8.1.2圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 一 第八章 立体几何 §8．1　基本立体图形 §8.1.2　圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征【导学】 【解析】 【导学目标】 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义． 2．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征． 3．认识简单组合体的结构特征，了解简单组合体的两种基本构成形式． 【导学重点】掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征． 【导学难点】认识简单组合体的结构特征，了解简单组合体的两种基本构成形式． 【知识要点】 圆柱的结构特征 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周所围成的旋转体叫做圆柱。 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边； 柱体：圆柱和棱柱统称为柱体 圆锥的结构特征 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆锥的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 锥体：棱锥和圆锥统称锥体 圆台的结构特征 定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间部分叫做圆台 图示及相关概念 轴：圆锥的轴； 底面：圆锥的底面和截面； 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分； 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分； 台体：棱台和圆台统称为台体. 球的结构特征 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. 图示及相关概念 球心：半圆的圆心叫做球的球心； 半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径； 直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 简单组合体的结构特征 (1)简单组合体的定义：由简单几何体组合而成的几何体． (2)简单组合体的两种基本形式： 简单组合体 圆柱、圆锥、圆台的关系 【典型例题】 题型一 旋转体的结构特征 【例1-1】下列说法不正确的是(　　) A． 圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．圆台平行于底面的截面是圆面 【答案】C 【例1-2】给出下列命题： ①圆柱的母线与它的轴可以不平行； ②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是(　　) A．①②　　　B．②③　　　C．①③　　　D．②④ 【答案】D 【例1-3】给出下列说法： ①圆柱的底面是圆面； ②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面； ③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交； ④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是 ．(填序号) 【答案】①② 【例1-4】下列命题中错误的是________． ①过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径； ②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等； ③圆台所有平行于底面的截面都是圆面； ④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形． 【答案】② 题型二 简单组合体的结构特征 【例2-1】如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？ 【答案】①：圆柱+圆台+圆台； ②：圆锥+圆柱+圆台 【例2-2】如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征． 【答案】圆锥+半球 【例2-3】图①②中的图形折叠后的图形分别是(　　) ①　　　　　　　② A．圆锥、棱柱 B．圆锥、棱锥 C．球、棱锥 D．圆锥、圆柱 【答案】C 【例2-4】如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征． 【答案】圆柱挖去上下两个圆锥 【例2-5】 (多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是(　　) A. 由一个长方体割去一个四棱柱所构成的; B．由一个长方体与两个四棱柱组合而成的; C．由一个长方体挖去一个四棱台所构成的; D． 由一个长方体与两个四棱台组合而成的. 【答案】AB 题型三 几何体中的计算问题 【例3-1】如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长． 【解析】设原圆锥 SO 的母线长为 L，截去的小圆锥 SO′的母线长为l=3cm， 圆台O′O的母线长为 x，则 L=l+x=3+x。 已知截得圆台的上、下底面面积比为 1:16， 根据相似圆锥的性质： 代入 l=3cm​ 得：3+x=12,x=9cm 圆台 O′O的母线长为 9cm. 【例3-2】一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2. 求：(1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长. 【解析】(1)由面积公式 ，得：上底面cm 下底面cm 圆台的高：cm (2) 设圆锥母线长为 L，由相似比：cm 所以圆台的圆锥的母线长为20cm. 【例3-3】圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，求这个截面的面积． 【解析】由面积公式 ，得： 上底面半径 r1=1，下底面半径 r2=4 设圆锥顶点到上底面距离为 h，截面到上底面距离为 2k，到下底面距离为 k. 由相似比： 设截面半径为 r， 则： 所以这个截面面积：S=πr2=9π. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 一 第八章 立体几何 §8．1　基本立体图形 §8.1.2　圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征【导学】 【解析】 【导学目标】 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义． 2．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征． 3．认识简单组合体的结构特征，了解简单组合体的两种基本构成形式． 【导学重点】掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征． 【导学难点】认识简单组合体的结构特征，了解简单组合体的两种基本构成形式． 【知识要点】 圆柱的结构特征 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周所围成的旋转体叫做圆柱 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边； 柱体：圆柱和棱柱统称为柱体 圆锥的结构特征 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 图示及相关概念 轴：旋转轴叫做圆锥的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 锥体：棱锥和圆锥统称锥体 圆台的结构特征 定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间部分叫做圆台 图示及相关概念 轴：圆锥的轴； 底面：圆锥的底面和截面； 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分； 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分； 台体：棱台和圆台统称为台体 球的结构特征 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球 图示及相关概念 球心：半圆的圆心叫做球的球心； 半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径； 直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 简单组合体的结构特征 (1)简单组合体的定义：由简单几何体组合而成的几何体． (2)简单组合体的两种基本形式： 简单组合体 圆柱、圆锥、圆台的关系 【典型例题】 题型一 旋转体的结构特征 【例1-1】下列说法不正确的是(　　) A． 圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．圆台平行于底面的截面是圆面 【例1-2】给出下列命题： ①圆柱的母线与它的轴可以不平行； ②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是(　　) A．①②　　　B．②③　　　C．①③　　　D．②④ 【例1-3】给出下列说法： ①圆柱的底面是圆面； ②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面； ③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交； ④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是 ．(填序号) 【例1-4】下列命题中错误的是________． ①过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径； ②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等； ③圆台所有平行于底面的截面都是圆面； ④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形． 题型二 简单组合体的结构特征 【例2-1】如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？ 【例2-2】如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征． 【例2-3】图①②中的图形折叠后的图形分别是(　　) ①　　　　　　　② A．圆锥、棱柱 B．圆锥、棱锥 C．球、棱锥 D．圆锥、圆柱 【例2-4】如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征． 【例2-5】 (多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是(　　) A.由一个长方体割去一个四棱柱所构成的; B．由一个长方体与两个四棱柱组合而成的; C．由一个长方体挖去一个四棱台所构成的; D．由一个长方体与两个四棱台组合而成的. 题型三 几何体中的计算问题 【例3-1】如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长． 【例3-2】一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2. 求：(1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长. 【例3-3】圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，求这个截面的面积． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $