技巧9：抓不变量-2025-2026学年六年级下册数学思维拔尖（人教版）

技巧9抓不变量 重点梳理 在小学数学题中，常常会出现某些量的增减变化，在这些量变化的同时，与它们相关的另外一 些量却没有变化，在分析数量关系时，这些“不变量往往能起到重要的作用。 例：如图所示，一只老鼠从A点出发在长方形的边上沿着A→BC方向逃跑，同时一只猫也 从A点出发，沿着A→D→C→B的方向捕捉老鼠，结果猫在边BC上的E点捉住了老鼠， 已知老鼠的速度是猫的片，CF张9m,求长方形的周长。 E 解析：本题的不变量是长方形的周长，猫和老鼠同时从A点出发，当猫捉住老鼠时， 它们所用的时问相同，因为老鼠的速度是猫的4，所以猫捉住老鼠时， 11 老鼠所行的路程是猫所行路程的 4° 规范解答：猫捉住老鼠时，猫比老鼠多行的路程为9×2=18) 猫行的路程为18÷(14-11)×14-84m) 老鼠行的路程为18÷(14-11)×11661m) 长方形的周长为84+66=150(m) 答：长方形的周长是150m。 对点训练 1.王老师对小李说：“当我像你这么大的时候，你才1岁，当你像我现在这么大的时候，我已 经40岁了。”你能帮小李算出王老师现在的年龄吗？ 答案：(40-1)3=13（岁）1十13×2=27（岁） 答：王老师现在的年龄是27岁。 解析：40岁与1岁的差相当于王老师与小李的年龄差的3倍。 26/50 技巧9抓不变量 2.在含糖率为10%，质量为90g的糖水中，加入多少克水能够得到含糖率为8%的糖水？ 答案：90×10%÷8%-90=22.5(g) 答：加入22.5g水能够得到含糖率为8%的糖水。 3.一辆卡车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，两车在途中距甲地60k处第一次相 遇，然后两车继续前进，卡车到达乙地、摩托车到达甲地后都立即返回，两车又在途中距乙地 30km处第二次相遇，甲、乙两地之间的路程是多少千米？ 答案：60×3-30=150km) 答：甲、乙两地之间的路程是150km。 解析：从开始出发到第二次相遇，两车共行了3个全程，在1个全程里卡车行了60k,在3 个全程里卡车行了60×3=180km),这180km正好是1个全程多30km,由此即可求出全程。 4甲、乙两个车间，甲车间人数是乙车间人数的后，如果从乙车间调1人到甲车间， 那么甲车间人数是乙车间人数的，甲、乙两车间原来各有多少人？ 答案：1÷(，1一，1)=42（人） 1+51+6 乙车间：42*1+2=36人)，甲车间：36×合6人) 答：甲车间原来有6人，乙车间原来有36人。 解析：根据题意可知甲、乙两车间总人数不变，所以可以把总人数看作单位“1”，原来甲车间 人数占总人数的，+6冫从Z乙车间调1人到甲车间后，甲车何人数相当于总人数的一 1+56' 而与的差正好与1人相对应，这样可以求出总人数，进而求出各车间原来的人数。 6 27/50 技巧9抓不变量 5.六年级同学分成两组做游戏，开始时两组人数的比是5：3，游戏结束时甲组有14人被抢 到乙组，这时甲组与乙组人数的比是1：2，甲组原有多少人？ 答案：14+（）×品 5 =30(人) 答：甲组原有30人。 6.六(1)班有54人，其中男生人数是全班人数的。，本学期又转入几名男生， 这时男生人数是全班人数的，本学期转入多少名男生？ 答案：54×(1-)÷(1-月-54=2（名） 答：本学期转入2名男生。 解析：抓住女生人数不变，先求出女生有54×(1-)=24（人）， 转入男生后女生人数占全班人数的(1》， 可以求出转入几名男生后的学生总人数是24÷(1-)=56（人）， 从而求出转入的男生人数是56-54=2（人）。 28/50技巧9抓不变量 重点梳理 在小学数学题中，常常会出现某些量的增减变化，在这些量变化的同时，与它们相关的另外 些量却没有变化，在分析数量关系时，这些“不变量？往往能起到重要的作用。 例：如图所示，一只老鼠从A点出发在长方形的边上沿着A→BC方向逃跑，同时一只猫也 从A点出发，沿着A→D→C→B的方向捕捉老鼠，结果猫在边BC上的E点捉住了老鼠， 已知老鼠的速度是猫的片，CF张9m,求长方形的周长。 对点训嗡 1.王老师对小李说：当我像你这么大的时候，你才1岁，当你像我现在这么大的时候，我已 经40岁了。你能帮小李算出王老师现在的年龄吗？ 2.在含糖率为10%，质量为90g的糖水中，加入多少克水能够得到含糖率为8%的糖水？ 3.一辆卡车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，两车在途中距甲地60k处第一次相 遇，然后两车继续前进，卡车到达乙地、摩托车到达甲地后都立即返回，两车又在途中距乙地 30km处第二次相遇，甲、乙两地之间的路程是多少千米？ 19/36 技巧9抓不变量 4甲、乙两个车间，甲车间人数是乙车间人数的后，如果从乙车问调1人到甲车间， 那么甲车间人数是乙车间人数的，甲、乙两车间原来各有多少人？ 5.六年级同学分成两组做游戏，开始时两组人数的比是5：3，游戏结束时甲组有14人被抢 到乙组，这时甲组与乙组人数的比是1：2，甲组原有多少人？ 6六(1)班有54人，其中男生人数是全班人数的。，本学期又转入几名男生， 这时男生人数是全班人数的，本学期转入多少名男生？ 20/36