专题01 四边形的性质与判定（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材青岛版

专题01 四边形的性质与判定 题型1 四边形的不稳定性 题型7 正方形形的相关求解 题型2 平行四边形相关求解 题型8 折叠问题（难点） 题型3 中位线（重点） 题型9最值问题（难点） 题型4 矩形的相关求解 题型10综合性问题（难点） 题型5 直角三角形斜边上的中线（常考点） 题型11 动点问题 题型6 菱形的相关求解 题型12 中点四边形 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 四边形的不稳定性（共5小题） 1．(24-25八下·山东聊城东昌府区·期中)下列图形中，不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 2．(23-24八下·山东聊城·月考)下列图形中不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25八下·山东青岛崂山区崂山区实验初级中学·月考)下列由几根木条用钉子钉成如下图形，其中不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 4．(2024·山东省青岛市市·一模)学校、工厂、企业等单位的大门都是收缩性大门，这种门的门体可以伸缩自由移动，以此来控制门的大小．这种方法应用的数学知识是（    ）    A．三角形的稳定形 B．四边形的不稳定性 C．勾股定理 D．黄金分割 5．(24-25八下·山东临沂蒙阴县高都镇中心学校·月考)下列图形不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 题型二 平行四边形相关求解（共5小题） 6．(24-25八下·山东淄博张店区第八中学·月考)如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，垂足为E， ，，，则的长为（　　） A．4.8 B． C． D． 7．(22-23八下·山东青岛即墨区·期末)如图，平行四边形中，对角线、相交于，过点作交于点，若，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 8．(24-25八下·山东威海文登区·期中)如图所示，在平行四边形中，对角线，相交于点，，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．(24-25八上·山东淄博张店区·期末)如图，在中，的平分线交边于点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．(24-25八上·山东烟台开发区·期末)如图，在中，垂直平分于点E， ，，则的对角线的长为（    ） A．5 B．10 C． D． 题型三 中位线（共5小题） 11．(2024·山东省潍坊安丘市·一模)如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于（    ） A．7 B．6.5 C．6 D．5.5 12．(24-25八下·山东聊城阳谷县四校·期中)如图，四边形中，点E、F、G、H分别是线段、、、的中点，则四边形的周长（ ） A．只与、的长有关 B．只与、的长有关 C．只与、的长有关 D．与四边形各边的长都有关 13．(23-24八下·山东聊城东昌府区·期中)如图，在中，对角线交于点，点是的中点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 14．(24-25九·山东日照新营中学·月考)如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（   ）    A． B．3 C． D．4 15．(2025·山东青岛即墨区·二模)如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 题型四 矩形的相关求解（共5小题） 16．(2024山东省青岛市局属三校中考二模)如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（ ） A．2 B． C．3 D． 17．(23-24八下·山东聊城·期中)如图，在矩形中，，垂直平分于点E，则的长为（　　）    A． B． C．4 D．2 18．(2025山东省济南市·模拟)如图，在矩形中，点E，F分别是边的中点，连接，点G，H分别是的中点，连接，若，则的长度为（    ） A． B． C． D．2 19．(2024·山东省青岛市·一模)如图，在矩形中，E，F分别在边和边上，于点G，且G为的中点．若，则的长为（　　）    A．4 B． C． D． 20．(23-24八下·山东聊城东昌府区·期中)如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（    ）    A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 题型五 直角三角形斜边上的中线（共5小题） 21．(2025·山东省济宁市·预测)如图，矩形中，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 22．(2025·山东省临沂市·二模)如图，在正方形中，点M，N为，上的点，且，与交于点P，连接，点Q为中点，连接，若，，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 23．(2025九·山东省临沂市·二模)如图，菱形的对角线与相交于点O，E为边的中点，连结．若，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 24．（2025山东省临沂市兰山区九年级数学中考一模）如图在中，，平分，为中点，为上一点，将沿折叠，使点落到点处，连接．当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 25．(23-24八下·山东聊城·期中)如图，在菱形中，对角线、交于点O，点G是的中点，若，，则菱形的面积是（　　） A．48 B．36 C．24 D．18 题型六 菱形的相关求解（共5小题） 26．(24-25八·山东日照北京路中学·期中)如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（    ） A．80 B．160 C．40 D． 27．(2024·山东泰安肥城·二模)如图，菱形中，点是中点，连接、，若，，则该菱形的面积是（    ）    A． B． C． D． 28．(2025·山东烟台蓬莱区·二模)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　）    A．4 B．4 C．8 D．8 29．(23-24八下·山东日照北京路中学·期中)如图，菱形的边长为6，对角线AC，BD交于点O，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，当取得最小值时，菱形两条对角线的和为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 30．(2024·山东省济南市·二模)如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型七 正方形的相关求解（共5小题） 31．(2025·山东省青岛市·三模)如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．若，，则的长是（  ） A．3 B．12 C．10 D．5 32．（2025年山东省济南天桥区九年级二模）如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作的垂线交对角线于点，垂足为，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 33．(2025·山东青岛即墨区·二模)如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边，，上，且．当时，的最小值为（   ） A． B． C． D． 34．(24-25八下·山东临沂蒙阴县高都镇中心学校·期中)如图，在边长为的正方形中，分别是边的中点，连接，分别是的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D．2 35．(23-24八下·山东济宁金乡县·期中)如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为（  ） A． B．4 C． D． 题型八 折叠问题（共5小题） 36．(2025·山东省滨州市·二模)如图，将一张矩形纸片沿折叠，顶点A刚好落在边上的点处，若的长度为，的长度为，则折痕的长度为（     ）． A． B． C．12 D．5 37．(2025·山东省淄博市·一模)如图1，在矩形中，，，点，分别在，上，将矩形沿直线折叠．使点落在边上的处，点落在处，连接，若，如图2，若为中点，连接．则的长为（   ） A．8 B． C． D．10 38．(24-25八下·山东烟台蓬莱区·期中)如图，在矩形中，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 39．(24-25八下·山东济宁金乡县·期中)如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点处，若，则________°． 40．(2025·山东潍坊·一模)如图，有一张长方形纸片，其中边的长为2，将长方形沿对角线对折，折叠后得到，点C的对应点为E，与交于点F，再将沿对折，使点E落在长方形纸片的内部点G处，若平分，则的长为______． 题型九 最值问题（共5小题） 41．(24-25八下·山东泰安肥城·期末)如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 42(24-25八下·山东临沂河东区·期中)如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 43．(2024·山东省济宁市·二模)如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是_________________ ． 44．(2024·山东省滨州市·二模)如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是______． 45．(24-25八下·山东潍坊坊子区·期中)如图，在中，，点P是边上的动点，连接，E是的中点，F是的中点，则的最小值是______． 题型十 综合性问题（共5小题） 46．(2025·山东省临沂市·二模)如图，正方形的边长为2，对角线、交于点O，E为上任意一点，射线绕点O逆时针旋转后交于点F，连接，则以下结论：①；②；③的最小值为；④，正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 47．(24-25八下·山东济宁兖州区兖州区东方中学·期中)如图，在菱形中，，E是边上一动点（不与A、B重合），且，点F在边上．下列结论：①；②；③是等边三角形；④的周长与点E的位置无关．其中正确的结论有（   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 48．(24-25八下·山东临沂河东区·期中)如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接交于点，过点A作于点，连接．若，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④；⑤正确的有（　　） A．①③④ B．①③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④⑤ 49．(24-25八下·山东东营中国石油大学（华东）附属中学·期中)如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、交于点，下列结论：①；②；③；④中正确的有（   ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 50．(24-25八下·山东济南莱芜区·期中)如图，在菱形中，，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十一 动点问题（共5小题） 51．（2025·威海·一模）如图，在四边形 中， ，，，动点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时动点M从点B出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），对于结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④点P，M在运动中会存在一个时刻，使得，正确的是（    ） A．①② B．③④ C．②④ D．③ 52．(23-24八下·山东烟台蓬莱区·期中)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形ABMP为矩形 B．当时，四边形CDPM为平行四边形 C．当时， D．当时，或6s 53．(23-24八下·山东济南平阴县实验中学·期中)如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形 54．(2025九·4月山东省济宁市·一模)如图，已知P是线段上的动点（P不与点A，B重合），，分别以为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为G；连接，当动点P从点A运动到点B时，则的最小值是_________． 55．(2025·山东青岛即墨区·一模)如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，则经过___________秒时，四边形是矩形． 题型十二 中点四边形（共5小题） 56．(24-25八下·山东泰安肥城·期中)若顺次连接某四边形的各边中点得到一个平行四边形，那么这个四边形一定是（     ） A．平行四边形 B．矩形 C．对角线相等的四边形 D．任意四边形 57．(24-25八下·山东济南莱芜区·期中)顺次连接四边形各边的中点E、F、G、H，若得到的四边形是菱形，则四边形一定满足（   ） A． B． C． D． 58．(24-25八下·山东临沂郯城县·期中)如图，点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点，连接，．则下列说法： ①与互相平分； ②若，则四边形为矩形； ③若，则四边形为菱形． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 59．(24-25八下·山东潍坊·期末)如图，，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 60．(24-25八下·山东菏泽巨野县·期中)我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为和的菱形，它的中点四边形的对角线长是___________． $专题01 四边形的性质与判定 题型1 四边形的不稳定性 题型7 正方形形的相关求解 题型2 平行四边形相关求解 题型8 折叠问题（难点） 题型3 中位线（重点） 题型9最值问题（难点） 题型4 矩形的相关求解 题型10综合性问题（难点） 题型5 直角三角形斜边上的中线（常考点） 题型11 动点问题 题型6 菱形的相关求解 题型12 中点四边形 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 四边形的不稳定性（共5小题） 1．(24-25八下·山东聊城东昌府区·期中)下列图形中，不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性， 所以选项A，B，D中的图形都是有若干个三角形构成，具有稳定性，不符合题意； 选项C中的图形是由一个四边形和一个三角形构成，四边形不具有稳定性，符合题意． 故答案为：C． 2．(23-24八下·山东聊城·月考)下列图形中不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、该图形包含未被三角形完全分割的四边形结构，不具有稳定性，此选项符合题意； B、图形由多个三角形组成，三角形具有稳定性，此选项不符合题意； C、四边形被对角线分隔为两个三角形，三角形具有稳定性，此选项不符合题意； D、图形是三角形，三角形具有稳定性，此选项不符合题意． 故选：A． 3．(24-25八下·山东青岛崂山区崂山区实验初级中学·月考)下列由几根木条用钉子钉成如下图形，其中不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项C中含有四边形，不具有稳定性， 而选项A、B、D含有三角形具有稳定性， 故C符合题意； 故选：C． 4．(2024·山东省青岛市市·一模)学校、工厂、企业等单位的大门都是收缩性大门，这种门的门体可以伸缩自由移动，以此来控制门的大小．这种方法应用的数学知识是（    ）    A．三角形的稳定形 B．四边形的不稳定性 C．勾股定理 D．黄金分割 【答案】B 【详解】由题意可知收缩大门可以伸缩自由移动，这是根据四边形的不稳定性． 故选：B 【点睛】本题考查四边形的不稳定性，抓住题意的关键词从而解决问题． 5．(24-25八下·山东临沂蒙阴县高都镇中心学校·月考)下列图形不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A． 三角形具有稳定性，不符合题意； B． 四边形分割成两个三角形，具有稳定性，不符合题意； C． 五边形分割成三个三角形，具有稳定性，不符合题意； D． 六边形分割成两个三角形和一个四边形，四边形不具备稳定性，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的稳定性．熟练掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 题型二 平行四边形相关求解（共5小题） 6．(24-25八下·山东淄博张店区第八中学·月考)如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，垂足为E， ，，，则的长为（　　） A．4.8 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴ 解得． 故选：C． 7．(22-23八下·山东青岛即墨区·期末)如图，平行四边形中，对角线、相交于，过点作交于点，若，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【来源】山东省青岛市即墨区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明是直角三角形是解题的关键．连接，根据已知条件证明是直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，   平行四边形中，， 垂直平分， ，，， ，， ，， ， 是直角三角形，是等腰直角三角形， ． 故选B． 8．(24-25八下·山东威海文登区·期中)如图所示，在平行四边形中，对角线，相交于点，，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 9．(24-25八上·山东淄博张店区·期末)如图，在中，的平分线交边于点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】山东省淄博市张店区2024-2025学年八年级上学期数学统考期末试卷 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，主要运用了平行四边形的两个性质：①边：平行四边形的对边平行．②角：平行四边形的对角相等．由平行四边形的性质得，，则，再由角平分线定义得，即可得出结论． 【详解】解：在中，， ． 平分交于点， ． 又四边形是平行四边形， ． 故选：C． 10．(24-25八上·山东烟台开发区·期末)如图，在中，垂直平分于点E， ，，则的对角线的长为（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【来源】山东省烟台市开发区2024-2025学年上学期期末八年级数学检测题 【分析】连接交于点F，根据平行四边形和线段垂直平分线的性质可以推出，即可推出，先利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接交于点F． ∵垂直平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得，， ∴， 故选D． 题型三 中位线（共5小题） 11．(2024·山东省潍坊安丘市·一模)如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于（    ） A．7 B．6.5 C．6 D．5.5 【答案】A 【来源】 2024年山东省潍坊安丘市中考一模数学试题 【分析】此题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键． 延长交于点F，通过证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理得出，即可得出结果． 【详解】解：延长交于点F， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵D是中点， ∴， ∴是的中位线， ∴ ∴， 故选：A． 12．(24-25八下·山东聊城阳谷县四校·期中)如图，四边形中，点E、F、G、H分别是线段、、、的中点，则四边形的周长（ ） A．只与、的长有关 B．只与、的长有关 C．只与、的长有关 D．与四边形各边的长都有关 【答案】B 【详解】解：点E、F、G、H分别是线段、、、的中点， ，，，， 四边形EGFH的周长， 故选∶B． 13．(23-24八下·山东聊城东昌府区·期中)如图，在中，对角线交于点，点是的中点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴为的中位线， ∴， 故选B． 14．(24-25九·山东日照新营中学·月考)如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（   ）    A． B．3 C． D．4 【答案】D 【详解】接：连接交于O，    ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：D． 15．(2025·山东青岛即墨区·二模)如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点是对角线的中点，点、分别是、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ， ， ， 故选：D． 题型四 矩形的相关求解（共5小题） 16．(2024山东省青岛市局属三校中考二模)如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【来源】2024山东省青岛市局属三校中考二模数学试题 【分析】本题考查矩形的性质和线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握矩形的性质和线段垂直平分线的性质．结合题意，由矩形的性质和线段垂直平分线的性质可得，根据勾股定理可求的长． 【详解】解：四边形是矩形 ，， 又垂直平分于点， ． 故选：B． 17．(23-24八下·山东聊城·期中)如图，在矩形中，，垂直平分于点E，则的长为（　　）    A． B． C．4 D．2 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 18．(2025山东省济南市·模拟)如图，在矩形中，点E，F分别是边的中点，连接，点G，H分别是的中点，连接，若，则的长度为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：连接并延长交于，连接， 四边形是矩形， ，， ，分别是边，的中点，，， ，， ， 在与中， ， ，， ， ， 点是的中点，是的中点， ， 故选：C． 19．(2024·山东省青岛市·一模)如图，在矩形中，E，F分别在边和边上，于点G，且G为的中点．若，则的长为（　　）    A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，   四边形是矩形， ， 且为的中点， ，， 在中， ， 在中， ． 在中． 故选：C． 20．(23-24八下·山东聊城东昌府区·期中)如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（    ）    A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【详解】解：∵矩形中， ∴， ∵F为的中点，， ∴， 在中，， 故选：C. 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键. 题型五 直角三角形斜边上的中线（共5小题） 21．(2025·山东省济宁市·预测)如图，矩形中，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【来源】2025年山东省济宁市任城区济宁学院附属中学中考预测数学试题 【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，先利用直角三角形斜边中线的性质得到，作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长；勾股定理求出，减去即可得到答案，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴ ，点G为的中点， ∴， 作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长； ，， ， ∴， ∴； ∴的最小值为4； 故选：B． 22．(2025·山东省临沂市·二模)如图，在正方形中，点M，N为，上的点，且，与交于点P，连接，点Q为中点，连接，若，，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【来源】2025年山东省临沂市河东区中考二模数学试题 【分析】本题主要考查勾股定理、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得，，然后可证，则有，进而根据勾股定理及直角三角形斜边中线定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点Q为中点， ∴； 故选：C． 23．(2025九·山东省临沂市·二模)如图，菱形的对角线与相交于点O，E为边的中点，连结．若，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【来源】2025年山东省临沂市平邑县九年级数学中考二模2试卷 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理．由菱形的性质得到，，由勾股定理求出的长，由直角三角形斜边中线的性质，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， E为边的中点， ， 故选：D． 24．（2025山东省临沂市兰山区九年级数学中考一模）如图在中，，平分，为中点，为上一点，将沿折叠，使点落到点处，连接．当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如下图所示，连接， 在中，， ， 平分， ， 又， ， ， 在中，， 根据折叠的性质可知，， ， 为中点， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、折叠的性质、直角三角形的性质，解决本题的关键是作辅助线构造等边三角形，利用图形的性质找角之间的关系． 25．(23-24八下·山东聊城·期中)如图，在菱形中，对角线、交于点O，点G是的中点，若，，则菱形的面积是（　　） A．48 B．36 C．24 D．18 【答案】C 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积是． 故选：C． 题型六 菱形的相关求解（共5小题） 26．(24-25八·山东日照北京路中学·期中)如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（    ） A．80 B．160 C．40 D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ， 菱形的面积， 故选：A． 27．(2024·山东泰安肥城·二模)如图，菱形中，点是中点，连接、，若，，则该菱形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， 四边形是菱形， ，， ， 点是中点， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：或（舍）， ，， 由勾股定理得：， 菱形的面积， 故选B． 28．(2025·山东烟台蓬莱区·二模)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　）    A．4 B．4 C．8 D．8 【答案】C 【详解】∵DH⊥AB， ∴∠BHD＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OC＝OA＝，AC⊥BD， ∴OH＝OB＝OD＝（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）， ∴OD＝4，BD＝8， 由得， ＝32， ∴AC＝8， ∴OC＝＝4， ∴CD＝＝8， 故答案为：C． 29．(23-24八下·山东日照北京路中学·期中)如图，菱形的边长为6，对角线AC，BD交于点O，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，当取得最小值时，菱形两条对角线的和为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵于点，于点， ∴四边形是矩形， 连接，则，当时，的值最小， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴(负值已舍)， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴菱形两条对角线的和为， 故选：C． 30．(2024·山东省济南市·二模)如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴， ∴， ∵是线段的中点，， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ， 故选： D． 题型七 正方形的相关求解（共5小题） 31．(2025·山东省青岛市·三模)如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．若，，则的长是（  ） A．3 B．12 C．10 D．5 【答案】A 【来源】2025年山东省青岛市李沧区青岛志远中学中考三模数学试卷 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 连接，证明，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】∵正方形中，E是边上一点，将沿翻折至， ∴， 连接，    ∵， ∴， ∴ 设， 则， ∴， 解得， 故选：A． 32．（2025年山东省济南天桥区九年级二模）如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作的垂线交对角线于点，垂足为，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】2025年山东省济南天桥区九年级二模数学试题 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，由正方形的性质可得，，由勾股定理可得，从而得出，证明，得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 33．(2025·山东青岛即墨区·二模)如图，正方形的边长为3，点E，F，G分别在边，，上，且．当时，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，过点G作，过点F作，过点G作，设与交于点N ∵正方形的边长为3， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴， ∴四边形是矩形 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴当点A，G，H三点共线时，取值最小值，即的长度 ∵ ∴ ∴． 故选：C． 34．(24-25八下·山东临沂蒙阴县高都镇中心学校·期中)如图，在边长为的正方形中，分别是边的中点，连接，分别是的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接， ∵ 四边形 是正方形， ，，， ∵ ， 分别是边， 的中点， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ∵ 点 ， 分别是， 的中点， ， 故选：D． 35．(23-24八下·山东济宁金乡县·期中)如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为（  ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【详解】解：作交于I， 边长为3的正方形，等腰三角形，．F为的中点， ．，， ， ，， H是的中点， ， ，，， ． 故选：C 题型八 折叠问题（共5小题） 36．(2025·山东省滨州市·二模)如图，将一张矩形纸片沿折叠，顶点A刚好落在边上的点处，若的长度为，的长度为，则折痕的长度为（     ）． A． B． C．12 D．5 【答案】A 【详解】解：∵由翻折而成， ∴， ∴，，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：，即， ∴，即， 在中，由勾股定理可得， 故选：A． 37．(2025·山东省淄博市·一模)如图1，在矩形中，，，点，分别在，上，将矩形沿直线折叠．使点落在边上的处，点落在处，连接，若，如图2，若为中点，连接．则的长为（   ） A．8 B． C． D．10 【答案】B 【来源】2025年山东省淄博市高新区中考一模数学试题 【分析】过点B作于点H，由折叠性质以及矩形性质可得，证明，得到，，利用勾股定理即可求解． 【详解】如图，过点B作于点H， 由矩形折叠可知，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ∵若为中点， ∴ ， ． 故选B． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 38．(24-25八下·山东烟台蓬莱区·期中)如图，在矩形中，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接交于点， ， ∵，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点B落在矩形内点F处， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 39．(24-25八下·山东济宁金乡县·期中)如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点处，若，则________°． 【答案】111 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 由折叠的性质得： ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 40．(2025·山东潍坊·一模)如图，有一张长方形纸片，其中边的长为2，将长方形沿对角线对折，折叠后得到，点C的对应点为E，与交于点F，再将沿对折，使点E落在长方形纸片的内部点G处，若平分，则的长为______． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得到：，，，，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 题型九 最值问题（共5小题） 41．(24-25八下·山东泰安肥城·期末)如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当时，的值最小， 此时， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 42(24-25八下·山东临沂河东区·期中)如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示， 连接交于O，以，为邻边作平行四边形， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 即的最小值是 故答案为：D． 43．(2024·山东省济宁市·二模)如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是_________________ ． 【答案】 【详解】解：如图所示：∵是定值，长度取最小值时，即在上时， 过点M作于点F， ∵在边长为2的菱形中，，M为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 44．(2024·山东省滨州市·二模)如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是______． 【答案】/ 【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当点四点共线且时，取得最小值， ∵四边形是正方形，边长为，绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为： ． 45．(24-25八下·山东潍坊坊子区·期中)如图，在中，，点P是边上的动点，连接，E是的中点，F是的中点，则的最小值是______． 【答案】 【详解】解：如图，过点A作于N， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E、F分别为的中点， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴当点P与点N重合时，的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 题型十 综合性问题（共5小题） 46．(2025·山东省临沂市·二模)如图，正方形的边长为2，对角线、交于点O，E为上任意一点，射线绕点O逆时针旋转后交于点F，连接，则以下结论：①；②；③的最小值为；④，正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【来源】2025年山东省临沂市郯城县中考二模数学试题 【分析】先根据正方形的性质得，，，证明是等腰直角三角形，结合射线绕点O逆时针旋转后交于点F，得是等腰直角三角形，再证明，故在中，，即，结合垂线段最短，得当时，此时有最小值，，，当与或重合时，此时有最大值，即，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 即是等腰直角三角形， ∵射线绕点O逆时针旋转后交于点F， ∴， ∵ ∴， ∴， 在和中 ∴， 故①是符合题意的； ∵， ∴， ∵， 则， 即， ∵ ∴在中，， 即， 故②是符合题意的； ∵是等腰直角三角形， ∴， 当时，此时有最小值， ∵是等腰直角三角形， 则， ∴ 即的最小值为； 故③是符合题意的； ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵当时，此时有最小值，即， ∴对应的的最小值为， 当与或重合时，此时有最大值， 即， ∴对应的的最大值为， ∴， 故④是符合题意的； 故选：D． 47．(24-25八下·山东济宁兖州区兖州区东方中学·期中)如图，在菱形中，，E是边上一动点（不与A、B重合），且，点F在边上．下列结论：①；②；③是等边三角形；④的周长与点E的位置无关．其中正确的结论有（   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【详解】解：连接，如图： ∵四边形是菱形， ， ∵， ∴， 同理：， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ∴， ∴，故①符合题意； 又∵， ∴是等边三角形，故③符合题意； ∴， ∴， ，故②符合题意； ∵， ∴的周长， ∵是等边三角形， ∴， ∵点不同位置时，的长发生变化，即的长也发生变化， ∴的周长也发生变化， ∴的周长与点E的位置有关，故④不符合题意， 综上所述，符合题意的是①②③， 故选：C． 48．(24-25八下·山东临沂河东区·期中)如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接交于点，过点A作于点，连接．若，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④；⑤正确的有（　　） A．①③④ B．①③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】A 【详解】解：①由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，， ，， ∵， ， ， ， ， 四边形是菱形，故①正确； ②四边形是菱形， ，，， ， ，故②错误； ③四边形是菱形， ，故③正确； ④四边形是菱形， ， ， ，故④正确； ⑤四边形是菱形， 是的中点， 在中，是斜边的中线， ，故⑤错误． 故正确的有①③④， 故选：A． 【点睛】本题考查了作图基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 49．(24-25八下·山东东营中国石油大学（华东）附属中学·期中)如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、交于点，下列结论：①；②；③；④中正确的有（   ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【来源】山东省东营市中国石油大学（华东）附属中学2024-2025学年下学期八年级数学期中考试试卷 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，故②正确； 如图，连接， 假设， 由②得：， 垂直平分， ， 在中，， ，与正方形的边长相矛盾， 假设不成立，，故③错误； 由①得：， ， ， ，故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 故选：C． 50．(24-25八下·山东济南莱芜区·期中)如图，在菱形中，，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【来源】山东省济南市莱芜区2024-2025学年下学期期中考试八年级数学试题 【分析】先根据菱形的性质，得出，结合，可得、是等边三角形，从而可得，再根据E，F分别是，的中点，可得，平分，从而可得，，再利用三角形外角的性质求得，由此可判断①； 先利用等腰三角形三线合一，可得，，再利用证明，从而可得，再根据含有直角三角形的性质得出，，从而可得，由此可判断②； 根据中为斜边，中为直角边，而，可得不全等，由此可判断③； 根据等边三角形的面积等于求出，由此可判断④． 【详解】解：①∵四边形是菱形， ， ， ∴、是等边三角形， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，平分， ，， ，故①正确； ②∵E，F分别是，的中点，是等边三角形， ∴，， ∵四边形是菱形， ，， ∴，， 在与中， ， ， ， ∴，， ，故②正确； 中为斜边，中为直角边，而，可得不全等，故③错误； ∵是等边三角形，， ∴，故④错误． 综上可得①②正确，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，，三角形外角的性质等知识点，解题关键是熟悉上述知识点，并 熟练运用求解． 题型十一 动点问题（共5小题） 51．（2025·威海·一模）如图，在四边形 中， ，，，动点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时动点M从点B出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），对于结论：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④点P，M在运动中会存在一个时刻，使得，正确的是（    ） A．①② B．③④ C．②④ D．③ 【答案】D 【来源】2025年山东省威海乳山市中考一模数学试题 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及动点问题，用含t的代数式表示各线段的长度是解题的关键． 根据题意，表示出和的长，当四边形为矩形时，根据，列出方程求解即可；当四边形为平行四边形时，根据，列出方程求解即可；当时，分两种情况：四边形是平行四边形时；四边形是等腰梯形，分别列方程求解即可；根据梯形的面积确定出，列方程即可判断． 【详解】解：根据题意，可得， ， ， 当四边形为矩形时，， 即， 解得：，故①不正确； 当四边形为平行四边形时，则， 即， 解得：，故②不正确； 当时，四边形是平行四边形，； 或四边形是等腰梯形，此时， 过点作于点，过点作于点，如图所示， 则， ， ， ， ， 又， ， 又， 解得：， 综上可得，当时，或，故③正确； ∵， 当时，， 此时，无解， 故，④错误， 故选：D． 52．(23-24八下·山东烟台蓬莱区·期中)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形ABMP为矩形 B．当时，四边形CDPM为平行四边形 C．当时， D．当时，或6s 【答案】D 【详解】解：由题意得PD=t，AP=AD-PD=10-t，BM=t，CM=8-t，∠A=∠B=90°， A、当时，AP=10-t=6 cm，BM=4 cm，AP≠BM，则四边形ABMP不是矩形，该选项不符合题意； B、当时，PD=5 cm，CM=8-5=3 cm，PD≠CM，则四边形CDPM不是平行四边形，该选项不符合题意； 作CE⊥AD于点E，则∠CEA=∠A=∠B=90°， ∴四边形ABCE是矩形， ∴BC=AE=8 cm， ∴DE=2 cm， 当PM=CD，且PM与CD不平行时，作MF⊥AD于点F，CE⊥AD于点E， ∴四边形CEFM是矩形， ∴FM=CE； ∴Rt△PFM≌Rt△DEC（HL）， ∴PF=DE=2，EF=CM=8-t， ∴AP=10-4-(8-t)=10-t， 解得t=6 s； 当PM=CD，且PM∥CD时， ∴四边形CDPM是平行四边形， ∴DP=CM， ∴t=8-t， 解得t=4 s； 综上，当PM=CD时，t=4s或6s；选项C不符合题意；选项D符合题意； 故选：D． 53．(23-24八下·山东济南平阴县实验中学·期中)如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形 【答案】A 【详解】∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵、， ∴ ∵对称， ∴， ∴ ∵对称， ∴， ∴， 同理， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， 如图所示，    当三点重合时，， ∴ 即 ∴四边形是菱形， 如图所示，当分别为的中点时， 设，则，， 在中，， 连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∵为中点， ∴，， ∴， 根据对称性可得， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形是矩形，      当分别与重合时，都是等边三角形，则四边形是菱形    ∴在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形， 故选：A． 54．(2025九·4月山东省济宁市·一模)如图，已知P是线段上的动点（P不与点A，B重合），，分别以为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为G；连接，当动点P从点A运动到点B时，则的最小值是_________． 【答案】 【来源】2025年4月山东省济宁市泗水县中考一模九年级数学试题 【详解】解：如图，分别延长交于点H， ∵，均为等边三角形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分． ∵G为的中点， ∴G正好为中点， 即在P的运动过程中，G始终为的中点， ∴G的运行轨迹为的中位线， ∴，， ∵当P在中点时，， ∴当P在中点时，的值最小，此时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 此时， ∴的最小值为， 故答案为： 55．(2025·山东青岛即墨区·一模)如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，则经过___________秒时，四边形是矩形． 【答案】或 【详解】解：设经过秒时，四边形是矩形， 由题意得：， ∵， ∴点从点运动到点所需时间为秒；当点相遇时，， 解得，此时，点在点相遇， ∵四边形是平行四边形，， ∴． ①如图1，在点相遇前，即， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则需，即， ∴， 解得，符合题设； ②如图2，在点相遇后，即， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则需，即， ∴， 解得，符合题设； 综上，经过或秒时，四边形是矩形， 故答案为：或． 题型十二 中点四边形（共5小题） 56．(24-25八下·山东泰安肥城·期中)若顺次连接某四边形的各边中点得到一个平行四边形，那么这个四边形一定是（     ） A．平行四边形 B．矩形 C．对角线相等的四边形 D．任意四边形 【答案】D 【来源】山东省泰安市肥城市2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷 【分析】本题考查中点四边形，根据中点四边形的性质，无论原四边形的形状如何，顺次连接各边中点得到的四边形一定是平行四边形，进行判断即可． 【详解】解：如图，四边形为，各边中点依次为、、、， ∴是的中位线， 故且； 同理：且； ∴且， ∴四边形为平行四边形， 故选D． 57．(24-25八下·山东济南莱芜区·期中)顺次连接四边形各边的中点E、F、G、H，若得到的四边形是菱形，则四边形一定满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】山东省济南市莱芜区2024-2025学年下学期期中考试八年级数学试题 【分析】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，菱形的判定，解题关键是掌握菱形的判定． 根据菱形的判定，对四个选项逐一分析作出判断． 【详解】解：连接，， ∵点E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，分别是，，的中位线， ∴，，，， ， ∴四边形是平行四边形， 当时，， ∴四边形是菱形， 故选：A． 58．(24-25八下·山东临沂郯城县·期中)如图，点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点，连接，．则下列说法： ①与互相平分； ②若，则四边形为矩形； ③若，则四边形为菱形． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【来源】 山东省临沂市郯城县2024--2025学年 八年级下学期期中数学试题 【分析】根据三角形中位线定理得到，，，结合平行四边形、菱形、矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点， ∴，， ， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分；故①符合题意； 若，则， ∴平行四边形是矩形，故②符合题意； 若，则， ∴平行四边形是菱形，故③符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键． 59．(24-25八下·山东潍坊·期末)如图，，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：分别为的中点， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， A、添加条件，则有，此时为矩形，不符合题意； B、添加条件，此时为平行四边形，不符合题意； C、添加条件，此时为平行四边形，不符合题意； D、添加条件，则有，此时为菱形，符合题意； 故选：D． 60．(24-25八下·山东菏泽巨野县·期中)我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为和的菱形，它的中点四边形的对角线长是___________． 【答案】 【来源】山东省菏泽市巨野县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 由菱形的性质可得对角线互相垂直，用勾股定理可求菱形边长，根据平行四边形的判定和性质，可得中点四边形的对角线长． 【详解】解：如图，点、点、点、点是菱形各边中点，，， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 又∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理可得，， 故答案为：． $