压轴07+带电粒子在叠加场中的运动（压轴题专练）（山东专用）2026年高考物理终极冲刺讲练测

压轴07 带电粒子在叠加场中的运动 命题预测 在山东卷压轴题中，叠加场通常以“速度选择器”“电磁流量计”等科技情境呈现，核心考查“力场等效法”和“功能关系”。带电粒子在叠加场中的运动在高考物理中占据重要地位，是检验学生综合运用电场、磁场等物理知识解决复杂问题的能力的重要考点。在命题方式上，这类题目通常以综合性强的计算题形式出现，可能涉及电场、磁场、重力场等多个叠加场的组合，要求考生分析带电粒子在这些叠加场中的受力情况、运动轨迹、速度变化等，并运用相应的物理公式和定理进行计算和推理。 复习备考时，考生应首先深入理解叠加场的基本原理和带电粒子在其中的运动规律，掌握电场力、洛伦兹力、重力等力的计算方法和叠加原理。同时，考生需要熟悉相关的物理公式和定理，并能够灵活运用它们解决具体问题。此外，考生还应注重实践练习，通过大量做题来提高自己的解题能力和速度。 高频考法 1.带电粒子在叠加场中做直线运动 2.带电粒子在叠加场中做圆周运动 3.带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 知识·技法·思维 考向01 带电粒子在叠加场中的直线运动 1.带电粒子在电场和磁场的叠加场中做直线运动，电场力和洛伦兹力一定相互平衡，因此可利用二力平衡解题。 2.带电粒子在电场、磁场、重力场的叠加场中做直线运动，则粒子一定处于平衡状态，因此可利用平衡条件解题。 考向02 带电粒子在叠加场中的圆周运动 1.带电粒子做匀速圆周运动，隐含条件是必须考虑重力，且电场力和重力平衡。 2.洛伦兹力提供向心力和带电粒子只在磁场中做圆周运动解题方法相同。 考向03 带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 1.若带电粒子在磁场中所受合力不为零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，运动比较麻烦，此时，我们可以把初速度分解成两个分速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力（或电场力，或重力和电场力的合力）平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解分两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。 2.几种常见情况： 常见情况 处理方法 初速度为0，有重力 把初速度0，分解一个向左的速度v1和一个向右的速度v1 初速度为0，不计重力 把初速度0，分解一个向左的速度v1和一个向右的速度v1 初速度为0，有重力 把初速度0，分解一个斜向左下方的速度v1 和一个斜向右上方的速度v1 初速度为v0，有重力 把初速度v0，分解速度v1和速度v2 典例·靶向·突破 题型01 带电粒子在叠加场中的直线运动 例题1. （2026·山东烟台·一模）如图所示，水平面上方空间有垂直纸面向里、磁感应强度大小的匀强磁场，还有水平向右、大小未知的匀强电场。在固定的水平绝缘杆上套有质量、电荷量的带正电圆环，圆环下端用绝缘轻绳连接一静置在光滑水平地面上的质量的小物块，轻绳刚好处于伸直状态且与竖直方向的夹角。现将该圆环由静止释放，当物块与地面之间刚好无压力时，圆环与水平杆间也刚好无挤压。已知此过程中圆环在水平杆上移动的距离，重力加速度大小，，不计空气阻力，则（    ） A．匀强电场的电场强度大小为 B．匀强电场的电场强度大小为 C．该过程中圆环克服摩擦力做的功为21J D．该过程中圆环克服摩擦力做的功为17J 例题2.（2026·山东·一模）如图所示，空间中存在一水平方向匀强电场和一水平方向匀强磁场，且电场方向和磁场方向相互垂直。在电磁场正交的空间中有一足够长的固定粗糙绝缘杆，与电场正方向成夹角且处于竖直平面内。一质量为、带电量为的小球套在绝缘杆上。初始时给小球一沿杆向下的初速度，小球恰好做匀速运动，电量保持不变。已知磁感应强度大小为，电场强度大小为，则以下说法正确的是（　　） A．重力势能的减少量总大于电势能的增加量 B．小球的初速度为 C．若小球的初速度为，则运动中克服摩擦力做功为 D．若小球的初速度为，小球将做加速度减小的减速运动，运动中克服摩擦力做功为 题型解码 带电粒子做直线运动，无论粒子受几个力的作用，都满足受力平衡，因此可利用平衡条件解题。 题型02 带电粒子在叠加场中的圆周运动 例题3. （2026·山东青岛·一模）如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，半径为R的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，质量为m、电荷量为的小球套在圆环上。在最低点A给小球水平向右的初速度，此时小球与圆环间作用力为零，当小球沿圆环运动到与圆心等高的B点时，与圆环间作用力也为零，重力加速度为g，则（　　） A．匀强电场的场强大小可能为 B．匀强磁场的磁感应强度大小可能为 C．匀强磁场的磁感应强度大小可能为 D．将小球在A点的初速度变为，其在最高点C与圆环间作用力可能为零 例题4.（2026·山东济南·模拟预测）如图所示，空间坐标系中，平面水平，轴沿竖直方向。在处有一个质量为、带电荷量为（）的小球（可视为点电荷），将小球沿轴正方向以速度抛出，不计空气阻力，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．若空间中存在沿轴正向的匀强电场和沿轴正向的匀强磁场，小球一定做变速运动 B．若空间中存在沿轴正向的匀强电场和沿轴正向的匀强磁场，小球可能做匀速运动 C．若空间存在沿轴正向的匀强磁场，磁感应强度大小为，小球再次回到轴时的坐标为 D．若空间存在沿轴正向的匀强磁场，磁感应强度大小为，小球再次回到轴时的坐标为 题型解码 带电粒子做直线运动，无论粒子受几个力的作用，都满足受力平衡，因此可利用平衡条件解题。 题型03 带电粒子在叠加场中的旋进运动 例题5. （2025·山东泰安·模拟预测）在如图1所示的xOy平面内，存在方向沿y轴正方向的电场和方向垂直xOy平面向外的磁场，电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示。O点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为、初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求： (1)时刻释放的粒子，在时刻的速度大小； (2)在时间内，静电力对t=0时刻释放的粒子所做的功； (3)在之间的t时刻释放粒子，第一次到达直线时的位置到x轴的距离为y，写出y与t的关系式。 例题6.（2025·山东·三模）现代科技常利用电场和磁场控制带电粒子的运动。如图甲所示的空间直角坐标系（轴未画出，正方向垂直于平面向外）中，在轴上的点有一粒子源，可以沿轴正方向发射质量均为、电荷量均为、速度大小均为的带电粒子。在的空间内存在如图乙所示的交变电场，电场强度大小未知，方向平行于轴，时间内沿轴正方向；在的空间内存在如图丙所示的交变磁场，磁感应强度大小为，方向沿轴负方向；在，的空间内存在磁感应强度大小也为、方向沿轴负方向的匀强磁场；在，的空间内存在电场强度大小也为、方向沿轴正方向的匀强电场。点和点为轴和分界线的交点。已知时刻射出的粒子恰好通过点。不计粒子重力和粒子间的相互作用以及电、磁场的边界效应。求： (1)电场强度大小； (2)时刻射出的粒子在时间内离轴的最大距离； (3)时刻射出的粒子第次到达平面时的坐标。 题型解码 带电粒子做旋进运动，是直线运动和匀速圆周运动的合成，直线运动与圆周运动轨道平面垂直。 题型04 带电粒子在叠加场中的摆线运动 例题7. （2026·山东德州·一模）如图所示，在平面直角坐标系的第一、四象限内有沿y轴负方向的匀强电场，第二象限以原点O为圆心、半径为R的四分之一圆内和第四象限均有垂直纸面向里的匀强磁场，第二象限磁场的磁感应强度是第四象限的倍，M点为第二象限磁场边界的一个端点。在四分之一圆的左侧有长为R、与x轴垂直的线性粒子源，粒子源的下端在x轴上，粒子源上各点持续沿x正向发射质量为m，电荷量为q的带正电粒子，所有粒子的初速度大小均为，线性粒子源中点发射的粒子在M点离开第二象限。所有粒子第一次经过x轴的位置连线的长度为，不计粒子的重力。求： (1)第二象限内磁场的磁感应强度大小； (2)第一、四象限内匀强电场的电场强度大小； (3)所有粒子第一次经过x轴的位置最右端记为N，研究第一次通过N点进入第四象限的粒子在第四象限的运动，其最大速度记为（未知），速度大小为时运动方向与x轴正方向的夹角记为，写出与k的函数关系式，并写出k的取值范围。 例题8.（2025·山东烟台·三模）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内存在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场，磁场的上边界是以为圆心、半径为R的圆弧，下边界是以为圆心、半径为的圆弧；第四象限内存在沿着x轴正方向、大小的匀强电场，第三象限内同时存在沿着y轴正方向的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，其中电场强度大小为，磁感应强度的大小也为。一个质量为m、电荷量为的粒子以大小为的速度从y轴上的点正对圆心方向射入第一象限的磁场中，离开磁场后进入第四象限的电场之中，然后从y轴上的Q点离开电场进入第三象限的电磁场中，不计粒子的重力，忽略粒子对电磁场的影响，求： (1)粒子进入第四象限时的速度方向与x轴正方向的夹角； (2)Q点的纵坐标； (3)粒子从P点运动到Q点的过程中经过的时间； (4)粒子在第三象限内运动过程中的最大速度； 题型解码 带电粒子做摆线运动，是直线运动和匀速圆周运动的合成，直线运动与圆周运动轨道平面在同一个平面内。 一、多选题 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图所示，在竖直平面内建立平面直角坐标系，其中轴沿水平方向。在第二象限存在大小为、沿轴正方向的匀强电场，在第四象限存在平行于轴的匀强电场（图中未画方向）和垂直于纸面向内的匀强磁场，一个带电小球沿着第二、第四象限的对角线，从图中点运动到点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球带负电 B．小球一直做匀加速运动 C．第四象限内的匀强电场大小为，方向沿轴负方向 D．小球受到的洛伦兹力是其重力的倍 2．（2026·吉林延边·一模）如图所示，两平行极板水平放置，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁场的磁感应强度为B。一束质量均为m、电荷量均为的粒子，以不同速率沿着两板中轴线方向进入板间后，速率为的甲粒子恰好做匀速直线运动；初始速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，A为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程速率在和之间变化。研究一般的曲线运动时，可将曲线分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看做圆周运动的一部分，采用圆周运动的分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．乙粒子从进入板间运动至A位置的过程中，在水平方向上做匀速运动 B．两板间电场强度的大小为 C．乙粒子的运动轨迹在A处对应圆周的半径为 D．乙粒子偏离中轴线的最远距离为 3．（2026·四川成都·二模）如图甲所示，空间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上，磁场方向垂直纸面向里，一带正电小球以4m/s的速率恰好能沿竖直平面做匀速圆周运动，小球电荷量，圆心O的电势为零。以竖直向上为正方向建立y轴。在小球从最低点运动到最高点的过程中，轨迹上每点的电势随纵坐标y的变化关系如图乙所示，重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．匀强电场的场强大小为 B．小球一定沿逆时针方向做匀速圆周运动 C．匀强磁场的磁感应强度大小为 D．小球从最低点运动到最高点的过程中，电势能增加了2.4J 4．（2026·江西·模拟预测）在一个范围足够大、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，将一个质量为m、电量为q的带正电小球由静止释放，已知当地的重力加速度为g，磁场方向水平，如图所示。小球从静止开始下落的过程中，以下说法正确的是（　　） A．小球运动到最低点时，洛伦兹力的瞬时功率为 B．小球从出发第一次到达最高点时的位移为 C．小球从出发到第一次到达最低点的过程中，水平位移与竖直位移大小之比为 D．小球从出发到第一次到达最低点的过程中，洛伦兹力的冲量大小为 5．（2025·安徽·模拟预测）如图所示，竖直平面内存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，将两个相距很近的带电小球c、d分别同时向左、右两边水平抛出，两者均做匀速圆周运动，c、d做圆周运动的半径分别为、，经过一段时间，两球相碰，碰撞后粘在一起运动。已知小球c的电荷量是小球d的电荷量的两倍，两球均可视为点电荷，不计空气阻力和两球之间的库仑力。下列说法正确的是（　　） A．小球c带正电，小球d带负电 B．小球c的质量一定是小球d的两倍 C．碰撞后整体做圆周运动的半径为 D．碰撞后整体做圆周运动的周期是 6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，倾角为足够长的光滑绝缘斜面处于匀强磁场中，磁场方向垂直纸面，磁感应强度为B。可视为质点的小球质量为m，带电量为，以平行于斜面的初速度从斜面底端O点向上滑行，一段时间后小球从C点（图上未标出）离开斜面。已知，重力加速度为g，整个运动过程中小球带电量保持不变，下列分析正确的是（　　） A．磁场方向垂直纸面向里 B．O与C间距离为 C．小球离开斜面之前的过程中斜面对小球弹力的冲量大小为 D．小球离开斜面后相对O点能够上升的最大高度为 7．（2025·河北·模拟预测）如图所示，在内壁绝缘且光滑的圆形轨道内，质量为m、电荷量为+q的小球沿轨道顺时针做圆周运动。空间内存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为E，且存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。当小球经过轨道最左侧的P点时，其速度大小为v0，轨道对小球的弹力恰好为零，此时其所受电场力大小为所受洛伦兹力大小的2倍，忽略带电小球所受重力。下列说法正确的是（　　） A．小球在轨道内运动时，其机械能守恒 B．小球从P点运动半周至Q点的过程中，对轨道的压力逐渐增大 C．当小球运动至轨道最右侧的Q点时，对轨道的压力大小为7qE D．当小球运动至轨道最右侧的Q点时，速度大小为4v0 二、解答题 8．（2026·山东淄博·一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第Ⅱ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅲ象限存在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从M点以初速度沿轴正方向发射，经电场偏转后从N点进入第Ⅲ象限，偏转后第一次离开磁场从坐标原点O射出，进入第Ⅰ象限。不计粒子重力。 (1)求匀强电场的电场强度大小及第Ⅲ象限匀强磁场的磁感应强度大小； (2)粒子从点进入第Ⅰ象限，第Ⅰ象限内适当区域有一垂直纸面向外的圆形匀强磁场，磁感应强度大小为，粒子经磁场偏转，离开磁场后继续运动从点进入第Ⅳ象限，速度方向与轴正方向成。求该圆形磁场区域的最小面积S及该粒子在第Ⅰ象限中做圆周运动的圆心的坐标； (3)粒子从点进入第Ⅳ象限，第Ⅳ象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，粒子进入该区域后，除受洛伦兹力外还受一方向始终与粒子速度方向相反的阻力，其大小与粒子速率成正比，粒子做半径减小的螺旋运动，其运动轨迹恰好与轴相切于点（未画出），且粒子始终在第Ⅳ象限运动。求粒子从点到点的运动时间。 9．（2025·浙江绍兴·一模）如图甲所示为洛伦兹力演示仪的示意图，电子枪可以发射电子束，玻璃泡内有稀薄气体，在电子束通过时能够显示电子的径迹。励磁线圈能够在两个线圈之间产生匀强磁场，磁场方向与两个线圈中心的连线平行。图乙所示为电子枪的电路结构原理图，调节滑动变阻器可以改变电子束发射的速度。现给励磁线圈通上电流，产生磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向内，电子枪发射的电子由静止开始经加速极加速，水平向左垂直射入磁场，径迹显示电子束运动的半径为r。已知电子的电荷量为e，质量为 m，忽略地磁场的影响和气体阻力，假设电子的运动始终在匀强磁场范围内。 (1)求电子束运动的速度大小；若要使径迹半径增大，则滑动变阻器R的触头应“向左”还是“向右”移动？ (2)若电子枪发射方向朝纸面内偏转，使电子速度方向与磁场方向的夹角为，电子束的径迹为螺旋线，求电子束径迹的半径大小和螺距大小；（已知） (3)若在径迹中心固定一个正电荷，电量（其中 k 为静电力常数），调节滑动变阻器，使电子束径迹的半径大小保持不变，如图丙所示。 ①求此时电子枪加速极的加速电压大小； ②某时刻同时关闭励磁线圈的电流和加速电压，此后任一时刻所有电子位于同一圆周上，圆周的半径在做周期性变化，求圆周最大半径和圆周半径的变化周期。（不考虑磁场消失时产生的感应电场；取无穷远处的电势为0，与正点电荷q相距为r处的电势） 10．（2025·浙江湖州·模拟预测）某兴趣小组为探索光电效应和光电子在电磁场中的运动规律，设计装置如图所示，频率为的激光照射在竖直放置的锌板K的中心位置O点，其右侧距离为处有另一足够大极板A，A上正对O点有一竖直狭缝，并在两极板间加电压，两极板间电场可视为匀强电场。在A板右侧有宽度为D、方向垂直纸面向内、大小为的匀强磁场。锌板的逸出功，普朗克常量，电子质量为，元电荷，，，。不计光电子重力及光电子间的相互作用。求： (1)光电子到达极板A的最大速度； (2)极板A上有光电子打中的区域面积； (3)要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度D应满足的条件； (4)将匀强磁场改为垂直平面向内的非匀强磁场，磁感应强度满足，x为该位置到磁场左边界的距离，要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度D应满足的条件。 11．（2025·山东德州·三模）如图所示，竖直绝缘管固定在水平地面上的小车上，管内底部有一截面直径比管的内径略小、可视为质点的小圆柱体，小圆柱体质量，电荷量，绝缘管长为。在管口所在水平面的下方存在着垂直纸面向里、磁感应强度的匀强磁场，面上方存在着垂直纸面向外、磁感应强度的匀强磁场，上下的整个区域还存在着竖直向上、场强的匀强电场。现让小车始终保持的速度匀速向右运动，一段时间后小圆柱体在绝缘管内匀速，然后沿与竖直方向夹角为37°的方向离开绝缘管。小圆柱体在绝缘管外受到的空气阻力大小与其速度大小关系为，已知小圆柱体第一次与第二次经过水平面的距离为。取，不计其它阻力。求： (1)小圆柱体刚进入磁场时的加速度大小； (2)小圆柱体的加速度为时的速度大小； (3)小圆柱体在绝缘管内运动时产生的热量； (4)小圆柱体第二次经过水平面时的速度大小。 12．（2025·山东济宁·二模）如图所示，绝缘轨道MNPQ位于同一竖直面内，其中MN为长度L=1m的粗糙水平轨道，NP为半径R=0.3m的光滑四分之一圆弧轨道，其圆心为O，PQ为足够长的光滑竖直轨道。竖直线NN'右侧有方向水平向左的匀强电场，电场强度E=40N/C。在正方形ONO'P区域内有方向垂直纸面向外、磁感应强度为的匀强磁场。轨道MN最左端M点处静置一质量为、电荷量为q=0.1C的带负电的物块A。一质量为的物块C，从左侧的光滑水平轨道上以速度撞向物块A，A、C发生弹性碰撞，且A、C恰好不发生第二次碰撞。已知A、C均可视为质点，且与轨道MN的动摩擦因数相同，物块A所带电荷量始终保持不变，取g=10m/s²，，。求： (1)在M点碰撞后瞬间A、C的速度大小v1、v2； (2)A、C与轨道MN之间的动摩擦因数； (3)A运动过程中对轨道NP的最大压力F的大小。 6 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴07 带电粒子在叠加场中的运动 典例·靶向·突破 例题1. 【答案】BC 【详解】AB．当物块与地面恰好无压力时，对物块受力分析有 水平方向上有 可解得 此时对圆环受力分析，在水平方向上，有 所以电场强度，故A错误，B正确； CD．此时对圆环在竖直方向上分析，有 解得圆环的速度为 对圆环与物块的系统列动能定理，有 所以圆环克服摩擦力做功的大小为，故C正确，D错误。 故选BC。 例题2. 【答案】BC 【详解】A．重力势能的减少量总等于电势能的增加量，故A错误； B．带电小球刚开始受重力、电场力、洛伦兹力、弹力（可能有）、摩擦力（可能有）； 电场力 重力与电场力的合力刚好与杆垂直，大小为2mg，如图 洛伦兹力的方向垂直于杆，要使小球做匀速运动，摩擦力应该为0，弹力也应该为0， 即洛伦兹力与重力、电场力的合力相平衡，即 则小球的初速度，故B正确； C．若小球的初速度为，则洛伦兹力小于2mg，杆对球有弹力且 球会受到摩擦力作用，此摩擦力阻碍小球的运动，小球的速度会减小； 当小球的速度减小，杆对球的弹力 增大，球受的摩擦力增大，小球做加速度增大的减速运动，最终小球停止，此过程中重力、电场力和洛伦兹力的合力总与杆垂直，即此过程中这三力的合力对球做的功为零，摩擦阻力对小球做负功，据动能定理 此过程中 即克服阻力做功，故C正确； D．若小球的初速度为，则洛伦兹力大于2mg，杆对球有弹力且 球会受到摩擦力作用，此摩擦力阻碍小球的运动，小球的速度会减小； 当小球的速度减小，杆对球的弹力减小， 球受的摩擦力减小，小球做加速度减小的减速运动； 当小球的速度减小至，小球做匀速运动，此过程中重力、电场力和洛伦兹力的合力总与杆垂直，即此过程中这三力的合力对球做的功为零，摩擦阻力对小球做负功，据动能定理 此过程中 即克服阻力做功，故D错误； 故选BC。 例题3. 【答案】AC 【详解】ABC．小球带负电，当小球沿圆环运动到与圆心等高的B点时，设小球的速度为，小球受到的洛伦兹力方向水平向左，因小球与圆环间作用力也为零，由牛顿第二定律有 解得或 若，小球从A点运动到B点，由动能定理得 解得 因最低点小球与圆环间作用力为零，由牛顿第二定律有 解得 若，根据左手定则可知在最低点A小球受到的洛伦兹力方向竖直向上，因最低点小球与圆环间作用力为零，由牛顿第二定律有 根据动能定理，小球从A点运动到B点满足 解得，，，故B错误，AC正确； D．若将小球在A点的初速度变为，其在最高点C的速度大小满足 结合小球从A点运动到B点 可知 结合上述分析可知若，小球受到的电场力方向向上，大小为 洛伦兹力为，对应的圆周运动的向心力分别为 根据受力平衡，可知小球受圆环的作用力为 若，小球受到的电场力方向向上，大小为 对应的洛伦兹力方向向下，大小为 圆周运动的向心力为 根据牛顿第二定律，可知小球受圆环的作用力满足 解得 综上，不存在小球在最高点C与圆环间作用力为零的情况，故D错误。 故选AC。 例题4. 【答案】BCD 【详解】A B．小球受到沿y轴正方向的电场力，y轴负方向的重力和洛伦兹力，如果，小球将沿x轴正方向做匀速直线运动，A错误，B正确； C．初始洛伦兹力，方向沿 z 轴正方向。 小球在平面内做匀速圆周运动，，同时在y轴方向受重力做自由落体，小球再次回到y 轴时，，，这要求小球在平面内完成整数圈圆周运动，即运动时间 y方向做自由落体运动，位移为 解得，C正确； D．若空间存在沿z轴正向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，把小球的速度分解为一个水平向左的，一个水平向右的 小球的运动可以看作两个运动合成：一个水平向左的匀速直线运动，速度大小为。另一个是以速度在xoy平面内的匀速圆周运动。 小球再次回到x轴时的x坐标为，D正确。 故选BCD。 例题5. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）（1）作出粒子运动轨迹如图所示 令，在时间内，根据动量定理有 在时间内，粒子在磁场中运动的周期 在时间内，根据动量定理有 解得粒子在时刻粒子的速度 （2）在时间内，根据动量定理有 解得粒子在时刻的速度 在时间内，静电力对粒子的做功大小为 解得 （3）在之间的t时刻释放粒子，粒子运动轨迹如图所示 在时间内，根据动量定理有 粒子在电场中的位移 在时间内，粒子圆周运动的半径 在时间内，根据动量定理有 粒子在电场中的位移 在时间内，粒子圆周运动的半径 解得 所以第一次到达直线时到轴的距离 解得 例题6. 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）粒子由P点运动到M点的过程，沿x方向做匀速直线运动，所用时间为 所以沿y方向先做匀加速直线运动后做匀速直线运动，所以 其中 得 （2）设磁感应强度大小为，粒子在磁场中做匀速圆周运动，其周期为 粒子在时间内的运动轨迹如图所示 根据运动的对称性可得、时间内粒子沿y轴正方向的位移大小均为 在时刻，， 方向与x轴正方向的夹角为，时间内粒子以速度v做匀速圆周运动，则 解得 时间内粒子沿y轴方向的最大位移 综上所述可得 （3）时刻射出的粒子在时刻到达N点，速度为，方向与x轴正方向的夹角为，粒子在磁场中的运动为螺旋运动，每次在磁场中运动的时间为。粒子每次进入磁场后沿y轴负方向移动的距离 粒子每次进入磁场后，有 解得 沿z轴负方向移动的距离 粒子每次进入电场后沿y轴负方向移动的距离 归纳得，时刻射出的粒子第次到达平面时的坐标为或 例题7. 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）几何分析可得，所有粒子在第二象限的四分之一圆内做匀速圆周运动的半径均为 又 联立解得第二象限的四分之一圆内磁场的磁感应强度 （2）方法一：所有粒子第一次经过轴的位置最右端记为，对在第一象限运动到达点的粒子，设在点速度与方向的夹角为，沿方向 垂直方向 由以上两式得 由上式可得时，粒子恰好经过点， 又 联立解得第一、四象限内匀强电场的电场强度大小 方法二：所有粒子第一次在第一象限的运动由动能定理 某粒子经点时与轴正方向的夹角设为，在第一象限运动时的加速度大小设为，初末速度之间的夹角设为，由该粒子第一次在第一象限运动的速度合成图可知 粒子在第一象限运动沿方向的位移为 由以上两式得 时，有最大值为 又 联立解得第一、四象限内匀强电场的电场强度大小 （3）由以上方程还可解得，第一次经过点进入第四象限的粒子在该点的速度大小 方向与轴正方向的夹角为； 自点至第一次速度最大的过程，水平方向由动量定理 又由动能定理 联立解得， 自点至速度大小为的点 解得 水平方向 解得， 最小时： 联立解得， 例题8. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）磁场中，由牛顿第二定律得 解得 由几何知识可证明，粒子从点离开第一象限，设速度方向与x轴正方向的夹角为，则由几何知识可得 有 （2）粒子在第四象限内做类斜抛运动，粒子水平方向做匀变速直线运动，竖直方向做匀速直线运动，设竖直位移大小为，水平位移大小为，在电场中运动时间为。由牛顿第二定律得 则有，， 解得， 故Q点的纵坐标为 （3）粒子在磁场中偏转的圆心角为 在磁场中运动的周期 在磁场中运动的时间为 离开磁场运动到点时间为 则粒子从P点运动到Q点的过程中经过的时间为 （4）粒子进入第三象限后做摆线运动，经过Q点时沿方向的分速度大小分别为和，则：， 求得 由题意可知 故粒子的运动可分解为沿着x轴负方向、速度大小为的匀速直线运动和速度大小为的匀速圆周运动。粒子运动到最低点时，速度最大，方向沿着x轴的负方向，最大速度为 一、多选题 1． 【答案】CD 【详解】A．带电小球在第二象限做直线运动，小球受到重力和电场力的合力与速度在同一直线上，可知小球在第二象限受到的电场力水平向右，与场强方向相同，所以小球带正电，故A错误； BCD．小球在第二象限所受合力与速度方向相同，做匀加速直线运动，根据几何关系可得 小球进入第四象限后，受到重力、电场力和洛伦兹力作用，小球做匀速直线运动，根据平衡条件可知小球的受力如图所示 则有， 可知第四象限内的匀强电场大小为，方向沿轴负方向；小球受到的洛伦兹力是其重力的倍，故B错误，CD正确。 故选CD。 2． 【答案】BC 【详解】A．速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，根据左手定则判断知，粒子受到的洛伦兹力总是垂直指向每一小段圆弧的中心，可知乙粒子在水平方向上的合力一直水平向右，所以粒子从进入板间运动至A位置的过程中，在水平方向上做加速运动，故A错误； B．速率为v的甲粒子恰好做匀速直线运动，则有 可得两板间电场强度的大小为E=vB，故B正确； C．由题意可知，乙粒子的运动轨迹在A处时粒子偏离中轴线的距离最远，粒子速度达到最大且为，则有 联立解得，故C正确； D．由于洛伦兹力一直不做功，乙粒子所受电场力方向一直竖直向下，当粒子速度最大时，电场力做的功最多，偏离中轴线的距离最远，根据动能定理有 联立解得，故D错误。 故选BC。 3．【答案】BC 【详解】A．根据题意和题图乙可知，匀强电场的场强大小为，故A错误； B．小球受竖直向上的电场力与竖直向下的重力平衡，可知带正电 小球做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力，根据左手定则可知，小球做逆时针方向的匀速圆周运动，故B正确； C．由题意知，洛伦兹力提供向心力 解得，故C正确； D．小球从最低点运动到最高点的过程中，电势能减少了，故D错误。 故选BC。 4． 【答案】BC 【详解】A．小球带正电，由静止释放，在竖直向下的重力与垂直纸面向里的匀强磁场中做摆线运动。其运动可分解为：水平、竖直方向均以做匀速圆周运动，圆周运动周期 第一次运动到最低点时，竖直分速度抵消为0，水平分速度合为；洛伦兹力始终与速度方向垂直，不做功。洛伦兹力始终与速度方向垂直，由功率公式 可知洛伦兹力瞬时功率恒为0，与速度大小无关，故A错误； B．小球第一次到达最高点的时间为一个周期 水平位移 竖直方向圆周运动一个周期回到初始高度，竖直位移为0，故合位移等于水平位移，故 B正确； C．小球第一次到达最低点的时间为半周期 水平位移 竖直位移为圆周运动半周期的直径 位移比值，故C正确； D．由动量定理矢量分解，最低点水平动量变化 竖直方向 重力冲量 洛伦兹力冲量，故D错误。 选BC。 5． 【答案】BC 【详解】AB．由于两球均在匀速圆周运动，可知两球受到的电场力与重力平衡，则、两球均带正电，设、两球的质量和带电量分别为、、、，则有， 可得 故A错误，B正确； C．碰撞后两小球粘在一起运动，整体的动量为 根据牛顿第二定律 解得 则， 则整体做圆周运动的半径为 故C正确； D．粒子在磁场中做圆周运动的周期 则碰撞后整体的周期为 又根据题意两小球经过一段时间相碰，该时间恰好等于小球和做圆周运动的周期，即 故D错误。 故选BC。 6． 【答案】BC 【详解】A．小球在O点受到洛伦兹力的大小，方向垂直斜面，如果垂直斜面向上，有 则小球开始时就会离开斜面，而小球一段时间后才离开斜面，说明小球开始时所受洛伦兹力垂直斜面向下，且小球是在下滑过程中离开斜面的，所以由左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外，故A错误； B．若小球至某位置时离开斜面。离开斜面前满足 得 加速度恒定，小球向上做匀减速直线运动；离开斜面瞬间满足 得 由匀变速直线运动规律得 可得，，故B正确； C．上行过程垂直斜面方向上由平衡条件可得 此过程中弹力的冲量为 同理可得下行过程弹力冲量为 全程弹力冲量为 根据选项B的分析可知， 联立得，故C正确； D．小球离开斜面后做曲线运动，从离开斜面至到达到最高点的过程中由功能关系可得 在水平方向上由动量定理可得 联立可得 离开斜面后相对点能够上升的最大高度，故D错误。 故选BC。 7．【答案】BC 【详解】A．小球运动过程中电场力做功，所以机械能不守恒，选项A错误； B．设小球从P点起转过角，此时有 速度v越来越大，越来越小，越来越大，选项B正确； CD．从P至Q， 在P点， 联立可得 在Q点， 联立可解得，选项C正确，D错误。 故选BC。 二、解答题 8． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）带电粒子在静电场中做类平抛运动，水平方向上有 竖直方向上，受到静电力的作用 根据运动学公式，有 联立可解得 竖直方向分速度为 所以粒子从N点进入磁场时的速度 速度方向与x轴正方向成60°。 进入第III象限的磁场后粒子做匀速圆周运动，设运动半径为，有 根据几何关系可知 解得 所以 （2）粒子进入第I象限的磁场后做圆周运动的半径为，有 解得 根据题干可知，穿出第I象限的磁场时粒子的速度方向与进入磁场时的速度方向相比，偏转了90°，设粒子进入圆形磁场的位置为A，穿出磁场时的位置为B，有 粒子运动的轨迹半径对应的圆心为，如图所示 弧线在圆形磁场中，所以圆形磁场面积最小时，应有 所以圆形磁场的最小面积为 根据角度和几何关系，可知 四边形是边长为L的正方形，所以 A点的坐标为 对应可求出点的横坐标为 纵坐标为 所以点的坐标为 （3）粒子从P点进入第IV象限后，受到洛伦兹力与阻力的共同作用，其中在阻力的作用下速度大小逐渐减小。洛伦兹力方向一直垂直速度方向，充当向心力，有 根据公式可知虽然速度减小，但运动的角速度是不变的，有 当粒子运动到与x轴相切时，角度转过了330°，所以 9． 【答案】(1)，向左 (2)， (3)① ② 【详解】（1）电子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力 得 也可得 若要使径迹半径增大，则可增大入射速度，故要增大加速极的电压，即滑动变阻器 R 的触头应“向左”移动。 （2）设电子束径迹的半径大小为，电子垂直磁场方向速度为，电子沿磁场方向速度为，则      由 得 设电子束运动周期为，径迹的螺距大小为，则 由 得 故 （3）①在径迹中心固定一个正电荷，由库仑力和洛伦兹力提供向心力，设电子束速度为，则 得 设电子枪加速极的加速电压为 U，则 得 ②磁场消失，电子做离心运动，轨迹为椭圆，设最远点离正电荷距离为，速度为，类比开普勒第二定律，电子与正电荷连线在相等时间内扫过的面积相等，则 得 由能量守恒 圆周最大半径 故该椭圆运动的半长轴为，周期相当于半径为的圆周运动的周期，即 得 10． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由爱因斯坦光电效应方程得 电场中动能定理 解得 （2）设极板上有光电子打中的区域为半径为y的圆形区域，电子的最大动能为 当电子以最大速度且沿平行极板方向逸出锌板时，电子打到圆形区域的边缘，此时电子在平行极板方向做匀速直线运动，则 电子在垂直极板方向做匀加速直线运动，有 其中，根据牛顿第二定律可知，电子沿垂直极板方向的加速度大小为 联立得 则极板A上有光电子打中的区域面积为 （3）设电子经过A板时最大速度大小为，与板最小夹角为α，则 解得 所有电子均不从右侧边界飞出临界情况如图 由几何关系得 解得 （4）取向下为y轴正方向，由y方向动量定理得 则 所以 当向上时，电子水平位移最大，此时 磁场宽度D'应满足的条件 11． 【答案】(1)6m/s2 (2)m/s (3)0.2J (4)m/s 【详解】（1）小圆柱体刚进入磁场B1时，受重力、电场力和洛伦兹力三个力的作用，其中重力和电场力二力平衡 所以洛伦兹力就是小圆柱体的合力，根据牛顿第二定律得 解得 （2）一段时间后小圆柱体在绝缘管内匀速，则有 其中 解得 竖直方向的洛伦兹力和摩擦力的合力等于小圆柱体的合力，根据牛顿第二定律得 将代入得 此时小圆柱体的速度大小为 （3）由题意知，小圆柱体离开绝缘管时的速度为 小圆柱体在绝缘管内运动的过程中，根据动能定理有 解得小圆柱体在绝缘管内运动时产生的热量 （4）设某时刻速度为，方向与竖直方向夹角为，竖直方向根据动量定理有 即 解得 水平方向根据动量定理有 即 解得 所以小圆柱体第二次经过水平面ab时的速度大小为 12． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）A、C发生弹性碰撞，则由动量守恒定律可得 由机械能守恒定律可得 解得， （2）A、C恰好不发生第二次碰撞，设C运动的位移为。对C由动能定理得 对A由动能定理得 解得 （3）重力和电场力的合力大小为 设A在轨道NP运动过程中等效最低点K与O点的连线与OP夹角为，则 可得 当A经P点返回N点的过程中到达K点时，达到最大速度，如图所示    此时A对轨道的压力最大，A从M点到K点过程中，由动能定理可得 返回K点时 由上可得 由牛顿第三定律知，A对轨道NP的最大压力为 15 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴07 带电粒子在叠加场中的运动 命题预测 在山东卷压轴题中，叠加场通常以“速度选择器”“电磁流量计”等科技情境呈现，核心考查“力场等效法”和“功能关系”。带电粒子在叠加场中的运动在高考物理中占据重要地位，是检验学生综合运用电场、磁场等物理知识解决复杂问题的能力的重要考点。在命题方式上，这类题目通常以综合性强的计算题形式出现，可能涉及电场、磁场、重力场等多个叠加场的组合，要求考生分析带电粒子在这些叠加场中的受力情况、运动轨迹、速度变化等，并运用相应的物理公式和定理进行计算和推理。 复习备考时，考生应首先深入理解叠加场的基本原理和带电粒子在其中的运动规律，掌握电场力、洛伦兹力、重力等力的计算方法和叠加原理。同时，考生需要熟悉相关的物理公式和定理，并能够灵活运用它们解决具体问题。此外，考生还应注重实践练习，通过大量做题来提高自己的解题能力和速度。 高频考法 1.带电粒子在叠加场中做直线运动 2.带电粒子在叠加场中做圆周运动 3.带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 知识·技法·思维 考向01 带电粒子在叠加场中的直线运动 1.带电粒子在电场和磁场的叠加场中做直线运动，电场力和洛伦兹力一定相互平衡，因此可利用二力平衡解题。 2.带电粒子在电场、磁场、重力场的叠加场中做直线运动，则粒子一定处于平衡状态，因此可利用平衡条件解题。 考向02 带电粒子在叠加场中的圆周运动 1.带电粒子做匀速圆周运动，隐含条件是必须考虑重力，且电场力和重力平衡。 2.洛伦兹力提供向心力和带电粒子只在磁场中做圆周运动解题方法相同。 考向03 带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 1.若带电粒子在磁场中所受合力不为零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，运动比较麻烦，此时，我们可以把初速度分解成两个分速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力（或电场力，或重力和电场力的合力）平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解分两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。 2.几种常见情况： 常见情况 处理方法 初速度为0，有重力 把初速度0，分解一个向左的速度v1和一个向右的速度v1 初速度为0，不计重力 把初速度0，分解一个向左的速度v1和一个向右的速度v1 初速度为0，有重力 把初速度0，分解一个斜向左下方的速度v1 和一个斜向右上方的速度v1 初速度为v0，有重力 把初速度v0，分解速度v1和速度v2 典例·靶向·突破 题型01 带电粒子在叠加场中的直线运动 例题1. （2026·山东烟台·一模）如图所示，水平面上方空间有垂直纸面向里、磁感应强度大小的匀强磁场，还有水平向右、大小未知的匀强电场。在固定的水平绝缘杆上套有质量、电荷量的带正电圆环，圆环下端用绝缘轻绳连接一静置在光滑水平地面上的质量的小物块，轻绳刚好处于伸直状态且与竖直方向的夹角。现将该圆环由静止释放，当物块与地面之间刚好无压力时，圆环与水平杆间也刚好无挤压。已知此过程中圆环在水平杆上移动的距离，重力加速度大小，，不计空气阻力，则（    ） A．匀强电场的电场强度大小为 B．匀强电场的电场强度大小为 C．该过程中圆环克服摩擦力做的功为21J D．该过程中圆环克服摩擦力做的功为17J 【答案】BC 【详解】AB．当物块与地面恰好无压力时，对物块受力分析有 水平方向上有 可解得 此时对圆环受力分析，在水平方向上，有 所以电场强度，故A错误，B正确； CD．此时对圆环在竖直方向上分析，有 解得圆环的速度为 对圆环与物块的系统列动能定理，有 所以圆环克服摩擦力做功的大小为，故C正确，D错误。 故选BC。 例题2.（2026·山东·一模）如图所示，空间中存在一水平方向匀强电场和一水平方向匀强磁场，且电场方向和磁场方向相互垂直。在电磁场正交的空间中有一足够长的固定粗糙绝缘杆，与电场正方向成夹角且处于竖直平面内。一质量为、带电量为的小球套在绝缘杆上。初始时给小球一沿杆向下的初速度，小球恰好做匀速运动，电量保持不变。已知磁感应强度大小为，电场强度大小为，则以下说法正确的是（　　） A．重力势能的减少量总大于电势能的增加量 B．小球的初速度为 C．若小球的初速度为，则运动中克服摩擦力做功为 D．若小球的初速度为，小球将做加速度减小的减速运动，运动中克服摩擦力做功为 【答案】BC 【详解】A．重力势能的减少量总等于电势能的增加量，故A错误； B．带电小球刚开始受重力、电场力、洛伦兹力、弹力（可能有）、摩擦力（可能有）； 电场力 重力与电场力的合力刚好与杆垂直，大小为2mg，如图 洛伦兹力的方向垂直于杆，要使小球做匀速运动，摩擦力应该为0，弹力也应该为0， 即洛伦兹力与重力、电场力的合力相平衡，即 则小球的初速度，故B正确； C．若小球的初速度为，则洛伦兹力小于2mg，杆对球有弹力且 球会受到摩擦力作用，此摩擦力阻碍小球的运动，小球的速度会减小； 当小球的速度减小，杆对球的弹力 增大，球受的摩擦力增大，小球做加速度增大的减速运动，最终小球停止，此过程中重力、电场力和洛伦兹力的合力总与杆垂直，即此过程中这三力的合力对球做的功为零，摩擦阻力对小球做负功，据动能定理 此过程中 即克服阻力做功，故C正确； D．若小球的初速度为，则洛伦兹力大于2mg，杆对球有弹力且 球会受到摩擦力作用，此摩擦力阻碍小球的运动，小球的速度会减小； 当小球的速度减小，杆对球的弹力减小， 球受的摩擦力减小，小球做加速度减小的减速运动； 当小球的速度减小至，小球做匀速运动，此过程中重力、电场力和洛伦兹力的合力总与杆垂直，即此过程中这三力的合力对球做的功为零，摩擦阻力对小球做负功，据动能定理 此过程中 即克服阻力做功，故D错误； 故选BC。 题型解码 带电粒子做直线运动，无论粒子受几个力的作用，都满足受力平衡，因此可利用平衡条件解题。 题型02 带电粒子在叠加场中的圆周运动 例题3. （2026·山东青岛·一模）如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，半径为R的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，质量为m、电荷量为的小球套在圆环上。在最低点A给小球水平向右的初速度，此时小球与圆环间作用力为零，当小球沿圆环运动到与圆心等高的B点时，与圆环间作用力也为零，重力加速度为g，则（　　） A．匀强电场的场强大小可能为 B．匀强磁场的磁感应强度大小可能为 C．匀强磁场的磁感应强度大小可能为 D．将小球在A点的初速度变为，其在最高点C与圆环间作用力可能为零 【答案】AC 【详解】ABC．小球带负电，当小球沿圆环运动到与圆心等高的B点时，设小球的速度为，小球受到的洛伦兹力方向水平向左，因小球与圆环间作用力也为零，由牛顿第二定律有 解得或 若，小球从A点运动到B点，由动能定理得 解得 因最低点小球与圆环间作用力为零，由牛顿第二定律有 解得 若，根据左手定则可知在最低点A小球受到的洛伦兹力方向竖直向上，因最低点小球与圆环间作用力为零，由牛顿第二定律有 根据动能定理，小球从A点运动到B点满足 解得，，，故B错误，AC正确； D．若将小球在A点的初速度变为，其在最高点C的速度大小满足 结合小球从A点运动到B点 可知 结合上述分析可知若，小球受到的电场力方向向上，大小为 洛伦兹力为，对应的圆周运动的向心力分别为 根据受力平衡，可知小球受圆环的作用力为 若，小球受到的电场力方向向上，大小为 对应的洛伦兹力方向向下，大小为 圆周运动的向心力为 根据牛顿第二定律，可知小球受圆环的作用力满足 解得 综上，不存在小球在最高点C与圆环间作用力为零的情况，故D错误。 故选AC。 例题4.（2026·山东济南·模拟预测）如图所示，空间坐标系中，平面水平，轴沿竖直方向。在处有一个质量为、带电荷量为（）的小球（可视为点电荷），将小球沿轴正方向以速度抛出，不计空气阻力，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．若空间中存在沿轴正向的匀强电场和沿轴正向的匀强磁场，小球一定做变速运动 B．若空间中存在沿轴正向的匀强电场和沿轴正向的匀强磁场，小球可能做匀速运动 C．若空间存在沿轴正向的匀强磁场，磁感应强度大小为，小球再次回到轴时的坐标为 D．若空间存在沿轴正向的匀强磁场，磁感应强度大小为，小球再次回到轴时的坐标为 【答案】BCD 【详解】A B．小球受到沿y轴正方向的电场力，y轴负方向的重力和洛伦兹力，如果，小球将沿x轴正方向做匀速直线运动，A错误，B正确； C．初始洛伦兹力，方向沿 z 轴正方向。 小球在平面内做匀速圆周运动，，同时在y轴方向受重力做自由落体，小球再次回到y 轴时，，，这要求小球在平面内完成整数圈圆周运动，即运动时间 y方向做自由落体运动，位移为 解得，C正确； D．若空间存在沿z轴正向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，把小球的速度分解为一个水平向左的，一个水平向右的 小球的运动可以看作两个运动合成：一个水平向左的匀速直线运动，速度大小为。另一个是以速度在xoy平面内的匀速圆周运动。 小球再次回到x轴时的x坐标为，D正确。 故选BCD。 题型解码 带电粒子做直线运动，无论粒子受几个力的作用，都满足受力平衡，因此可利用平衡条件解题。 题型03 带电粒子在叠加场中的旋进运动 例题5. （2025·山东泰安·模拟预测）在如图1所示的xOy平面内，存在方向沿y轴正方向的电场和方向垂直xOy平面向外的磁场，电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示。O点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为、初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求： (1)时刻释放的粒子，在时刻的速度大小； (2)在时间内，静电力对t=0时刻释放的粒子所做的功； (3)在之间的t时刻释放粒子，第一次到达直线时的位置到x轴的距离为y，写出y与t的关系式。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）（1）作出粒子运动轨迹如图所示 令，在时间内，根据动量定理有 在时间内，粒子在磁场中运动的周期 在时间内，根据动量定理有 解得粒子在时刻粒子的速度 （2）在时间内，根据动量定理有 解得粒子在时刻的速度 在时间内，静电力对粒子的做功大小为 解得 （3）在之间的t时刻释放粒子，粒子运动轨迹如图所示 在时间内，根据动量定理有 粒子在电场中的位移 在时间内，粒子圆周运动的半径 在时间内，根据动量定理有 粒子在电场中的位移 在时间内，粒子圆周运动的半径 解得 所以第一次到达直线时到轴的距离 解得 例题6.（2025·山东·三模）现代科技常利用电场和磁场控制带电粒子的运动。如图甲所示的空间直角坐标系（轴未画出，正方向垂直于平面向外）中，在轴上的点有一粒子源，可以沿轴正方向发射质量均为、电荷量均为、速度大小均为的带电粒子。在的空间内存在如图乙所示的交变电场，电场强度大小未知，方向平行于轴，时间内沿轴正方向；在的空间内存在如图丙所示的交变磁场，磁感应强度大小为，方向沿轴负方向；在，的空间内存在磁感应强度大小也为、方向沿轴负方向的匀强磁场；在，的空间内存在电场强度大小也为、方向沿轴正方向的匀强电场。点和点为轴和分界线的交点。已知时刻射出的粒子恰好通过点。不计粒子重力和粒子间的相互作用以及电、磁场的边界效应。求： (1)电场强度大小； (2)时刻射出的粒子在时间内离轴的最大距离； (3)时刻射出的粒子第次到达平面时的坐标。 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）粒子由P点运动到M点的过程，沿x方向做匀速直线运动，所用时间为 所以沿y方向先做匀加速直线运动后做匀速直线运动，所以 其中 得 （2）设磁感应强度大小为，粒子在磁场中做匀速圆周运动，其周期为 粒子在时间内的运动轨迹如图所示 根据运动的对称性可得、时间内粒子沿y轴正方向的位移大小均为 在时刻，， 方向与x轴正方向的夹角为，时间内粒子以速度v做匀速圆周运动，则 解得 时间内粒子沿y轴方向的最大位移 综上所述可得 （3）时刻射出的粒子在时刻到达N点，速度为，方向与x轴正方向的夹角为，粒子在磁场中的运动为螺旋运动，每次在磁场中运动的时间为。粒子每次进入磁场后沿y轴负方向移动的距离 粒子每次进入磁场后，有 解得 沿z轴负方向移动的距离 粒子每次进入电场后沿y轴负方向移动的距离 归纳得，时刻射出的粒子第次到达平面时的坐标为或 题型解码 带电粒子做旋进运动，是直线运动和匀速圆周运动的合成，直线运动与圆周运动轨道平面垂直。 题型04 带电粒子在叠加场中的摆线运动 例题7. （2026·山东德州·一模）如图所示，在平面直角坐标系的第一、四象限内有沿y轴负方向的匀强电场，第二象限以原点O为圆心、半径为R的四分之一圆内和第四象限均有垂直纸面向里的匀强磁场，第二象限磁场的磁感应强度是第四象限的倍，M点为第二象限磁场边界的一个端点。在四分之一圆的左侧有长为R、与x轴垂直的线性粒子源，粒子源的下端在x轴上，粒子源上各点持续沿x正向发射质量为m，电荷量为q的带正电粒子，所有粒子的初速度大小均为，线性粒子源中点发射的粒子在M点离开第二象限。所有粒子第一次经过x轴的位置连线的长度为，不计粒子的重力。求： (1)第二象限内磁场的磁感应强度大小； (2)第一、四象限内匀强电场的电场强度大小； (3)所有粒子第一次经过x轴的位置最右端记为N，研究第一次通过N点进入第四象限的粒子在第四象限的运动，其最大速度记为（未知），速度大小为时运动方向与x轴正方向的夹角记为，写出与k的函数关系式，并写出k的取值范围。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）几何分析可得，所有粒子在第二象限的四分之一圆内做匀速圆周运动的半径均为 又 联立解得第二象限的四分之一圆内磁场的磁感应强度 （2）方法一：所有粒子第一次经过轴的位置最右端记为，对在第一象限运动到达点的粒子，设在点速度与方向的夹角为，沿方向 垂直方向 由以上两式得 由上式可得时，粒子恰好经过点， 又 联立解得第一、四象限内匀强电场的电场强度大小 方法二：所有粒子第一次在第一象限的运动由动能定理 某粒子经点时与轴正方向的夹角设为，在第一象限运动时的加速度大小设为，初末速度之间的夹角设为，由该粒子第一次在第一象限运动的速度合成图可知 粒子在第一象限运动沿方向的位移为 由以上两式得 时，有最大值为 又 联立解得第一、四象限内匀强电场的电场强度大小 （3）由以上方程还可解得，第一次经过点进入第四象限的粒子在该点的速度大小 方向与轴正方向的夹角为； 自点至第一次速度最大的过程，水平方向由动量定理 又由动能定理 联立解得， 自点至速度大小为的点 解得 水平方向 解得， 最小时： 联立解得， 例题8.（2025·山东烟台·三模）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内存在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场，磁场的上边界是以为圆心、半径为R的圆弧，下边界是以为圆心、半径为的圆弧；第四象限内存在沿着x轴正方向、大小的匀强电场，第三象限内同时存在沿着y轴正方向的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，其中电场强度大小为，磁感应强度的大小也为。一个质量为m、电荷量为的粒子以大小为的速度从y轴上的点正对圆心方向射入第一象限的磁场中，离开磁场后进入第四象限的电场之中，然后从y轴上的Q点离开电场进入第三象限的电磁场中，不计粒子的重力，忽略粒子对电磁场的影响，求： (1)粒子进入第四象限时的速度方向与x轴正方向的夹角； (2)Q点的纵坐标； (3)粒子从P点运动到Q点的过程中经过的时间； (4)粒子在第三象限内运动过程中的最大速度； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）磁场中，由牛顿第二定律得 解得 由几何知识可证明，粒子从点离开第一象限，设速度方向与x轴正方向的夹角为，则由几何知识可得 有 （2）粒子在第四象限内做类斜抛运动，粒子水平方向做匀变速直线运动，竖直方向做匀速直线运动，设竖直位移大小为，水平位移大小为，在电场中运动时间为。由牛顿第二定律得 则有，， 解得， 故Q点的纵坐标为 （3）粒子在磁场中偏转的圆心角为 在磁场中运动的周期 在磁场中运动的时间为 离开磁场运动到点时间为 则粒子从P点运动到Q点的过程中经过的时间为 （4）粒子进入第三象限后做摆线运动，经过Q点时沿方向的分速度大小分别为和，则：， 求得 由题意可知 故粒子的运动可分解为沿着x轴负方向、速度大小为的匀速直线运动和速度大小为的匀速圆周运动。粒子运动到最低点时，速度最大，方向沿着x轴的负方向，最大速度为 题型解码 带电粒子做摆线运动，是直线运动和匀速圆周运动的合成，直线运动与圆周运动轨道平面在同一个平面内。 一、多选题 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图所示，在竖直平面内建立平面直角坐标系，其中轴沿水平方向。在第二象限存在大小为、沿轴正方向的匀强电场，在第四象限存在平行于轴的匀强电场（图中未画方向）和垂直于纸面向内的匀强磁场，一个带电小球沿着第二、第四象限的对角线，从图中点运动到点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球带负电 B．小球一直做匀加速运动 C．第四象限内的匀强电场大小为，方向沿轴负方向 D．小球受到的洛伦兹力是其重力的倍 【答案】CD 【详解】A．带电小球在第二象限做直线运动，小球受到重力和电场力的合力与速度在同一直线上，可知小球在第二象限受到的电场力水平向右，与场强方向相同，所以小球带正电，故A错误； BCD．小球在第二象限所受合力与速度方向相同，做匀加速直线运动，根据几何关系可得 小球进入第四象限后，受到重力、电场力和洛伦兹力作用，小球做匀速直线运动，根据平衡条件可知小球的受力如图所示 则有， 可知第四象限内的匀强电场大小为，方向沿轴负方向；小球受到的洛伦兹力是其重力的倍，故B错误，CD正确。 故选CD。 2．（2026·吉林延边·一模）如图所示，两平行极板水平放置，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁场的磁感应强度为B。一束质量均为m、电荷量均为的粒子，以不同速率沿着两板中轴线方向进入板间后，速率为的甲粒子恰好做匀速直线运动；初始速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，A为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程速率在和之间变化。研究一般的曲线运动时，可将曲线分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看做圆周运动的一部分，采用圆周运动的分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．乙粒子从进入板间运动至A位置的过程中，在水平方向上做匀速运动 B．两板间电场强度的大小为 C．乙粒子的运动轨迹在A处对应圆周的半径为 D．乙粒子偏离中轴线的最远距离为 【答案】BC 【详解】A．速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，根据左手定则判断知，粒子受到的洛伦兹力总是垂直指向每一小段圆弧的中心，可知乙粒子在水平方向上的合力一直水平向右，所以粒子从进入板间运动至A位置的过程中，在水平方向上做加速运动，故A错误； B．速率为v的甲粒子恰好做匀速直线运动，则有 可得两板间电场强度的大小为E=vB，故B正确； C．由题意可知，乙粒子的运动轨迹在A处时粒子偏离中轴线的距离最远，粒子速度达到最大且为，则有 联立解得，故C正确； D．由于洛伦兹力一直不做功，乙粒子所受电场力方向一直竖直向下，当粒子速度最大时，电场力做的功最多，偏离中轴线的距离最远，根据动能定理有 联立解得，故D错误。 故选BC。 3．（2026·四川成都·二模）如图甲所示，空间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上，磁场方向垂直纸面向里，一带正电小球以4m/s的速率恰好能沿竖直平面做匀速圆周运动，小球电荷量，圆心O的电势为零。以竖直向上为正方向建立y轴。在小球从最低点运动到最高点的过程中，轨迹上每点的电势随纵坐标y的变化关系如图乙所示，重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．匀强电场的场强大小为 B．小球一定沿逆时针方向做匀速圆周运动 C．匀强磁场的磁感应强度大小为 D．小球从最低点运动到最高点的过程中，电势能增加了2.4J 【答案】BC 【详解】A．根据题意和题图乙可知，匀强电场的场强大小为，故A错误； B．小球受竖直向上的电场力与竖直向下的重力平衡，可知带正电 小球做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力，根据左手定则可知，小球做逆时针方向的匀速圆周运动，故B正确； C．由题意知，洛伦兹力提供向心力 解得，故C正确； D．小球从最低点运动到最高点的过程中，电势能减少了，故D错误。 故选BC。 4．（2026·江西·模拟预测）在一个范围足够大、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，将一个质量为m、电量为q的带正电小球由静止释放，已知当地的重力加速度为g，磁场方向水平，如图所示。小球从静止开始下落的过程中，以下说法正确的是（　　） A．小球运动到最低点时，洛伦兹力的瞬时功率为 B．小球从出发第一次到达最高点时的位移为 C．小球从出发到第一次到达最低点的过程中，水平位移与竖直位移大小之比为 D．小球从出发到第一次到达最低点的过程中，洛伦兹力的冲量大小为 【答案】BC 【详解】A．小球带正电，由静止释放，在竖直向下的重力与垂直纸面向里的匀强磁场中做摆线运动。其运动可分解为：水平、竖直方向均以做匀速圆周运动，圆周运动周期 第一次运动到最低点时，竖直分速度抵消为0，水平分速度合为；洛伦兹力始终与速度方向垂直，不做功。洛伦兹力始终与速度方向垂直，由功率公式 可知洛伦兹力瞬时功率恒为0，与速度大小无关，故A错误； B．小球第一次到达最高点的时间为一个周期 水平位移 竖直方向圆周运动一个周期回到初始高度，竖直位移为0，故合位移等于水平位移，故 B正确； C．小球第一次到达最低点的时间为半周期 水平位移 竖直位移为圆周运动半周期的直径 位移比值，故C正确； D．由动量定理矢量分解，最低点水平动量变化 竖直方向 重力冲量 洛伦兹力冲量，故D错误。 选BC。 5．（2025·安徽·模拟预测）如图所示，竖直平面内存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，将两个相距很近的带电小球c、d分别同时向左、右两边水平抛出，两者均做匀速圆周运动，c、d做圆周运动的半径分别为、，经过一段时间，两球相碰，碰撞后粘在一起运动。已知小球c的电荷量是小球d的电荷量的两倍，两球均可视为点电荷，不计空气阻力和两球之间的库仑力。下列说法正确的是（　　） A．小球c带正电，小球d带负电 B．小球c的质量一定是小球d的两倍 C．碰撞后整体做圆周运动的半径为 D．碰撞后整体做圆周运动的周期是 【答案】BC 【详解】AB．由于两球均在匀速圆周运动，可知两球受到的电场力与重力平衡，则、两球均带正电，设、两球的质量和带电量分别为、、、，则有， 可得 故A错误，B正确； C．碰撞后两小球粘在一起运动，整体的动量为 根据牛顿第二定律 解得 则， 则整体做圆周运动的半径为 故C正确； D．粒子在磁场中做圆周运动的周期 则碰撞后整体的周期为 又根据题意两小球经过一段时间相碰，该时间恰好等于小球和做圆周运动的周期，即 故D错误。 故选BC。 6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，倾角为足够长的光滑绝缘斜面处于匀强磁场中，磁场方向垂直纸面，磁感应强度为B。可视为质点的小球质量为m，带电量为，以平行于斜面的初速度从斜面底端O点向上滑行，一段时间后小球从C点（图上未标出）离开斜面。已知，重力加速度为g，整个运动过程中小球带电量保持不变，下列分析正确的是（　　） A．磁场方向垂直纸面向里 B．O与C间距离为 C．小球离开斜面之前的过程中斜面对小球弹力的冲量大小为 D．小球离开斜面后相对O点能够上升的最大高度为 【答案】BC 【详解】A．小球在O点受到洛伦兹力的大小，方向垂直斜面，如果垂直斜面向上，有 则小球开始时就会离开斜面，而小球一段时间后才离开斜面，说明小球开始时所受洛伦兹力垂直斜面向下，且小球是在下滑过程中离开斜面的，所以由左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外，故A错误； B．若小球至某位置时离开斜面。离开斜面前满足 得 加速度恒定，小球向上做匀减速直线运动；离开斜面瞬间满足 得 由匀变速直线运动规律得 可得，，故B正确； C．上行过程垂直斜面方向上由平衡条件可得 此过程中弹力的冲量为 同理可得下行过程弹力冲量为 全程弹力冲量为 根据选项B的分析可知， 联立得，故C正确； D．小球离开斜面后做曲线运动，从离开斜面至到达到最高点的过程中由功能关系可得 在水平方向上由动量定理可得 联立可得 离开斜面后相对点能够上升的最大高度，故D错误。 故选BC。 7．（2025·河北·模拟预测）如图所示，在内壁绝缘且光滑的圆形轨道内，质量为m、电荷量为+q的小球沿轨道顺时针做圆周运动。空间内存在水平向右的匀强电场，电场强度大小为E，且存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。当小球经过轨道最左侧的P点时，其速度大小为v0，轨道对小球的弹力恰好为零，此时其所受电场力大小为所受洛伦兹力大小的2倍，忽略带电小球所受重力。下列说法正确的是（　　） A．小球在轨道内运动时，其机械能守恒 B．小球从P点运动半周至Q点的过程中，对轨道的压力逐渐增大 C．当小球运动至轨道最右侧的Q点时，对轨道的压力大小为7qE D．当小球运动至轨道最右侧的Q点时，速度大小为4v0 【答案】BC 【详解】A．小球运动过程中电场力做功，所以机械能不守恒，选项A错误； B．设小球从P点起转过角，此时有 速度v越来越大，越来越小，越来越大，选项B正确； CD．从P至Q， 在P点， 联立可得 在Q点， 联立可解得，选项C正确，D错误。 故选BC。 二、解答题 8．（2026·山东淄博·一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第Ⅱ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅲ象限存在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从M点以初速度沿轴正方向发射，经电场偏转后从N点进入第Ⅲ象限，偏转后第一次离开磁场从坐标原点O射出，进入第Ⅰ象限。不计粒子重力。 (1)求匀强电场的电场强度大小及第Ⅲ象限匀强磁场的磁感应强度大小； (2)粒子从点进入第Ⅰ象限，第Ⅰ象限内适当区域有一垂直纸面向外的圆形匀强磁场，磁感应强度大小为，粒子经磁场偏转，离开磁场后继续运动从点进入第Ⅳ象限，速度方向与轴正方向成。求该圆形磁场区域的最小面积S及该粒子在第Ⅰ象限中做圆周运动的圆心的坐标； (3)粒子从点进入第Ⅳ象限，第Ⅳ象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，粒子进入该区域后，除受洛伦兹力外还受一方向始终与粒子速度方向相反的阻力，其大小与粒子速率成正比，粒子做半径减小的螺旋运动，其运动轨迹恰好与轴相切于点（未画出），且粒子始终在第Ⅳ象限运动。求粒子从点到点的运动时间。 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）带电粒子在静电场中做类平抛运动，水平方向上有 竖直方向上，受到静电力的作用 根据运动学公式，有 联立可解得 竖直方向分速度为 所以粒子从N点进入磁场时的速度 速度方向与x轴正方向成60°。 进入第III象限的磁场后粒子做匀速圆周运动，设运动半径为，有 根据几何关系可知 解得 所以 （2）粒子进入第I象限的磁场后做圆周运动的半径为，有 解得 根据题干可知，穿出第I象限的磁场时粒子的速度方向与进入磁场时的速度方向相比，偏转了90°，设粒子进入圆形磁场的位置为A，穿出磁场时的位置为B，有 粒子运动的轨迹半径对应的圆心为，如图所示 弧线在圆形磁场中，所以圆形磁场面积最小时，应有 所以圆形磁场的最小面积为 根据角度和几何关系，可知 四边形是边长为L的正方形，所以 A点的坐标为 对应可求出点的横坐标为 纵坐标为 所以点的坐标为 （3）粒子从P点进入第IV象限后，受到洛伦兹力与阻力的共同作用，其中在阻力的作用下速度大小逐渐减小。洛伦兹力方向一直垂直速度方向，充当向心力，有 根据公式可知虽然速度减小，但运动的角速度是不变的，有 当粒子运动到与x轴相切时，角度转过了330°，所以 9．（2025·浙江绍兴·一模）如图甲所示为洛伦兹力演示仪的示意图，电子枪可以发射电子束，玻璃泡内有稀薄气体，在电子束通过时能够显示电子的径迹。励磁线圈能够在两个线圈之间产生匀强磁场，磁场方向与两个线圈中心的连线平行。图乙所示为电子枪的电路结构原理图，调节滑动变阻器可以改变电子束发射的速度。现给励磁线圈通上电流，产生磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向内，电子枪发射的电子由静止开始经加速极加速，水平向左垂直射入磁场，径迹显示电子束运动的半径为r。已知电子的电荷量为e，质量为 m，忽略地磁场的影响和气体阻力，假设电子的运动始终在匀强磁场范围内。 (1)求电子束运动的速度大小；若要使径迹半径增大，则滑动变阻器R的触头应“向左”还是“向右”移动？ (2)若电子枪发射方向朝纸面内偏转，使电子速度方向与磁场方向的夹角为，电子束的径迹为螺旋线，求电子束径迹的半径大小和螺距大小；（已知） (3)若在径迹中心固定一个正电荷，电量（其中 k 为静电力常数），调节滑动变阻器，使电子束径迹的半径大小保持不变，如图丙所示。 ①求此时电子枪加速极的加速电压大小； ②某时刻同时关闭励磁线圈的电流和加速电压，此后任一时刻所有电子位于同一圆周上，圆周的半径在做周期性变化，求圆周最大半径和圆周半径的变化周期。（不考虑磁场消失时产生的感应电场；取无穷远处的电势为0，与正点电荷q相距为r处的电势） 【答案】(1)，向左 (2)， (3)① ② 【详解】（1）电子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力 得 也可得 若要使径迹半径增大，则可增大入射速度，故要增大加速极的电压，即滑动变阻器 R 的触头应“向左”移动。 （2）设电子束径迹的半径大小为，电子垂直磁场方向速度为，电子沿磁场方向速度为，则      由 得 设电子束运动周期为，径迹的螺距大小为，则 由 得 故 （3）①在径迹中心固定一个正电荷，由库仑力和洛伦兹力提供向心力，设电子束速度为，则 得 设电子枪加速极的加速电压为 U，则 得 ②磁场消失，电子做离心运动，轨迹为椭圆，设最远点离正电荷距离为，速度为，类比开普勒第二定律，电子与正电荷连线在相等时间内扫过的面积相等，则 得 由能量守恒 圆周最大半径 故该椭圆运动的半长轴为，周期相当于半径为的圆周运动的周期，即 得 10．（2025·浙江湖州·模拟预测）某兴趣小组为探索光电效应和光电子在电磁场中的运动规律，设计装置如图所示，频率为的激光照射在竖直放置的锌板K的中心位置O点，其右侧距离为处有另一足够大极板A，A上正对O点有一竖直狭缝，并在两极板间加电压，两极板间电场可视为匀强电场。在A板右侧有宽度为D、方向垂直纸面向内、大小为的匀强磁场。锌板的逸出功，普朗克常量，电子质量为，元电荷，，，。不计光电子重力及光电子间的相互作用。求： (1)光电子到达极板A的最大速度； (2)极板A上有光电子打中的区域面积； (3)要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度D应满足的条件； (4)将匀强磁场改为垂直平面向内的非匀强磁场，磁感应强度满足，x为该位置到磁场左边界的距离，要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度D应满足的条件。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由爱因斯坦光电效应方程得 电场中动能定理 解得 （2）设极板上有光电子打中的区域为半径为y的圆形区域，电子的最大动能为 当电子以最大速度且沿平行极板方向逸出锌板时，电子打到圆形区域的边缘，此时电子在平行极板方向做匀速直线运动，则 电子在垂直极板方向做匀加速直线运动，有 其中，根据牛顿第二定律可知，电子沿垂直极板方向的加速度大小为 联立得 则极板A上有光电子打中的区域面积为 （3）设电子经过A板时最大速度大小为，与板最小夹角为α，则 解得 所有电子均不从右侧边界飞出临界情况如图 由几何关系得 解得 （4）取向下为y轴正方向，由y方向动量定理得 则 所以 当向上时，电子水平位移最大，此时 磁场宽度D'应满足的条件 11．（2025·山东德州·三模）如图所示，竖直绝缘管固定在水平地面上的小车上，管内底部有一截面直径比管的内径略小、可视为质点的小圆柱体，小圆柱体质量，电荷量，绝缘管长为。在管口所在水平面的下方存在着垂直纸面向里、磁感应强度的匀强磁场，面上方存在着垂直纸面向外、磁感应强度的匀强磁场，上下的整个区域还存在着竖直向上、场强的匀强电场。现让小车始终保持的速度匀速向右运动，一段时间后小圆柱体在绝缘管内匀速，然后沿与竖直方向夹角为37°的方向离开绝缘管。小圆柱体在绝缘管外受到的空气阻力大小与其速度大小关系为，已知小圆柱体第一次与第二次经过水平面的距离为。取，不计其它阻力。求： (1)小圆柱体刚进入磁场时的加速度大小； (2)小圆柱体的加速度为时的速度大小； (3)小圆柱体在绝缘管内运动时产生的热量； (4)小圆柱体第二次经过水平面时的速度大小。 【答案】(1)6m/s2 (2)m/s (3)0.2J (4)m/s 【详解】（1）小圆柱体刚进入磁场B1时，受重力、电场力和洛伦兹力三个力的作用，其中重力和电场力二力平衡 所以洛伦兹力就是小圆柱体的合力，根据牛顿第二定律得 解得 （2）一段时间后小圆柱体在绝缘管内匀速，则有 其中 解得 竖直方向的洛伦兹力和摩擦力的合力等于小圆柱体的合力，根据牛顿第二定律得 将代入得 此时小圆柱体的速度大小为 （3）由题意知，小圆柱体离开绝缘管时的速度为 小圆柱体在绝缘管内运动的过程中，根据动能定理有 解得小圆柱体在绝缘管内运动时产生的热量 （4）设某时刻速度为，方向与竖直方向夹角为，竖直方向根据动量定理有 即 解得 水平方向根据动量定理有 即 解得 所以小圆柱体第二次经过水平面ab时的速度大小为 12．（2025·山东济宁·二模）如图所示，绝缘轨道MNPQ位于同一竖直面内，其中MN为长度L=1m的粗糙水平轨道，NP为半径R=0.3m的光滑四分之一圆弧轨道，其圆心为O，PQ为足够长的光滑竖直轨道。竖直线NN'右侧有方向水平向左的匀强电场，电场强度E=40N/C。在正方形ONO'P区域内有方向垂直纸面向外、磁感应强度为的匀强磁场。轨道MN最左端M点处静置一质量为、电荷量为q=0.1C的带负电的物块A。一质量为的物块C，从左侧的光滑水平轨道上以速度撞向物块A，A、C发生弹性碰撞，且A、C恰好不发生第二次碰撞。已知A、C均可视为质点，且与轨道MN的动摩擦因数相同，物块A所带电荷量始终保持不变，取g=10m/s²，，。求： (1)在M点碰撞后瞬间A、C的速度大小v1、v2； (2)A、C与轨道MN之间的动摩擦因数； (3)A运动过程中对轨道NP的最大压力F的大小。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）A、C发生弹性碰撞，则由动量守恒定律可得 由机械能守恒定律可得 解得， （2）A、C恰好不发生第二次碰撞，设C运动的位移为。对C由动能定理得 对A由动能定理得 解得 （3）重力和电场力的合力大小为 设A在轨道NP运动过程中等效最低点K与O点的连线与OP夹角为，则 可得 当A经P点返回N点的过程中到达K点时，达到最大速度，如图所示    此时A对轨道的压力最大，A从M点到K点过程中，由动能定理可得 返回K点时 由上可得 由牛顿第三定律知，A对轨道NP的最大压力为 8 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $