6.4.3.3 余弦、正弦定理的应用举例课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

回顾： 1.余弦定理 2.正弦定理 3.三角形面积公式 关于已知两边(a,b)和其中一边的对角(A),解三角形的讨论(解的个数): Ⅰ.当A为锐角时: a A C b a>b,B只能为锐角，一解. a<bsinA时,sinB>1,B无解; a=bsinA时,sinB=1,B一解; bsinA<a<b,sinB<1,B两解; a≥b时,B只能为锐角，一解; B a B a a B B Ⅱ.当A为直角或钝角时: a≤b时,A≤B， 无解; 总结: (1) 所求角为小边对角，必为一解 (2) 所求角为大边对角，已知角必须锐角， 解的个数算了再说. SSA型 注：三角形中，大边对大角 在中， ①若cosA=cosB，则A=B ②若sinA=sinB，则A=B ③若cos2A=cos2B，则2A=2B,即A=B ④若sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B= ，即A=B或A+B= 利用正、余弦定理解三角形的注意点 正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．　 6.4.3.3 余弦、正弦定理的应用举例 在生活中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题. 解决这类问题，需要借助经纬仪以及卷尺等测量角度和距离的工具来进行测量. 具体测量时，我们常常遇到类似“不能到达”的困难，这就需要我们设计恰当的测量方案.下面我们通过几道例题来说明这种情况. 需要思考的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他的条件. 事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一种测量方案，而且是情境与条件限制下的恰当方案. 常识概念： 基线 【定义】在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线。 仰角 【定义】在同一铅垂平面内，视线在水 平线上方时与水平线所夹的锐角或直角 俯角 【定义】在同一铅垂平面内，视线在水 平线下方时与水平线所夹的锐角或直角 视角 【定义】观察者的两条视线之间的夹角叫做视角 方向角 【定义】从正北或正南方向到目标 方向所形成的小于九十度 的角。 【图示】 方位角 【定义】从某点的指北方向线起依 顺时针方向到目标方向线 之间的水平夹角。 【图示】 坡角与坡度 【定义】坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度，如图所示，为坡角，坡比 【图示】 水平面 坡面 例1.两点位于河岸两侧，假若你在A处，（B处不可到达）请设计一种测量两点间距离的方法，并求出两点间的距离. 距离问题 A b 例2.如图，两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量 两点间距离的方法，并求出间的距离. 书P49 例9 解：如图，在两点的对岸选定两点， 测得，并且在两点分别测得 ，，，. 在和中，由正弦定理，得 于是，在中，由余弦定理可得两点间的距离 例2.如图，两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量 两点间距离的方法，并求出间的距离. a 书P49 例9 思考：在上述测量方案下，还有其他计算A，B两点间距离的方法吗？ 【分析】先求的长度，进而在三角形中， 求间的距离 【结论】在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决 问题的方案，但有些过程较繁复如何找到最优的方法，最 主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最 佳的计算方式 (1)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题 一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理去解决. (2)测量两个不可到达的点之间的距离问题 一般先把求距离问题转化为运用余弦定理,求三角形的边长的问题，然后把求未知的边长问题转化为只有一点不能到达的两点之间距离的测量问题，最后运用正弦定理解决. 策略 (1)选定或构造的三角形，要确定及确定在哪一个三角形中求解. (2)当角边对应，且角的条件较多时，一般用正弦定理； 当角的条件较少，且角边不对应时，一般用余弦定理. 注意点 高度问题 例3.如图，是底部不可到达的一座建筑物，为建筑物的最高点. 设计一种测量建筑物高度的方法，并求出建筑物的高度. 书P50 例10 例3.如图，是底部不可到达的一座建筑物，为建筑物的最高点. 设计一种测量建筑物高度的方法，并求出建筑物的高度. 解：如图，选择一条水平基线，使三点在同一条直线上. 在两点用测角仪器测得的仰角分别是，， ，测角仪器的高是. 那么，在中，由正弦定理， 得 所以，这座建筑物的高度为 书P50 例10 例4.是底部不可到达的一座建筑物，为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度的方法，并求出建筑物的高度. 若受限于实际情况，无法选择一条靠近或远离目标的水平基线， 使三点在同一条直线上时，怎么办？ [对点训练] 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，接着沿泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶端的仰角为80°.则李明同学求出泉标的高度为__m．(忽略李明身高，精确到1 m) (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题. (2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路. 技巧总结：测量高度问题的解题策略 角度问题 书P50 例11 解：根据题意，画出示意图.由余弦定理，得 于是，. 由正弦定理，得： 于是， 由于，所以. 因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东， 大约需要航行. 例5.求乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是北偏东多少度(精确到)？需要航行的距离是多少海里(精确到)？ [典例]　某公司想投资建设一个深水港码头，如图，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝60 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝120 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝150 m，则cos∠DEF＝________. 小结： ———————eq \a\vs4\al([题点四])———————————————————————— 正、余弦定理的简单综合 ——————————————————————————————————— [典例]　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝eq \r(3)acos B. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． [解]　(1)∵bsin A＝eq \r(3)acos B，由正弦定理得sin Bsin A＝eq \r(3)sin Acos B，在△ABC中，sin A≠0， 即得tan B＝eq \r(3)，∴B＝eq \f(π,3). (2)∵sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 即9＝a2＋4a2－2a·2acos eq \f(π,3)， 解得a＝eq \r(3)，∴c＝2a＝2eq \r(3). eq \a\vs4\al([方法技巧]) [典例]　要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距eq \r(3) km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之间的距离． ———————eq \a\vs4\al([题点一])———————————————————————— 测量距离问题 ——————————————————————————————————— [解]　如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°， ∴AC＝CD＝eq \r(3) km. 在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°. ∴BC＝eq \f(\r(3)sin 75°,sin 60°)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2). 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(eq \r(3))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－2×eq \r(3)×eq \f(\r(6)＋\r(2),2)×cos 75°＝3＋2＋eq \r(3)－eq \r(3)＝5，∴AB＝eq \r(5)(km)，∴A，B之间的距离为eq \r(5) km. ———————eq \a\vs4\al([题点二])———————————————————————— 测量高度问题 ——————————————————————————————————— 解析：如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端． 依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2 m， 则∠ABD＝100°， 故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°. 在△ABD中，根据正弦定理， eq \f(BD,sin 60°)＝eq \f(AB,sin 20°). ∴BD＝eq \f(AB×sin 60°,sin 20°)＝eq \f(15.2×sin 60°,sin 20°)≈38.5(m)． 在Rt△BCD中，CD＝BDsin 80°＝38.5×sin 80°≈38(m)， 即泉城广场上泉标的高约为38 m. 答案：38 ———————eq \a\vs4\al([题点三])———————————————————————— 测量角度问题 ——————————————————————————————————— [解析]　如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，作FH∥AC交BE于H.由题中所给数据得 DF＝eq \r(MF2＋DM2)＝eq \r(302＋1802) ＝10eq \r(333)(m)， DE＝eq \r(DN2＋EN2)＝eq \r(602＋802) ＝100(m)， EF＝eq \r(EH2＋FH2)＝eq \r(502＋1202)＝130(m)． 在△DEF中，由余弦定理的推论，得 cos∠DEF＝eq \f(DE2＋EF2－DF2,2×DE×EF) ＝eq \f(1002＋1302－102×333,2×100×130)＝－eq \f(16,65). [答案]　－eq \f(16,65) $