精品解析：辽宁锦州市某校2025-2026学年高三下学期第二次测试数学试卷

辽宁锦州市某校2025-2026学年高三下学期第二次测试数学试卷 考生请注意：Ⅰ考试时间120分钟.满分150分； Ⅱ只交答题纸，在卷上作答无效. 一、单选题（每小题5分，共40分.） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出复数的代数形式，再计算其模长. 【详解】等式两侧同时乘以可得， 则，即. 因为，且， 所以. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数与幂函数的性质并结合充要条件的定义求解即可. 【详解】构造，由幂函数性质得在上单调递增， 对于充分性，若，则，即 构造，由指数函数性质得在上单调递增， 则，可得充分性成立， 对于必要性，若，可得，即， 此时满足，可得必要性成立， 则“”是“”的充要条件，故C正确. 故选：C 3. 下列函数中，定义域和值域相同的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数的定义域和值域均为，所以选项A正确； 函数的定义域为R，值域为，所以选项B错误； 函数的定义域为，值域为R，所以选项C错误； 函数的定义域为，值域为R，所以选项D错误. 4. 已知随机变量，且， 则当时， 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】根据题意，随机变量，且，则有，解得.由，即， 所以，当且仅当，即时取等号. 5. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图是圆心角为的扇环，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆台的性质求出母线长度，结合勾股定理求出高，再利用体积公式求解即可. 【详解】由题意得圆台的上、下底面半径分别为1和2， 因为圆台的侧面展开图是圆心角为的扇环， 所以圆台的母线长度为， 设圆台的高为，由勾股定理得， 由圆台的体积公式得体积为，故A正确. 故选：A 6. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为，且图象关于直线对称 B. 的图象关于点中心对称，且在区间上单调递增 C. 将的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象关于直线对称 D. 函数在区间上有且仅有个零点，且这两个零点之和为 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式和对称性可判断A选项；利用正弦型函数的对称性和单调性可判断B选项；利用三角函数图象变换求出所得函数的解析式，再利用正弦型函数的对称性可判断C选项；求出函数在区间上的零点，可判断D选项. 【详解】因为， 对于A选项，函数的最小正周期为， 因为， 故函数的图象不关于直线对称，A错； 对于B选项，因为， 所以函数的图象不关于点中心对称， 当时，，故函数在区间上不单调，B错； 对于C选项，将的图象向左平移个单位长度后， 得到函数的图象， 因为，故函数的图象不关于直线对称，C错； 对于D选项，由可得， 当时，，所以或，解得或， 所以函数在区间上有且仅有个零点，且这两个零点之和为，D对. 7. 如图，双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于A，B两点，若成等差数列，且，则此双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用双曲线定义表示出，再由等差数列条件建立边长关系，最后在中用余弦定理列方程，求出与的比例，得到离心率. 【详解】设，则，即. 因为成等差数列，所以 代入得：，解得，则. 所以， 在中， 即 化简可得：. 所以，，，，. 因为，所以， 所以 所以 求得：， 所以. 故选：C. 8. 已知中，，D是边上一点，，，且，则边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由求出，由的值和求出，利用诱导公式求出和，由，利用两角差的正弦公式求出的值，利用正弦定理求出的值，由得到，计算出的值，由是边上一点得到，代入数值得解. 【详解】，， ，， ， ，，， ，， ， ， ， ， ， ，，，， 在中，， ，， ，， ，， ，，， 是边上一点，. 二、多选题（每小题6分，共18分，部分对部分得分，有选错的得0分.） 9. 某车间为了解加工的零件数x（单位：个）与加工时间y（单位：min）的关系，收集到5组观测数据（如下表所示）： 零件数x/个 10 20 30 40 50 加工时间y/min 67 74 80 86 93 假设加工时间与加工的零件数满足的经验回归方程为，则（ ） A. B. 当时，的预测值为102 C. 加工时间的5个观测数据的分位数为80 D. 当加工的零件数时，加工时间的残差为0.2 【答案】AD 【解析】 【分析】先求出，根据经验回归直线必过点可求得，即可判断A；得到经验回归方程为，进而结合预测值与残差的定义求解判断BD；根据百分位数的定义求解判断C. 【详解】由题意，， ， 因为经验回归直线必过点，即点， 则，解得，即，故A正确； 当时，，故B错误； 将加工时间的5个观测数据从小到大排列为：， 由于，则分位数为，故C错误； 当时，， 则残差为，故D正确. 故选：AD 10. 如图，抛物线：（），绕其顶点按逆时针方向分别旋转90°，180°，270°得到抛物线，，，四条抛物线围成的图案如图中阴影区域，A，B分别是第一、四象限的交点.若抛物线的焦点为，则下列说法正确的有（ ） A. 抛物线的方程为 B. 阴影区域的面积为64 C. D. 图案上任意两点距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据焦点坐标求得，然后按逆时针方向旋转90°可知抛物线开口向上得到方程判断A；由图案的对称性，并联立方程，求得同时求得另两个交点坐标，然后分别计算，以及正方形面积，最后判断即可. 【详解】对于选项A，由题意，抛物线开口向右，顶点为坐标原点O.因为抛物线的焦点为，所以，解得，所以抛物线的方程为. 因为抛物线绕其顶点按逆时针方向旋转90°得到的抛物线开口向上，所以抛物线开口向上，则其方程为，即，故A正确. 对于选项B，C，D，由题意及抛物线的对称性知，图案关于x轴、y轴、坐标原点、直线、直线均对称. 由解得或，则.由图案的对称性，得，所以. 由图案的对称性可知，另外两个交点分别为，， 连接点A，B，C，D，则四边形ABCD是边长为8的正方形，其面积为，所以阴影部分面积小于64. 因为图案在正方形ABCD内，所以图案上任意两点的距离小于等于.故B错误，C正确，D正确. 故选：ACD 11. 如图，已知点在表面积为的球的球面上，且，平面，点为中点，当二面角的大小为时，则有（ ） A. 异面直线和所成角的大小为 B. 直线与平面所成角的大小为 C. D. 的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设球的半径为，求得，证得平面，得到，得到，进而得到，把异面直线和所成角转化为直线和所成角，可判定A正确；作，证得平面，得到即为直线与平面所成角，可判定B不正确；在直角中，求得，结合二倍角公式，可得判定C正确；结合面积公式，可判定D正确. 【详解】 设球的半径为，因为球的表面积为，可得，可得， 因为和分别为的中点，所以，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 在直角中，可得， 对于A，由，可得异面直线和所成角，即为直线和所成角， 因为，所以异面直线和所成角的大小为，所以A正确； 对于B，过点作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以即为直线与平面所成角， 在直角中，，可得，则， 所以，所以B不正确； 对于C，在直角中，，可得， 所以，则， 所以，所以C正确； 对于D，由的面积为，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，的夹角为，，，若，则_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算及向量垂直的充要条件，列出相应的方程，求解可得. 【详解】因为向量，的夹角为，，， . ， ， 解得． 故答案为：. 13. 正项数列的前项和为，且，，若直线：（，）与圆相切，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用切线定义可得，化简可得为等差数列，再利用等差数列的等距片段和也为等差数列计算即可得解. 【详解】圆的圆心为、半径为， 由题意可得，即， 又为正项数列，故，故为等差数列， 故、、成等差数列，即有， 即，解得. 14. 已知关于的不等式对任意 恒成立，则实数 的取值范围是___________________. 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式转化为恒成立，画出函数与的图像，求出过原点且与函数，分别相切时直线的斜率，根据数形结合可得结果. 【详解】不等式可化为， 令，因为， 令，所以函数在上为增函数， 令，所以函数在上为减函数， 所以当时，即当时，所以， 所以 设为过原点且与相切的直线的斜率，设切点， 则，所以，又，所以，所以， 设为过原点且与相切的直线的斜率，设切点， 则，且，解得或（舍去），所以， 画出函数与的图像，如图： 数形结合可得，，所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点是将原不等式转化为恒成立，根据数形结合，将问题转化为过原点且与函数，分别相切时直线的斜率，从而得结果. 四、解答题（共5题满分77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知是等差数列，，，数列的前项和为，且． （1）求、的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的公差及首项，进而求出通项公式；利用前项和与第n项的关系求出的通项. （2）由（1）的结论求出，再利用错位相减法求和即得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，， 得，解得，因此； 数列中，，当时，， 两式相减得，即，而，解得， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，， 所以、的通项公式分别为，. 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 于是， 将两式相减得： ，则， 所以求数列的前项和. 16. 某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从道备选题中一次性随机抽取题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中题才可提交通过．已知道备选题中考生甲有道题能正确完成，道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． （1）求甲考生正确完成实验操作的题数的分布列，并计算均值； （2）试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成题的概率方面比较两位考生的实验操作能力． 【答案】（1）分布列见解析；期望为 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布直接求解即可得出结果. （2）利用二项分布求出考生乙分布列，比较甲乙操作题数的均值和方差及至少正确完成题的概率即可得出结论. 【小问1详解】 设考生甲正确完成实验操作的题数为， 则的取值范围是． ，，， 所以的分布列为： ． 【小问2详解】 设考生乙正确完成实验操作的题数为，易知， 所以，， ，． 所以的分布列为： ． 则，， ，，． 所以，， 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当； 从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定； 从至少正确完成题的概率方面分析，甲通过的可能性更大． 因此甲的实验操作能力较强． 17. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，，过点且斜率为k的直线，与y轴相交于点E，与椭圆相交于C，D两点． （1）求椭圆的方程； （2）当，求的面积； （3）若，求k的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率和焦距可得方程； （2）写出直线方程，与椭圆方程联立，结合弦长公式可得答案； （3）根据向量关系得出，联立方程，结合韦达定理可得答案. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，，所以，所以，即椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，因，所以直线方程为，即； 联立，可得； 设,则， ， 到直线的距离为. 所以的面积为. 小问3详解】 设，则， 因为，所以，即. 直线方程为，联立，可得； ，解得. 18. 如图， 四棱锥中，底面为矩形，，侧面为正三角形，且平面平面，E为棱PA上一点，，平面BCE交棱PD于点F. （1）求证：； （2）当时，点P关于平面BCE的对称点为Q，求Q点到平面PCD的距离. （3）求直线CD与平面BED所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再根据线面平行的性质求解即可； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量列方程可求得，进而利用点到平面的距离公式求解即可； （3）利用空间向量表示出直线CD与平面BED所成角的正弦值，进而求解即可. 【小问1详解】 在矩形中，， 因为平面，平面，所以平面， 又平面平面，平面， 所以. 【小问2详解】 设的中点为，连接， 因为为正三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点，以所在直线为轴，以过点垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，当时，，设， 则， ， 设平面BCE的一个法向量为， 则，取，得， 因为点P关于平面BCE的对称点为Q， 所以，且点P到平面BCE的距离与点Q到平面BCE的距离相等， 则，且， 即，且， 解得或（舍去），，即，则， 设平面PCD的一个法向量为， 则，取，得， 则Q点到平面PCD的距离为. 【小问3详解】 由（2）知，， 则， 即， 设平面BED的一个法向量为， 则， 取，得， 设直线CD与平面BED所成角为， 则，令， 则， 令，则， 由于函数开口向上，对称轴为， 则时，取得最小值， 则的最大值为，即直线CD与平面BED所成角的正弦值的最大值为. 19. 已知函数，定义域为． （1）时，证明：． （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． （3）求证：（） 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）把代入，等价变形所证不等式，再构造函数并利用导数证明不等式. （2）变形不等式，结合给定条件可得，构造函数，利用导数求解恒成立的范围. （3）利用（1）（2）的结论，结合等比数列前和公式求和即可推理得证. 【小问1详解】 当时，函数，，不等式， 设，求导得，函数在上单调递减， 因此，所以. 【小问2详解】 当时，不等式 令，显然，求导得， 当时，，函数在上单调递增， 因此，符合题意； 当时，记， 抛物线的开口向上，对称轴，又， 当时，，从而， 函数在上单调递减，则当时，，不符合题意. 所以. 【小问3详解】 由（1）知：当时，，令，则， 因此， 由（2）知：令，当时，， 当时，，要证不等式左侧成立， 时， ， 因此， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁锦州市某校2025-2026学年高三下学期第二次测试数学试卷 考生请注意：Ⅰ考试时间120分钟.满分150分； Ⅱ只交答题纸，在卷上作答无效. 一、单选题（每小题5分，共40分.） 1. 已知复数满足，则（ ） A B. C. D. 2. 已知，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数中，定义域和值域相同是（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量，且， 则当时， 的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图是圆心角为的扇环，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为，且图象关于直线对称 B. 的图象关于点中心对称，且在区间上单调递增 C. 将的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象关于直线对称 D. 函数在区间上有且仅有个零点，且这两个零点之和为 7. 如图，双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于A，B两点，若成等差数列，且，则此双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，，D是边上一点，，，且，则边的长为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分，部分对部分得分，有选错的得0分.） 9. 某车间为了解加工零件数x（单位：个）与加工时间y（单位：min）的关系，收集到5组观测数据（如下表所示）： 零件数x/个 10 20 30 40 50 加工时间y/min 67 74 80 86 93 假设加工时间与加工的零件数满足的经验回归方程为，则（ ） A. B. 当时，的预测值为102 C. 加工时间的5个观测数据的分位数为80 D. 当加工的零件数时，加工时间的残差为0.2 10. 如图，抛物线：（），绕其顶点按逆时针方向分别旋转90°，180°，270°得到抛物线，，，四条抛物线围成的图案如图中阴影区域，A，B分别是第一、四象限的交点.若抛物线的焦点为，则下列说法正确的有（ ） A. 抛物线方程为 B. 阴影区域的面积为64 C. D. 图案上任意两点距离的最大值为 11. 如图，已知点在表面积为的球的球面上，且，平面，点为中点，当二面角的大小为时，则有（ ） A. 异面直线和所成角的大小为 B. 直线与平面所成角的大小为 C. D. 的面积为 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，的夹角为，，，若，则_____________． 13. 正项数列的前项和为，且，，若直线：（，）与圆相切，则________. 14. 已知关于的不等式对任意 恒成立，则实数 的取值范围是___________________. 四、解答题（共5题满分77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知是等差数列，，，数列的前项和为，且． （1）求、的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从道备选题中一次性随机抽取题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中题才可提交通过．已知道备选题中考生甲有道题能正确完成，道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． （1）求甲考生正确完成实验操作的题数的分布列，并计算均值； （2）试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成题的概率方面比较两位考生的实验操作能力． 17. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，，过点且斜率为k的直线，与y轴相交于点E，与椭圆相交于C，D两点． （1）求椭圆的方程； （2）当，求的面积； （3）若，求k的值． 18. 如图， 四棱锥中，底面为矩形，，侧面为正三角形，且平面平面，E为棱PA上一点，，平面BCE交棱PD于点F. （1）求证：； （2）当时，点P关于平面BCE的对称点为Q，求Q点到平面PCD的距离. （3）求直线CD与平面BED所成角的正弦值的最大值. 19. 已知函数，定义域为． （1）时，证明：． （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． （3）求证：（） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $