数学卷-2025-2026学年高二3月过程性素质评价

高二3月份过程性素质评价·数学 参考答案、解析及评分细则 1,Df(-5)=1im-5+△)-f-5》=1,故选D. △+0 △x 2.C由图知，从A地到B地的道路有2条，从B地到C地的道路有3条，由分步乘法计数原理可知，从A地经 过B地到C地不同的路线共有2X3=6条；从A地不经过B地到C地的路线有1条，根据分类加法计数原 理可得，从A地到C地不同的路线共6十1=7条.故选C. 3.D设a,)的公差为d,由题意得a十5d=2 (a1+d=6, 解得/a7, d=-1 所以5=8×7+8X×(-1)=28,故选D 4A因为C的一条渐近线的方程为y=号，所以会-写，=√（侣）厂+1-2平，所以C的离心率为 2放选入 5.B32o25=3×32024=3×91012=3X(8+1)1o12,又(8+1)1o12=C901281012+C01281o11+…+C88+C838°， 所以32025=3×(8+1)112=3(C9o1281012十C128101+…十C盟8)+3，所以32o25除以8的余数为3.故 选B. 6.C由C:x2十y2-4x十2y十1=0，得C:(x-2)2+(y+1)2=4,所以圆心为C(2,-1),半径为n=2,由 C2:(x+1)2+(y-3)2=2(r>0),得圆心为C2(-1,3),半径为r2=r,因为两圆外离，所|C1C2|>n1+ r2,即√(2十1)2十（一1一3）2>2十r,所以r<3,即r的取值范围是(0,3).故选C. 7.B先将6名志愿者分成5组，从6人中选2人一组，其余4人各一组，共有C号=15种分法，再将这5组全排 列，对应5个项目，有A=120种排法，所以不同的分配方法种数为15×120=1800种.故选B. 8.A法-：设直线AB的倾斜角为0，则0=∠AAB,cos0=号，过F作AA1的 垂线，垂足为D,由抛物线的定义，得|AF|=IAA1,|AD|=p,所以 GD |AD|=|AA|-|AD|=|AF|-P,在△ADF中，|AD|=|AF|cos∠AAB =号|AF,所以号AF=|AF一，解得|AF=号A同理可得1BF= ON 号p,所以AB-号p,过B作AM1的垂线，垂足为G,在△AGB中，BG- 1AB到sin∠AAB,易知BG=AB=8,所以空pV1-coZA1AB=8, 即贺D×告=8，所以b9故选A 法二：设AB的方程为x=my叶号，代人C的方程并化简，得-2my一=0，设A(1,M),B(,), 则△=4p2m2十4p2>0,y1+y2=2m,yy2=-p2,所以|AB|=W1+m√Cy1十y2)2-4yy%= 十mV4Dm+47=2p(1+m),因为品=an∠AAB=号，所以m=是，所以ABl=罗p,则 罗psinAAB=-AB,即受pX专=8，所以=9.故选A 9.BC二项式(x一合)广的展开式中共有十1项，又十1为奇数，所以n为偶数，故A错误；又展开式的通项 【高二3月份过程性素质评价·数学参考答案第1页（共4页）】 T+1=C(-1)rx”警，r=0,1,2,,,由只有4项为有理项知，r=0,2,4,6,所以n=6,则展开式中第4项的 二项式系数最大，故B正确；当r=4时，展开式中常数项为T=C(-1)4x°=15，故C正确；令x=1,得展 开式中各项的系数之和为0，D错误.故选BC 10.BD导函数图象无法提供原函数的零点信息，A错误；当x<一3时，f(x)<0,函数f(x)单调递减；当一3 <x<一1时，子(x)>0,函数f(x)单调递增，根据极小值点的定义，一3是函数f(x)的极小值点，B正确；当 一3<x<一1时，f(x)>0,函数f(x)单调递增，所以一2不是f(x)的极大值点，C错误；当一2<x<一1 时，导函数f(x)>0,函数f(x)在区间（一2，一1）上单调递增，D正确.故选BD. 11.BCD对于A,当A={1,2}时，x(i=1,2,3,4,5)中有3个2,2个1，所以该方程解的组数为C=10,故A 错误；对于B,因为x(i=1,2,3,4,5)中有3个2,2个1，且x1一x2十x3一x4十x5=0,所以x2=x4=2,x, ,中有2个是1,1个是2，所以所求概率为，故B正确；对于C,当A=N时，相当于在8个1之间的 7个空隙中选4个插入4个隔板，把8个1分为5部分，各部分1的个数分别为x(i=1,2,3,4,5)的值，所 以解的组数为C=35,故C正确；对于D,当A=N时，设y=x十1，则y∈N*,且yⅥ十y2十y十y4十y= 13,相当于在13个1之间的12个空隙中选4个插入4个隔板，把12个1分为5部分，各部分1的个数分别 为y(i=1,2,3,4,5)的值，所以解的组数为C2=495,故D正确.故选BCD. 12.日由A,B,C,D四点共面，知2++2x=1,解得X=合 13.3或8因为C经十C号十C隆+十Co=C十C写十C好十十C0=C强十C好十…+C0=…=C1=C州1，所以n=3 或n=8. 14.18214当n∈[2,2+1)时，k≤log2n<k十1，an=[log2n]=k,k∈N,每组共有2+1-2=2个，210< 2025<21,21-2025-1=22,故a1+a2+a3+…+a2o2s=0X1+1×2+2×22+3X23+…+9X2°+10× (210-22),设S=0×1十1×2+2×22+3×23++9×2+10×210，则2S=0×2+1×22+2×23+3×24 +…+9×210+10×2,相减得到一S=2十22+…+210-10×2，整理得到S=9×21+2,故a1+a2+a3 +…+a2o2s=9×21+2-220=18214. 15.解：1)由题意得C+C1=C+C=nn21D+m=t十”=36， …2分 2 2 化简可得n2+n-72=0, 解得n=8或n=一9（舍去）.……4分 (2)二项式(2x-1)8展开式的通项公式为T+1=C·(2x)8-·(-1)r=(-1)r·28-r·C%·x8-, …6分 所以ao,a2,a4,a6,as为正数，a1,ag,a5,a7为负数. 在(2x-1)8=a0十a1x十a2x2+…十agx3中，令x=0,ao=1. 10分 再令x=-1,可得38=ao-a1十a2-ag十…+ag=1十|a|+|a2|十|a3|+…+|ag|, 所以|a十|a2十|ag+…十ag=38-1. 13分 16.解：(1)先把4位学生看作1个元素与4位学生的爸爸进行排列，排法种数为A=120,…3分 4个学生之间再进行排列，排法种数为A4=24,……6分 由分步乘法计数原理可得学生站在一起的排法种数为120X24=2880.…8分 (2)先把每对父子看作1个元素进行排列，排法种数为A=24,…10分 再把每对父子进行排列，排法种数为A虽AAA虽=16， 13分 由分步乘法计数原理可得每对父子都不分开的排法种数为24×16=384.…15分 【高二3月份过程性素质评价·数学参考答案第2页（共4页）】 17.解：(1)如图，取AB中点N,连接PN,MN,则MN∥BC,而AB⊥BC,故MN⊥BA.因 为PA=PB,所以PN⊥AB. 因为平面PAB⊥平面ABC,PAB∩平面ABC=AB,所以PN⊥平面ABC. 因为MNC平面PMN,所以PN⊥MN,故PN,AB,MN两两垂直.…2分 以N为原点，AB,MN,PN所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角 坐标系， 则N(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),P(0,0,22),M(0,1,0),C(1,2,0),BM=(-1,1,0),BC=(0,2,0), pi=(1,0,-22),P℃=(1,2，-2W2).…4分 设平面PBM的一个法向量为m=(x,y,z), m·BM=0,n「-x+y=0, 则 即 m·Pi=0,即{x-222=0 取z=1,得x=2√2，y=22,则m=(2√2,2W,1). …6分 设平面PBC的一个法向量为n=(a,b,c), n·BC=0,/2b=0, 则 ”即 n.Pi=0,a-22c=0 取c=1,得a=2√2，b=0,则n=(2√2,0,1)，…8分 所以1sm,1=R升V7×3, 9=317 即平面PBM与平面P5C夹角的余弦值为32哥 **** 10分 (21)蜘知平面PM的法向量为m=(2E,2E,D,P元-子P心-（合，克，-号） 12分 故G到平面PMB的距离为P它：ml-区=4 m√717 15分 18解：0设C的半焦距为：，由题意知e=台-961，所以= 3, 2分 又a2=8+2,所以a=1+号a,解得a2=3, 则C的方程为写十少=1.…4分 (2)设S(x,y),M(x0,0),由题意知N(x0,0),…5分 所以N=(x一y,N应=(0，)，由=3N应，得工一=0， …7分 y=3y, x0=x, 所以 0=,又M在C上，所以号+话=1， …9分 3 所以号+（子）°-1，化简，得亏+苦-1， 所以点S的轨迹方程为号+号-1 … 11分 (3)由题意知过点（一1,0）的直线l的斜率不为0，设直线L的方程为x=y一1，与C的方程联立，得 号+y=1”消元，得(m+3y-2m-2=0,4=m+8m+3》=12m+240, x=my-1, 2m 设P(M),Q(2),则十h=m+3n%= -2 m2+3 …12分 【高二3月份过程性素质评价·数学参考答案第3页（共4页）】 因为OQ与椭圆的另一交点为G,所以Q,G关于原点对称，即O为QG中点， =2S%00=号，所以SAg0号看 13分 S0=号X1X|n-y=号×1×Vn+y)-4n为=2√ 8 3 m2+3 m2+3 4 化简，得3m+2m2一5=0，… 15分 (m2-1)(3m2十5)=0，解得m2=1,m=土1， 16分 所以直线l的方程为x=士y-1,即x+y+1=0,或x一y+1=0. 17分 19.(1解：由题可得f(x)=cosx十cs2x十os3x,所以了（于）-号+0-号-0， 所以曲线y=(x)在（牙，f(牙）处的切线的斜率为0.…3分 (2解：由于cosa+cos6=ao(2生+字）+oms(2生-a）=2asos“2, 所以f(x)=cosx十cos2x十cos3x=2 cos xcos2x十cos2x=cos2x(2cosx十1)，…5分 当x∈0，x),令f(x)=0,解得a=吾w=7西-， 则令f(x)>0,解得0<<至，或<<， 令f(x)<0,解得晋<x<,或<<x, 所以fx)的单调递增区间为(o,于)和(，T),单调递减区间为（年，）和（红，x). …9分 (3)证明：由于g(x)=f(x)+2 sinm=3sinx+7sin2x+号sn3zmx, 所以g(x)=3c0sx十c0s2x十c0s3x-m.…10分 cos 3x=cos 2xcos x-sin 2xsin x=(2cos2x-1)cos x-2sin2xcos x =cos x(2cos2x-1-2sin2x)=cos x(4cos2x-3), 所以g(x)=3cosx+cos2x+cos3x-m=4cos3x+c0s2x-m=4c0s3x+2c0s2x-(m+1),…12分 因为g(x)在(0，)上有三个不同的极值点(z≠受，i-1,23), 所以g'(x)=0在(0，π)上有三个不同的根，即4cos3x十2cos2x一(m十1)=0在(0，π)上有三个不同的根， 令t=cosx,方程转化为43十2-(m十1)=0， 设方程的根为t=cosC1,t2=cosx2,t3=cosx3,因为x1,x2,x3互不相等且x1,x2,x∈(0，π)，x1,x2,x3卡 受，所以4,2，互不相等，且a,0, 则4(t-t1)(t-t2)(t一t3)=0,化简可得4t一4(t+t2十ts)2+4(t1t2十t2t3十tit3)t-4tt2t3=0,…15分 则一4十十)=2，即4十6+a=一合， 4(tit2十t2t3+tit)=0,即tit红十tt3+it3=0, 一4a购=-(m十1)，即42=m十1， 4 所以十十=上+1+上=++也=0， cos x1 cos x2 cos x3 t1 t2 t3 titzts 所以1十 1一+ 1为定值.… 17分 cOS L COS x2 cos x3 【高二3月份过程性素质评价·数学参考答案第4页（共4页）】高二3月份过程性素质评价 数 学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0,5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第 六章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知函数f(x)的导函数为f(x),若imf-5+△2）二f-5)-1,则(-5)= △x :☒ A.-5 B.-1 C.5 D.1 2.已知A,B,C三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从A地到C地不同路线的条数是 A.5 B.6 C.7 D.8 3.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2=6,a6=2,则Sg= A.84 B.64 C.32 D.28 4已知双曲线C- B2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为y=7x,则C的离心率为 /14 靠 A. B.√2 C44 7 D.2√2 5.32o25除以8的余数为 A.1 B.3 C.5 D.7 【高二3月份过程性素质评价·数学 第1页（共4页）】 6.已知圆C1:x2+y2一4x十2y十1=0与圆C2:(x十1)2+(y一3)2=r2(r>0)外离，则r的取值 范围是 A.(0,7) B.(7,十∞) C.(0,3) D.(3,+∞) 7.某社区组织文化活动，现有书法艺术展示、传统戏曲表演、民间手工艺制作、古典诗词朗诵、现 代音乐赏析这5个文化活动项目.社区安排6名志愿者负责这5个项目的活动组织，若每个 项目的活动都至少有1名志愿者负责，每名志愿者均需要负责且只负责其中1个项目的活动 组织，则不同的分配方法种数为 A.1500 B.1800 C.2100 D.2400 8.已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过F的直线交C于A,B(A在B的上 方)两点，过A,B两点分别作1的垂线，垂足分别为A1,B1,若A1B,=8,cos∠A1AB= 5, 则p= AS a c号 D.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9已知二项武(：2)】 的展开式的项数为奇数，其中只有4项为有理项，则 A.n=7 B.展开式中第4项的二项式系数最大 C.展开式中常数项为15 D.展开式中各项系数之和为64 10.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则 A.一1是函数f(x)的一个零点 =f"(x B.一3是函数f(x)的极小值点 C.一2是函数f(x)的极大值点 D.函数f(x)在区间（一2，一1）上单调递增 11.已知x:∈A(i=1,2,3,4,5),关于方程x1十x2十x3十x4十x=8,则下列说法正确的是 A.当A={1,2}时，该方程有15组解 B当A=(1,2)时，该方程的解满足一x十西一x十z=0的概率为品 C.当A=N*时，该方程有35组解 D.当A=N时，该方程有495组解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在四面体P-ABC中，点D满足Pò=号PA+xPB+2nP元，若A,B,C,D四点共面，则 λ= 13.若C号十C号十C十…十C。=C%,则n的值为 14.已知数列{a.}的通项公式为an=[log2n],其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.2]=1， [-2.3]=一3，则a1十a2十a3+…十a2025= 【高二3月份过程性素质评价·数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知(2x-1)"=a十a1x+a2,x2+…十amx"(n∈N*),C%十C%-1=36. (1)求n的值； (2)求|a|+|a2|+a|+…+|an|的值. 16.(本小题满分15分) 某学校高中部举行成人礼仪式，邀请学生家长参加，仪式后，4位学生与这4位学生的爸爸 站成一排照相， (1)如果要求4位学生站在一起，那么这8人有多少种不同的排法？ (2)如果要求每对父子都不分开，那么这8人有多少种不同的排法？ 17.(本小题满分15分) 如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,AB⊥BC,M为AC的中点，G为线段 PC上一点，AB=BC=2,AP=BP=3. (1)求平面PBM与平面PBC夹角的余弦值： (2若-，求点G到平面PMB的距离。 【高二3月份过程性素质评价·数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C:导+苦-1(a>心0)的离心率为写，上顶点B的坐标为0,1). (1)求C的方程； (2)已知M为C上一点，过M作x轴的垂线，垂足为N,若点S满足N5=3NM,当点M在 C上运动时，求点S的轨迹方程； (3)过（一1,0）的直线1与椭圆C交于P,Q两点，O为坐标原点，直线OQ与椭圆的另一个 交点为G,若△PQG的面积Sam=号，求直线L的方程 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=sinx+2sin2x 3sin 3x. 长 (1)求曲线y=f(x)在点（于，f()处的切线的斜率； (2)求函数f(x)在(0，π)上的单调区间； (3)函数g(x)=f(x)+2sinx一mx,若g(x)在(0，π)上有三个不同的极值点x1,x2, ar音=1,2)证明od心。十为定值 【高二3月份过程性素质评价·数学第4页（共4页）】