10.4 三元一次方程组解法举例 知识点讲解&同步练习--2025-2026学年人教版数学七年级下册

三元一次方程组解法 一、思考：小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元纸币各多少张？ 解：设1元、2元、5元纸币分别为张．可以得到 观察此方程组与前边所学的二元一次方程组有所不同，那如何解这个方程组？ 仿照前面学过的代入法，可以把③分别代入①②，得到两个只含y，z的二元方程： 4y＋y＋z＝12，4y＋2y＋5z＝22． 把它们组成方程组 即 解此二元一次方程组得出y，z，进而代回原方程组可求x． 二、概念： 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程． 含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组． 注意事项： ①区分未知数的次数与含未知数的项的次数． ②组成三元一次方程组的方程不一定都是三元一次方程． 三、例题精讲 例1　解三元一次方程组 分析：方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y，得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组． 解：②×3＋③，得11x＋10z＝35．④ ①与④组成方程组 解这个方程组，得 把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9， 所以y＝． 因此，这个三元一次方程组的解为 归纳：从分析过程可以看出，解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．这与解二元一次方程组思路是一样的． 例2　在等式中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60．求a，b，c的值． 分析：把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组． 解：根据题意，得三元一次方程组 ②－①，得a＋b＝1； ④ ③－①，得4a＋b＝10． ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把a＝3，b＝－2代入①，得c＝－5． 因此 即a，b，c的值分别为3，－2，－5． 四、练习 1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（　　）． A． B． C． D． 2．解方程组要使运算简便，消元应选（　　）． A．先消x B．先消y C．先消z D．先消常数项 3．解下列三元一次方程组： （1） （2） （3） （4） 五、小结 1．三元一次方程组的要求：①方程组的各个方程都是整式方程，②含有三个未知数，③各方程完整形式为三元一次方程，也可以是二元一次方程，④由三个方程组成． 2．解三元一次方程组的基本思路是逐步消元，最终变成一元一次方程求出其解．消元的方法同样有代入法和加减法，因而在求解时，要注意选择适当方法． 六、作业 1．解下列三元一次方程组： （1） （2） 2．一个三位数，个位、百位上的数的和等于十位上的数，百位上的数的7倍比个位、十位上的数的和大2，且个位、十位、百位上的数的和是14．求这个三位数． 3．在等式中，当x＝1时，y＝－2；当x＝－1时，y＝20；当x＝与x＝时，y的值相等．求a，b，c的值． 七、检测 1．已知，则________． 2．方程组中，＝________，＝________，＝________． 3．下列方程中，是三元一次方程组的是（ ）． A． B． C． D． 4．当x＝1，2，3时，代数式的值分别为2，3，6，则a，b，c的值分别是（ ）． A．1，3，－2 B．3，1，－2 C．－2，3，1 D．1，－2，3 5．在函数中，当时，；当时，；当时，．求a，b，c的值． 6．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值． 答案 练习： 1、 B．2、B． 3、解：（1） ①代入②，并整理得11x＋2z＝23．④ ③与④组成方程组 解这个方程组，得 把x＝2代入①，得y＝2×2－7， 所以y＝－3． 因此，这个三元一次方程组的解为 （2） ①×2－③，得21y＋2z＝3．④ ①×3－②×2，得－12y－5z＝6．⑤ ④与⑤组成方程组 解这个方程组，得 把代入①，得， 所以x＝5． 因此，这个三元一次方程组的解为 （3） ①＋②＋③，并整理得x＋y＋z＝．④ ①－②，得－2x＋y＋z＝－1．⑤ ④－⑤，得 所以 同理可解 因此，这个三元一次方程组的解为 （4） 由①得．④ 由②得．⑤ 把④⑤代入③，得． 所以x＝35． 把x＝35代入①得y＝21． 把x＝35代入②得z＝15． 因此，这个三元一次方程组的解为 作业： 1．（1） （2） 2．解：设这个三位数的个位，十位，百位上的数字分别为x，y，z．根据题意，列方程组得： 解这个方程组得： 所以这个三位数是275． 3．解：根据题意，得三元一次方程组 ②－①，得－2b＝22； 所以b＝－11． 整理③得11a＋6b＝0．④ 把b＝－11代入④得a＝6． 把a＝6，b＝－11代入①，得c＝3． 因此 即a，b，c的值分别为6，－11，3． 检测： 1．． 2．3，9，15． 3．B． 4．D． 5．依题意得解之得 6．解：由题意得三元一次方程组 化简得 ①＋②－③得 ，． ④ ②×2－①×3得 ，． ⑤ 由④⑤得 ，． 所以 ． 学科网（北京）股份有限公司 $