专题08 解析几何（9大考点）（山东专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题08 解析几何 9大考点概览 考点01直线和圆 考点02轨迹问题 考点03抛物线的方程和性质 考点04双曲线的方程和性质 考点05椭圆的方程和性质 考点06弦长问题 考点07定值定点问题 考点08最值范围问题 考点09融合创新问题 ( 直线 和圆 考点1 ) 1．（2026·山东枣庄·一模）直线被圆截得的弦长为（   ） A． B．2 C． D．4 2．（2026·山东淄博·一模）过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东菏泽·一模）已知圆，过点的直线l与C交于A、B两点，当取最小值时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 4.（2026·山东聊城·一模）“”是“圆上恰有一点到坐标原点的距离为2”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.（2026·山东济宁·一模）圆与直线相切于点，则直线的斜率为__________. ( 轨迹问题 考点2 ) 1．（2026·山东青岛·一模）如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直于交直线于点，点的轨迹为曲线的一部分，则为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2.（2026·山东菏泽·一模）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于、两点.当点运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2026·山东威海·一模）已知平面内两点，动点满足，则（   ） A．点到点的距离为定值 B．|PB|的最小值为1 C．点到直线的距离的最大值为2 D．满足的点有且仅有两个 ( 抛物线的方程 和性质 考点3 ) 1.（2026·山东济宁·一模）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济南·一模）若圆与抛物线的准线相切，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东菏泽·一模）已知抛物线，O为坐标原点，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则直线OM的斜率的最大值为______. 4．（2026·山东德州·一模）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，过点作于，若的面积为2，则__________. 5．（2026·山东威海·一模）已知抛物线的焦点为，过的直线交于、两点，分别过、向的准线作垂线，垂足为、，若，则____________. ( 双曲线的方程和性质 考点4 ) 1．（2026·山东聊城·一模）过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，若，的面积为6（O为坐标原点），则C的渐近线的斜率为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东临沂·一模）已知双曲线的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东德州·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与在第一､四象限的交点分别为，与轴交点为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4.（多选）（2026·山东淄博·一模）已知双曲线：的上、下焦点分别为和，下顶点为，为第一象限内上的动点，当时，的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为 C． D．的内心满足 5.（多选）（2026·山东济宁·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与的右支交于点，则（    ） A．的离心率为 B． C．的最小值为-9 D．若以实轴为直径的圆与相切，则 6．（2026·山东枣庄·一模）已知双曲线（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为2，则该双曲线的实轴长为______． 7．（2026·山东青岛·一模）双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限的交点为，若直线与的一条渐近线平行，则的离心率为______. 8．（2026·山东烟台·一模）已知双曲线的左焦点为是右支上的一个动点，记点到双曲线过第一象限的渐近线的距离为，则的最小值为__________. ( 椭圆的方程和性质 考点 5 ) 1．（2026·山东威海·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过且垂直于长轴的直线交于A，B两点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济南·一模）已知椭圆的左､右焦点分别为是的左顶点，为所在平面内一点，且.若与均为等腰三角形，则的离心率为（） A． B． C． D． 3．（2026·山东聊城·一模）有一种玻璃材质的高脚杯，杯内壁的轴截面可视为椭圆的一部分，如图所示，杯体最粗处直径为，杯口直径为，杯深，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东日照·一模）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，若椭圆与抛物线在第一象限的交点为且，则椭圆的离心率为___________． ( 弦长问题 考点 6 ) 1．（2026·山东淄博·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东泰安·一模）已知抛物线的焦点为，圆与抛物线有且只有一个公共点，且圆与轴相切于点，则__________. 3．（2026·山东威海·一模）已知双曲线的焦距为2c，渐近线方程为，右焦点到直线的距离为． (1)求的方程； (2)已知直线交于B，C两点，的左顶点记为，若，求弦长|BC|． ( 定值定点问题 考点 7 ) 1．（2026·山东日照·一模）双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点．当直线的倾斜角为时，是等边三角形． (1)求双曲线的标准方程； (2)求证：为定值． 2．（2026·山东淄博·一模）已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且. (1)求抛物线的方程； (2)，为上异于，的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过，证明：直线过定点. 3．（2026·山东聊城·一模）已知抛物线的焦点为，点在上，且． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，以线段为直径作圆，该圆是否恒过上一定点？若是，求出该点坐标；若否，请说明理由． 4．（2026·山东济南·一模）已知双曲线的实轴长为4，且经过点. (1)求的方程； (2)记的右顶点为，点在线段（不含端点）上运动，垂直于轴的直线交于点（在第一象限），点满足，设直线与的另一个交点为. （i）用表示直线的斜率； （ii）证明直线过定点. 5．（2026·山东滨州·一模）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点，动点的轨迹为曲线． (1)证明为定值，并求曲线的方程； (2)若直线与曲线相交于两点． ①求面积的最大值； ②已知点，直线与曲线的另一个交点为，直线与曲线的另一个交点为．证明：直线过定点． ( 最值范围问题 考点 8 ) 1．（2026·山东菏泽·一模）已知椭圆，O为坐标原点，点A，B分别在直线与上，P是C上一点，O、A、P、B四点顺时针构成平行四边形. (1)求的值； (2)求平行四边形面积的最大值. 2．（2026·山东青岛·一模）已知为坐标原点，椭圆：（）的离心率为，长轴长为4. (1)求的方程； (2)若过的直线交于，两点，点在上，点为直线与轴的交点，点的横坐标为点横坐标的3倍. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若点，都在曲线：（）上，求的最大值. 3．（2026·山东烟台·一模）已知椭圆的右焦点为，离心率为.过点且与轴不重合的直线交于两点. (1)求的方程； (2)若的平分线垂直于轴. （i）求实数的值； （ii）以为半径的圆的面积分别记为的面积为，求的取值范围. 4．（2026·山东济宁·一模）已知椭圆的两焦点分别为，离心率为，为椭圆上三个不重合的点，且直线经过点与关于轴对称. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线经过定点，并求出该定点的坐标； (3)求内切圆半径的取值范围. 5．（2026·山东临沂·一模）已知椭圆的两个焦点分别为，，点P是C上的一个动点，当面积取得最大值时，． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为（与B不重合）． （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 6．（2026·山东泰安·一模）已知双曲线的左，右顶点分别为，实轴长为，焦点到渐近线的距离为. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与的左右两支分别交于两点（在第一象限内），记直线的倾斜角分别为. （i）求的最小值； （ii）求的值. 7.（2026·山东德州·一模）已知椭圆的焦距为2，点在上，为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点. （i）若点的坐标为，证明：； （ii）若，当时，求弦长的取值范围. 8．（2026·山东枣庄·一模）如图，，，圆的半径为4，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当在圆上运动时，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点，分别作直线交于，，，四点（，在轴的上方），且． （ⅰ）判断四边形的形状（只提供结论，无需证明）； （ⅱ）求四边形面积的最大值． ( 融合创新问题 考点 9 ) 1．（2026·山东滨州·一模）圆与椭圆有密切联系，将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，圆会变形为椭圆；同样的，将椭圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，椭圆会变形为不同的椭圆或圆．已知二面角的大小为，半平面内的圆在半平面上的正投影是椭圆在半平面上的正投影是椭圆，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东东营·一模）已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（    ） A．曲线有4条对称轴 B．的最小值是 C．曲线围成的图形面积为 D．的最大值是1 3．（2026·山东滨州·一模）某市以“渤海湾畔､生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤海明珠”曲线，其方程为．对于曲线，则下列结论正确的是（    ） A．若直线与曲线有唯一公共点，则取值范围为 B．曲线上存在唯一的点，使得点到点与到点的距离之差为4 C．曲线所围成的封闭区域面积等于 D．若曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为，则实数的取值范围为 4．（2026·山东东营·一模）已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线上任意一点到两条渐近线的距离的乘积为. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线经过点，且与双曲线的右支交于两点，设的内心为点，求证：点在定直线上； (3)从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，他们就好像是从另一个焦点射出的一样，双曲线的这一光学性质被广泛应用，如图，由发出的光线经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线经过点，连接交双曲线于点，点也是一个反射点，连接交双曲线于点，则点也是一个反射点，再连接，交双曲线于点，则点也是一个反射点，……，各反射点连线得到折线，设第n个反射点为()，求证：数列为等比数列. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 解析几何 9大考点概览 考点01直线和圆 考点02轨迹问题 考点03抛物线的方程和性质 考点04双曲线的方程和性质 考点05椭圆的方程和性质 考点06弦长问题 考点07定值定点问题 考点08最值范围问题 考点09融合创新问题 ( 直线 和圆 考点1 ) 1．（2026·山东枣庄·一模）直线被圆截得的弦长为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】因为圆的方程为，所以圆心坐标为，半径为. 则圆心到直线的距离为. 所以弦长为.故选：C. 2．（2026·山东淄博·一模）过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，B，D为切点，则，，， 由圆可得，，又，所以， 所以，则，故.故选：A. 3．（2026·山东菏泽·一模）已知圆，过点的直线l与C交于A、B两点，当取最小值时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，当点为弦AB的中点时，即时，取最小值， 又圆心，所以，进一步可得， 此时直线方程为，即． 4.（2026·山东聊城·一模）“”是“圆上恰有一点到坐标原点的距离为2”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】圆，圆心为，半径， 到坐标原点的距离为2的点的轨迹是圆，圆心，半径， 圆上恰有一点到坐标原点的距离为2，则圆与圆相切， 有，或， 当时，化简得，解得或； 当时，化简得，方程无解， 则圆上恰有一点到坐标原点的距离为2，有或， 所以“”是“圆上恰有一点到坐标原点的距离为2”的充分不必要条件. 5.（2026·山东济宁·一模）圆与直线相切于点，则直线的斜率为__________. 【答案】/ 【解析】由圆与直线相切于点，得， 解得，圆的圆心为， 过切点的圆的半径所在直线斜率为， 所以直线的斜率为. ( 轨迹问题 考点2 ) 1．（2026·山东青岛·一模）如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直于交直线于点，点的轨迹为曲线的一部分，则为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【解析】由折痕的性质可得，则直线是线段的垂直平分线，对任意的在上，由， 又因为，所以点到直线的距离为， 所以点到定点的距离等于点到定直线的距离， 由抛物线的定义，可得点的轨迹为抛物线. 2.（2026·山东菏泽·一模）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于、两点.当点运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为双曲线与直线有唯一的公共点， 所以直线与双曲线相切， 联立，消去并整理得， 所以，即， 将代入得，， 因为，，所以， 所以，，即， 由可知， 所以过点且与垂直的直线为， 令，得；令，得， 则，，则，所以，， 代入得，即， 18．（多选）（2026·山东威海·一模）已知平面内两点，动点满足，则（   ） A．点到点的距离为定值 B．|PB|的最小值为1 C．点到直线的距离的最大值为2 D．满足的点有且仅有两个 【答案】ABD 【解析】设 ，由，得到， 化简得到，因此，点 P 的轨迹是以为圆心、半径 的圆， 所以点到点的距离为定值，选项A正确； 圆心到点的距离为 , 因为点B在圆内，所以|PB|的最小值为，选项B正确； 圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为，选项C错误； ， 因为，所以，即； 化简得到， 联立方程，即， 代入，得到，解得， 得到两个解，故D正确. 故选：ABD. ( 抛物线的方程 和性质 考点3 ) 1.（2026·山东济宁·一模）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】抛物线方程为，标准形式：，可得，解得，焦点坐标为. 2．（2026·山东济南·一模）若圆与抛物线的准线相切，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心坐标为，半径为2， 抛物线的准线方程为， 圆与抛物线的准线相切， 则有，解得，所以抛物线的焦点坐标为.故选：B 3．（2026·山东菏泽·一模）已知抛物线，O为坐标原点，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则直线OM的斜率的最大值为______. 【答案】 【解析】由得，由题意知直线的斜率不为0， 所以设直线的方程为，， 联立消去得， ，则由韦达定理得，所以， 所以，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当时，， 综上，直线OM的斜率的最大值为. 4．（2026·山东德州·一模）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，过点作于，若的面积为2，则__________. 【答案】2 【解析】抛物线，焦点为，准线为， 准线与x轴交点，； 设，由抛物线定义可得，且满足， 由于，则， 即， 故，可得，即得， 结合，可得， 的面积为2，故，即，解得. 5．（2026·山东威海·一模）已知抛物线的焦点为，过的直线交于、两点，分别过、向的准线作垂线，垂足为、，若，则____________. 【答案】 【解析】如下图所示：    易知抛物线的焦点为，准线方程为， 设点、，则点、， 由题意可知直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立可得，， 由韦达定理得，， ，同理可得， 所以 ， 所以， ，， 所以. ( 双曲线的方程和性质 考点4 ) 1．（2026·山东聊城·一模）过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，若，的面积为6（O为坐标原点），则C的渐近线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，不妨取渐近线的方程为， 则，又，故， 因为，的面积为6， 所以，解得 所以的渐近线的斜率为. 2．（2026·山东临沂·一模）已知双曲线的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则， 由双曲线的定义，可得，所以， 又由， 因为，所以， 在中，由余弦定理得， ，即， 即，所以，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得，所以， 所以双曲线的离心率为. 3．（2026·山东德州·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与在第一､四象限的交点分别为，与轴交点为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如下图： 易知，所以，且为的中点， 又，所以，因此可得, 代入双曲线方程可得，整理并化简可得， 即，解得或（舍）； 因为双曲线离心率，所以. 4.（多选）（2026·山东淄博·一模）已知双曲线：的上、下焦点分别为和，下顶点为，为第一象限内上的动点，当时，的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为 C． D．的内心满足 【答案】ACD 【解析】对于A：由双曲线定义得 ，平方得 ， 在 中由余弦定理得， ， 代入 ，整理得 ，即 ， 的面积， 得 ，即， 又因为，所以，则离心率 ，A正确； 对于选项B：焦点在轴的双曲线渐近线为 ，代入 ，得 ，B错误； 对于选项C：，设 ，满足 ， 设，，则 ， 代入 ，化简得 。 设，同理得 ，且 ，故 ，C正确； 对于选项D：首先考虑选项C的逆命题即若点在第一象限且满足，则点在双曲线上. 下面证明这个命题，设，则， 化简得，所以点在双曲线上，该命题成立. 又因为内心是三角形各角平分线的交点，所以， 根据上述命题，在双曲线上，所以，所以. 5.（多选）（2026·山东济宁·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与的右支交于点，则（    ） A．的离心率为 B． C．的最小值为-9 D．若以实轴为直径的圆与相切，则 【答案】BCD 【解析】对于A选项，由双曲线方程为，可得，，所以，所以，，所以离心率为，故A错误； 对于B选项，，设直线：，直线与双曲线联立可得， ，， ，，，因为直线与双曲线右支交于一点， 所以，解得，故B正确； 对于C选项，设，，，所以， 由在双曲线上可得，代入可得，， 当时，取得最小值，可得，故C正确； 对于D选项，以实轴为直径的圆，圆心为原点，半径，直线与圆相切， 由点到直线的距离公式，，联立求解坐标， 将代入双曲线方程，可得，解得，， 所以，， ，，故D正确. 6．（2026·山东枣庄·一模）已知双曲线（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为2，则该双曲线的实轴长为______． 【答案】4 【解析】由抛物线方程可得，解得，故抛物线焦点坐标为， 因双曲线（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，故， 又离心率为，解得，则该双曲线的实轴长为. 7．（2026·山东青岛·一模）双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限的交点为，若直线与的一条渐近线平行，则的离心率为______. 【答案】 【解析】因为以为直径的圆与在第一象限的交点为，所以. 由直线与的一条渐近线平行可得，所以， 又由双曲线定义可得，所以，得，所以. 由得，即，整理得， 所以，，离心率. 8．（2026·山东烟台·一模）已知双曲线的左焦点为是右支上的一个动点，记点到双曲线过第一象限的渐近线的距离为，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】如图，作出符合题意的图形，作出双曲线的右焦点， 作垂直于渐近线，连接，可得， 由题意得，则， 由双曲线的定义得，则， 则，当且仅当共线时取等， 因为垂直于渐近线，所以垂直于渐近线， 由题意得渐近线方程为， 由点到直线的距离公式得， 则. ( 椭圆的方程和性质 考点 5 ) 1．（2026·山东威海·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过且垂直于长轴的直线交于A，B两点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设焦点，则过且垂直于长轴的直线为， 将代入，得到， 所以， 因为，所以， 所以，即， 化简得到， 因为，解得.故选：A. 2．（2026·山东济南·一模）已知椭圆的左､右焦点分别为是的左顶点，为所在平面内一点，且.若与均为等腰三角形，则的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知椭圆的左、右焦点为，，左顶点. 因为为等腰三角形且，所以是等边三角形，边长为，故，点坐标为. 又为等腰三角形，，，. 由等腰三角形性质， 若，则，则，离心率. 若，可得，即，则， 因为，所以此情况不成立. 若，可得，则， 化简得，因为，所以，不满足，此情况不成立. 因此，椭圆的离心率为.故选：D 3．（2026·山东聊城·一模）有一种玻璃材质的高脚杯，杯内壁的轴截面可视为椭圆的一部分，如图所示，杯体最粗处直径为，杯口直径为，杯深，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作杯内壁的轴截面如图，建立如图所示的平面直角坐标系. 设椭圆的标准方程为， 由题意：， 当时，则，所以对应第一象限内点的纵坐标为. 因为杯深，所以. 所以椭圆的离心率为：. 4．（2026·山东日照·一模）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，若椭圆与抛物线在第一象限的交点为且，则椭圆的离心率为___________． 【答案】 【解析】由焦点，得，，所以抛物线的方程为，准线为.又由，得，所以， 设椭圆的左焦点为，有，故，则， 可得离心率为. ( 弦长问题 考点 6 ) 1．（2026·山东淄博·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】椭圆：的右焦点， 过且倾斜角为的直线的方程为，即， 将代入，得到，即， 设，则， 则，故选项B正确. 2．（2026·山东泰安·一模）已知抛物线的焦点为，圆与抛物线有且只有一个公共点，且圆与轴相切于点，则__________. 【答案】/ 【解析】由题意知,准线方程为, 因为圆与轴相切于点,所以可设圆心,半径为. 可得圆的方程式为，展开得, 因抛物线与圆有且只有一个公共点， 将代入圆的方程得，即, 因此该方程只有一解，当时，即有且仅有一个实数根， 令函数， 则， 令，可得， 因此当，；当，；当，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 又易知函数满足，即函数为奇函数， 因此当时，在处取得极小值，其函数图象如下图所示： 即可得当时，满足题意，此时，即，； 所以切点的坐标满足， 因此. 3．（2026·山东威海·一模）已知双曲线的焦距为2c，渐近线方程为，右焦点到直线的距离为． (1)求的方程； (2)已知直线交于B，C两点，的左顶点记为，若，求弦长|BC|． 【解】（1）由题意知，，      解得，      所以的方程为 （2）联立，整理得，      由，可得， 设，则      因为， 又直线过点，且，     所以，所以①，（也可利用斜率相等或向量共线得出）     将①式代入得，消去得，     解得，     则    ( 定值定点问题 考点 7 ) 1．（2026·山东日照·一模）双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点．当直线的倾斜角为时，是等边三角形． (1)求双曲线的标准方程； (2)求证：为定值． 【解】（1）设双曲线的焦距为，则可得， 当的倾斜角为时，不妨设，如下图所示： 将点代入可得， 又，解得， 由是等边三角形可得， 即，联立解得或（舍）； 所以可得， 故双曲线的标准方程为. （2）由（1）得，即，分两种情况讨论： ① 当直线斜率不存在时，此时的方程为，代入双曲线得， 即过，则， ② 当直线斜率存在时，设直线，不妨设， 联立直线和双曲线方程，消去得． 由韦达定理：， 计算可得， 代入韦达定理，结果化简得：， 综上，无论直线斜率是否存在，为定值-1. 2．（2026·山东淄博·一模）已知抛物线：与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为，，且. (1)求抛物线的方程； (2)，为上异于，的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过，证明：直线过定点. 【解】（1）的渐近线为， 联立，解得或，故， 由对称性可得，则， 故（负值舍去），即抛物线的方程为； （2）由（1）知，设、， 由以线段为直径的圆恰好经过，则， 由，， 则 ， 由，异于，故， 则， 设，，则， ，则， ，，即，， 故,即， 则， 当时，，故直线过定点. 3．（2026·山东聊城·一模）已知抛物线的焦点为，点在上，且． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，以线段为直径作圆，该圆是否恒过上一定点？若是，求出该点坐标；若否，请说明理由． 【解】（1）解：由抛物线，可得其焦点为，准线方程为， 因为点在抛物线上，可得，解得， 又因为，根据抛物线的定义，可得，即， 整理得，解得或， 因为，所以，所以抛物线的方程为. （2）解：设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 则， ， 假设以线段为直径的圆恒过上的点，则， 因为，且， 所以， 整理得， 因为，所以， 两边同时除以，可得， 即，即， 将代入上式，可得， 整理得， 因为上式对任意恒成立，所以，解得， 当时，可得， 所以以线段为直径的圆恒过抛物线上一定点. 4．（2026·山东济南·一模）已知双曲线的实轴长为4，且经过点. (1)求的方程； (2)记的右顶点为，点在线段（不含端点）上运动，垂直于轴的直线交于点（在第一象限），点满足，设直线与的另一个交点为. （i）用表示直线的斜率； （ii）证明直线过定点. 【解】（1）由题意可知， 解得， 故的方程为. （2）（i）因为，所以直线方程为， 由于，故， 因为，所以， 所以. （ii）由（i）可知， 即. 由题意可知，直线的斜率显然存在， 设直线，联立，消得 ， ， ， 所以， 所以直线， 所以直线过定点. 5．（2026·山东滨州·一模）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点，动点的轨迹为曲线． (1)证明为定值，并求曲线的方程； (2)若直线与曲线相交于两点． ①求面积的最大值； ②已知点，直线与曲线的另一个交点为，直线与曲线的另一个交点为．证明：直线过定点． 【解】（1）因为，， 所以， 所以，故， 又圆的标准方程为，从而， 所以，即为定值, 由题设得， 由椭圆的定义可得，所求曲线的方程为. （2）设， ①由可得， 因为直线与曲线相交于两点， 所以，则, 由根与系数的关系可得：，， 因为 ， 当且仅当时取等号，且满足， 所以面积的最大值为1. ②由题意知，直线的斜率存在，且直线的方程为， 由可得， 展开得， 所以 ， 所以， 所以， 同理， 设直线的方程为，则， 所以，同理可得， 所以直线的方程为， 因为直线的斜率为1，所以即， 所以直线的方程为， 所以过定点. ( 最值范围问题 考点 8 ) 1．（2026·山东菏泽·一模）已知椭圆，O为坐标原点，点A，B分别在直线与上，P是C上一点，O、A、P、B四点顺时针构成平行四边形. (1)求的值； (2)求平行四边形面积的最大值. 【解】（1）因为点分别在直线与上，所以可设， 设，则 因为四边形OAPB是平行四边形，所以 即 所以， 所以 （2）因为点A，B分别在直线与上 设直线OA的倾斜角为，则， ， ，即， 所以平行四边形OAPB的面积为 在中，设， 所以，当且仅当时等号成立 所以平行四边形的面积为， 当且仅当时等号成立，所以平行四边形的面积的最大值为. 2．（2026·山东青岛·一模）已知为坐标原点，椭圆：（）的离心率为，长轴长为4. (1)求的方程； (2)若过的直线交于，两点，点在上，点为直线与轴的交点，点的横坐标为点横坐标的3倍. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若点，都在曲线：（）上，求的最大值. 【解】（1）由题得，，，得，，， 所以的方程为； （2）（ⅰ）（法1）设，，，， 因为，两式作差得：， 又因为，即，所以， 所以； （法2）由题可知直线斜率存在且不为0， 设：，，，，， 由，得，所以， 所以，， 因为，则，即有，所以； （ⅱ）设，，其中，，， 因为，所以， 两式相乘得：，又因为， 所以， 所以， 令（）， 所以， 令，又因为在区间上单调递增； 所以， 显然在上单调递增，因为，得， 所以，所以（当且仅当，时取等号）， 综上，的最大值为. 3．（2026·山东烟台·一模）已知椭圆的右焦点为，离心率为.过点且与轴不重合的直线交于两点. (1)求的方程； (2)若的平分线垂直于轴. （i）求实数的值； （ii）以为半径的圆的面积分别记为的面积为，求的取值范围. 【解】（1）由已知，右焦点为 ，故 ， 离心率 ，解得 ， 由 ， 得椭圆 的方程为 （2）（i）设直线 的方程为 ， 代入椭圆方程得， 设 ，，则 的平分线垂直于 轴，等价于 ， 且直线与椭圆有两个交点， 由 得， 将韦达定理代入：， 化简得：， 解得： . 因此，实数 的值为 ； （ii）由（i）知 ，直线方程为 （）， 联立椭圆方程得 则 由直线与椭圆有两个交点得： ， 三角形 的面积， ， 又， 所以， 于是， ， 故， 令 ，则： 考虑函数 ，， 由，得， 故在上单调递增， 当时，， 所以的值域为， 因此， 的取值范围是 。 4．（2026·山东济宁·一模）已知椭圆的两焦点分别为，离心率为，为椭圆上三个不重合的点，且直线经过点与关于轴对称. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线经过定点，并求出该定点的坐标； (3)求内切圆半径的取值范围. 【解】（1）由椭圆的焦点分别为，得， 由离心率，得，则， 所以椭圆的标准方程为. （2）证明：由直线AC过，设直线AC的方程为， 因为不重合且B与关于轴对称，所以m存在且， 联立，得， 设，则， 则 又直线AB的斜率，所以直线AB的方程为， 整理得 令，得，所以直线AB恒过点. （3）由椭圆的定义得的周长为，则的面积， 所以， 又 令，由，得，则， 所以， 因为在上单调递增， 所以，则， 所以，即内切圆半径的取值范围为. 5．（2026·山东临沂·一模）已知椭圆的两个焦点分别为，，点P是C上的一个动点，当面积取得最大值时，． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为（与B不重合）． （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【解】（1）因为，又，所以， 又面积取得最大值，所以， 在中，，所以，所以， 又，所以，所以，解得， 所以，所以椭圆C的方程为； （2）（ⅰ）当过点的直线l不与x轴重合时， 设直线l的方程为，， 由，得， 整理得， 由韦达定理得， 因为为点A关于x轴的对称点，所以，所以， 所以直线的方程为， 由对称性，直线所过定点一定在轴上， 令，可得 ， 所以直线过定点； 当过点的直线与x轴重合时，显然过点； 综上所述：直线过定点； （ⅱ）记直线过定点为， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为． 6．（2026·山东泰安·一模）已知双曲线的左，右顶点分别为，实轴长为，焦点到渐近线的距离为. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与的左右两支分别交于两点（在第一象限内），记直线的倾斜角分别为. （i）求的最小值； （ii）求的值. 【解】（1）∵双曲线的渐近线方程为， ∴焦点到渐近线的距离为， ，； ∴双曲线的标准方程为； （2）（i）由题意知直线的斜率存在，设的方程为， 由得， 得， 法一： ， ∵点到直线的距离， ， 法二： ， 令， ， ∴当时，的最小值为； （ii）由题意知，直线BD，BE斜率都存在 ， ， ， ， ， 7.（2026·山东德州·一模）已知椭圆的焦距为2，点在上，为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点. （i）若点的坐标为，证明：； （ii）若，当时，求弦长的取值范围. 【解】（1）（1）由得 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）当直线与轴重合时，显然成立； 当直线与轴不重合时，设直线方程为. 联立得， 则，. 因为 所以. 故的倾斜角互补，所以. （ii）由，则. 可得 因为，所以 又因为 所以 令，则 . 8．（2026·山东枣庄·一模）如图，，，圆的半径为4，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当在圆上运动时，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点，分别作直线交于，，，四点（，在轴的上方），且． （ⅰ）判断四边形的形状（只提供结论，无需证明）； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 【解】（1）连接，由题意知，， 则动点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 即，则， 所以的方程为. （2）（ⅰ）由题意，，且，， 结合椭圆的对称性，易知， 则四边形为平行四边形. （ⅱ）由（ⅰ）知，四边形为平行四边形，为其中心， 则四边形面积为， 由题意，设直线的方程为，， 联立，得， 则， ，， 则 ， 则四边形面积为， 令，，则， 因为函数在上单调递增，则， 则，即四边形面积的最大值为6. ( 融合创新问题 考点 9 ) 1．（2026·山东滨州·一模）圆与椭圆有密切联系，将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，圆会变形为椭圆；同样的，将椭圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，椭圆会变形为不同的椭圆或圆．已知二面角的大小为，半平面内的圆在半平面上的正投影是椭圆在半平面上的正投影是椭圆，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不妨设圆与切于点，过作与垂直的平面分别交半平面，于射线，（如图）. 设圆的半径为，椭圆，的中心分别为，，长短半轴分别为，，，， 则，，，而， 由平面几何知识易得，， 故椭圆的离心率. 2．（2026·山东东营·一模）已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（    ） A．曲线有4条对称轴 B．的最小值是 C．曲线围成的图形面积为 D．的最大值是1 【答案】ACD 【解析】当时，原方程化为，即， 所以曲线是以圆心为，半径为的圆在第一象限的部分， 又由图象关于轴，轴对称，所以曲线，如图所示.， 对于A中，由图象可得，该曲线关于轴，轴，和对称， 所以该曲线有4条对称轴，所以A正确， 对于B中，由表示曲线上的点到直线的距离的倍， 结合图象得，当是时，距离最小值为， 所以最小值为，所以B错误； 对于C中，曲线围成的图形由四个直径为的半圆和一个边长为的正方形组成， 所以面积为，所以C正确； 对于D中，设表示点与点确定的直线的斜率， 设该直线方程为，结合图象，当，即， 则圆心为，半径为的圆在第四象限的部分与直线相切时， 该切线的斜率是的最大值，由，可得，解得或（舍），则的最大值为1，所以D正确. 故选：ACD. 3．（2026·山东滨州·一模）某市以“渤海湾畔､生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤海明珠”曲线，其方程为．对于曲线，则下列结论正确的是（    ） A．若直线与曲线有唯一公共点，则取值范围为 B．曲线上存在唯一的点，使得点到点与到点的距离之差为4 C．曲线所围成的封闭区域面积等于 D．若曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为，则实数的取值范围为 【答案】BC 【解析】因为曲线：，分象限讨论： 当时，方程为，即，其表示以为圆心，以为半径的圆的第一象限部分； 当时，方程为，即，其表示以为圆心，以为半径的圆的第二象限部分； 当时，方程为，即，其表示以为圆心，以为半径的圆的第三象限部分； 当时，方程为，即，其表示以为圆心，以为半径的圆的第四象限部分； 如图： 曲线C由四段圆弧组成，关于x轴、y轴、原点对称. 对于A，直线过原点，所以直线必和曲线C有一个交点， 再以第一象限为例，圆心到直线的距离， 化简得，即当时直线与圆相切，同理可分析其它各个象限， 所以当时，直线与曲线有唯一公共点， 当或时，直线与曲线有3个公共点，如图：故A错误； 对于B，因为点到点与到点的距离之差为4， 所以点在以，为焦点，以实轴长为4的双曲线的下支上，方程为， 显然双曲线的一个实顶点在曲线C上且只有这一个点，所以B正确； 对于C，先计算第一象限部分的弓形弧的面积，扇形弦长为2，半径为， 所以扇形的圆心角为，所以第一象限部分的弓形的面积， 所以曲线所围成的封闭区域面积等于，故C正确； 对于D，由A选项的分析可知，与直线平行且与曲线C相切的两条直线为， 而这两条切线间的距离为. 当直线与切线的距离为时，则，解得或（舍去）； 当直线与切线的距离为时，则，解得或（舍去）； 当直线与切线的距离为时，则，解得或； 因为曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为， 由图可得实数的取值范围为，D错误. 4．（2026·山东东营·一模）已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线上任意一点到两条渐近线的距离的乘积为. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线经过点，且与双曲线的右支交于两点，设的内心为点，求证：点在定直线上； (3)从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，他们就好像是从另一个焦点射出的一样，双曲线的这一光学性质被广泛应用，如图，由发出的光线经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线经过点，连接交双曲线于点，点也是一个反射点，连接交双曲线于点，则点也是一个反射点，再连接，交双曲线于点，则点也是一个反射点，……，各反射点连线得到折线，设第n个反射点为()，求证：数列为等比数列. 【解】（1）由题意得双曲线的左，右焦点分别为， 则，可得，且双曲线的渐近线方程为， 设到两条渐近线的距离分别为，， 由点到直线的距离公式得，， 则，而到两条渐近线的距离的乘积为， 可得，化简得， 解得（另一根舍去），则双曲线的方程为. （2）由题意得的斜率一定存在，且直线经过点， 设直线方程为，如图，作出符合题意的图形， 设的角分线的方向向量为，， 则，， 且，即， 因为在双曲线上，所以，化简得， 则， 同理可得，则， 整理可得， 因为，， 所以化简得，而，则， 解得，可得的角分线的斜率为， 则的角分线的方程为，化简得， 结合内心的性质得点在定直线上. （3）如图，作出符合题意的图形， 因为， 所以， ， 则，由角分线定理得， 可得，整理可得， 同理可得，两式联立可得， 由题意得，则，可得， 则数列为以为首项，为公比的等比数列. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $