专题02 解方程（组）与不等式（组）7大题型（题型专练）（上海专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题02 解方程（组）与不等式（组） 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 一元一次方程的解法与实际应用 题型02 二元一次方程组的解法与实际应用 题型03 一元二次方程的定义与根的判别式基础应用 题型04 一元二次方程的实际应用 题型05 分式方程的解法、含参问题与实际应用 题型06 无理方程与二元二次方程组的解法 题型07 不等式的性质与一元一次不等式（组）的解法及应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 一元一次方程的解法与实际应用 典例引领 【典例01】（2025·上海奉贤·三模）某商品成本价元，商家以元价格售出，那么这件商品的盈利率为________．（用百分数表示） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设这件商品的盈利率为x，根据“售价成本成本盈利率”，再根据“商品成本价元，商家以元价格售出”列出关于的一元一次方程，求解即可．正确理解题意，根据数量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这件商品的盈利率为， 依题意，得：， 解得：， ∴这件商品的盈利率为． 故答案为：． 【典例02】（2025·上海·模拟预测）如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．根据等式的性质即可求出答案． 【详解】解：设三角形重为x克，圆形重为y克， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 方法透视 考向解读 本考点是方程模块的入门基础，是上海中考选择、填空题的高频考点，常结合天平平衡、古代数学问题、销售盈亏、行程工程、几何计算等场景命题，难度系数0.8-0.95，核心考查等量关系梳理、一元一次方程的列写与规范求解。 方法技能 1.解方程规范步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1，移项需变号，去分母/去括号时切勿漏乘常数项。 2.列方程核心逻辑：审题→设未知数（直接/间接设）→找等量关系→列方程→解方程→检验作答，注意单位统一。 3.上海中考高频模型：行程问题、销售问题、工程问题、古代数学问题、几何图形计算问题。 变式演练 【变式01】（2025·上海宝山·二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？如果设木头长为x尺，那么下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查从实际问题中抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 【变式02】（2024·上海·中考真题）已知，则___________． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】二次根式有意义的条件、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可． 【详解】解：根据题意可知：， ∴， 解得：， 故答案为：1． 【变式03】（2025·上海金山·一模）已知两个相似三角形的一组对应边长分别是5厘米和2厘米，如果这组对应边上的高的长度相差厘米，那么这两条高的长度和为_______厘米． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质：熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键； 根据相似三角形的高线比等于相似比，设未知数，列出一元一次方程，进行求解即可 【详解】解：由题意得：两个相似三角形的相似比为：， ∴两个三角形的高线比为， 设较大三角形的高为（厘米），较小三角形的高为（厘米）， ∴， 解得：， ∴两个三角形的高的长度和为（厘米）， 故答案为：． 【变式04】（2025·上海静安·二模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人竿，多竿；每人竿，少竿．”则牧童有____人． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 根据总竿数相等列出方程，求出解即可. 【详解】解：设有牧童人，根据题意，得 ， 解得， 答：牧童有人． 故答案为：． 【变式05】（2025·上海宝山·一模）在数学活动课上，需要用三角形纸片裁剪出一张正方形纸片．如图，现有三角形纸片（），．裁剪出的正方形的一个顶点是直角顶点，那么正方形的边长是 _________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；也考查了正方形的性质． 设正方形的边长为，则，证明，则利用相似三角形的性质得到，即，然后解方程即可得到答案．灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵四边形为正方形， ∴， ， ， ∴， ∴，即， 解得x， 即正方形的边长为． 故答案为：． 题●型●破●译 题型02 二元一次方程组的解法与实际应用 典例引领 【典例01】（2025·上海·二模）已知方程组，那么代数式的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、加减消元法 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，以及通过方程组的变形直接求代数式的值的能力．把两个方程相减可得，即可求出代数式的值． 【详解】解：， 得，， ， 故选：B． 【典例02】（2025·上海·模拟预测）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：个和尚分个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．设大和尚x人，小和尚y人，则根据问题列出一个关于x和y的方程组： ___________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，由题意得：大和尚一人分3个，小和尚一人分个；据此即可求解； 【详解】解：由题意得：大和尚一人分3个，小和尚一人分个； ∵有个和尚， ∴； ∵有个馒头， ∴； 故答案为：； 方法透视 考向解读 本考点是上海中考选择、填空题的基础必考点，近3年中考多次考查，命题分为两类：一是方程组的消元解法与整体代数式求值；二是结合实际场景列方程组，难度系数0.8-0.9，核心考查“消元”的转化思想。 方法技能 1.核心解法：代入消元法、加减消元法，优先选择系数为1的未知数进行消元，简化计算。 2.解题技巧：若题目求整体代数式的值，优先通过方程组的加减直接得到目标式子，无需单独求解每个未知数。 3.易错点：消元时注意系数符号变化，方程组的解需用大括号联立，对应好未知数取值。 变式演练 【变式01】（2025·上海杨浦·模拟预测）下表为某中学40人在“数学知识竞赛”的得分统计情况表根据下表信息，若这40人的平均分为2.5分，求，的值分别为___________． 分数 0 1 2 3 4 5 人数 4 7 10 8 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、已知 平均数求未知数据的值 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，平均数的定义，根据总人数为40和平均分为2.5，列出关于x和y的方程组，并求解． 【详解】解：根据题意，得 解得， 故答案为：， ． 题●型●破●译 题型03 一元二次方程的定义与根的判别式基础应用 典例引领 【典例01】（2025·上海·模拟预测）下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查的是一元二次方程的概念，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的概念判断即可． 【详解】解：A．，时不是一元二次方程，不符合题意； B．是分式方程，不符合题意； C．未知数最高次数是3次，不是一元二次方程，不符合题意； D．是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 【典例02】（2025·上海浦东新·三模）已知一元二次方程，下列判断正确的是（   ） A．该方程无实数解 B．该方程有两个相等的实数解 C．该方程有两个不相等的实数解 D．该方程解的情况不确定 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴该方程有两个不相等的实数解， 故选：． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考选择、填空题的必考高频考点，近5年中考每年均有考查，是一元二次方程模块的核心基础，难度系数0.8-0.9，核心考查一元二次方程的定义、根的判别式与方程根的情况的对应关系。 方法技能 1.一元二次方程定义：只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程，标准形式（），二次项系数是高频易错点。 2.根的判别式核心规则： o ⇨ 两个不相等的实数根 o ⇨ 两个相等的实数根 o ⇨ 无实数根 3.解题步骤：先将方程化为标准形式，确定，计算，再判断根的情况。 变式演练 【变式01】（2025·上海徐汇·二模）若一元二次方程中的，则的值为______． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，直接开平方法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意得，整理得，运用直接开平方法进行解方程，即可作答． 【详解】∵一元二次方程中的， ∴， ． 或． 故答案为：或 【变式02】（2025·上海杨浦·模拟预测）一元二次方程有两个相等的实数根，的值为___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用。关键在正确列出判别式． 由一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式等于零，从而建立关于的方程求解． 【详解】对于一元二次方程，其判别式为． 由于方程有两个相等的实数根，因此，即，解得， 所以 或． 故答案为:． 【变式03】（2025·上海·中考真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 【变式04】（2025·上海·模拟预测）若关于x的方程无解，那么实数c的取值范围是____． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解；∵关于x的方程无解， ∴关于x的方程无解， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式05】（2025·上海奉贤·三模）如果一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，解之即可得出的取值范围．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【变式06】（2025·上海奉贤·二模）如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据方程有实根，可得，解不等式即可． 【详解】解：关于的方程有实数根， ， 解得． 故答案为：． 【变式06】（2025·上海浦东新·二模）如果关于的方程有实数根，那么实数的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查的知识点是根的判别式，解题关键是熟练掌握根据一元二次方程根的情况求参数的方法． 方程有实数根，即根的判别式． 【详解】解：方程有实数根， ， ． 故答案为：． 题●型●破●译 题型04 一元二次方程的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·上海松江·二模）某商场对一款无人机进行降价促销，其售价由最初的400元经过两次降价后变为225元，且两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 【典例02】（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． (1)要使无盖长方体盒子的底面积为，那么剪去的正方形的边长为多少？ (2)你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于吗？请说明理由 (3)当把长方形硬纸板的四周分别剪去个同样大小的正方形和个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）为时请直接写出结果并画出平面示意图 【答案】(1) (2)不可能，理由见解析 (3)或，示意图见解析 【难度】0.65 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和根的判别式，找到面积的等量关系是解题的关键． （1）可设剪去的正方形边长为，根据无盖长方体盒子的底面积为，可得方程求解即可； （2）可设剪去的正方形边长为，根据无盖长方体盒子的侧面积等于，可得方程，再根据根的判别式作出判断； （3）可设剪去的正方形边长为，分成两种情况，根据侧面积为列方程讨论求解． 【详解】（1）设剪去的正方形边长为，由题意，得 ， 即， 解得：（不合题意，舍去），． ∴剪去的正方形的边长为． （2）折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于，理由如下： 设剪去的正方形边长为，由题意，得 ， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数解． 即折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于． （3）设剪去的正方形边长为， 若按图1所示的方法剪折， 有：， 整理得：， ， ∴此方程无解； 若按图2所示的方法剪折， 有：， 整理得：， 解得：，， 当按图2所示的方法剪去的正方形边长为或时，能使得到的有盖长方体盒子的侧面积达到． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考填空、解答题的中档考点，常结合增长率、销售利润、几何图形面积、勾股定理、相似三角形、二次函数综合命题，难度系数0.4-0.8，核心考查数学建模能力，是代数与几何综合的衔接考点。 方法技能 1.上海中考高频模型等量关系： 增长率/降价率问题：现期=基期×（为增长/降价次数） 几何图形问题：结合面积、周长、勾股定理、相似性质建立方程 销售利润问题：总利润=单利润×销量 2.解题规范：列方程后先化简，选择因式分解法/公式法求解，最后检验结果是否符合实际场景（如边长、增长率不能为负）。 变式演练 【变式01】（2026·上海长宁·一模）若点是线段上的一点，满足，已知，那么的长为___________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】公式法解一元二次方程、成比例线段 【分析】本题考查比例线段，一元二次方程的求解，熟练掌握相关知识是关键． 根据题意，设，则，代入解方程即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 化简，得， 解得，，（负值舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式02】（2025·上海青浦·二模）一块矩形地的面积为平方步，已知长与宽的和为步，问长比宽多几步？设矩形的长为步，则可列出方程为__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设矩形田地的长为x步，则宽为步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设矩形田地的长为x步，则宽为步， 依题意得：， 故答案为：． 【变式03】（2025·上海青浦·一模）某公司10月份产值是120万元，设第四季度每个月产值的增长率相同，均为，如果12月份的产值为万元，那么关于的函数解析式为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查根据实际问题列出二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，这是一道典型的增长率问题．根据某公司10月份的产值是120万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为，12月份的产值为万元，可以得到与的函数关系式，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 故答案为：． 【变式04】（2025·上海·二模）某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 【答案】(1) (2)空格处应填；17.5；10；3 (3)当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利， 当时，，亏损． 【难度】0.4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、增长率问题(实际问题与二次函数)、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，应用待定系数法求解方程是解题的关键． （1）根据待定系数法求解方程即可； （2）由（1）的解析式进行代值计算即可求解； （3）根据题意得到总利润表达式，再解不等式得出结论即可． 【详解】（1）设二次函数解析式为， ， 所以函数解析式为； （2）由（1）知函数解析式为， 当时，， 故空格处应填； （万元）， 所以1-4月平均每月亏损17.5万元， 故答案为：17.5； 令，解得， 所以到2024年10月起，公司当月不再亏损， 故答案为：10； 因为，所以， 则1-9月共亏损165万元，10月份不亏损也没有盈利， 11月盈利11万元，12月盈利24万元，2025年1月盈利39万元， 2025年2月盈利56万元，2025年3月盈利75万元， 从2024年1月到2025年2月亏损35万元，到3月盈利40万元， 理论上到2025年的3月份公司可以把之前的亏损全部赚回来， 故答案为：3； （3）由（2）可知2024年总利润为万元， 初始宣发资金为（万元）， 则每月的净利润数为， 当代入求和可得2025年第一季度末的净利润为 ， 所以2024年初至2025年第一季度末的总利润为： ， 所以当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利，当时，，亏损． 【变式05】（2026·上海黄浦·一模）如果一个直角三角形的某一边长恰好是另两边长之和的一半，那么该三角形较小锐角的正弦值是________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】公式法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，首先，判断“某一边”不能是斜边，因为会导致无解；然后考虑该边为直角边，利用勾股定理和条件建立方程，求解得到较短直角边与斜边的比值，即为较小锐角的正弦值． 【详解】解：设直角三角形三边分别为 、、，其中 为斜边，，为最小锐角． ①当时，则， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∴原方程无解，即； ②当时，则， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴； ③当时，则， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，与矛盾，舍去． ∴较小锐角的正弦值为 ． 故答案为：． 题●型●破●译 题型05 分式方程的解法、含参问题与实际应用 典例引领 【典例01】（2025·上海金山·二模）解方程：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．去分母后求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 化简得：， 即， 解得：， 经检验，是原方程的根， 原方程的根是． 【典例02】（2024·上海松江·三模）若分式方程有增根，则k的值为_________ 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解：去分母得：， 分式方程有增根， ， 解得：， 把代入整式方程得：． 故答案为：3． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考解答题第20题的固定必考考点，近5年中考每年必考，填空、选择题常考查增根与无解问题，解答题考查求解与实际应用，难度系数0.6-0.8，对解题步骤规范性要求极高，是基础解答题的核心拿分点。 方法技能 1.解分式方程规范步骤：一化（去分母，两边同乘最简公分母，化为整式方程）→二解（解整式方程）→三验（检验最简公分母是否为0，为0则是增根，舍去），检验是必写得分步骤。 2.增根与无解核心：增根是使最简公分母为0的根，是整式方程的根但非原分式方程的根；无解包含整式方程无解、整式方程的根全为增根两种情况。 3.实际应用：列分式方程解应用题，需双检验：检验是否为方程的根、是否符合实际意义。 变式演练 【变式01】（2024·上海长宁·三模）用换元法解方程时，若设 则原方程可化为关于y 的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程变成，再去分母即可得到答案． 【详解】解： 设，则， ∴原方程为，即， 故选：A． 【变式02】（2025·上海黄浦·二模）解方程：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查了解分式方程．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 两边都乘以， 得：， 整理得， 解得：或， 检验：是分式方程的根，是分式方程的增根， ∴原分式方程的解为． 【变式03】（2025·上海浦东新·三模）解方程：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键；方程两边都乘以得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， ∴， ∴， 即， ， ， ，， 检验：时，，是原分式方程的解， 时，，不是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为：． 【变式04】（2024·江苏扬州·二模）若关于的分式方程无解，则的值为_______． 【答案】0或2/2或0 【难度】0.65 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的解，解题关键是掌握分式方程解法，理解分式方程解的定义．将分式方程化为整式方程，分式方程无解，也就是分式方程有增根或整式方程无解两种情况，分别进行计算即可． 【详解】解：关于的分式方程化为整式方程得： ， 即， 由于分式方程无解， 所以或者分式方程有增根， 当时，， 解得， 综上所述，的值为0或2， 故答案为：0或2． 【变式05】（2025·上海·模拟预测）假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成． 现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天，对于列方程错误的说法是（　　） A．甲的工作效率为 B．乙总共做了天 C．列方程 D．列方程 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握“利用各部分的工作量之和等于1列方程”是解本题的关键.先得出甲的工作效率为，设完成此项工程需天，则乙总共做了天，甲先做3天完成， 再合作天，完成， 据此列出方程即可. 【详解】解：∵假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成， ∴甲的工作效率为， 故A选项不符合题意； ∵现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天， ∴乙总共做了天 故B选项不符合题意； 设完成此项工程需天，甲先做3天完成再合作天，完成 由题意得方程：， 故C选项符合题意；D选项不符合题意； 故选：C. 【变式06】如图，某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道，其中．在绿灯亮时，小敏共用22s通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段的速度是（   ） A．0.5m/s B．1m/s C．1.5m/s D．2m/s 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】设小敏通过路段的速度是，则小敏通过BC路段的速度是，利用时间＝路程速度，结合小敏共用通过路段，可列出关于x的分式方程，解之，经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设小敏通过路段的速度是，则小敏通过路段的速度是， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴小敏通过路段的速度是． 故选：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解决问题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 【变式06】（2025·上海奉贤·二模）近年来，某校积极响应“全民阅读活动”，致力打造“书香校园”，每年划拨专项经费用于图书馆购置图书，确保图书种类齐全、数量充足．该校2022年至2024年图书馆购进新书总支出如图所示： (1)该校图书馆2024年购进新书总支出比2023年提高了，2022年图书馆购进的图书中，社会科学类图书的支出占购进总支出的，那么2024年与2022年相比，社会科学类图书在购进支出上的增长率为多少？ (2)为了更好地满足师生的阅读需求，该校经过问卷调查和借阅数据的综合分析，2025年新书购进计划在2024年基础上做如下调整：将自然科学类图书的购书金额提高，同时购书的数量增加80册，这样调整后，自然科学类图书的每册均价可比2024年降低20元，那么学校计划2025年购进自然科学类图书多少册？ 【答案】(1) (2)180册 【难度】0.85 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）根据题意算出2024年购进新书总支出，2022年购进社会科学类图书支出，2024年购进社会科学类图书支出，根据占比的计算方法即可求解； （2）设2024年购进自然科学类图书x册，那么2025年计划购进此类图书为册，由此列分式方程求即可． 【详解】（1）解：2024年购进新书总支出：元， 2022年购进社会科学类图书支出：元， 2024年购进社会科学类图书支出：元， 2024年与2022年相比，社会科学类图书支出的增长率：； （2）解：2024年购进自然科学类图书支出：元， 设2024年购进自然科学类图书x册，那么2025年计划购进此类图书为册， 由题意得 ， 整理得，， 解得， 经检验，是原方程的根，但不符题意，应舍去， ∴， 答：2025年计划购入自然科学类图书180册． 题●型●破●译 题型06 无理方程与二元二次方程组的解法 典例引领 【典例01】（2025·上海·中考真题）方程的解为_______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】无理方程 【分析】本题考查解无理方程，利用平方法将方程转化为一元一次方程，进行求解，检验即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【典例02】（2025·上海奉贤·三模）解方程组：． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】本题考查了解方程组，先将因式分解为或，再分别联立，解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由②得， ∴或， 联立得， 解得， 联立得， 解得． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考填空、基础解答题的高频考点，近5年中考多次考查，难度系数0.6-0.85，其中无理方程是填空题必考基础题，二元二次方程组是基础解答题高频题型，核心考查“去根号、降次、消元”的转化思想。 方法技能 1.无理方程解题步骤：一移（含根号的项单独放等式一侧）→二平（两边平方去根号，化为整式方程）→三解（解整式方程）→四验（代入原方程，检验被开方数≥0且左右两边相等，不满足则舍去）。 2.二元二次方程组核心解法： 代入消元法：将二元一次方程变形后代入二元二次方程，转化为一元二次方程求解； 因式分解降次法：二元二次方程因式分解为两个一次式乘积为0，拆分为两个二元一次方程组分别求解。 3.易错点：无理方程求解后必须检验，二元二次方程组的解需用大括号联立，切勿漏解。 变式演练 【变式01】（2025·上海浦东新·二模）方程的解是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、无理方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】先将无理方程转化为一元二次方程，求解后再结合二次根式的性质判断后即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ，， 经检验是原方程的增根，舍去， 原方程的根为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是解无理方程、解一元二次方程、二次根式的性质，解题关键是熟练掌握解无理方程． 【变式02】（2025·上海奉贤·三模）方程的解是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】无理方程 【分析】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．把方程两边平方，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解． 【详解】解：方程两边平方，得， 解得， 经检验，为原方程的解， 故方程的解是， 故答案为：． 【变式03】（2025·上海闵行·二模）方程的解是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】无理方程 【分析】本题考查的知识点是解无理方程、解一元二次方程、二次根式的性质，解题关键是熟练掌握解无理方程． 先将无理方程转化为一元二次方程，求解后再结合二次根式的性质判断后即可得解． 【详解】解析：， ， ∴， 经检验是原方程增根，舍去； 所以原方程根为． 【变式04】（2025·上海青浦·二模）解方程组： 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】本题考查了解二元二次方程组，变形组中的方程②代入①，得一元二次方程，求解得出一个未知数的值，再代入变形后的方程求得另一个未知数的值． 【详解】解：， 由②得，③， 把③代入①，得， 整理，得． 解得，， 将代入③，得； 将代入③，得． 所以，原方程组的解是，． 【变式05】（2025·上海徐汇·二模）方程组的解是____________. 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】本题考查解二元二次方程组，代入消元法．将方程组先转化为或，再进行求解即可． 【详解】解：， 由①得：， ∴或， ∴或， ∴方程组的解为：或； 故答案为：或． 【变式06】（2025·上海虹口·二模）解方程组： 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】二元二次方程组及其解法 【分析】本题考查了解二元二次方程组，由②得，则原方程组为或，分别解二元一次方程组，即可求解． 【详解】解： 由②得 ∴ ∴原方程组为或 解得：或 题●型●破●译 题型07 不等式的性质与一元一次不等式（组）的解法及应用 典例引领 【典例01】（2025·上海黄浦·二模）已知、、三个实数在数轴上的位置如图所示，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、实数与数轴、不等式的性质 【分析】本题主要考查了实数与数轴，不等式的基本性质等知识点，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质． 利用数轴得出三个实数的大小关系，利用不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：根据数轴可知， A、根据不等式的基本性质，则 ， ∴，故该选项正确，不符合题意； B、根据不等式的基本性质，则， ，故该选项正确，不符合题意； C、由数轴可得，，， ，故该选项错误，符合题意； D、由数轴可知，，， ，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 【典例02】（2025·上海奉贤·二模）解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 【答案】，数轴表示见解析， 【难度】0.65 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查解不等式组的解集及整数解，在数轴上表示解集．先分别求出各不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，再根据数轴上表示解集的方法表示出该不等式组的解集，最后写出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为． 该解集在数轴上表示为： ∴该不等式组的整数解为． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考选择、填空题的必考基础考点，近5年中考每年均有考查，常结合数轴、销售利润、方案设计、行程问题命题，难度系数0.8-0.9，是中考必拿满分的基础考点。 方法技能 1.不等式核心性质：不等式两边乘/除以同一个负数时，不等号方向必须翻转，这是最高频易错点。 2.解不等式组步骤：先分别解每个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”确定解集。 3.数轴表示规范：有等号用实心圆点，无等号用空心圆圈；大于向右，小于向左。 4.实际应用：抓住“不超过、至少、不低于、最多”等关键词，列不等式（组）求解，结合整数解确定方案。 变式演练 【变式01】（2025·上海·模拟预测）若实数、满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：A、由无法确定是否成立，不符合题意； B、由无法确定是否成立，不符合题意； C、由两边同时乘以3，不等式不变号得到，符合题意； D、由无法确定是否成立，不符合题意． 故选：C． 【变式02】（2025·上海静安·二模）如图，数轴上的点A、B、O、C、D分别表示数、、0、1、2，那么表示数的点应落在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算、不等式的性质 【分析】本题考查了无理数的估算，不等式的性质，数轴与实数，掌握无理数的估算方法是解题关键．先估算出，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：， ，即， ， 表示数的点应落在线段上， 故选：B． 【变式03】（2025·上海·二模）不等式的最大整数解是_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查的是解不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 求不等式的最大整数解，按照移项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最大整数解即可． 【详解】解： ， ∴不等式的最大整数解是， 故答案为：． 【变式04】（2025·上海松江·二模）解不等式组：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则求出其公共解集即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 故不等式组的解集为： 【变式05】（2025·上海静安·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度（千米/时）与高架路上每百米车的数量（辆）的关系如图所示．    (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 【答案】(1)，，且x为整数； (2)①25辆；②20分钟 【难度】0.65 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设出函数解析式，再根据函数图象利用待定系数法求解即可； （2）①根据（1）所求函数解析式，令函数值为30，求出x的值即可得到答案；②令函数值小于20求出x的取值范围，再根据每百米车辆数每4分钟增加1辆和现在每百米车的数量为25辆列式求解即可． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴关于的函数解析式为， 在中，当时，， ∴，且x为整数； （2）解：①在中，当时，， ∴该时刻高架路上每百米车的数量为25辆； ②由题意得，， 解得， 分钟， 答：为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 【变式06】（2025·上海·中考真题）不等式组的解集为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 故答案为：． 【变式07】（2025·上海·二模）一家商店在节假日期间开放优惠活动，设客户结账时货品原价为t元，可以选择优惠方案A、B中任意一个． A：每满300元购买额，就可以减一次价，减n元（）； B：购买额在400元及以下的部分打九折，400元以上的打八折． (1)令，，分别求出选A、B方案的实际支付额． (2)若可以同时满足条件①：若选A方案，则减一次价，②：选A、B方案没有实际区别，请用t表示n，并求出n的取值范围． 【答案】(1)A方案的实际支付额为642元，B方案的实际支付额为600元． (2)，；或，． 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式组，代数式求值，二元一次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）当，时的实际支付额，依据方案中满减、折扣的规则进行计算即可； （2）分情况讨论t的取值范围：①当时，②当时，根据“选A、B方案没有实际区别”这一条件，建立等式，将n用t表示出来，再根据t的范围确定n的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴A方案的实际支付额为（元）； ∵， ∴B方案的实际支付额为（元）． 答：A方案的实际支付额为642元，B方案的实际支付额为600元； （2）①当时，， 解得，， 即， ∴，； ②当时，， 解得，． 综上所述，，；或，． 【变式08】（2025·上海闵行·模拟预测）某商店用10000元人民币购进某款服装进行销售，过了一段时间，由于热销，又用24000元人民币购进同款服装，所购服装的数量是第一次购进数量的2倍，但每件的价格比第一次购进的货贵了20元． (1)求该商店第一次购进该款服装的数量； (2)假设该商店两次购进的服装按相同的标价销售，最后剩下的20件按标价的五折优惠销售，如果两次购进的服装全部售完，利润不低于9500元，求每件服装的标价至少是多少元． 【答案】(1)该商店第一次购进100件该款服装 (2)每件服装的标价至少是150元 【难度】0.65 【知识点】分式方程的经济问题、不等式组的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店第一次购进x件该款服装，则第二次购进件该款服装，根据第二批购进每件的价格比第一次购进的价格贵了20元，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设每件服装的标价是y元，利用总利润销售单价销售数量进货总价，结合总利润不低于9500元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该商店第一次购进x件该款服装，则第二次购进件该款服装， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该商店第一次购进100件该款服装； （2）解：设每件服装的标价是y元， 根据题意得：， 解得：， ∴y的最小值为150. 答：每件服装的标价至少是150元． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 题●型●训●练 1．（2025·上海宝山·二模）如果是一元二次方程的解，那么______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解， 把代入，进而可求出a的值． 【详解】解：把代入， 得：， 解得：， 故答案为： 2.关于的一元二次方程没有实数根，那么取到最小整数是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义与根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴，且， 解得：； ∴的最小整数值为； 故答案为：． 3.如果关于的分式方程有增根，则____________． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是熟练掌握分式方程增根的产生原因，增根的求法．分式方程去分母，化成整式方程，求出，再根据分式方程有增根，得到，求出的值，进而求出m值即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘得：， 整理得， 解得， 关于的分式方程有增根， ， 或， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上可知，或， 故答案为：或． 4.（2025·上海·模拟预测）我们知道凸透镜的焦距公式为，其中f是凸透镜的焦距，u表示物距，v表示像距． 若凸透镜和物体距离时，凸透镜另一侧的光屏上成了一个清晰的像，仅移动凸透镜，将像距减小，光屏上又成了一个清晰的像，那么该凸透镜的焦距是______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】分式方程的其它实际问题、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查分式方程的应用，根据像距减小，得到物距增加，根据焦距是个定值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，移动凸透镜后，像距变为，物距变为， 由题意，得：， 解得或（舍去）； ∴； ∴； 故答案为： 5.（2025·上海青浦·二模）不等式的解集是__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】此题考查求不等式的解集，根据解一元一次不等式的步骤求解集即可，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】解：两边都加1，得， 不等式两边都乘以2，得, 故答案为． 6.（2025·上海静安·二模）解不等式组：； 【答案】 【难度】0.85 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，乘法公式的应用，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，． 所以不等式组的解集为． 7.（2025·上海浦东新·二模）解方程：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程，去分母转化为一元二次方程是解题的关键；先去分母化为一元二次方程，再解一元二次方程并检验即可得解． 【详解】解：等式两边同乘以得， ， ， ， ，， 经检验：是原方程的增根，舍去； 所以原方程的解为． 8.（2025·上海虹口·二模）其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） (1)求与的函数解析式（不写定义域）； (2)求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； (3)根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 【答案】(1) (2)万元/吨 (3)需要采购蓝莓的重量为吨 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用)、求加权平均数 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，求平均数，理解题意是解题的关键； （1）设与的函数解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据条形统计图，根据加权平均数求得平均数，即可求解． （3）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为 代入， ∴ 解得： ∴ （2）解：依题意，平均销售价为（万元/吨） （3）解：依题意， 原方程组整理得， 解得：（舍去） 答：需要采购蓝莓的重量为吨 $专题02 解方程（组）与不等式（组） 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 一元一次方程的解法与实际应用 题型02 二元一次方程组的解法与实际应用 题型03 一元二次方程的定义与根的判别式基础应用 题型04 一元二次方程的实际应用 题型05 分式方程的解法、含参问题与实际应用 题型06 无理方程与二元二次方程组的解法 题型07 不等式的性质与一元一次不等式（组）的解法及应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 一元一次方程的解法与实际应用 典例引领 【典例01】（2025·上海奉贤·三模）某商品成本价元，商家以元价格售出，那么这件商品的盈利率为________．（用百分数表示） 【典例02】（2025·上海·模拟预测）如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 方法透视 考向解读 本考点是方程模块的入门基础，是上海中考选择、填空题的高频考点，常结合天平平衡、古代数学问题、销售盈亏、行程工程、几何计算等场景命题，难度系数0.8-0.95，核心考查等量关系梳理、一元一次方程的列写与规范求解。 方法技能 1.解方程规范步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1，移项需变号，去分母/去括号时切勿漏乘常数项。 2.列方程核心逻辑：审题→设未知数（直接/间接设）→找等量关系→列方程→解方程→检验作答，注意单位统一。 3.上海中考高频模型：行程问题、销售问题、工程问题、古代数学问题、几何图形计算问题。 变式演练 【变式01】（2025·上海宝山·二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？如果设木头长为x尺，那么下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式02】（2024·上海·中考真题）已知，则___________． 【变式03】（2025·上海金山·一模）已知两个相似三角形的一组对应边长分别是5厘米和2厘米，如果这组对应边上的高的长度相差厘米，那么这两条高的长度和为_______厘米． 【变式04】（2025·上海静安·二模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人竿，多竿；每人竿，少竿．”则牧童有____人． 【变式05】（2025·上海宝山·一模）在数学活动课上，需要用三角形纸片裁剪出一张正方形纸片．如图，现有三角形纸片（），．裁剪出的正方形的一个顶点是直角顶点，那么正方形的边长是 _________． 题●型●破●译 题型02 二元一次方程组的解法与实际应用 典例引领 【典例01】（2025·上海·二模）已知方程组，那么代数式的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 【典例02】（2025·上海·模拟预测）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：个和尚分个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．设大和尚x人，小和尚y人，则根据问题列出一个关于x和y的方程组： ___________． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考选择、填空题的基础必考点，近3年中考多次考查，命题分为两类：一是方程组的消元解法与整体代数式求值；二是结合实际场景列方程组，难度系数0.8-0.9，核心考查“消元”的转化思想。 方法技能 1.核心解法：代入消元法、加减消元法，优先选择系数为1的未知数进行消元，简化计算。 2.解题技巧：若题目求整体代数式的值，优先通过方程组的加减直接得到目标式子，无需单独求解每个未知数。 3.易错点：消元时注意系数符号变化，方程组的解需用大括号联立，对应好未知数取值。 变式演练 【变式01】（2025·上海杨浦·模拟预测）下表为某中学40人在“数学知识竞赛”的得分统计情况表根据下表信息，若这40人的平均分为2.5分，求，的值分别为___________． 分数 0 1 2 3 4 5 人数 4 7 10 8 题●型●破●译 题型03 一元二次方程的定义与根的判别式基础应用 典例引领 【典例01】（2025·上海·模拟预测）下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·上海浦东新·三模）已知一元二次方程，下列判断正确的是（   ） A．该方程无实数解 B．该方程有两个相等的实数解 C．该方程有两个不相等的实数解 D．该方程解的情况不确定 方法透视 考向解读 本考点是上海中考选择、填空题的必考高频考点，近5年中考每年均有考查，是一元二次方程模块的核心基础，难度系数0.8-0.9，核心考查一元二次方程的定义、根的判别式与方程根的情况的对应关系。 方法技能 1.一元二次方程定义：只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程，标准形式（），二次项系数是高频易错点。 2.根的判别式核心规则： ⇨ 两个不相等的实数根 ⇨ 两个相等的实数根 ⇨ 无实数根 3.解题步骤：先将方程化为标准形式，确定，计算，再判断根的情况。 变式演练 【变式01】（2025·上海徐汇·二模）若一元二次方程中的，则的值为______． 【变式02】（2025·上海杨浦·模拟预测）一元二次方程有两个相等的实数根，的值为___________． 【变式03】（2025·上海·中考真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______． 【变式04】（2025·上海·模拟预测）若关于x的方程无解，那么实数c的取值范围是____． 【变式05】（2025·上海奉贤·三模）如果一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 【变式06】（2025·上海奉贤·二模）如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是_________． 【变式06】（2025·上海浦东新·二模）如果关于的方程有实数根，那么实数的取值范围是________． 题●型●破●译 题型04 一元二次方程的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·上海松江·二模）某商场对一款无人机进行降价促销，其售价由最初的400元经过两次降价后变为225元，且两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． (1)要使无盖长方体盒子的底面积为，那么剪去的正方形的边长为多少？ (2)你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于吗？请说明理由 (3)当把长方形硬纸板的四周分别剪去个同样大小的正方形和个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）为时请直接写出结果并画出平面示意图 方法透视 考向解读 本考点是上海中考填空、解答题的中档考点，常结合增长率、销售利润、几何图形面积、勾股定理、相似三角形、二次函数综合命题，难度系数0.4-0.8，核心考查数学建模能力，是代数与几何综合的衔接考点。 方法技能 1.上海中考高频模型等量关系： 增长率/降价率问题：现期=基期×（为增长/降价次数） 几何图形问题：结合面积、周长、勾股定理、相似性质建立方程 销售利润问题：总利润=单利润×销量 2.解题规范：列方程后先化简，选择因式分解法/公式法求解，最后检验结果是否符合实际场景（如边长、增长率不能为负）。 变式演练 【变式01】（2026·上海长宁·一模）若点是线段上的一点，满足，已知，那么的长为___________． 【变式02】（2025·上海青浦·二模）一块矩形地的面积为平方步，已知长与宽的和为步，问长比宽多几步？设矩形的长为步，则可列出方程为__________． 【变式03】（2025·上海青浦·一模）某公司10月份产值是120万元，设第四季度每个月产值的增长率相同，均为，如果12月份的产值为万元，那么关于的函数解析式为______． 【变式04】（2025·上海·二模）某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 【变式05】（2026·上海黄浦·一模）如果一个直角三角形的某一边长恰好是另两边长之和的一半，那么该三角形较小锐角的正弦值是________． 题●型●破●译 题型05 分式方程的解法、含参问题与实际应用 典例引领 【典例01】（2025·上海金山·二模）解方程：． 【典例02】（2024·上海松江·三模）若分式方程有增根，则k的值为_________ 方法透视 考向解读 本考点是上海中考解答题第20题的固定必考考点，近5年中考每年必考，填空、选择题常考查增根与无解问题，解答题考查求解与实际应用，难度系数0.6-0.8，对解题步骤规范性要求极高，是基础解答题的核心拿分点。 方法技能 1.解分式方程规范步骤：一化（去分母，两边同乘最简公分母，化为整式方程）→二解（解整式方程）→三验（检验最简公分母是否为0，为0则是增根，舍去），检验是必写得分步骤。 2.增根与无解核心：增根是使最简公分母为0的根，是整式方程的根但非原分式方程的根；无解包含整式方程无解、整式方程的根全为增根两种情况。 3.实际应用：列分式方程解应用题，需双检验：检验是否为方程的根、是否符合实际意义。 变式演练 【变式01】（2024·上海长宁·三模）用换元法解方程时，若设 则原方程可化为关于y 的方程是（　　） A． B． C． D． 【变式02】（2025·上海黄浦·二模）解方程：． 【变式03】（2025·上海浦东新·三模）解方程：． 【变式04】（2024·江苏扬州·二模）若关于的分式方程无解，则的值为_______． 【变式05】（2025·上海·模拟预测）假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成． 现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天，对于列方程错误的说法是（　　） A．甲的工作效率为 B．乙总共做了天 C．列方程 D．列方程 【变式06】如图，某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道，其中．在绿灯亮时，小敏共用22s通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段的速度是（   ） A．0.5m/s B．1m/s C．1.5m/s D．2m/s 【变式06】（2025·上海奉贤·二模）近年来，某校积极响应“全民阅读活动”，致力打造“书香校园”，每年划拨专项经费用于图书馆购置图书，确保图书种类齐全、数量充足．该校2022年至2024年图书馆购进新书总支出如图所示： (1)该校图书馆2024年购进新书总支出比2023年提高了，2022年图书馆购进的图书中，社会科学类图书的支出占购进总支出的，那么2024年与2022年相比，社会科学类图书在购进支出上的增长率为多少？ (2)为了更好地满足师生的阅读需求，该校经过问卷调查和借阅数据的综合分析，2025年新书购进计划在2024年基础上做如下调整：将自然科学类图书的购书金额提高，同时购书的数量增加80册，这样调整后，自然科学类图书的每册均价可比2024年降低20元，那么学校计划2025年购进自然科学类图书多少册？ 题●型●破●译 题型06 无理方程与二元二次方程组的解法 典例引领 【典例01】（2025·上海·中考真题）方程的解为_______． 【典例02】（2025·上海奉贤·三模）解方程组：． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考填空、基础解答题的高频考点，近5年中考多次考查，难度系数0.6-0.85，其中无理方程是填空题必考基础题，二元二次方程组是基础解答题高频题型，核心考查“去根号、降次、消元”的转化思想。 方法技能 1.无理方程解题步骤：一移（含根号的项单独放等式一侧）→二平（两边平方去根号，化为整式方程）→三解（解整式方程）→四验（代入原方程，检验被开方数≥0且左右两边相等，不满足则舍去）。 2.二元二次方程组核心解法： 代入消元法：将二元一次方程变形后代入二元二次方程，转化为一元二次方程求解； 因式分解降次法：二元二次方程因式分解为两个一次式乘积为0，拆分为两个二元一次方程组分别求解。 3.易错点：无理方程求解后必须检验，二元二次方程组的解需用大括号联立，切勿漏解。 变式演练 【变式01】（2025·上海浦东新·二模）方程的解是________． 【变式02】（2025·上海奉贤·三模）方程的解是________． 【变式03】（2025·上海闵行·二模）方程的解是______． 【变式04】（2025·上海青浦·二模）解方程组： 【变式05】（2025·上海徐汇·二模）方程组的解是____________. 【变式06】（2025·上海虹口·二模）解方程组： 题●型●破●译 题型07 不等式的性质与一元一次不等式（组）的解法及应用 典例引领 【典例01】（2025·上海黄浦·二模）已知、、三个实数在数轴上的位置如图所示，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2025·上海奉贤·二模）解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 方法透视 考向解读 本考点是上海中考选择、填空题的必考基础考点，近5年中考每年均有考查，常结合数轴、销售利润、方案设计、行程问题命题，难度系数0.8-0.9，是中考必拿满分的基础考点。 方法技能 1.不等式核心性质：不等式两边乘/除以同一个负数时，不等号方向必须翻转，这是最高频易错点。 2.解不等式组步骤：先分别解每个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”确定解集。 3.数轴表示规范：有等号用实心圆点，无等号用空心圆圈；大于向右，小于向左。 4.实际应用：抓住“不超过、至少、不低于、最多”等关键词，列不等式（组）求解，结合整数解确定方案。 变式演练 【变式01】（2025·上海·模拟预测）若实数、满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·上海静安·二模）如图，数轴上的点A、B、O、C、D分别表示数、、0、1、2，那么表示数的点应落在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【变式03】（2025·上海·二模）不等式的最大整数解是_________． 【变式04】（2025·上海松江·二模）解不等式组：． 【变式05】（2025·上海静安·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度（千米/时）与高架路上每百米车的数量（辆）的关系如图所示．    (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 【变式06】（2025·上海·中考真题）不等式组的解集为______． 【变式07】（2025·上海·二模）一家商店在节假日期间开放优惠活动，设客户结账时货品原价为t元，可以选择优惠方案A、B中任意一个． A：每满300元购买额，就可以减一次价，减n元（）； B：购买额在400元及以下的部分打九折，400元以上的打八折． (1)令，，分别求出选A、B方案的实际支付额． (2)若可以同时满足条件①：若选A方案，则减一次价，②：选A、B方案没有实际区别，请用t表示n，并求出n的取值范围． 【变式08】（2025·上海闵行·模拟预测）某商店用10000元人民币购进某款服装进行销售，过了一段时间，由于热销，又用24000元人民币购进同款服装，所购服装的数量是第一次购进数量的2倍，但每件的价格比第一次购进的货贵了20元． (1)求该商店第一次购进该款服装的数量； (2)假设该商店两次购进的服装按相同的标价销售，最后剩下的20件按标价的五折优惠销售，如果两次购进的服装全部售完，利润不低于9500元，求每件服装的标价至少是多少元． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 题●型●训●练 1．（2025·上海宝山·二模）如果是一元二次方程的解，那么______． 2.关于的一元二次方程没有实数根，那么取到最小整数是______． 3.如果关于的分式方程有增根，则____________． 4.（2025·上海·模拟预测）我们知道凸透镜的焦距公式为，其中f是凸透镜的焦距，u表示物距，v表示像距． 若凸透镜和物体距离时，凸透镜另一侧的光屏上成了一个清晰的像，仅移动凸透镜，将像距减小，光屏上又成了一个清晰的像，那么该凸透镜的焦距是______． 5.（2025·上海青浦·二模）不等式的解集是__________． 6.（2025·上海静安·二模）解不等式组：； 7.（2025·上海浦东新·二模）解方程：． 8.（2025·上海虹口·二模）其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） (1)求与的函数解析式（不写定义域）； (2)求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； (3)根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） $