专题04 导数与函数的单调性，极值和最值（期中复习讲义）高二数学下学期北师大版

专题04 导数与函数的单调性，极值和最值（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 不含参函数的单调性 题型02 含参函数的单调性 题型03 比较大小或解不等式 题型04 已知函数单调性求参数 题型05 由图象判断函数的极值 题型06 求函数的极值（极值点） 题型07 已知函数的极值求参数 题型08 不含参函数的最值 题型09 含参函数的最值 题型10 最优化问题 题型11 最恒成立问题 题型12 零点问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 利用导数研究函数的单调性 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 3.会利用函数的单调性判断大小，求参数范围等简单应用. 4.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 5.能利用导数求某些函数的极大值、极小值，会求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值. 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是重点考查内容，多以选择、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题. 利用导数研究函数的极值和最值 知识点01 函数的单调性与导数 1. 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在区间上单调递增函数 在区间上单调递减函数 在区间上是常数函数 2. 原函数与导函数性质之间的关系 （1） 可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数. （2） 可导周期函数的导数还是周期函数. （3） 原函数与导函数对称性之间的关系 1　 函数的图像关于直线对称的图像关于点对称. 2　 函数的图像关于点对称的图像关于直线对称. （4） 为偶函数有对称中心. 知识点02导数与函数的极值 (1) 极大值：一般地，设函数在点及附近有定义，如果对点附近其他点都有，；而且在点附近的左侧，右侧.则是函数的极大值点，是函数的一个极大值，记作. (2) 极小值：一般地，设函数在点及附近有定义，如果对点附近其他点都有，；而且在点附近的左侧，右侧.则是函数的极小值点，是函数的一个极小值，记作. (3) 极小值和极大值统称为极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 知识点3 函数的最值 如果在闭区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，但不一定有极值. 题型01 不含参函数的单调性 解｜题｜技｜巧 单调区间的求法 （1）求函数的单调区间时应注意先求定义域； （2）使f'（x）＞0的区间为f（x）的单调递增区间，使f'（x）＜0的区间为f（x）的单调递减区间； （3）若函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开. 【典例1】（2026·江西南昌期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·山东日照期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D．和 【变式2】（25-26高二上·重庆·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 题型02 含参函数的单调性 解｜题｜技｜巧 讨论函数f（x）单调性的步骤 （1）确定函数f（x）的定义域； （2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根； （3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性. 【典例2】已知，其中为实数，讨论的单调性． 【变式1】函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，则函数在上的单调递减区间为________，单调递增区间为________． 题型03 比较大小或解不等式 解｜题｜技｜巧 1.由函数的单调性比较大小的方法 （1）若已知函数解析式比较函数值的大小，首先要判断已知函数的单调性，然后根据单调性比较大小； （2）若是比较数值的大小，其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅助函数，并根据构造的辅助函数的单调性比较大小. 2.利用函数的单调性解不等式的关键 （1）会构造函数，能根据所给的不等式的特征，结合已知函数的特征，合理地构造新函数； （2）会判断函数的性质，即借用奇偶函数的定义，判断函数的奇偶性，借用导数，判断函数的单调性； （3）会转化，利用函数的单调性，得未知数所满足的不等式（组），通过解不等式（组），得到未知数的取值范围. 【典例3】（2025·四川泸州·一模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·山东临沂二模）已知函数，且，则的大小关系（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山西大同二模）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ． 题型04 已知函数单调性求参数 解｜题｜技｜巧 根据函数单调性求参数取值范围的一般思路 （1）利用集合间的包含关系处理，函数y＝f（x）在（a，b）上单调，则区间（a，b）是相应单调区间的子集； （2）函数f（x）在（a，b）上单调递增的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f'（x）≥0，且在（a，b）的任一子区间上，f'（x）不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解； （3）函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【典例4】（2025·湖南长沙·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】函数的单调递减区间是，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·湖南长沙·期末）函数在区间上存在单调递增区间，则实数k的取值范围是__________． 题型05 由图象判断函数的极值 解｜题｜技｜巧 由图象判断函数y＝f（x）的极值要抓住两点 （1）由y＝f'（x）的图象与x轴的交点，可得函数y＝f（x）的可能极值点； （2）由导函数y＝f'（x）的图象可以看出y＝f'（x）的值的正负，从而可得函数y＝f（x）的单调性.两者结合可得极值点. 【典例5】如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的是（   ） A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数，在区间上是增函数 C．是的极大值点 D．是的极小值点 【变式1】（25-26高二上·广东广州·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在处取得极大值 C．在区间上单调递减 D．在处取得极小值 【变式2】（25-26高三上·四川成都·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．的最小值为 C．的极大值为，极小值为 D．的极小值点为0，极大值点为1 题型06 求函数的极值（极值点） 解｜题｜技｜巧 求函数的极值或极值点的步骤 （1）确定函数f（x）的定义域； （2）求导数f'（x），求方程f'（x）＝0的根； （3）检查在方程的根的左右两侧f'（x）的符号，确定极值点和函数的极值. 【典例6】函数在区间的极大值、极小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（25-26高二下·山东济宁·期中）函数的极值点为（   ） A． B． C．或 D． 【变式2】（2025·河南·模拟预测）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．7 【变式3】（25-26高三上·河南·月考）函数在上的极值为（    ） A． B．1 C． D． 题型07 已知函数的极值求参数 解｜题｜技｜巧 已知函数极值点或极值求参数的2个要领 （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； （2）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 【典例7】（2025·江苏南通·二模）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·江西上饶·期末）已知函数没有极值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型08 不含参函数的最值 解｜题｜技｜巧 利用导数求给定区间上的最值的步骤 （1）求函数f（x）的导数f'（x）； （2）利用f'（x）＝0求f（x）在给定区间上所有可能极值点的函数值； （3）求f（x）在给定区间上的端点值； （4）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大值与最小值. 【典例8】（2025·河南驻马店二模）函数在区间上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·全国·课堂例题）函数在上的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·河南南阳·期末）函数在上的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 题型09 含参函数的最值 解｜题｜技｜巧 已知函数的最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决. 【典例9】（2025·广东河源二模）若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【变式1】已知函数在区间上存在最小值，则实数_________． 【变式2】若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是__________． 题型10 最优化问题 解｜题｜技｜巧 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 　（1）分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x），根据实际意义确定定义域； （2）求函数的导数f'（x），解方程f'（x）＝0； （3）比较函数在区间端点和使f'（x）＝0的点处的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值. 【典例10】在新型太空舱生命维持系统的储液罐设计中，采用一种胶囊形结构：中间部分为圆柱体，左、右两端均为半球形封头，圆柱底面半径和半球半径均为.已知储液罐外表面积为定值，当储液罐的体积取最大值时（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三上·河南·开学考试）近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式2】现有一张半径为1m的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮(如图1阴影部分)，并卷成一个深度为的圆锥筒，如图2，则圆锥筒的容积最大值为（    ） A． B． C． D． 题型11 最恒成立问题 解｜题｜技｜巧 1.由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 (1)求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题. (2)分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a＞f(x)max或a＜f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围. 2.不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解两类问题的差别. 【典例11】（25-26高三上·河北衡水·月考）已知函数 (1)讨论的单调性. (2)若对任意都有恒成立，求的取值范围. 【变式1】已知函数，若在恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·贵州毕节·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围． 题型12 零点问题 解｜题｜技｜巧 1.三步求解函数零点(方程根)的个数问题 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质； 第三步：结合图象求解. 2.已知零点求参数的取值范围：(1)结合图象与单调性，分析函数的极值点；(2)依据零点确定极值的范围；(3)对于参数选择恰当的分类标准进行讨论. 【典例12】（25-26高三上·甘肃兰州·期末）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 【变式1】（25-26高三上·重庆·月考）已知函数 . (1)当时，讨论的单调性； (2)证明:当时，在上有且仅有一个零点. 【变式2】（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知函数. (1)求的值域； (2)讨论函数的零点个数. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·江苏南通二模）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·江苏南京·三模）已知函数，则当时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河南安阳·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 5．（2024·江苏无锡·模拟）已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 6．（2026·江西宜春·三模）已知，，，其中为自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 7.（2025·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（知识交汇）（2024·安徽淮北二模）已知函数，则“”是“是的一个极小值点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9.（2025·湖南·三模）已知函数在时取极小值，则其导函数的最小值为 10.给定函数 (1)求函数的单调区间； (2)画出函数的大致图象； (3)求出方程的解的个数. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 11.（2023·新课标Ⅱ卷T6）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 12.（2022·新高考全国Ⅰ卷T7）设，则（    ） A． B． C． D． 13.（多选）（2024新课标全国Ⅰ卷T10）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 14.（2025·新课标1卷T19节选）设函数，则在的最大值 15.（2025·新课标Ⅱ卷T13）若是函数的极值点，则 16.（2024新高考Ⅱ卷T16节选）已知函数．若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围 ． 17.（2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性. 18．（2024·新课标Ⅱ卷T16）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 导数与函数的单调性，极值和最值（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 不含参函数的单调性 题型02 含参函数的单调性 题型03 比较大小或解不等式 题型04 已知函数单调性求参数 题型05 由图象判断函数的极值 题型06 求函数的极值（极值点） 题型07 已知函数的极值求参数 题型08 不含参函数的最值 题型09 含参函数的最值 题型10 最优化问题 题型11 最恒成立问题 题型12 零点问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 利用导数研究函数的单调性 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 3.会利用函数的单调性判断大小，求参数范围等简单应用. 4.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 5.能利用导数求某些函数的极大值、极小值，会求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值. 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是重点考查内容，多以选择、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题. 利用导数研究函数的极值和最值 知识点01 函数的单调性与导数 1. 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在区间上单调递增函数 在区间上单调递减函数 在区间上是常数函数 2. 原函数与导函数性质之间的关系 （1） 可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数. （2） 可导周期函数的导数还是周期函数. （3） 原函数与导函数对称性之间的关系 1　 函数的图像关于直线对称的图像关于点对称. 2　 函数的图像关于点对称的图像关于直线对称. （4） 为偶函数有对称中心. 知识点02导数与函数的极值 (1) 极大值：一般地，设函数在点及附近有定义，如果对点附近其他点都有，；而且在点附近的左侧，右侧.则是函数的极大值点，是函数的一个极大值，记作. (2) 极小值：一般地，设函数在点及附近有定义，如果对点附近其他点都有，；而且在点附近的左侧，右侧.则是函数的极小值点，是函数的一个极小值，记作. (3) 极小值和极大值统称为极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 知识点3 函数的最值 如果在闭区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，但不一定有极值. 题型01 不含参函数的单调性 解｜题｜技｜巧 单调区间的求法 （1）求函数的单调区间时应注意先求定义域； （2）使f'（x）＞0的区间为f（x）的单调递增区间，使f'（x）＜0的区间为f（x）的单调递减区间； （3）若函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开. 【典例1】（2026·江西南昌期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为， 且， 令，解得， 所以的单调递增区间为，故选：D 【变式1】（2026·山东日照期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D．和 【答案】B 【解析】的定义域为，且，所以当时，，单调递增，的单调递增区间为，故选B 【变式2】（25-26高二上·重庆·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知函数的定义域为，, 又，令，解得时， 所以函数的单调递增区间为故选：C 题型02 含参函数的单调性 解｜题｜技｜巧 讨论函数f（x）单调性的步骤 （1）确定函数f（x）的定义域； （2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根； （3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性. 【典例2】已知，其中为实数，讨论的单调性． 【解】， ①当时，由得 ；由得， 故在上单调递减，在上单调递增； ②当时，由得；由得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，恒成立， 所以在上单调递增； ④当时，由得；由得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 【变式1】函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，.则， 由，解得，此时单调递增.故选：B 【变式2】已知函数，则函数在上的单调递减区间为________，单调递增区间为________． 【答案】 【解析】，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 题型03 比较大小或解不等式 解｜题｜技｜巧 1.由函数的单调性比较大小的方法 （1）若已知函数解析式比较函数值的大小，首先要判断已知函数的单调性，然后根据单调性比较大小； （2）若是比较数值的大小，其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅助函数，并根据构造的辅助函数的单调性比较大小. 2.利用函数的单调性解不等式的关键 （1）会构造函数，能根据所给的不等式的特征，结合已知函数的特征，合理地构造新函数； （2）会判断函数的性质，即借用奇偶函数的定义，判断函数的奇偶性，借用导数，判断函数的单调性； （3）会转化，利用函数的单调性，得未知数所满足的不等式（组），通过解不等式（组），得到未知数的取值范围. 【典例3】（2025·四川泸州·一模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，∴，∴在上为增函数， 由得，，解得，故的取值范围是，故选B. 【变式1】（2025·山东临沂二模）已知函数，且，则的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，当时，，所以在单调递增， 因为，所以，即，故选D 【变式2】（2025·山西大同二模）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】设则，故在R上单调递减， 且，即， 即，故. 故不等式的解集为. 题型04 已知函数单调性求参数 解｜题｜技｜巧 根据函数单调性求参数取值范围的一般思路 （1）利用集合间的包含关系处理，函数y＝f（x）在（a，b）上单调，则区间（a，b）是相应单调区间的子集； （2）函数f（x）在（a，b）上单调递增的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f'（x）≥0，且在（a，b）的任一子区间上，f'（x）不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解； （3）函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【典例4】（2025·湖南长沙·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得在上恒成立，则. 因为，要使得不等式恒成立，则．故选D. 【变式1】函数的单调递减区间是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知，因为函数有单调递减区间，所以； 令，则，又，故， 即的单调递减区间是，可得.故选：A. 【变式2】已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，函数在区间上是减函数， 所以，恒成立. 所以，恒成立. 设，， 因为对称轴为，所以在为增函数， 所以，所以.故选：C 【变式3】（25-26高二上·湖南长沙·期末）函数在区间上存在单调递增区间，则实数k的取值范围是__________． 【答案】 【解析】函数定义域为，求导得， 函数在区间上存在单调递增区间， 在区间上有解，即在区间上有解， 即在区间上能成立，故， 又，当且仅当时取等号， ，故实数的取值范围是． 题型05 由图象判断函数的极值 解｜题｜技｜巧 由图象判断函数y＝f（x）的极值要抓住两点 （1）由y＝f'（x）的图象与x轴的交点，可得函数y＝f（x）的可能极值点； （2）由导函数y＝f'（x）的图象可以看出y＝f'（x）的值的正负，从而可得函数y＝f（x）的单调性.两者结合可得极值点. 【典例5】如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的是（   ） A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数，在区间上是增函数 C．是的极大值点 D．是的极小值点 【答案】A 【解析】根据图象知，当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减，故A错误，故B正确； 当时，取得极大值，是的极大值点，故C正确； 当时，取得极小值，是的极小值点，故D正确，故选A. 【变式1】（25-26高二上·广东广州·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在处取得极大值 C．在区间上单调递减 D．在处取得极小值 【答案】D 【解析】对A，当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减，故A错误； 对B，在附近，导函数符号不变，则在处取不到极大值，故B错误； 对C，当时，此时单调递增，故C错误； 对D，由图知为附近的最低点，则在处取得极小值，故D正确. 故选：D. 【变式2】（25-26高三上·四川成都·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．的最小值为 C．的极大值为，极小值为 D．的极小值点为0，极大值点为1 【答案】D 【解析】由图像可知，当时，，所以. 所以，所以在上为减函数，A错误； 当时，，所以. 所以，所以在上为增函数， 当时，，所以. 所以，所以在上为减函数，所以的最小值为或，B错误； 因为在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数， 所以的极大值为，极小值为，极大值点为1，极小值点为0，所以C错误D正确； 故选：D. 题型06 求函数的极值（极值点） 解｜题｜技｜巧 求函数的极值或极值点的步骤 （1）确定函数f（x）的定义域； （2）求导数f'（x），求方程f'（x）＝0的根； （3）检查在方程的根的左右两侧f'（x）的符号，确定极值点和函数的极值. 【典例6】函数在区间的极大值、极小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由题意，得， 当时，，； 当时，，． 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 当时，取得极小值，为； 当时，取得极大值，为． 故选：D． 【变式1】（25-26高二下·山东济宁·期中）函数的极值点为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】因为，则， 令得到或，易知时，，当时，， 所以不是极值点，的极小值点为， 故选：B. 【变式2】（2025·河南·模拟预测）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．7 【答案】C 【解析】由题意，，， 令，解得或1， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当，取得极小值，且. 故选：C 【变式3】（25-26高三上·河南·月考）函数在上的极值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】 ， 因为， 所以当时，，所以该函数在区间上单调递增， 当时，，所以该函数在区间上单调递减， 所以当时，是函数的极大值点，所以极大值为， 故选：A 题型07 已知函数的极值求参数 解｜题｜技｜巧 已知函数极值点或极值求参数的2个要领 （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； （2）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 【典例7】（2025·江苏南通·二模）若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，可得， 若，此时单调递增，无极值点， 故，令，解得， 当时，，当时，， 故是的极值点 由于函数有大于零的极值点， ，解得． 故选：C． 【变式1】（25-26高二下·江西上饶·期末）已知函数没有极值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数，可得， 因为函数没有极值，可得， 即，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【变式2】（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对函数求导得， 因为函数在上无极值，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 题型08 不含参函数的最值 解｜题｜技｜巧 利用导数求给定区间上的最值的步骤 （1）求函数f（x）的导数f'（x）； （2）利用f'（x）＝0求f（x）在给定区间上所有可能极值点的函数值； （3）求f（x）在给定区间上的端点值； （4）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大值与最小值. 【典例8】（2025·河南驻马店二模）函数在区间上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， ，，即， 在上单调递增，.故选：D. 【变式1】（25-26高二下·全国·课堂例题）函数在上的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，令，解得， ， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以极小值为， 又，所以的最小值为．故选D 【变式1】（25-26高二下·河南南阳·期末）函数在上的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】，令， 则，因为在，在， 所以在单调递减，在单调递增， 因为， 所以最小值为，故选A. 题型09 含参函数的最值 解｜题｜技｜巧 已知函数的最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决. 【典例9】（2025·广东河源二模）若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， ， 令可得或（舍）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是. 【变式1】已知函数在区间上存在最小值，则实数_________． 【答案】 【解析】函数定义域是，因此， ，时，，递减，时，，递增，， 所以，此时在上递增，，解得或（舍去）， 【变式2】若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】由题可知：， 令，则；令，则或， 所以函数在单调递增，在单调递减. 极小值为，令，所以或， 又函数在区间内有最小值， 所以. 题型10 最优化问题 解｜题｜技｜巧 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 　（1）分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x），根据实际意义确定定义域； （2）求函数的导数f'（x），解方程f'（x）＝0； （3）比较函数在区间端点和使f'（x）＝0的点处的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值. 【典例10】在新型太空舱生命维持系统的储液罐设计中，采用一种胶囊形结构：中间部分为圆柱体，左、右两端均为半球形封头，圆柱底面半径和半球半径均为.已知储液罐外表面积为定值，当储液罐的体积取最大值时（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆柱的高为，则储液罐的表面积为，所以， 则由得，储液罐的体积为， 所以，所以函数在定义域上单调递增， 所以时，取最大值. 故选：C 【变式1】（25-26高三上·河南·开学考试）近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【解析】由题意可得利润， 所以，且. 令，∴， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴利润在时取得最大值，此时， ∴该厂家售卖单个模型最多可以获利元. 故选：D. 【变式2】现有一张半径为1m的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮(如图1阴影部分)，并卷成一个深度为的圆锥筒，如图2，则圆锥筒的容积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆锥筒的底面半径为，容积为， 因为，．所以， 即，．因为， 令得：（舍负值）． 列表如下： 0 极大值 所以，当时，取极大值即最大值，则的最大值为，故选B． 题型11 最恒成立问题 解｜题｜技｜巧 1.由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 (1)求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题. (2)分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a＞f(x)max或a＜f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围. 2.不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解两类问题的差别. 【典例11】（25-26高三上·河北衡水·月考）已知函数 (1)讨论的单调性. (2)若对任意都有恒成立，求的取值范围. 【解】（1）由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. （2）因为对任意都有，所以，即， 令，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，故. 【变式1】已知函数，若在恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由在恒成立， 则，，      令，， 则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 所以，即， 所以的取值范围为．故选：D． 【变式2】（2025·贵州毕节·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围． 【解】（1）当时，， 而，则切点坐标为， 易得，得到切线斜率为， 故曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由题意得的定义域为， 且， 而，令，，令，， 即的单调递减区间为，单调递增区间为， 则当时，有最小值， 得到，解得， ，，即的取值范围为. 题型12 零点问题 解｜题｜技｜巧 1.三步求解函数零点(方程根)的个数问题 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质； 第三步：结合图象求解. 2.已知零点求参数的取值范围：(1)结合图象与单调性，分析函数的极值点；(2)依据零点确定极值的范围；(3)对于参数选择恰当的分类标准进行讨论. 【典例12】（25-26高三上·甘肃兰州·期末）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 【解】（1）当时，，所以. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）因为. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增； 若，由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 若函数有两个零点，必有. 且极小值. 且当时，；当时，. 所以当时，函数有两个零点. 【变式1】（25-26高三上·重庆·月考）已知函数 . (1)当时，讨论的单调性； (2)证明:当时，在上有且仅有一个零点. 【解】（1）当时，， 所以， 所以当时，，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减， （2）易知，，， 当时，；当时，；当时，. 所以在上单调递增，上单调递减，在上单调递增， 又， 所以当时，，所以； 又， 所以在上有零点． 又因为在上单调递增，所以在上有且仅有一个零点. 【变式2】（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知函数. (1)求的值域； (2)讨论函数的零点个数. 【解】（1）由， 令，或， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以函数在时，极小值为，极大值为， 而， 所以函数在时，最大值为，最小值为， 所以函数在时，值域为 （2）函数， 函数的零点个数转化为直线与函数图象交点个数问题， 结合（1）的结论，在同一直角坐标系内，画出直线与函数图象， 当，或时，直线与函数图象没有交点，因此函数没有零点， 当，或时，直线与函数图象有个交点，因此函数有个零点， 当时，直线与函数图象有个交点，因此函数有个零点， 综上所述：当，或时，函数没有零点， 当，或时，函数有个零点， 当时，函数有个零点. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2025·江苏南通二模）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域是，， 令，解得，故函数在上单调递减，选D. 2（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】求导得， 要满足函数在区间上单调递增， 则，即， 因为，所以，即，故选B. 3．（2025·江苏南京·三模）已知函数，则当时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，在时取得极大值，也即最大值. 故选：B 4．（2025·河南安阳·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【解析】由已知得，令，得， 当时，单调递减， 当或时，单调递增， 所以的极小值为，解得，故选A. 5．（2024·江苏无锡·模拟）已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以函数是定义在上的偶函数，所以， 因为当时，，所以函数在上单调递增， 所以即，故选C. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 6．（2026·江西宜春·三模）已知，，，其中为自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，； 设，则， 当时，，所以单调递增，又， 所以，即，所以.故选A. 7.（2025·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求导可得， 由题意有解， 即有解，即有解， 令， 因为，易知在单调递增， 此时，所以， 又，，所以，解得：， 所以的取值范围是.故选B. 8．（知识交汇）（2024·安徽淮北二模）已知函数，则“”是“是的一个极小值点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】， 若，则, 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增． 故是的极小值点． 若是的极小值点，则，解得，经检验．当时，是的极小值点， 故“”是“是的极小值点”的充要条件，故选C 9.（2025·湖南·三模）已知函数在时取极小值，则其导函数的最小值为 【答案】 【解析】因为在时取极小值， 所以在处成立. 即：，所以. 当时，， 当时，，当时，， 所以在时取得极小值，故. 所以原函数表达式为：. 导函数的表达式为： 因为，所以根据基本不等式. 所以导函数的最小值为：，故选C. 10.给定函数 (1)求函数的单调区间； (2)画出函数的大致图象； (3)求出方程的解的个数. 【解】（1）函数的定义域为，求导得， 由，得，由，得， 所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为. （2）由（1）知，函数在处取得最小值，，当时，， 函数的大致图象，如图： （3）方程解的个数等价于函数的图象与直线的交点个数， 由（2）知当时，方程的解为个； 当或时，方程的解为个； 当时，方程的解为个. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 11.（2023·新课标Ⅱ卷T6）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为．故选C． 12.（2022·新高考全国Ⅰ卷T7）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以，故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又，所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以，故选：C. 13.（多选）（2024新课标全国Ⅰ卷T10）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【解析】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 14.（2025·新课标1卷T19节选）设函数，则在的最大值 【答案】 【解析】， 因为，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. 15.（2025·新课标Ⅱ卷T13）若是函数的极值点，则 【答案】 【解析】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 16.（2024新高考Ⅱ卷T16节选）已知函数．若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围 ． 【答案】 【解】解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 17.（2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性. 【解】因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 18．（2024·新课标Ⅱ卷T16）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $