120 D．240 【答案】C 【解析】将捆绑看作一个整体，内部有种排列方式； 再将5个元素全排列有：， 故满足与相邻的排列共有种. 在所有排列中，在之前和在之后的排列数相等，各占总排列数的一半， 因此在之前，与相邻，不同的游览顺序有种. 3．（2026·山东淄博·一模）有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（    ） A．42 B．50 C．54 D．60 【答案】D 【解析】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论： 当是第1个时，此时剩余的全排列，共有种不同的排法； 当不是第1个且不是最后一个时，先排第1个，从中选一人为第1个，有种选法； 再排，有三个位置可选，有种排法，最后三人全排列，有种排法， 所以共有种不同的排法， 由分类计数原理得，共有种不同的排列情况. 4．（2026·山东青岛·一模）某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 【答案】D 【解析】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. ( 二项式定理 考点2 ) 1．（2026·山东菏泽·一模）在的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】二项式的展开式中，含的项为， 所以的系数为，故选：A 2．（2026·山东泰安·一模）的展开式中所有项的系数和为__________． 【答案】243 【解析】令，可得展开式中所有项的系数和为. 3．（2026·山东威海·一模） 的展开式的常数项是_____(用数字作答)． 【答案】 【解析】设展开式的通项为， 令，解得，，为所求常数项． 4．（2026·山东聊城·一模）的展开式中的系数是____________． 【答案】 【解析】表示5个因式的乘积， 的项可以是：从5个因式中选1个提供，1个提供，3个提供1， 此时的系数为， 的项也可以是：从5个因式中选3个提供，0个提供，2个提供1， 此时的系数为， 所以展开式中的系数为. 5．（2026·山东济宁·一模）展开式中的常数项为__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】， 令，得，故展开式中的常数项为． ( 回归方程 考点3 ) 1．（2026·山东烟台·一模）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集的数据如下表所示： 零件数个 10 20 30 40 50 加工时间 40 50 60 70 90 由上表的数据求得关于的经验回归方程为，则（   ） A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4 【答案】B 【解析】由题意得，， 因为经验回归直线必过点，即点， 所以可得，解得. 故选；B 2．（2026·山东青岛·一模）已知变量，的统计数据如下，若与的回归直线方程为，则（   ） 2.8 3.3 5.0 6.7 7.2 2.6 4.0 5.1 5.4 A．2.5 B．2.7 C．2.9 D．3.1 【答案】C 【解析】由题意，可得，， 所以样本点的中心坐标为， 代入回归直线方程，可得， 解方程得. 3．（2026·山东济南·一模）我国2016-2024年科幻产业营收（单位：亿元）如下表所示： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 时间变量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 营收 100.0 140.0 456.4 658.7 551.1 829.6 877.5 1132.9 1089.6 根据表中数据建立与的线性回归方程，预测我国2025年科幻产业营收约为（）（参考数据：） A．1222.1亿元 B．1310.9亿元 C．1339.1亿元 D．1443.4亿元 【答案】B 【解析】， 所以样本中心点为满足回归方程， 代入得：，计算得： 所以回归方程为. 2025年对应的时间变量，代入回归方程： 因此，预测我国2025年科幻产业营收为1310.9亿元. 故选：B 4．（2026·山东威海·一模）某医院用光电比色计检验尿汞时，得到尿汞含量（单位：）与消光系数的结果如下： 尿汞含量 2 4 6 8 10 消光系数 65 135 205 285 360 (1)求消光系数关于尿汞含量的回归直线方程； (2)根据回归直线方程，估计尿汞含量为时消光系数的值． 【解】（1）通过计算可得，     ，     所以， ， 所以，    所以，    因此回归直线方程为 （2）在回归直线方程中 令，可得，     因此估计尿汞含量为时消光系数的值为173． ( 统计 小题 考点4 ) 1．（2026·山东滨州·一模）已知4个互不相等的正整数的平均数为3，极差为4，则这四个数的方差为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【解析】设4个互不相等的正整数为：，满足： 平均数为3，则总和为；极差为4，则； 且所有数为互不相等的正整数. 根据题意可得：，且，均为整数. 令，则，，且满足，即，且互不相等，和为6.所以，. 所以四个互不相等的正整数为1，2，4，5. 方差为：. 故选：A. 24．（多选）（2026·山东东营·一模）一组样本数据， 其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，由这组数据得到一组新样本数据，其中 ，其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】不妨设，则； 对A：，故A正确； 对B：由方差性质可得，故B错误； 对C：若为整数，则， ； 若不为整数，则，其中表示不大于的最大整数， ，故C正确； 对D：，，故D错误. 2．（多选）（2026·山东聊城·一模）已知第一组样本数据，，…，的方差为1，第二组样本数据，，…，的平均数为14，则（   ） A．第一组数据的平均数为4 B．第二组数据的方差为3 C．将两组数据合并后数据的平均数是9 D．将两组数据合并后数据的方差是30 【答案】ACD 【解析】设第一组样本数据，，…，的平均数为，方差为， 则第二组样本数据，，…，的平均数为，方差为， 由题意知，， 则有，解得第一组的平均数为，故选项A正确； 第二组的方差为，故选项B错误； 将两组数据合并后数据的平均数是，故选项C正确； 第一组样本数据的方差， 即， 即， 即， ， ， 则两组数据合并后数据的方差是 ， ， ， 则两组数据合并后数据的方差 ，故选项D正确. ( 统计与统计案例综合 考点 5 ) 1．（多选）（2026·山东日照·一模）下列说法正确的是（    ） A．数据，，，，，的分位数为 B．若随机变量，且，则 C．通过样本数据得到的回归直线一定经过点 D．在独立性检验中，的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 【答案】AC 【解析】A选项：由，可知数据的分位数为从小到大排列的第二个数，即为； B选项：由正态分布的对称性可知，， 即，解得，B选项错误； C选项：由回归方程的性质可知直线恒过样本中心，C选项正确； D选项：在独立性检验中，的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小，D选项错误. 2．（多选）（2026·山东济宁·一模）下列说法中正确的是（    ） A．数据的第50百分位数为32 B．已知随机变量服从正态分布，则 C．已知两个变量线性相关，其经验回归方程为，若，则 D．若样本数据的方差为2，则数据的方差为4 【答案】BC 【解析】对于A选项，按顺序排列数据27，30，31，32，38，41，48，54，第50百分位数即为中位数， 所以该数为，故A错误； 对于B选项，因为随机变量服从正态分布，， 则，所以，所以，故B正确； 对于C选项，因为，经验回归方程为， 所以，解得，故C正确； 对于D选项，因为样本数据的方差为2， 所以数据的方差为，故D错误. ( 融合创新 考点 5 ) 1．（多选）（2026·山东日照·一模）已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（），下列说法正确的有（    ） A．数据的平均数是 B．数据的平均数是 C．若，则数据的中位数大于数据的中位数 D．若，则数据的平均数大于数据的平均数 【答案】ACD 【解析】对于A选项,设的前项和为， 所以数据的平均数是，故A选项正确： 对于B选项，当时，取为2，4，8， 平均数为，故B选项错误； 对于C选项，的中位数是，的中位数 是，故C选项正确； 对于D选项，数列的前项和为， 所以数列的前项和的平均数为， 数列是各项均为正数，且公比的等比数列， 所以， 所以的前项和， 所以数列的前项和的平均数小于， 由C选项知，，所以数列的前项和的平均数 比的前项和的平均数大，D选项正确. 故选：ACD. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 计数原理与统计及统计案例 6大考点概览 考点01排列与组合 考点02二项式定理 考点03 回归方程 考点04 统计小题 考点05 统计与统计案例综合 考点06 融合创新 ( 排列与组合 考点1 ) 1．（2026·山东日照·一模）某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有（   ） A．120种 B．144种 C．240种 D．288种 2．（2026·山东滨州·一模）春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（    ） A．24 B．60 C．120 D．240 3．（2026·山东淄博·一模）有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（    ） A．42 B．50 C．54 D．60 4．（2026·山东青岛·一模）某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 ( 二项式定理 考点2 ) 1．（2026·山东菏泽·一模）在的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东泰安·一模）的展开式中所有项的系数和为__________． 3．（2026·山东威海·一模） 的展开式的常数项是_____(用数字作答)． 4．（2026·山东聊城·一模）的展开式中的系数是____________． 5．（2026·山东济宁·一模）展开式中的常数项为__________.（用数字作答） ( 回归方程 考点3 ) 1．（2026·山东烟台·一模）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集的数据如下表所示： 零件数个 10 20 30 40 50 加工时间 40 50 60 70 90 由上表的数据求得关于的经验回归方程为，则（   ） A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4 2．（2026·山东青岛·一模）已知变量，的统计数据如下，若与的回归直线方程为，则（   ） 2.8 3.3 5.0 6.7 7.2 2.6 4.0 5.1 5.4 A．2.5 B．2.7 C．2.9 D．3.1 3．（2026·山东济南·一模）我国2016-2024年科幻产业营收（单位：亿元）如下表所示： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 时间变量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 营收 100.0 140.0 456.4 658.7 551.1 829.6 877.5 1132.9 1089.6 根据表中数据建立与的线性回归方程，预测我国2025年科幻产业营收约为（）（参考数据：） A．1222.1亿元 B．1310.9亿元 C．1339.1亿元 D．1443.4亿元 4．（2026·山东威海·一模）某医院用光电比色计检验尿汞时，得到尿汞含量（单位：）与消光系数的结果如下： 尿汞含量 2 4 6 8 10 消光系数 65 135 205 285 360 (1)求消光系数关于尿汞含量的回归直线方程； (2)根据回归直线方程，估计尿汞含量为时消光系数的值． ( 统计 小题 考点4 ) 1．（2026·山东滨州·一模）已知4个互不相等的正整数的平均数为3，极差为4，则这四个数的方差为（    ） A． B． C．3 D．2 24．（多选）（2026·山东东营·一模）一组样本数据， 其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，由这组数据得到一组新样本数据，其中 ，其平均数、方差、第一四分位数、极差分别记为，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2026·山东聊城·一模）已知第一组样本数据，，…，的方差为1，第二组样本数据，，…，的平均数为14，则（   ） A．第一组数据的平均数为4 B．第二组数据的方差为3 C．将两组数据合并后数据的平均数是9 D．将两组数据合并后数据的方差是30 ( 统计与统计案例综合 考点 5 ) 1．（多选）（2026·山东日照·一模）下列说法正确的是（    ） A．数据，，，，，的分位数为 B．若随机变量，且，则 C．通过样本数据得到的回归直线一定经过点 D．在独立性检验中，的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 2．（多选）（2026·山东济宁·一模）下列说法中正确的是（    ） A．数据的第50百分位数为32 B．已知随机变量服从正态分布，则 C．已知两个变量线性相关，其经验回归方程为，若，则 D．若样本数据的方差为2，则数据的方差为4 ( 融合创新 考点 5 ) 1．（多选）（2026·山东日照·一模）已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（），下列说法正确的有（    ） A．数据的平均数是 B．数据的平均数是 C．若，则数据的中位数大于数据的中位数 D．若，则数据的平均数大于数据的平均数 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $