专题02 函数与导数（期中真题汇编，山东专用）高二数学下学期

专题02 函数与导数 2大高频考点概览 考点01导数的基本概念及运算 考点02导数的综合应用 地 城 考点01 导数的基本概念及运算 一、单选题 1．（24-25高二下·山东临沂·期中）定义：为函数的n阶导数，即对函数连续求n阶导数．例如，则，，，，…，若，则的展开式中的系数是（   ） A．8 B．28 C．56 D．70 2．（24-25高二下·山东济南·期中）曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A．2 B． C． D．1 3．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知，若，则（    ） A． B．1 C．3 D．4 4．（24-25高二下·山东威海·期中）定义在上的奇函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 6．（24-25高二下·山东威海·期中）函数的导函数为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·山东青岛·期中）函数，则（   ） A． B． C．0 D． 8．（24-25高二下·山东德州·期中）已知是函数的导函数，且，则（    ） A． B． C．2 D．3 9．（24-25高二下·山东菏泽·期中）可与曲线和的公切线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·山东德州·期中）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·山东·期中）已知函数的图像开口向下，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 12．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知函数，则（    ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 14．（23-24高二下·山东日照·期中）已知函数，则（   ） A．1 B．2 C． D． 15．（24-25高二下·山东济宁·期中）一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（单位：）（   ） A．21 B．20 C．18 D．16 16．（22-23高二下·山东济南·期中）已知函数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 17．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的有（    ） A．函数是偶函数 B． C．函数的图象关于点对称 D． 18．（24-25高二下·山东聊城·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则一定是函数的极值点 19．（23-24高二下·山东潍坊·期中）下列函数的导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（21-22高二下·辽宁·期中）下列函数中，求导正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 三、填空题 21．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数，对抛物线持续实施下面“牛顿切线法”的步骤： 在点处作C的切线，交x轴于； 在点处作C的切线，交x轴于； 在点处作C的切线，交x轴于； …… 由此能得到一个数列，称为“牛顿数列”，则的值为_______；若，则的最大值为_______． 22．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数，则______. 23．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知函数，则______． 四、解答题 24．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知，，且．求： (1)m的值； (2)的值； (3)的值． 25．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知，求解： (1)； (2)； (3)； (4)． 地 城 考点02 导数的综合应用 一、单选题 1．（24-25高二下·山东淄博·期中）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·山东德州·期中）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知为定义在上的偶函数，且当时，是单调递减函数．若，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数，则（    ） A．当时，有两个极值点 B．当时，在处有极值 C．当时， D．当时，曲线关于点中心对称 5．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知定义在上的函数，部分对应的函数值如表，其导函数的图象如图所示，则（   ） x 2 3 1 2 0 A．在是减函数 B．在定义域上有两个极值点 C．若，则函数有两个零点 D．若在上的最大值为2，则 6．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数与轴有三个不同的交点 B．函数存在最小值但没有最大值 C．若当时，，则的最大值为 D．若方程有1个实根，则k∈ 7．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数在处取得极值，且在上单调，则下列结论中正确的是（） A．的取值范围是 B．不可能有两个零点 C．当时，过点作曲线的切线有且仅有两条 D．当时，的图象与图象交点的纵坐标之和为 8．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知，且，若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_____. 四、解答题 10．（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数在点处的切线斜率为5． (1)求实数m和n的值； (2)方程在有解，求实数t的取值范围． 11．（24-25高二下·山东德州·期中）已知在时有极值0. (1)求常数a，b的值； (2)如果存在，使得成立，求满足条件的最大整数. 12．（24-25高二下·山东泰安·期中）已知. (1)若函数在上为增函数，求的取值范围； (2)当，且时，不等式在上恒成立，求的最大值. 13．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数，为的导函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在处取得极值，求的单调区间和最值． 14．（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数． (1)求的极值； (2)若对任意恒成立，求实数m的取值范围． 15．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 16．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)当时，证明：． 17．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数，曲线在处的切线斜率为． (1)求a的值； (2)求在区间上的最值． 18．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并说明理由； (2)若函数在上的最大值在区间内，求整数m的值． 19．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程. (2)若函数在处有极值，求函数的单调区间 (3)当时，求证. 20．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知函数． (1)若函数在区间上恰有两个极值点，求实数的取值范围； (2)当时． 证明：（i）若，则恒成立； （ii）若，则恒成立． 21．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)已知在上的最小值为2，求k的值； (3)若恒成立，求k的取值范围. 22．（24-25高二下·山东日照·期中）已知函数. (1)当时，求在区间上的最值； (2)记. （i）证明：曲线为中心对称图形； （ii）若函数有三个零点，求的取值范围. 23．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数. (1)若时，曲线与直线相切，求实数的值； (2)若是的极值点，函数有且仅有一个零点，设和为两个不相等的正数，且满足. ①求的取值范围； ②求证：. 24．（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数． (1)设的图象与轴的交点为，在点处的切线经过点，求此切线的方程； (2)在（1）的条件下，在定义域内恒成立，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 25．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数，其中． (1)讨论的零点个数； (2)若是在上的零点，证明：． 26．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数． (1)若为上的单调函数，求的取值范围； (2)若函数恰有三个不同的零点，求的取值范围． 27．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数． (1)若，求函数在上的最值； (2)若无零点，求a的取值范围． (3)若，有两个实数根，，证明： 28．（24-25高二下·山东聊城·期中）若函数与在区间I上满足：存在实数k，使得对任意，都有则称k为和在I上的同步斜率．已知．，，． (1)验证1是否为和在上的同步斜率； (2)若1是和在区间上的同步斜率，求实数a的取值范围； (3)证明：当且时，． 29．（24-25高二下·山东日照·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)记方程的根为，证明：. 30．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)若，，求的取值范围； (3)若、，讨论与的大小关系，并说明理由. 31．（24-25高二下·山东泰安·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)对于函数，，若存在，使，则称函数与为“互补函数”， ，为“互补数”.已知当时，函数与为“互补函数”且互补数为. （ⅰ）是否存在，使？并说明理由； （ⅱ）若，，请用含有的代数式表示的最小值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数与导数 2大高频考点概览 考点01导数的基本概念及运算 考点02导数的综合应用 地 城 考点01 导数的基本概念及运算 一、单选题 1．（24-25高二下·山东临沂·期中）定义：为函数的n阶导数，即对函数连续求n阶导数．例如，则，，，，…，若，则的展开式中的系数是（   ） A．8 B．28 C．56 D．70 【答案】C 【分析】先写出的表达式，归纳分析可知，求，展开式有项，且每项的系数是组合数，由此可得出答案. 【详解】由，可得， 所以， 所以， 由此可归纳出求，求8阶导，展开式有9项，且每项的系数是组合数， 所以的展开式中的系数是. 故选：C. 2．（24-25高二下·山东济南·期中）曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】先求出导函数，再代入得出切线斜率，结合直线垂直时斜率关系计算求解. 【详解】曲线，所以在处的切线斜率为， 又因为切线与直线垂直， 则，所以. 故选：C. 3．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知，若，则（    ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由函数解析式求导，结合题意建立方程，可得答案. 【详解】由，则， 所以，解得. 故选：A. 4．（24-25高二下·山东威海·期中）定义在上的奇函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，结合求导可判断单调性，从而求解原不等式. 【详解】根据题意可构造函数，则， 由题可知，所以在区间上为增函数， 又由于为偶函数，为奇函数，所以为奇函数， 又，即， 所以，解得. 故选：D. 5．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】求导可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，解得. 故选：D 6．（24-25高二下·山东威海·期中）函数的导函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求解即可. 【详解】， 故选：B. 7．（24-25高二下·山东青岛·期中）函数，则（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】由导数的四则运算法则求导，结合三角函数值求解即可． 【详解】由，则， 所以. 故选：A. 8．（24-25高二下·山东德州·期中）已知是函数的导函数，且，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】先求出导函数，再代入求出导函数值. 【详解】，所以， 所以 则. 故选：B. 9．（24-25高二下·山东菏泽·期中）可与曲线和的公切线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与和分别相切于，，利用导数的几何意义得到方程，求出，即可得到切线的斜率，即可求得答案. 【详解】设与和分别相切于，， 而，， ，， ，解得，，即公切线的斜率为， 故与垂直的直线的斜率为， 所以所求直线方程可为． 故选：D． 10．（24-25高二下·山东德州·期中）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的计算公式即可求解. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 11．（24-25高二下·山东·期中）已知函数的图像开口向下，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导函数，依题意，解得即可. 【详解】因为，所以， 所以，又， 所以，解得或， 又函数的图像开口向下，所以. 故选：C 12．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义可求切线的斜率，求出切点坐标，利用点斜式求直线方程即可. 【详解】由得 所以 又，∴切点为 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故选：D. 13．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知函数，则（    ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】C 【分析】求出函数的导数，代入，即可求得答案. 【详解】由，可得，， 则，则， 故选：C 14．（23-24高二下·山东日照·期中）已知函数，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】求导，再令可得结论. 【详解】因为，令得. 故选：A 15．（24-25高二下·山东济宁·期中）一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（单位：）（   ） A．21 B．20 C．18 D．16 【答案】B 【分析】根据题意，求出函数的导数，将代入计算可得答案． 【详解】因为，所以， 所以，所以质点在时的瞬时速度为. 故选：B 16．（22-23高二下·山东济南·期中）已知函数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用导数的运算法则和定义求解即可． 【详解】， ， ， ，， 故选：D． 二、多选题 17．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的有（    ） A．函数是偶函数 B． C．函数的图象关于点对称 D． 【答案】ACD 【分析】对A，根据函数的奇偶定义可判定A；对B，利用抽象函数的奇偶性，复合函数求导可判定B；对C，利用抽象函数的对称性可判定C；对D，利用利用抽象函数的递推公式可求得关系式，再求和可判定D. 【详解】对A，因为，所以， 所以函数是偶函数，故A正确； 对B，因为为偶函数，所以，即， 所以，即，令，得， 所以，故B错误； 对C，因为，所以， 即，又，所以， 所以，所以，即， 所以函数的图象关于点对称，故C正确； 对D，因为，令，得， 所以，又，所以， ，…，所以，故D正确. 故选：ACD. 18．（24-25高二下·山东聊城·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则一定是函数的极值点 【答案】BC 【分析】根据求导公式，导数的定义，极值点概念分别对选项进行分析. 【详解】对于选项A：对于，其导数为，而不是，所以选项A错误. 对于选项B：先将化简，. 对求导可得. 将代入可得：，所以选项B正确. 对于选项C：根据导数的定义,. 对求导，根据复合函数求导公式，则. 将代入可得. 所以，选项C正确. 对于选项D：若，不一定是函数的极值点. 例如函数，对其求导可得，令，即，解得. 当和时，，函数在上单调递增，所以不是函数的极值点，选项D错误. 故选：BC. 19．（23-24高二下·山东潍坊·期中）下列函数的导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】运用函数乘除的导数可以判断A、C,B、D用复合函数的求导规则判断即可. 【详解】对于A,,故A对. 对于B,,故B对. 对于C, ,故C错. 对于D,,故D对. 综上所得,正确的是：ABD. 故选:ABD. 20．（21-22高二下·辽宁·期中）下列函数中，求导正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据基本初等函数的求导公式及运算法则即可求解. 【详解】解：对于A，，，则A正确； 对于B，，，则B错误； 对于C，，，则C正确； 对于D，，，则D正确． 故选：ACD. 三、填空题 21．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数，对抛物线持续实施下面“牛顿切线法”的步骤： 在点处作C的切线，交x轴于； 在点处作C的切线，交x轴于； 在点处作C的切线，交x轴于； …… 由此能得到一个数列，称为“牛顿数列”，则的值为_______；若，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】由导数的几何意义即可得到切线方程，从而得到，以及与的关系，再由，即可得到数列是以为首项，以为公比的等比数列，从而得到通项公式，再令，计算，通过其单调性，即可得到最大值. 【详解】由可得，且，， 则切线方程为，令可得，解得，即， 在点处的切线斜率为， 则切线方程为， 因为切线交轴于，令，则， 即，即， 则， 则， 因为，所以， 且， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 则， 设，则， 当时，， 当时，， 当时，，即， 所以，且， 即的最大值为. 故答案为：；. 22．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数，则______. 【答案】 【分析】求出，代值计算可得的值. 【详解】因为，则， 因此，. 故答案为：. 23．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知函数，则______． 【答案】/0.6 【分析】求导可得，令运算即可. 【详解】因为，则， 令，可得，解得. 故答案为：. 四、解答题 24．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知，，且．求： (1)m的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出的展开式的通项公式，然后求出其的一次项和二次项，再由列方程可求出的值； （2）利用赋值法，分别令和可求得结果； （3）对两边求导，然后令可求得答案. 【详解】（1）的展开式的通项公式为， 令，得，所以， 令，得，所以， 所以，解得． （2）令，得， 令，得， 所以． （3）对两边分别求导，得 ， 令，得． 25．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知，求解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）令，可求得的值； （2）令，可求出的值，再与（1）中的等式作差，可求得的值； （3）分析可知当为奇数时，；当为偶数时，，可得出，即可得解； （4）在题干等式的两边同时求导，再令，可求得的值. 【详解】（1）令，得①. （2）令，得②， 由①②，得， 所以. （3）因为， 的展开式通项为， 所以， 当为奇数时，；当为偶数时，. 所以. （4）， 两边分别求导，得， 令，得. 地 城 考点02 导数的综合应用 一、单选题 1．（24-25高二下·山东淄博·期中）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先对函数求导，然后求出函数在处的导数值和函数值，然后求出切线方程. 【详解】因为，所以. 所以切线的斜率为.又， 所以切线方程为，即. 故选：C. 2．（24-25高二下·山东德州·期中）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数在给定区间上为增，可判断导函数在此期间上恒为非负数，将问题转化为不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】由可得， 因函数在上单调递增， 则在上恒成立， 即在上恒成立，故得，解得. 故选：B. 3．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知为定义在上的偶函数，且当时，是单调递减函数．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断为奇函数，即可得到在上单调递减，再根据自变量的大小关系，即可判断. 【详解】因为为定义在上的偶函数， 所以， 令，则， 所以（）为奇函数， 又当时，是单调递减函数， 所以在上单调递减， 因为，所以，即. 故选：B 二、多选题 4．（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数，则（    ） A．当时，有两个极值点 B．当时，在处有极值 C．当时， D．当时，曲线关于点中心对称 【答案】ACD 【分析】求得，根据求极值和判断极值的方法可以判断A，B；通过利用导数研究在上的单调性可以判断C；通过计算看其的结果是否为可判断D. 【详解】由，得， 对于A，当时，令得或， 当时，；当时，；当时， 所以有两个极值点，故A正确； 对于B，当时，，，，故B不正确； 对于C，当时，若，则，所以在上单调递增， 因为，所以，故C正确； 对于D，当时，， 因为， 关于点中心对称.故D正确. 故选：ACD. 5．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知定义在上的函数，部分对应的函数值如表，其导函数的图象如图所示，则（   ） x 2 3 1 2 0 A．在是减函数 B．在定义域上有两个极值点 C．若，则函数有两个零点 D．若在上的最大值为2，则 【答案】BCD 【分析】根据所给的条件，分析函数的单调性和极值，作出函数的草图，数形结合，逐项判断即可. 【详解】根据的图象可知：函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 结合给定的函数值，可作出函数的草图，如下： 对A：由图可知，函数在上单调递增，在上单调递减，故A错误； 对B：由图可知，函数在上有两个极值点，分别为和，故B正确； 对C：当时，方程有两个不同的解，故C正确； 对D：由图可知，函数在上要想取到最大值2，须有，故D正确. 故选：BCD 6．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数与轴有三个不同的交点 B．函数存在最小值但没有最大值 C．若当时，，则的最大值为 D．若方程有1个实根，则k∈ 【答案】BC 【分析】对于A：令运算求解即可；对于B：利用导数求单调性和最值；对于C：根据选项B的最值即可得结果；对于D：方程有1个实根等价于与有1个不同交点，采用数形结合的方式可求得. 【详解】由题意可知：定义域为， 对于选项A：令，则，解得， 所以函数与轴有两个不同的交点，故A错误； 对于选项B：因为， 当时，；当时，； 可知在，上单调递减，在上单调递增； 则的极大值为，极小值为， 当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0， 可知函数有最小值，无最大值，故B正确； 对于选项C：因为函数有最小值， 若当时，，则， 所以的最大值为，故C正确； 对于选项D：方程有1个实根等价于与有1个不同交点， 结合图象可知：，故D错误. 故选：BC. 7．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数在处取得极值，且在上单调，则下列结论中正确的是（） A．的取值范围是 B．不可能有两个零点 C．当时，过点作曲线的切线有且仅有两条 D．当时，的图象与图象交点的纵坐标之和为 【答案】ACD 【分析】对于A，求导函数，利用在处取得极值，求得的取值范围判断A；对于B，结合A，求得函数的极大值与极小值，可得，时，有两个零点，求解判断B；对于C，假设切点，求出切线方程，再将点代入即可求出切点的坐标，进而可知切线方程；对于D，求出的对称中心和的对称中心，判断其函数图象交点的个数，再由对称可求其交点纵坐标之和. 【详解】选项A：由题得， 若，则单调递增，不存在极值， 又因为在处取得极值，所以必有． 当时，可知在处取得极小值，且在上单调递增，符合题意； 当时，可知在处取得极大值，但在上先减后增，不符合题意． 综上，的取值范围是，故A正确． 选项B：由选项A可知的极大值为 ， 极小值为， 因为，所以极大值， 当极小值，即时，有两个零点，故B错误． 选项C：当时，，假设上的一点， 因为，所以， 所以过点的切线方程为， 将点代入并化简可得，解得或， 当时，切点，此时切线方程为，即， 当时，切点，此时切线方程为，即，所以C正确. 选项D：当时，，， 当时，，当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减； 令，则， 令，解得，所以的对称中心为，即， 因为，， 所以的对称中心为，与的对称中心相同， 易知单调递增，易求得， 在上的图象如图所示， 在，与有三个交点，左右两个交点关于对称中心对称， 该两点的纵坐标之和为，中间一个交点的纵坐标为， 由于的增长速度比快，因此在较大处有两个交点，且关于对称中心对称， 该两点的纵坐标之和为， 因此，在定义域内，与有5个交点，这五个交点的纵坐标之和为，D正确. 故选：ACD． 8．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意可得出，由此构造函数，利用导数判断其单调性，即可判断A；再设，求导判断单调性，可判断B；证明不等式，即可判断C；构造函数，利用单调性判断D. 【详解】由题意知，且，，即， 令，则， 当时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减，， 结合，，即，知，A正确； 令， ， 由于，则，故， 即，故在单调递增，则， 故，结合可得， 由于，故，即，B错误； 先证明不等式， 设，则即， 即证； 设，则， 由于，但等号取不到， 故，则，则在上单调递增， 故，即成立，即成立， 对于两边取自然对数，得， 即，则， 故，则，C正确； 设，则， 当时，，即在上单调递增， 故，则，D正确， 故选：ACD 三、填空题 9．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_____. 【答案】 【分析】依题将问题转化为不等式在上恒成立，设，通过求导判断函数的单调性，求得，从而推得，即得a的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 由可得，即在上恒成立. 设，则，设，显然在上单调递增， 因，故存在，使得，则，即. 当时，，则在上递增；当时，，则在上递减. 故当时，，故有， 即得，故正数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 10．（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数在点处的切线斜率为5． (1)求实数m和n的值； (2)方程在有解，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点在曲线上得到一个方程，再利用导数在处的值等于切线斜率，联立方程组求解m和n的值. （2）将方程有解问题转化为求函数在区间[-1，2]上的值域，需通过求导 分析极值点，结合端点值确定最大值和最小值. 【详解】（1）， 由函数在点处的切线斜率为5， 可得， 解得. （2）方程在有解，等价于求在区间上的值域， 由第一问知， 当时，解不等式，可得或，此时递增， 解不等式，可得，此时递减， 因此在上递增，在上递减，在上递增， 由于，所以是函数的极大值点，极大值为， 是函数的极小值点，极小值为， 又因为，所以函数的最大值为12，最小值为0， 即函数的值域为， 所以实数的取值范围为. 11．（24-25高二下·山东德州·期中）已知在时有极值0. (1)求常数a，b的值； (2)如果存在，使得成立，求满足条件的最大整数. 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）利用函数的极值点的意义，列出方程组，求得，回代入导函数，判断函数的单调性，检验极值点即得； （2）利用导数，求得函数在区间上的最值，根据题意，须使，即在上恒成立，即得满足条件的最大整数. 【详解】（1）由可得， 因在时有极值0，可得，即， 解得：，（因，故舍去）或， 当时，， 由可得或，由可得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数在时取得极小值，符合题意. 故. （2）由（1）可知， ， 1 + 0 0 + 0 增 4 减 0 增 20 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 且， 如果存在使得成立， 等价于．而. 故得， 因时，， 所以，即满足条件的最大整数为20． 12．（24-25高二下·山东泰安·期中）已知. (1)若函数在上为增函数，求的取值范围； (2)当，且时，不等式在上恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）将问题转化为在上恒成立，进而利用参变分离求的最大值即可； （2）参变分离求的最小值，最后利用即可求得. 【详解】（1）因，则， 因在上为增函数，则即在上恒成立， 则， 又在上单调递减，则当时，则， 故的取值范围是； （2）当时，， 当时，不等式等价于， 即对任意恒成立， 设，，则， 设，，则， 则在单调递增， 因，， 则存在使，即， 所以当时，，；当时，，， 故在单调递减，在单调递增， 则 所以， 又因，故的最大值为. 13．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数，为的导函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在处取得极值，求的单调区间和最值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程； （2）根据题意可得，可得，进而求解函数的单调区间和最值. 【详解】（1）当时，， 则，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由，，则， 所以， 则， 因为函数在处取得极值， 所以，解得， 此时， 则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则时，函数取得极小值，满足题意，即， 则函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，函数取得最小值，无最大值. 14．（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数． (1)求的极值； (2)若对任意恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值． (2) 【分析】（1）求出导函数，进而求出函数的单调区间，根据极值的概念求解即可. （2）法一：参变分离，令，利用导数求解在区间上的最小值即可得解； 法二：将问题转化为恒成立，令，利用导数求在区间上的最小值即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为，由得， 解方程，可得， 解不等式，可得，所以在区间上单调递增， 解不等式，可得，所以在区间上单调递减， 所以，无极大值． （2）法一：对任意恒成立也即恒成立， 令，下求在区间上的最小值即可． ，解不等式，可得， 所以在区间上单调递增， 解不等式，可得，所以在区间上单调递减， 所以，所以，所以， 所以实数的取值范围为． 法二：对任意恒成立也即恒成立， 令，求在区间上的最小值． 则，解不等式，可得，所以在区间上单调递增， 解不等式，可得，所以在区间上单调递减， 所以， 所以可得， 所以实数的取值范围为． 15．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由题意可求得导函数，对进行分类讨论即可得到函数的单调性； （2）先化简题干的不等式，分离参数得到，通过构造函数找到的最小值，由此可求得实数a的取值范围． 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 因为，若时，在上单调递增； 若时，令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）因为，恒成立， 所以，则， 令且，则， 令，则，故在上单调递增， 又，所以时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 所以，故实数a的取值范围为. 16．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，分和讨论导函数的符号，判断函数的单调性. （2）利用（1）的结论，求函数的最小值即可. （3）引入函数，分别证明（）和（）即可. 【详解】（1）因为，. 若，则在上恒成立，所以函数在上单调递增； 若，由；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上可得：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）得，欲使恒成立，须有，且. 由. 所以的取值范围为：. （3）当时，. 设（），则，因为，所以. 所以在上单调递增，所以. 所以在上恒成立. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，所以即在上恒成立. 所以在上恒成立. 故原不等式成立. 17．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数，曲线在处的切线斜率为． (1)求a的值； (2)求在区间上的最值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）由代入计算，即可得到结果； （2）先求得函数的极值，然后再分别计算端点值，比较大小，即可得到结果. 【详解】（1）由题意可得， 因为，则，解得. （2）由（1）可知，则，， 令，即，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增， 即时，有极小值，且， 又，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 18．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并说明理由； (2)若函数在上的最大值在区间内，求整数m的值． 【答案】(1)单调递增，理由见解析 (2) 【分析】（1）求导，对导函数因式分解，进而得到导函数大于0，得到函数单调递增； （2）求导，结合隐零点得到在上单调递增，在上单调递减，求出的最大值，进而构造函数，得到，得到整数的值． 【详解】（1），， 当时，，，，， ∴在单调递增． （2）， 令，则，所以在上单调递增， 因为，， 所以存在，使得，即，即， 故当时，，当时，， 又当时，（等号仅在时成立）， 所以当时，， 当时，（等号仅在时成立）， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则， 令，，则，， 所以在上单调递增，则，， 所以，所以． 19．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程. (2)若函数在处有极值，求函数的单调区间 (3)当时，求证. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增 (3)证明见解析 【分析】（1）求出，利用直线的点斜式方程可得答案； （2）利用求出，可得，可得答案； （3）法一：令，利用导数求出，得，令，利用导数，可得答案；法二：利用函数在上单调递增，得在上有唯一实根，且，由得，由可得答案. 【详解】（1）当时，， 则， 故， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）， 因为函数在处有极值， 所以，即，解得， 此时， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 又， 所以时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； （3）法一：令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，当且仅当时取等号，.. 故， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立， 当时，，所以； 法二：当时，， 故只需证明当时，. 当时，函数在上单调递增. 又，故在上有唯一实根， 且. 当时，；当时，， 从而当时，取得最小值. 由得， 故. 综上，当时，. 20．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知函数． (1)若函数在区间上恰有两个极值点，求实数的取值范围； (2)当时． 证明：（i）若，则恒成立； （ii）若，则恒成立． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）由函数解析式求导，令导数等于零并参变分离，构造函数，利用导数与函数单调性的关系，可得新函数的单调性与值域，结合函数的极值个数，可得答案； （2）由题意构造函数，利用导数研究其单调性并求得最值，结合放缩，可得答案. 【详解】（1）由已知可得，由可得． 令，则， 当时，有，所以，所以在上单调递减． 又，所以在上的值域为； 当时，有，所以，所以在上单调递增． 又，所以在上的值域为． 作出函数在的图象如图所示， 由图象可知，当时，有两解， 设为，且． 由图象可知，当时，有，即； 当时，有，即； 当时，有，即． 所以，在处取得极大值，在处取得极小值． 综上所述，的取值范围为． （2）（i）构造函数，则， 令，则在时恒成立， 所以，即在上单调递增，所以， 所以，在上单调递增，所以， 所以，当时，． 因为，故在上，． 令，则， 令， 故，即为增函数，所以， 所以为增函数，所以， 即，即，所以． 又，所以，当时，有； （ii）在（i）的条件下，只需讨论上成立， 因为，所以． 令在上恒成立， 所以，在上单调递增，所以， 所以，当时，有，所以． 又，所以． 综上所述，在上，恒成立． 21．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)已知在上的最小值为2，求k的值； (3)若恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用导数，分和研究单调性； （2）根据，，和时函数在上的单调性判断最值，求k的值； （3）若恒成立，即恒成立，设，利用导数求函数的最大值即可. 【详解】（1）由题意知的定义域为， 且， 当时，时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递减； （2）由（1）知， 当，则在上单调递减， 所以，则，矛盾舍去， 当，，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，得，矛盾舍去， 若，则在上单调递增， 所以，则，符合题意， 综上； （3）若恒成立， 即恒成立， 设， 则， 令，则， 所以在上单调递增， ， 所以在上有唯一零点，即, 所以， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 所以由，得， 所以， 当时，，，则在上单调递增， 当时，，，则在上单调递减， 所以， 由恒成立， 所以，即k的取值范围为. 22．（24-25高二下·山东日照·期中）已知函数. (1)当时，求在区间上的最值； (2)记. （i）证明：曲线为中心对称图形； （ii）若函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1)在区间上的最大值为2，最小值为 (2)（i）证明见解析，（ii） 【分析】（1）求导，根据导函数的正负，即可根据正负求解函数的单调性，比较端点值以及极值点处的函数值即可求解， （2）（i）根据关于的对称点位，代入化简可求解得解， （ii）根据对称性将问题转化为在上有且仅有一个零点，求导，根据的单调性，对，可判断单调，且，不合题意，当时，根据，，结合零点存在性定理可知的单调性，根据时，，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 所以，令，解得， 当，单调递减， 当，单调递增， 又因为， 所以在区间上的最大值为2，最小值为 （2）（i）令得，故的定义域为， 设是图象上任意一点，关于的对称点位， 因为在图象上，所以， ， 所以， 所以关于对称， （ii）因为，所以2是的一个零点， 要使有三个零点，只需要在上有且仅有一个零点， ， 由于在上单调递增，在上单调递增，因此在上单调递增，， 若，即，此时，所以在单调递增， 由可得在没有零点，不符合题意，舍去， 若，即，，又因为，所以存在，使得， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 所以时，， 时，， 当时，，所以在上存在唯一的零点，符合题意， 综上： 23．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数. (1)若时，曲线与直线相切，求实数的值； (2)若是的极值点，函数有且仅有一个零点，设和为两个不相等的正数，且满足. ①求的取值范围； ②求证：. 【答案】(1)1 (2)①或；②证明见解析 【分析】（1）设切点坐标为，根据导数的几何意义知即为切线的斜率，用点斜式求得切线方程，根据切线过点，列式求得，即可得的值. （2）①先根据极值点求出，再把有一个零点转化结合函数图形求出参数范围即可； ②构造函数再应用导函数确定函数单调性证明不等式. 【详解】（1）当时，， 设切点坐标为， 又，切线方程为， 又切线过点， 所以，整理得， 易知在上单调递增，且当时，， 所以当且仅当时成立， 所以，即所求实数的值为1 （2）①， 因为是的极值点，所以，解得， 经检验符合题意， 则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又当时，且，当时，， 作出函数的大致图象，如图所示， 函数有一个零点，即函数的图象有一个交点， 由图可知或，所以或； ②证明：当时，， 由，不妨设， 又，结合①，则， 要证，由，得， 即证， 令，则， 故在区间内单调递增， 所以，故，即， 综上. 24．（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数． (1)设的图象与轴的交点为，在点处的切线经过点，求此切线的方程； (2)在（1）的条件下，在定义域内恒成立，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义，可得切线方程为，再结合条件，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成在区间上恒成立，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最小值，即可求解； （3）构造函数，利用导数与零点存在性原理得，再构造函数，利用导数求出的最小值，再结合题设，即可求解. 【详解】（1）由题意可得，又， 所以， 所以切线方程为，又，可得， 所以切线方程为． （2）由，即在定义域内恒成立， 所以在区间上恒成立， 令， 所以，令， 所以恒成立，所以在上单调递增， 即在上单调递增，又， 所以当时，，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增， 所以，所以． （3）令，则， 易知在为增函数，又时，，时，，即的值域为， 所以在上有唯一的实数根， 即，得，则， 则当时，所以，则在单调递减； 当时，所以，则在单调递增； 当时，取得最小值，， 令，即在上恒成立， 令， 则， 则当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 所以， 所以只需，即. 25．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数，其中． (1)讨论的零点个数； (2)若是在上的零点，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，先分析函数的单调性，进而结合进行讨论求解即可. （2）由题意可得，转化问题为证明，构造函数，利用导数进行求证即可. 【详解】（1）由，得， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为时，，，， 所以当，即时，函数无零点； 当，即时，函数有1个零点； 当，即时，函数有2个零点. 综上所述，当时，函数无零点； 当时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点. （2）由题意，，即， 要证，即证， 令，， 因为，所以， 所以当时，成立， 因此只需证明当时，， 因为，所以， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又，所以， 则函数在单调递减，所以，即， 综上所述，，即. 26．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数． (1)若为上的单调函数，求的取值范围； (2)若函数恰有三个不同的零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）分类讨论，为增函数和减函数，参变分离，根据或在上恒成立，即可求得范围； （2）根据，以及为奇函数，将问题转化为在上存在一个零点，再分、、三种情况研究的零点，特别地，当时，通过构造函数并研究其零点即可. 【详解】（1）若为上的单调增函数，则在上恒成立， 即恒成立， 又，故； 若为上的单调减函数，则在上恒成立， 即恒成立， 又，故； 综上所述，若为上的单调函数，则的范围为. （2）定义域为，且，故为奇函数， 又， 则函数恰有三个不同的零点，等价于在有一个零点， 又， 令，则， ①由（1）可知，当时，为上的单调减函数， 又，故在恒成立，故在单调递减， 又，，故存在，使得， 则得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 故当，， 又，故存在，使得， 则在有一个零点； ②当时，， 令，则，则在单调递增， 则，即在恒成立， 则在无零点，不符合题意； ③当时，令， 则， 令，则， 若，则； 若，令得， 则得；得， 又，则在恒成立，即在恒成立， 因，则，则， 则在上单调递减， 因， 易知当时，时， 则， 则由零点存在性定理可知，在上存在一个零点， 即在有一个零点； 综上所述，的取值范围为. 27．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数． (1)若，求函数在上的最值； (2)若无零点，求a的取值范围． (3)若，有两个实数根，，证明： 【答案】(1)最大值为，最小值为0 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）当时，利用导数可求得的单调区间和极值，进而可求得函数在上的最值； （2）对a进行分类讨论，发现当时，在上无零点，符合题意； 在时由零点存在定理知其存在零点，不合题意，舍去，当时，需满足极小值大于0，由此构造函数可求得a的取值范围； （3）由（1）知当时，在上单调递减，在上单调递增，因为有两个实根，所以不妨令， 要证，即证，也即证，故构造函数，利用单调性即可证明结论. 【详解】（1）当时，，则，， 由，得，由，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， ∴，∵，， 又，所以，， 所以的最大值为，最小值为； （2）∵，， 当时，在上无零点，符合题意； 当时，恒成立，即在上单调递增，无极值； 因为当时，，，所以， 当时，，又在上单调递增， 所以当时，函数在上必有零点，不合题意，舍去； 当时，由，得， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增， 所以当时，有极小值，同时极小值也为最小值， 因为当时，，，所以， 当时，， 若函数无零点，则，得， 令，， 则，所以函数在上单调递减，又， 由，得，则． 综上，a的取值范围为； （3）由（1）得，当时，当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 因为有两个实根，所以不妨令， 则，要证，即证，又因为当时，单调递增，所以 即证，因为，即证， 令， 所以， 所以在上单调递减，故，即， 所以成立，即成立. 28．（24-25高二下·山东聊城·期中）若函数与在区间I上满足：存在实数k，使得对任意，都有则称k为和在I上的同步斜率．已知．，，． (1)验证1是否为和在上的同步斜率； (2)若1是和在区间上的同步斜率，求实数a的取值范围； (3)证明：当且时，． 【答案】(1)是 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意知，只需证时，，然后分别构造函数，，利用导数判断其单调性，从而可证得结论； （2）由题意知恒成立，令，则在区间上恒成立，对函数求导后，分和两种情况分析函数的单调性求解即可； （3）由（2）知在区间上恒成立，令，得，然后利用累加法可证得结论. 【详解】（1）1是和在上的同步斜率， 证明如下： 由题意知，只需证时，． 令，则， 所以时，，在上单调递增， 又因为，所以时，，即在上恒成立． 令，则恒成立，所以在上单调递减， 又因为，所以，即，所以时，， 即1是和在上的同步斜率． （2）解：由题意知恒成立， 令，则在区间上恒成立， ， 当即时，在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，，符合条件； 当，即时，时，， 在区间上单调递减， 所以存在，使，不符合条件． 综上，a的取值范围为． （3）证明：令，由（2）知在区间上恒成立， 当且时，，令，得． 所以 即当且时，． 29．（24-25高二下·山东日照·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)记方程的根为，证明：. 【答案】(1)的单调递增区间为，递减区间为. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，根据导函数的正负，即可求解函数的单调性， （2）根据关于对称，将问题转化为求解的情况，求导后，构造函数，证明进而得在上单调递增，求解的最小值即可求解， （3）对取自然对数得，进而利用导数证明不等式：时，，利用该不等式，分别令，，结合裂项相消法相加即可求解. 【详解】（1）的定义域为，， 令，则， 当在单调递减，当在单调递增， 故的单调递增区间为，递减区间为. （2）设，则， 所以关于对称，不妨研究时的图象性质. ， 令，显然时，， 下面证明时， ， 由于时，，此时，所以在上单调递增，则， 所以当时，均有，因此在上单调递增， 所以，故， （3）由题意知：且，两边取自然对数得， 先证明：时，， 设， 则当时，在单调递减，当时，在单调递增，故当，故当且仅当时取等号， 故， 所以，所以， 所以 在中，令，得， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，，当且仅当时等号成立， 当时，在中，令，得， 所以时，， 当时，，所以，得证. 30．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)若，，求的取值范围； (3)若、，讨论与的大小关系，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）求出的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）令，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证能否恒成立，即可求出实数的取值范围； （3）不妨设，分析可知，函数在区间上的单调性，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，可得出与的大小. 【详解】（1）因为，则，所以，又 所以在处的切线方程为，即. （2）令，其中，则， 由，可得. 当时，即当时，对任意的，， 此时，函数在上单调递增，则，合乎题意； 当时，即当时，由可得，由可得， 所以，函数在区间上单调递减， 故，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. （3）不妨设，且当时，，故函数在上单调递增， 先比较与的大小，即比较与的大小关系， 令，其中，所以， 故函数在上单调递增， 因为，所以，即， 即，故， 31．（24-25高二下·山东泰安·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)对于函数，，若存在，使，则称函数与为“互补函数”， ，为“互补数”.已知当时，函数与为“互补函数”且互补数为. （ⅰ）是否存在，使？并说明理由； （ⅱ）若，，请用含有的代数式表示的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)（ⅰ）存在，理由见解析；（ⅱ） 【分析】（1）求导后根据参数的范围分类讨论可得； （2）（i）由互补函数的定义结合代入可得； （ii）由互补函数的定义构成方程组解出的表达式，再构造函数求导，二次构造和求导分析单调性和最值可得. 【详解】（1）∵，∴， ①当时，，∴在上单调递减， ②当时令得，令得， ③当时令得，令得. 综上：当时，在上单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. （2）∵与为“互补函数”， ∴存在，使， （ⅰ）若，则即， ∴，. （ⅱ）设，则， 即即， ∴①+②得③， ①-②得④， 得， ∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， 设，，则， 设，则， 设，则在上恒成立， ∴在上单调递增，∴ ∴在上恒大于0，∴在上单调递增 ∴，∴在上恒成立 ∴在上单调递增， ∴， ∴的最小值为. 56 / 56 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $