数学卷-2025-2026学年高一3月过程性素质评价

高一3月份过程性素质评价 数 学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册第六章第1节~第3节。 源 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.BA-DC+AD-CB= 长 A.0 B.2 AC C.AD D,2 BD 2.已知集合A={x∈N*|x<5},B={xx3≤8}，则A∩B= 毁 A.{-2,-1,0,1,2} B.{0,1,2} C.{1,2} D.{x|2≤x<5} 3.已知a,b,c∈R,b<a,则下列不等式一定正确的是 A.bc2<ac2 B.61+a0 C.b2<a2 n古>d 4.已知向量a=(一2，一1)，b=(一1，一1)，则向量b在向量a上的投影向量为 65,-35 B(-25,-) c(-9-1) 靠 5.已知向量a,b是平面内的一组基底，则“入1λ2=0”是“λ1a十λ2b=0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知a=1og52,2=3,则1og1210= A. a+1 B.4+b 2a+ab a+1 C.atab a+2 D.at6 ab+1 【高一3月份过程性素质评价·数学第1页（共4页）】 7.在△ABC中，AC=2,D是AC的中点，若 BA BC 2BD ,则△ABC的面积是 BD A.2√2 B.2 C.1 0 8.已知函数f(x)的图象关于(0,1)对称，且f(x)在R上单调递减，若关于x的不等式 f(x2十ax)十f(3x一4)一2≥0在区间[一1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是 A.[-6,-3] B.[-6,3] C.[-3,6] D.(-3,6) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.关于向量，下列说法错误的是 A.温度、海拔、角度都是向量 B.零向量没有方向 C.若△ABC是等边三角形，则AB与BC的夹角为120 D.若向量a与b共线，且a>bl,则a>b 10.已知函数f(x)=Asin(ax十p)(A>0,w>0,lp<)的部分图象如图所示，则下列结论正 确的是 A9-于 B.f(x)的最小正周期与y=|sinx|的最小正周期相同 C.将函数f(x)的图象向左平移石个单位长度得到函数g(x)的图口 象，则g(x)是偶函数 D.f(x)的单调递增区间为[x一否，kr+](k∈Z) 11.数学家欧拉曾提出欧拉线定理：任意三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上（重心 在外心与垂心之间)，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被称为三角 形的欧拉线.已知△ABC的外心为O,重心为G,垂心为H,若AB=2√3，AC=5,BC=3,则 A.Aδ.AB=6 BC心·AB=- 3 C.OH-0A+0B+OC D.Ai+2Aò=3AG 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若从同一发射源射出的两个粒子a,β在某一时刻的位移分别为a=(一1,3)，b=(2,4),则 该时刻β相对于α的位移的坐标为 1&.已知a0月名sma十=号，则na- 14.已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，点O为正八边形的中心，点P是正八边形内一动 点（含边界），则OA·PA十OF·PA的最大值是 【高一3月份过程性素质评价·数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知平面向量a=(4,m),b=(-1,1),c=（-3,6),且a⊥c. (1)求a-3b; (2)若(a十b)∥(2b-c),求实数入的值. 16.(本小题满分15分) 如图，在梯形ABCD中，DC∥AB,DC=3AB=2AD=3,E为线段DC上靠近点D的三等分 点，F为线段BC的中点 (1)用向量AB,AD表示EF; (2)若∠D=5,求E.Ad 17.(本小题满分15分) 已知向量a,b满足|b=1,且(a十2b)·(a-2b)=2,a·(a-b)=4. (1)求向量a与2a一b的夹角0的余弦值； (2)若向量a一3b与ta一3b的夹角为锐角，求实数t的取值范围. 【高一3月份过程性素质评价·数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 已知函数f)=1-a升a>0且a≠1)是奇函数，且f)=2 (1)求a和m的值； (2)判断f(x)的单调性，并用定义证明； (3)解关于x的不等式f(log3(x+1))+f(log3(x-1))<0. 19.(本小题满分17分) 如图，在△ABC中，P是BC边上靠近点B的三等分点，O是AP的中点 """ ◇ 图1 图2 (1)如图1，延长CO交AB于点Q: (i)若OQ=mAB+nAC,求m十n的值； (i)若AB=5,AC=6,∠BAC=号，求∠AOQ的余弦值； (2)如图2，E,F分别是边AB,AC上的动点，且E,0,F三点共线，求·A 的取值范围 AB·AC 【高一3月份过程性素质评价·数学第4页（共4页）】高一3月份过程性素质评价·数学 参考答案、解析及评分细则 1.DBA-D元+AD-C克=BA+AD-(DC+CB)=BD-D=2Bd.故选D. 2.CA={x∈N|x<5}={1,2,3,4},又B={x|x3≤8}={x|x≤2}，所以A∩B={1,2}.故选C 3.B当c=0时，bc2=ac2,A错误；当0≤b<a时，|b|+a=b+a>0;当b<0时，|b+a=a-b>0,B正确；当 6=-2a=1时，>a2,名<日，C,D错误故选B 4D向量6在向量a上的投影狗量为·日=号a=(号，一号)，故选D 5.B因为向量a,b是平面内的一组基底，所以a,b是非零向量且不共线，则1a十2b=0台入=2=0，所以 “1λ2=0”是“λ1a十入2b=0”的必要不充分条件.故选B. 6A公=3，则6=e3.a=lbg2-og5即1og5=日og10-e19-gg)-e 1+ log212log2(22×3) 2+1og23-2+6= 2a+a6故选A a+1 7.C 腻·器品分别表示与斌，武动同向的单位向量，由高十广 BA BC BD √2BD BA BCI BD 可知，中线 BD平分∠ABC,等式两边平方可得1十1十2·或 BA BCI =2,所以BA·BC=0,∠ABC=90°，所以 △ABC为等腰直角三角形，又AC=2,所以BA=BC=√2，所以S△ABc=1.故选C. 8.A因为函数f(x)的图象关于(0,1)对称，所以f(x)十f(-x)=2.由f(x2十ax)十f(3x一4)一2>≥0，得 f(x2十ax)≥2-f(3x-4)=f(4-3x),又f(x)在R上单调递减，所以x2十ax≤4-3x,即x2+(a十3)x 〔(-1)2+(a+3)×(-1)-4≤0， 一4≤0在区间[一1,2]上恒成立，所以 解得-6≤a≤-3.故选A 22+(a+3)×2-4≤0， 9.ABD温度、海拔、角度只有大小没有方向，不是向量，A错误；零向量的方向是任意的，B错误；向量不能比 较大小，D错误.故选ABD 100由图易得A=2,最小正周期T=红-贵-（-一爱)=，解得w=2,由f(-爱)=0，得2× (-歪)十9-x,∈Z,又1pl<受，所以9-否，所以f(x)=2sin(2x+晋)，A错误；y=simx的最小正 周期为x,B正确：g(x)=f(x+否)=2sim[2(x十日)+石]=2sin(2x+受)=2cos2x,是偶函数，C正 确；令2km受≤2x+否≤2km十乏(k∈Z),解得x牙≤≤kr十否(k∈Z),所以f()的单调递增区 【高一3月份过程性素质评价·数学参考答案第1页（共4页）】 间为[kr一号，kr十晋](k∈Z),D错误故选BC 11.ACD对于A,取AB的中点M,连接OM,因为O为△ABC的外心，则OM⊥AB,所以Aò·AB= |AO11Acs∠OAM=AMA=号1A?=6,A正确；对于B,因为G为△ABC的重心，所以C元= 号成=号i+,所以心.店-}+i)·C-=令(C亦-C)=925-9 3 B错误；对于C,由欧拉线定理得2OG-Gi,即Oi=3O心，又△ABC的重心为G,则GA+G第+G元=0，所 以Oi-3O心+GA+G第+G式-OA+O+O心，C正确；对于D,因为A直-Aò+Oi-Aò+3O元-Aò+ 3(AG-AO)=3AG-2AO,所以Ai+2A0=3AG,D正确.故选ACD. 12.(3,1)3相对于a的位移为b-a=(2,4)-(-1,3)=(3,1) sina 13.-3 因为需热c骨品所以血as广名wA,又血a十p0-血s叶sA tan B sin B cos B 2器csin一号，解得os asin号io-名所以She印=ino9-6oss血分 20 5 14.4+2√2如图，取GH,CD边的中点M,N,连接MN,AF,MN与AF交于点Q, 则由正八边形的性质易得MN⊥AF,Q为AF的中点，OQ-1,NQ=2+√2，则OA G ·PA+O市.PA=(OA+O市)·PA=2O·PA,当点P在CD边上时，PA在M O交上的投影向量为NQ,此时2O交·PA取得最大值，所以OA·PA+O亦.PA的 最大值为20友.N夜=2×1×(2+√2)=4+22. 15.解：(1)因为a=(4,m),c=(一3,6)，且a⊥c,所以a·c=-12十6m=0,…2分 解得m=2,… 。。。。::。,。。。。。。。。。egw4g。00.0.00。。。。0。。3广 所以a-3b=(4,2)-3(-1,1)=(7,-1),a-3b=√/72+(-1)=5√2.…6分 (2)由(1)知a=(4,2),所以a+b=(4,2)+入(-1,1)=(4-λ，2+λ)，2b-c=2(-1,1) (-3,6)=(1,-4), 因为(a+b)∥(2b-c),所以-4(4-λ)一(2+λ)=0， 10分 解得入=6.… 13分 16,解：1)由题意可知D心-3AB,式-号DC-2A成， …2分 C=-号B心=-号BA+Aò+D心)=-号(2AB+AD)=-A店-号Aò， …5分 所以萨-式+C=2A-A范-2Aò=A范-2Aò， …7分 (2)因为DC/AB,∠D=号，所以∠DAB-, …9分 【高一3月份过程性素质评价·数学参考答案第2页（共4页）】 因为AC-Aò+心-A市+3A店，AB-1,AD-号， 11分 所以萨.A心-(A店-号AD)·(ò+3A=3A范-号A范.Aò-号Aò =3x1:-×1×是×s经-2×（号）°=是 15分 17.解：(1)因为(a+2b)·(a-2b)=2,所以a2-4b=2,即1|a2-4|b2=2, 又|b引=1，所以a=√6，…2分 因为a·(a-b)=4,所以a2-a·b=4,所以a·b=2,…4分 所以a·(2a-b)=2a2-a·b=12-2=10,|2a-b|=√/4a2-4a·b+b=√24-8+1=W17,…6分 所以os0-8.ah6×7 a·(2a-b)=10_=5/102 51 …8分 (2)(a-3tb)·(ta-3b)=ta2-(3+3)a·b+9tb2=一6t+15t-6, …10分 由题意知(a一3b)·(ta-3b)>0且向量a-3b与ta一3b不共线， 所以-62+15t-6>0,且t≠土1，… 13分 解得<2，且≠士1，即实数的取值范围为（分1）U(1,2).… 15分 18,解：1)因为函数x)=1-a开(a>0且a≠1)是奇函数，所以-)+f)=0, 即1-。-十1-a=0,整理得2一m=0, 2分 解得m=2,… 3分 所以f)=1-名所以f)=1-a子=合解得a=3 2 5分 (2)f(x)在（一∞，十∞）上单调递增.… 6分 证明：任取1，x2∈R,且x1<x2, 2 2 2(31-3x2) fa)-f)=131十11+3+-31)(32+1)' …8分 又0<31<3，所以f(x)-f(x2)<0,即f(x)<f(x2),故f(x)在（一∞，十∞）上单调递增， …10分 (3)因为f(log3(x+1))+f(log(x-1))<0,所以f(1og(x+1))<-f(log(x-1)), 又f(x)是奇函数，所以f(log3(x十1))<f(-log(x-1)), 由(2)知f(x)在(-o,十o∞)上单调递增，所以log(x十1)<-1og(x-1)=log' 1 …13分 所以0<x+1< )…15分 解得1<x√2，即不等式f(log(x+1))十f(1og3(x一1))<0的解集为(1，w2).…17分 【高一3月份过程性素质评价·数学参考答案第3页（共4页）】 19.解：1)(1)因为P是BC上靠近点B的三等分点，所以B驴-BC, 所以A市-+萨=A店+}B心-A店+号(A衣-A)=子A市+}A心， 因为0是AP的中点，所以Aò=号A泸=号AB+6AC 2分 设AB=xAQ(x>1),则Aò-号A0+合AC, 因为C,0,Q三点共线，所以号十日=1，解得x=号，所以成=号A0,即A0-号A成，…4分 所以O成-OA+Aà=-}A店-日AC+号A店=品5A店-日AC, 所以m==一m十n=一 6分 (i)oA.0à-(-号A店-合A沁)·（号A范-合A心）=-GA+号A范.A花+6A心 =一票+希×5×6×合+8-9，… …8分 1i-√（号A+A-√后A萨+·aC+4衣√图+智+需-子， -√（信成古'√云亦成.+六衣√票帮+需-号 ,…10分 10 OA.0Q _10w7 o<A0Q=oA1oQIx⑦ 49 11分 3 (2)设Ai=xA(x≥1)，AC=yA(y≥1)， 又Aò=号A+合A花，所以Aò=号A花+A应， 因为E,0,F三点共线，所以号+名=1，所以y=6-2x, 13分 因为≥1，所以6-2≥1，所以x≤号，所以xe[1,号]， 所以变·变应：A1一 ·a8A面a6--2(-+号' …15分 省，号+c[][号] 即需：惑的k位范同[号号] 17分 【高一3月份过程性素质评价·数学参考答案第4页（共4页）】