第一章 三角形的证明及其应用2 等腰三角形第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质-【精英新课堂·三点分层作业】 2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）贵州专版

第3课时等边三角形的判定 A分点训练 ⊙夯实基础 知识点个等边三角形的判定 1.在△ABC中，∠B=60°，AB=BC=6,则AC 的长为 () A.4 B.6 C.8 D.10 2.新趋势半开放性题)如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠B,点E在线段AB上，CE∥AD. 若使△BCE成为等边三角形，则可增加的一个 条件是 (第2题图) (第3题图) 3.情境题日常生活某种落地灯的简易示意图如 图所示，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC 相等，且∠BCE=120°.若CD的长为55cm,则 B,D两点之间的距离为cm. 4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 120°，AD⊥AB,交BC于点D,AE⊥AC,交 BC于点E.求证：△ADE是等边三角形 与含30°角的直角三角形的性质 知识点2含30°角的直角三角形的性质 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.若 BC=4,则AB的长为 () A.6 B.8 C.9 D.12 C B D (第5题图) （第6题图) 6.（教材P20随堂练习T2变式)(2025·遵义 新蒲新区期末)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=2cm, 则AB的长是 ( A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 7.学科融合光的反射)如图，CD是平面镜，光线 从点A出发，经CD上的点O反射后照射到 点B.若人射角为α，反射角为（反射角等于 入射角)，AC⊥CD于点C,BD⊥CD于点D, 且∠a=60°，OB=10,则BD的长为 D 8.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， 过点A作AD⊥AB,交BC于点D,AD=6,求 BC的长. 第-章三角形的证明及其应用15 B综合运用 。提升能力 9.(教材P21习题T8变式)如图，△ADE是等 边三角形，DE∥BC.若AD=2,BD=3,则 BC的长为 () A.1 B.2 C.3 D.5 D B (第9题图) (第10题图) 10.(2025·铜仁万山区期末)如图，在等边三 角形ABC中，BC=8,D是AB的中点，过 点D作DF⊥AC于点F,过点F作FE⊥ BC于点E,则BE的长为 () A.3 B.4 C.5 D.6 11.将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所 示的方式放置，已知α=60°，点B,C对应的 刻度分别为1cm,3cm,则线段AB的长为 cm. B/ 0cm 1 (第11题图) (第12题图) 12.(2025·广西中考)如图，点A,D在BC同 侧，AB=BC=AC=2,BD=CD=√2，则 AD的长为 13.（2025·清镇期中)如图，在等边三角形 ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，且 DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延 长线于点F. (1)求∠F的度数； 16 数学八年级下册北师大版 (2)若CD=2,求DF的长. C创新拓展 ⊙发展素养 14.(教材P53复习题T22变式)如图①，D是 边长是4cm的等边三角形ABC的边AB 上的一点，作DQ⊥AB,交边BC于点Q, RQ⊥BC,交边AC于点R,RP⊥AC,交边 AB于点E,交QD的延长线于点P (1)求证：△PQR是等边三角形； (2)若BD=1.3cm,则AE的长是 cm; (3)如图②，当点E恰好与点D重合时，求 BD的长， R D(E) 图① 图②,CD=CD,.△ACD≌△BCD(SAS).,.AC=BC.同理可证BC=AB,∴.AC=AB. 专题特训等腰三角形中易漏解或多解的问题【易错】 1.102.103.94°【变式题1】50或65°【变式题2150°或65°或80°4.号或号 5.100°或115°或130°6.34°或28或22°7.75°或15°8.35°或55°9.D10.C 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 1.B2.∠BCE=∠B(答案不唯一)3.55 4.证明：AB=AC,∠BAC=120,∠B=∠C=号(180°-∠BAC)=30.:AD1AB, AE⊥AC,∴∠BAD=∠CAE=90°..∠ADB=∠AEC=60°.∴.∠EAD=180°-∠ADB- ∠AEC=60°.∠ADE=∠AED=∠EAD..△ADE是等边三角形. 5.B6.C7.5 8.解：AB=AC,∠BAC=120,∠B=∠C=号(180°-∠BAC)=30.AD⊥AB, ∴.∠BAD=90°..BD=2AD=12,∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°.∴∠CAD=∠C..CD =AD=6...BC=BD+CD=18. 9.D10.C11.212.√3-1 13.解：(1)：△ABC为等边三角形，∴∠B=60°.：DE∥AB,∠EDF=∠B=60°.，EF ⊥DE,∴∠DEF=90°.∴.∠F=90°-∠EDF=30°.(2)：△ABC为等边三角形，∠A= ∠B=∠ACB=60°.DE∥AB,.∠DEC=∠A=60°，∠EDC=∠B=60°.∠DEC= ∠EDC=∠ECD..△CDE为等边三角形.∴.DE=CD=2.由(I)知∠F=30°，∠DEF= 90°，∴.DF=2DE=4. 14.(1)证明：：△ABC是等边三角形，∠B=60°.：DQ⊥AB,RQ⊥BC,∴∠B+∠BQD =∠BQD+∠PQR=90°..∠PQR=∠B=60°.同理可得∠PRQ=60°，∴.∠P=180°- ∠PQR-∠PRQ=60°=∠PQR=∠PRQ..△PQR是等边三角形.(2)解：2.4(3)解： ,△ABC是等边三角形..∠A=∠B=60°.与(1)同理可得△DQR是等边三角形，∴.DQ= DR.又∠BDQ=∠ARD=90°，.△BDQ≌△ARD(AAS)..BD=AR.:∠ADR=90°- ∠A=30,AD=2AR=2BD.∴AB=BD+AD=3BD=4cm.BD=专cm 专题特训利用平行线巧构等腰三角形解题【通性通法】 1.D2.A3.22 4.(1)证明：，BF,CF分别平分∠ABC,∠ACG,∴.∠DBF=∠CBF,∠FCE=∠FCG ,DF∥BC,.∠DFB=∠CBF,∠EFC=∠FCG.∴.∠DBF=∠DFB,∠FCE=∠EFC. ∴.BD=DF,CE=EF.(2)解：BD-CE=DE 5.解：(I)△ODE是等边三角形.理由如下：，△ABC是等边三角形，∴.∠ABC=∠ACB= 60°.，OD∥AB,OE∥AC,∴.∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°.，.∠DOE= 180°-∠ODE-∠OED=60°.∴∠ODE=∠OED=∠DOE=60°.∴.△ODE是等边三角形. (2)BO平分∠ABC,OD∥AB,.∠ABO=∠DBO,∠ABO=∠DOB..∠DOB= ∠DBO..BD=OD.同理可证CE=OE,.△ODE的周长为OD十DE十OE=BD十DE十 CE=BC=10. 6.证法一：证明：·AC=BC,∴.∠A=∠B.,DM∥AB,∴.∠CDM=∠A,∠M=∠B. ∴∠CDM=∠M.'CD=CE,∴.∠CDE=∠CED.:'∠CDM+∠M+∠CDE+∠CED= 180°，∠CDM+∠CDE=90°，即∠EDM=90°..DELDM.DM∥AB,∴.DE⊥AB. 证法二：证明：：CD=CE,∴∠CDE=∠CED.,BN∥DE,∴∠N=∠CDE,∠CBN= ∠CED.∴∠N=∠CBN.:AC=BC,∴.∠A=∠ABC.,'∠A+∠ABC+∠CBN+∠N= 180°，∠ABC+∠CBN=90°，即∠ABN=90°..BN⊥AB.BN∥DE,∴.DE⊥AB. 7.(1)证明：△ABC是等边三角形，∴.∠ABC=∠ACB=60°.E是AB的中点，AE= BE,CE平分∠ACR.∠BCE=合∠ACB=30,:CE=DE∠D=∠BCE=30. ∴∠BED=∠ABC-∠D=30°=∠D.∴BD=BE.BD=AE.(2)解：成立.理由如下：过 点E作EF∥BC,交AC于点F.:△ABC是等边三角形，∴.∠A=∠ABC=∠ACB=60°. ∴∠DBE=180°-∠ABC=120°.，EF∥BC,∴.∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB= 60°，∠CEF=∠ECD.∴.△AEF是等边三角形，∠EFC=180°-∠AFE=120°=∠DBE. AE=EF.:CE=DE,.∠ECD=∠D.∴.∠D=∠CEF.在△DEB和△ECF中， ∠D=∠CEF, ∠DBE=∠EFC,∴.△DEB≌△ECF(AAS)..BD=EF..BD=AE DE-EC, 4 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1.A2.A3.84.D5.D 6.解：在Rt△ABD中，BD2=AD2-AB2=902-602=4500,在△BCD中，BC+CD2=302 十602=4500，∴.BC2+CD2=BD2..△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°..BC⊥CD. .该车符合安全标准. 7.C 8.解：(1)逆命题：如果a=b,那么a2=b.原命题是假命题，逆命题是真命题.(2)逆命题：如 果两个角有公共顶点且相等，那么这两个角是对顶角.原命题是真命题，逆命题是假命题 (3)逆命题：如果一条线段是一个三角形的中线，那么这条线段把这个三角形分成两个面积 相等的三角形原命题是假命题，逆命题是真命题 9.D10.B11.12 12.解：(1)是.理由如下：在△BCH中，CH+BH=2.25,BC=2.25,∴.CH+BH= BC.∴.△BCH是直角三角形，且∠CHB=90°.∴.CH是从村庄C到河边的最短路线. (2)设AC=AB=xkm,则AH=(x一0.9)km.在Rt△ACH中，由勾股定理，得AC=AH +CH2,即x2=(x-0.9)2+1.22,解得x=1.25..原来的路线AC的长为1.25km. 13.解：逆命题：如果一个三角形的两个角的平分线所夹的锐角是45°，那么这个三角是直角 三角形.逆命题是真命题，证明过程如下：已知：如图，△ABC的 两条角平分线AD,BE交于点O,且∠AOE=45°.求证：△ABC 是直角三角形.证明：，AD是∠CAB的平分线，BE是∠ABC 的平分线，·∠0AB=合∠CAB,∠0BA=合∠ABC ∠OAB+∠OBA=(ZCAB+∠ABC.:∠AOE=∠OAB+∠OBA=45,∴∠CAB 十∠ABC=90°.∴.△ABC是直角三角形. 14.8 第2课时直角三角形全等的判定 1.D2.D3.40° 4.证明：(1)，BE⊥AC,DF⊥AC,∠AEB=∠CFD=90°.，AF=CE,.AF-EF=CE- EF,即AE=CF.在Rt△ABE和Rt△CDF中， AB=CD:R△ABE≌R△CDF(HL). AE=CF, (2),△ABE≌△CDF,.∠A=∠C..AB∥CD 5.D 6.解：(1)二(2)：∠ADC=∠AEB=90°，∴∠BDC=∠CEB=90°.在△DOB和△EOC f∠BDO=∠CEO, 中，∠DOB=∠EOC,∴.△DOB2△EOC(AAS).'.OD=OE.在Rt△ADO和Rt△AEO OB=OC, OA=OA,:.R△ADO2R△AEO(HL).∠1=∠2. 中，{OD=OE, 7.C8.79.5或10 10.(I)证明：AM⊥BC,DN⊥BC,∠AMB=∠DNC=90°.BN=CM,.BN+MN=CM +MN,即BM=CN.又，AB=DC,∴.Rt△ABM≌Rt△DCN(HL).(2)解：由(I)知Rt△ABM ≌Rt△DCN,.AM=DN..∠AMO=∠DNO=90°，∠AOM=∠DON,∴.△AOM≌△DON (AAS.0M=ON.'BN=CM=4,OM=合MN=合(BC-BN-C0=4 f∠B=∠D, 11.解：(1)在△ABC和△EDC中，BC=DC, ∴.△ABC≌△EDC(ASA)..AB= ∠ACB=∠ECD, DE.∴.D,E两点间的距离就是路灯A,B之间的距离.(2)在过点B且与AB垂直的方向上 取一点C,用测角仪测得∠ACB=∠BCD,且点D在AB的延长线上，那么B,D两点间的距 ∠ABC=∠DBC, 离就是路灯A,B之间的距离.理由如下：在△ABC与△DBC中，BC=BC, ∠ACB=∠DCB, .△ABC≌△DBC(ASA)..AB=BD. 专题特训共顶点的等腰三角形一手拉手模型 1.证明：.BA=BC,BD=BE,∴.∠BAC=∠BCA,∠BDE=∠BED.∴.∠ABC=180°一 -5 ∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC,∠DBE=180°-∠BDE-∠BED=180°-2∠BDE. N∠BAC=∠BDE,·∠ABC=∠DBE..∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD,即∠ABD BA=BC, =∠CBE.在△ABD和△CBE中，∠ABD=∠CBE,.△ABD≌△CBE(SAS).∴.∠BAD BD=BE, =∠BCE. 2.(1)证明：，△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE =6O°.∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中， AB=AC, ∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌△ACE(SAS).(2)解：由(I)知△ABD≌△ACE,∴.BD=CE AD=AE, =3.△ADE是等边三角形，.DE=AE=2.∴.BE=BD十DE=5. 3.证明：(1)△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，AB=AC,AD=AE.∠BAC= ∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE=∠CAD.在△ABE和 AB=AC, △ACD中，∠BAE=∠CAD,.△ABE≌△ACD(SAS).(2)由(1)知△ABE≌△ACD, AE-AD, ∠B=∠ACD.∠BAC=90°，∴.∠B+∠ACB=90°..∠ACD+∠ACB=90°，即∠BCD =90°..CD⊥BE. 4.证明：，△ABC和△CDE都是等边三角形，.CA=CB,CD=CE,∠BCA=∠ECD=60, ∴.∠BCD=180°-∠BCA-∠ECD=60°，∠ACD=∠BCE=120°.在△ACD和△BCE中， CA=CB, ∠ACD=∠BCE,.△ACD≌△BCE(SAS).∴.∠DAC=∠EBC.在△ACM和△BCN中， CD=CE, ∠MAC=∠NBC, CA=CB, .△ACM≌△BCN(ASA).∴.CM=CN.:∠MCN=60°， ∠ACM=∠BCN=60°， ∴.△CMN是等边三角形. 5.解：(1)①120°②AE=BD(2)①，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB= ∠DCE=9O°，∴.CA=CB,CE=CD,∠DCE-∠ACD=∠ACB-∠ACD,即∠ACE= ∠BCD.∴.∠CDE=∠CED=45°.∴∠CDB=180°-∠CDE=135.在△ACE和△BCD中， CE=CD, ∠ACE=∠BCD,∴.△ACE≌△BCD(SAS).∴.∠CEA=∠CDB=135°.∴.∠AEB= CA=CB, ∠CEA一∠CED=90°.②CM+AE=BM.理由如下：，CM为△DCE中DE边上的高， ∴.∠CMD=90°.∴∠DCM=90°-∠CDE=45°..∠CDE=∠DCM.∴.CM=DM.由①知 △ACE≌△BCD,∴.AE=BD.∴.CM+AE=DM+BD=BM. 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 1.D2.C3.C【变式题D 4.解：DE是BC的垂直平分线，∴.DE⊥BC,BE=EC,CD=BD.∴Rt△CED≌Rt△BED (HL).∴∠C=∠DBE.·BD是∠ABC的平分线，.∠ABE=2∠DBE=2∠C.∠A= 90°，∴.∠C+∠ABC=90°，即∠C+2∠C=90°.∴∠C=30°. 5.D6.2 7.证明：AD垂直平分BC,∴.BD=CD,AB=AC.AB+BD=DE,AC+CD=DE ,DE=CD十CE,∴AC=CE.∴点C在线段AE的垂直平分线上. 8.c941og 11.(1)证明：EF垂直平分AC,AE=CE.AD⊥BC,BD=DE,∴.AD垂直平分BE. .AB=AE.∴.AB=CE.(2)解：△ABC的周长为32cm,.AB+BC+AC=32cm,AC= 12 em..AB+BC-20cmAB-CE,BD-DE,.CD-DE+CE-(AB+-10m (BE=BE, 12.证明：：ED⊥AB,∴∠EDB=∠ECB=90°.在Rt△BDE和Rt△BCE中， BD=BC, .Rt△BDE≌Rt△BCE(HL).∴.ED=EC.∴点E在线段CD的垂直平分线上，：BD= BC,点B在线段CD的垂直平分线上.∴BE垂直平分CD. 6