几何专练(二) 与线段的垂直平分线、角平分线有关的证明或计算-【精英新课堂·三点分层作业】 2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）贵州专版

几何专练（二） 与线段的垂直平分线、角平分线有关的证明或计算 (时间：40分钟满分：60分) 1.(6分)如图，P是∠MON内部的一点，PA⊥4.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A= OM于点A,PB⊥ON于点B,连接AB, 36°，AB的垂直平分线DE分别交边AB, ∠PAB=∠PBA.求证：OP平分∠MON. AC于点E,D,连接BD (1)求∠DBC的度数； (2)若BC=4,求AD的长. B N 2.(6分)如图，在△ABC中，AD是△ABC的 角平分线，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点 F.求证：AE=AF. 5.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE 平分∠ABC,交AC于点E,DE垂直平分 AB,垂足为D.若AC=9,求AE的长. 3.(6分)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=4, AB=5,分别以点A,B为圆心，以大于AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点E,F,作 直线EF,交BC于点D,连接AD,求△ACD 的周长， ·5· 6.(8分)如图，P为△ABC的外角∠CBM,8.(10分)如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB ∠BCN的平分线的交点，PD⊥BC,PE1 的垂直平分线分别交AB,BC于点E,F,AC AB,PF⊥AC,垂足分别为D,E,F. 的垂直平分线分别交AC,BC于点M,N,直 (1)求证：PE=PF; 线EF,MN交于点P,连接AP,AF,AN. (2)若四边形ABPC的面积为20，且PD= (1)求证：点P在线段BC的垂直平分线上； 4,求AB+AC的值. (2)求证：AP平分∠FAN; (3)设∠FAN=a,则∠FPN的度数是 .(用含α的代数式表示) 7.(8分)如图，在△ABC中，∠BAC=90°， AB=4,AC=3,DE垂直平分AB,分别交 AB,BC于点D,E,AP平分∠BAC,与DE 的延长线交于点P,连接PC (1)求PD的长； (2)求PC的长. ·6·2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定定理1,2 知识梳理 相等平行且相等 针对训练 1.C2.C3.A4.C5.平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形6.4 7.(1)证明：AF=CD,∴AF+CF=CD+CF,即AC=DF.在△ABC和△DEF中， (AB=DE, BC=EF,∴.△ABC≌△DEF(SSS).∴.∠ACB=∠DFE.(2)解：四边形BFEC是平行四 AC=DF, 边形.理由如下：由(I)可知∠ACB=∠DFE,.BC∥EF.又，BC=EF,.四边形BFEC是 平行四边形。 第2课时平行四边形的判定定理3 知识梳理 互相平分 针对训练 1.D2.A3.对角线互相平分的四边形是平行四边形4.42 ∠ABO=∠CDO, 5.证明：在△ABO和△CDO中， ∠AOB=∠COD,,∴.△ABO≌△CDO(AAS).∴.OB= OA=OC, OD.,OA=OC..四边形ABCD是平行四边形 6.证明：，四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC,OB=OD.,BE=DF,.OB一BE= OD一DF,即OE=OF..四边形AECF是平行四边形. 第3课时平行线之间的距离及平行四边形的判定与性质的综合 知识梳理 相等相等 针对训练 1.B2.D3.B4.D 5.证明：，四边形ABED是平行四边形，.AD∥BE,AD=BE.∴.∠ADB=∠CBD.BD 平分∠ABE,∠ABD=∠CBD.∠ABD=∠ADB.AB=AD.AD∥BE,DC∥AE, 四边形AECD是平行四边形..CE=AD..AB=CE. 6.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，.OB=OD.,BF∥DE,.∠OFB=∠OED. ∠OFB=∠OED, 在△BFO和△DEO中，∠FOB=∠EOD,.△BFO≌△DEO(AAS).(2)△BFO≌ OB=OD, △DEO,.OF=OE.又，OB=OD,.四边形BFDE是平行四边形. 3三角形的中位线 知识梳理 中点平行一半 针对训练 1.C2.C3.C4.C5.55 6.解：AB=AC=8,AD平分∠BAC,∴.D是BC的中点.E是AC的中点，∴.DE是 △ABC的中位线.DE=名AB=4. 7.证明：连接AG.:BD,CE为△ABC的中线，M,N分别为BG,CG的中点，∴.EM为 △ABG的中位线，DN为△ACG的中位线.∴EM∥AG,EM=号AG,DN∥AG,DN= AG.:EM/DN,EM-DN. 提分小卷 阶段小测（一） 1.C2.C3.C4.C5.C6.B7.三角形中至少有两个钝角8.60°9.102°10.16 11.解：∠BAC=100°，∠B=40°，∴.∠ACB=180°-∠BAC-∠B=40°=∠B..AC=AB 49 =3.,∠D=20°，.∠CAD=∠ACB-∠D=20°=∠D..CD=AC=3. 12.证明：∠ABC=∠ACB,.AB=-AC:AD=号AB,AE=子AC,∴AD=AE.在 (AD=AE, △ACD和△ABE中，∠A=∠A,.△ACD≌△ABE(SAS)..CD=BE. AC=AB, 13.(1)解：AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°.∴∠BAD=∠CAD= 90°-∠C=48°.(2)证明：：EF∥AC,.∠F=∠CAD.·∠BAD=∠CAD,∴∠BAD= ∠F.AE=EF 14.(1)解：△CDE是等边三角形.理由如下：，△ABC是等边三角形，.AC=BC=AB,∠C =60.:BDLAC,AELBC,CD=合AC,CE=合BCCD=CE,:△CDE是等边三角 形.(2)证明：，△ABC是等边三角形，∠BAC=∠ABC=60°.BD⊥AC,AE⊥BC, ∴∠0AB=号∠BAC=30,∠AB0=∠OBE=号∠ABC=30,∠0EB=90.∴∠0AB= ABO,OB=20E...OA=OB...OA=20E. 15.(1)证明：AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB.,∠BDC=∠A+∠ACD,∠ACB=∠BCD+ ∠ACD,∠BCD=∠A,∴∠BDC=∠ACB.∠ABC=∠BDC..CD=BC.(2)证明：：BE ⊥AC,∴∠BEC=90°..∠ACB=90°-∠CBE.∴.∠ABC=∠BDC=90°-∠CBE. .∠BCD=180°-∠BDC-∠ABC=180°-(90°-∠CBE)-(90°-∠CBE)=2∠CBE. (3)解：∠A的度数是45°或36°.【点拨】设∠CBE=a,则∠A=∠BCD=2a,∠BDC=∠ACB =90°-a,∴.∠DBF=90°-∠A=90°-2a,∠BFD=∠CBE+∠BCD=3a.分三种情况讨 论：①BD=BF;②BD=DF;③BF=DF 几何专练（一）与等腰、直角三角形性质、判定有关的证明或计算 1.解：'AB=AD,·∠ADB=∠B=2180°-∠BAD)=80:AD=CD,∠C=∠CAD =7∠ADB=40 2.解：△ABC是等边三角形，AB=AC,∠BAC=60°.AD⊥BC,.∠CAD= 7∠BAC=30.:AD=AC,∠ACD=∠ADC=(180-∠CAD)=75.∴∠E=180 -∠BAC-∠ACD=45°. 3.证明：CE⊥AD,.∠CED=90°..∠C十∠D=90°.，∠A=∠C,.∠A+∠D=90° .△ABD是直角三角形. 4.证明：'BH=CH,∴∠CBH=∠BCH.CF⊥AB,BE⊥AC,∴∠BFC=∠BEC=90°. ∴.∠ABC+∠BCH=90°，∠ACB+∠CBH=90°..∠ABC=∠ACB..AB=AC..∠A= 60°，.△ABC为等边三角形. 5.解：在△ABD中，AD=AB=2√2，∠BAD=90°，∴.BD=√AB2+AD=4.CD= 4V3,BC=8,∴.BD2+CD2=64=BC.∠BDC=90°..S四边形ABcD=SAABD+SACD= 号AB·AD+2CD:BD=2×2DX2E+号X43X4=4+85. 6.(1)证明：，∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD= ∠CAE.AB=AC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(AS).(2)解：'∠BAC=90°，AB=AC =1,BC=√AB2+AC=√2，∠B=∠ACB=45.'∠BAD=22.5°，∴∠ADC=∠B+ ∠BAD=67.5°，∠CAD=∠BAC-∠BAD=67.5°.∴.∠ADC=∠CAD..CD=AC=1. ∴.BD=BC-CD=√2-1. 7.(1)解：：△ABC是等边三角形，.AC=BC,∠A=∠ACB=60°.：D是AC的中点， CD=AD=号AC.:CE=BC,CD=CE.·∠E=∠CDE,:∠ACB=∠E+ ∠CDE,∠E=∠CDE=30°.∴.∠ADF=∠CDE=30°..∠AFD=180°-∠A-∠ADF =90°.AF=3,∴AD=2AF=6.(2)证明：连接BD.,△ABC是等边三角形，D是AC的 中点，∠ABC=60,BD平分∠ABC.·∠ABD=∠DBC=合∠ABC=30.由(1)知 ∠BFD=90°，∠E=30°，.BD=2DF..∠DBC=∠E=30°，∴.DE=BD=2DF. 8.I)证明：AD=DE,∠DAE=∠DEA=名(180-∠D)=72.:AD/BC,∠C= ∠DAE=72°，∠EBC=∠D=36°.BE平分∠ABC,.∠ABC=2∠EBC=72°.∴.∠ABC 一 50 =∠C.∴.AB=AC.∴.△ABC是等腰三角形.(2)解：由(1)可知∠ABC=∠C=∠DAE= ∠DEA=72°，.∠BAC=180°-∠ABC-∠C=36°.∠DEA=∠BEC,.∠BEC=∠C. 六BE=BC=5-1.:BE平分∠ABC,∠ABE=合∠ABC=36.∠BAC=∠ABE ∠D..AE=BE=√5-1，AB=AD=2.∴AC=AB=2..CE=AC-AE=2-(W5-1) =3-√5. 几何专练（二）与线段的垂直平分线、角平分线有关的证明或计算 1.证明：∠PAB=∠PBA,∴PA=PB.PA⊥OM,PB⊥ON,∴.点P在∠MON的平分 线上.∴.OP平分∠MON. 2.证明：：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF.又AD=AD, ∴.Rt△AED≌Rt△AFD(HL)..AE=AF. 3.解：由题意知EF垂直平分线段AB,.AD=BD.∠C=90°，BC=4,AB=5,.AC= √AB-BC=3..△ACD的周长为AC+CD+AD=AC+CD十BD=AC+BC=7. 4.解：(ID:AB=AC,∠ABC=∠C=180°-∠A)=72.:DE垂直平分AB,AD BD.∠ABD=∠A=36°..∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°.(2)由(1)知AD=BD, ∠DBC=36°，∠C=72.∴.∠BDC=180°-∠C-∠DBC=72°..∠C=∠BDC.∴BC= BD...AD=BC=4. 5.解：BE平分∠ABC,∴.∠ABE=∠CBE.DE垂直平分AB,∴.BE=AE..∠A= ∠ABE=∠CBE.'∠C=90°，∴∠A+∠ABC=∠A+∠ABE+∠CBE=90°.∴.∠A= ∠ABE=∠CBE=30.∴CE=号BE.设AE=BE=x,则CE=AC-AE=9-x.∴9-x= x,解得x=6.AE=6. 1 6.(1)证明：P为∠CBM,∠BCN的平分线的交点，PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC,∴PD= PE,PD=PF.∴PE=PF.(2)解：连接AP.,四边形ABPC的面积为20，∴S△ABP+S△ACP =20.2AB·PE+2AC·PF=20.由(1)知PE=PF=PD=4,2×4AB+号×4AC =20.∴.AB+AC=10. 7.解：I):DE垂直平分AB,AD=号AB=2,∠ADP=90.AP平分∠BAC, ∴∠PAD-∠BAC=45.∠DPA=90-∠PAD=45-∠PAD.PD=AD=2. (2)过点P作PF⊥AC于点F.,AP平分∠BAC,PD⊥AB,PF⊥AC,∴.PF=PD=2, ∠PAF=2∠BAC=45.∠APF=90-∠PAF=45°=∠PAR.∴AF=PF=2.CF= AC-AF=1.在Rt△PFC中，PC=√PF2+CF=√5. 8.(I)证明：连接PB,PC.:PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,.PA=PB,PA=PC ∴.PB=PC.∴.点P在线段BC的垂直平分线上.(2)证明：由(1)知PB=PC,∠PBF= ∠PCN.PE垂直平分AB,∴PA=PB,AF=BF.∠PAB=∠PBA,∠FAB=∠FBA. ∴.∠PAB-∠FAB=∠PBA-∠FBA,即∠PAF=∠PBF.同理可得∠PAN=∠PCN. ∠PAF=∠PAN.AP平分∠FAN(3)解：90-C 阶段小测（二） 1.B2.B3.A4.C5.C6.D7.BC=FE(答案不唯一)8.49.90°10.9.6 11.解：：AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°，∴.CD=DE=1.6.∴BD=BC-CD=2.4. 在RtABDE中，BE=V√BD-DE=4y5. 5 12.证明：AB=AC,∠BAC=120,AD是BC边上的中线，∠DAC=言∠BAC=60, AD⊥BC..∠ADC=90°..∠C=90°-∠DAC=30°.，EF垂直平分CD,.DE=CE .∠EDC=∠C=30°.∠AED=∠EDC+∠C=60°，∠ADE=∠ADC-∠EDC=60°. ∴△ADE是等边三角形. 13.解：(1)如图所示. 5