第19章 勾股定理 专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

勾股定理的逆定理与勾股定理的综合应用、勾股定理的逆定理的实际应用专项训练 勾股定理的逆定理与勾股定理的综合应用、勾股定理的逆定理的实际应用专项训练 考点目录 勾股定理的逆定理与勾股定理的综合应用 勾股定理的逆定理的实际应用 考点一 勾股定理的逆定理与勾股定理的综合应用 例1．（25-26八年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，四边形，、、，连接，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过点作交延长线于． ∴， 由(1)知，又知， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 例2．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）如图，四边形中，，． (1)求的度数; (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)33 【详解】（1）解：连接. ∵在中， ∴. ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． （2） ． 例3．（25-26八年级下·河南周口·月考）如图，已知中，，D是上的一点，，，．求的长． 【答案】5 【详解】解：∵，，． ∴，， ∴， ∴， 在中，， 又， ∴， 解得． 例4．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）如图，在四边形中，，求四边形的面积． 【答案】114 【详解】解：∵在中，， ∴； 在中，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ ． 变式1．（24-25八年级下·四川广安·月考）如图所示，某中学有一块四边形的空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．． (1)求出空地的面积． (2)若每种植1平方米草皮需要400元，问总共需投入多少元？ 【答案】(1) (2)总共需投入元 【详解】（1）解：如图所示，连接， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ （2）解：元， ∴总共需投入元． 变式2．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分作为草坪，已知，，．根据规划要求，．，求阴影部分的面积． 【答案】 【详解】解：在直角中，， ∴， ∵， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， ∴． 变式3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，D为边上一点，且，． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)84 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴. （2）解：∵， ，， ∴， ∴， ∴的面积为：． 变式4．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：在中，，，，由勾股定理 的长为； （2）解：在中， ，， ， 又， ， 是直角三角形． ． 考点二 勾股定理的逆定理的实际应用 例1．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． (1)请问“远方”号沿哪个方向航行？ (2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 【答案】(1)“远方”号沿东南方向航行 (2)25海里 【详解】（1）解：由题知，海里，海里，，， ， ， 是直角三角形，且， ， 即“远方”号沿东南方向航行． （2）解：根据题意得：海里，海里， 在中，， ∴海里， 即此时“前行”号与“远方”号的距离是25海里． 例2．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，一工厂位于点处，河边原有两个取水点，，其中，由于从工厂到取水点的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点（点，，在一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)请判断是否为从工厂到河边最近的一条路（即与是否垂直）？并说明理由． (2)求的长． 【答案】(1)是从工厂到河边最近的一条路，理由见解析； (2)的长为千米． 【详解】（1）解：是从工厂到河边最近的一条路，理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴与垂直， 即是从工厂到河边最近的一条路； （2）解：设的长为千米，则千米， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：的长为千米． 例3．（25-26八年级下·湖南长沙·开学考试）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)24 (3)1.2 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，即， ， ， ，即； （2）解：，，， 有勾股定理得，， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 变式1．（25-26八年级下·河南开封·月考）某校教学楼在一条公路旁，经常受路上车辆的噪声污染，如图，有一辆货车沿东西方向由点向点移动，已知点为教学楼，点与直线上两点、的距离分别为和，且，以货车为圆心的周围以内为受影响区域． (1)求证： (2)教学楼会受噪声影响吗？为什么？ (3)若货车的速度为，则货车影响教学楼持续的时间有多长？ 【答案】(1)证明见解析； (2)教学楼会受噪声影响，原因见解析； (3)货车影响教学楼持续的时间为． 【详解】（1）证：依题得：，， ， 即， ； （2）解：作交于点， 中，， ， 以货车为圆心的周围以内为受影响区域，故教学楼会受噪声影响； （3）解：如图，当时，正好影响教学楼， 中，， ， 同理可得， ， 货车的速度为， 货车影响教学楼持续的时间为． 变式2．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断支架与的位置关系，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离．（结果精确到） 【答案】(1),理由见解析 (2)约为． 【详解】（1）解：，理由如下： ，，， ， ， ． 为直角三角形，且． ． （2）解：过点作于点， 在中，，， 由面积相等得： 。 滚轮半径， ∴左边缘D到地面的距离. 答：购物车上篮子的左边缘到地面的距离约为． 变式3．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米． (1)连接，求的长度． (2)已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 【答案】(1)15米 (2)22800元 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故的长为15米． （2）解：∵，，， 且， ∴， ∴四边形面积为：． 购买运动型塑胶地板的总费用为（元）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $勾股定理的逆定理与勾股定理的综合应用、勾股定理的逆定理的实际应用专项训练 勾股定理的逆定理与勾股定理的综合应用、勾股定理的逆定理的实际应用专项训练 考点目录 勾股定理的逆定理与勾股定理的综合应用 勾股定理的逆定理的实际应用 考点一 勾股定理的逆定理与勾股定理的综合应用 例1．（25-26八年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，四边形，、、，连接，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 例2．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）如图，四边形中，，． (1)求的度数; (2)求四边形的面积． 例3．（25-26八年级下·河南周口·月考）如图，已知中，，D是上的一点，，，．求的长． 例4．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）如图，在四边形中，，求四边形的面积． 变式1．（24-25八年级下·四川广安·月考）如图所示，某中学有一块四边形的空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．． (1)求出空地的面积． (2)若每种植1平方米草皮需要400元，问总共需投入多少元？ 变式2．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分作为草坪，已知，，．根据规划要求，．，求阴影部分的面积． 变式3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，D为边上一点，且，． (1)求证：； (2)求的面积． 变式4．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 考点二 勾股逆定理的实际应用 例1．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． (1)请问“远方”号沿哪个方向航行？ (2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 例2．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，一工厂位于点处，河边原有两个取水点，，其中，由于从工厂到取水点的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点（点，，在一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)请判断是否为从工厂到河边最近的一条路（即与是否垂直）？并说明理由． (2)求的长． 例3．（25-26八年级下·湖南长沙·开学考试）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 变式1．（25-26八年级下·河南开封·月考）某校教学楼在一条公路旁，经常受路上车辆的噪声污染，如图，有一辆货车沿东西方向由点向点移动，已知点为教学楼，点与直线上两点、的距离分别为和，且，以货车为圆心的周围以内为受影响区域． (1)求证： (2)教学楼会受噪声影响吗？为什么？ (3)若货车的速度为，则货车影响教学楼持续的时间有多长？ 变式2．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断支架与的位置关系，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离．（结果精确到） 变式3．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米． (1)连接，求的长度． (2)已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 2 学科网（北京）股份有限公司 $