精品解析：2026年河南周口市鹿邑县谷阳办事处中心学校九年级中考一模数学试题

2026年九年级下学期一模考试数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 关于的不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一次函数的图象经过点，则反比例函数图象与该一次函数图象的交点情况是（ ） A. 无法确定 B. 没有交点 C. 有一个交点 D. 有两个交点 4. 如图所示的雪花图案是一个中心对称图形，将该图案绕着它的中心旋转，使其与自身重合，至少应旋转的角度是（ ） A. B. C. D. 5. 两个正方形按如图所示位置摆放，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. 48（1﹣x）2=36 B. 48（1+x）2=36 C. 36（1﹣x）2=48 D. 36（1+x）2=48 7. 已知等腰三角形三边分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. 32 B. 36 C. 32或36 D. 无法确定 8. 如图，在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 下面几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形内接于，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式无意义，则________________． 12. 若，则______． 13. 在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是______． 14. 如图，在中，，，，E为边的中点，点D在边上，，与相交于点F，则的长为______． 15. 如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图．通过测量得到扇形的圆心角为，点C，D分别为，的中点，则花窗的面积为________（结果保留） 三、解答题（8小题，共75分） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 求代数式的值，其中， 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点（网格线的交点）上，已知点，，的坐标分别为，和． （1）画出关于轴对称所得的； （2）画出以点为旋转中心，将逆时针旋转90°得到的，并写出点的坐标； （3）用无刻度的直尺，在边上确定一点，使得点到点，的距离相等． 19. 在某一片水平的海面上，点A和点B是两个小岛，小岛A位于小岛B的南偏东方向上．某一时刻商船C位于小岛A的北偏东方向上且位于小岛B的南偏东方向上，经测量，求小岛A到小岛B之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，点，连接，，直线与x轴、y轴分别交于点D、点C． （1）求，的值； （2）直接写出不等式的解集． 21. 如图，在中，，经过点，与边，分别交于点，，且与相切，切点为点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 22. 某校七、八年级各有900名学生，为了调查学生对AI赋能课堂教学的满意度，随机抽取了七、八年级各名学生对AI赋能课堂教学满意程度赋分（百分制），将收集的赋分成绩按以下六组进行整理（得分用表示）：A：，B：，C：，D：，E：，F：，并绘制了七年级赋分成绩频数直方图和八年级赋分成绩扇形统计图： 已知八年级样本中赋分成绩为95分及以上的学生有6人，D组中的数据从小到大排列前10个如下： 85，85，86，86，87，87，87，87，88，88． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）______，______，______； （2）八年级赋分成绩的中位数是______． （3）若赋分成绩不低于90分，则认定学生对AI赋能课堂教学“非常满意”，请估计该校七、八年级对AI赋能课堂教学“非常满意”的学生一共多少人？ 23. 综合探究 （1）和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； （2）和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； （3）如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级下学期一模考试数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值求法．绝对值是指一个数在数轴上对应的点与原点的距离，正数和零的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 【详解】， 故选：A． 2. 关于的不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解： 解不等式， 移项得， 系数化为1得； 解不等式， 去分母得， 移项得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： ． 3. 一次函数的图象经过点，则反比例函数图象与该一次函数图象的交点情况是（ ） A. 无法确定 B. 没有交点 C. 有一个交点 D. 有两个交点 【答案】D 【解析】 【分析】先利用已知点坐标求出一次函数解析式．再联立两个函数解析式，转化为一元二次方程．通过判别式判断根的个数，即可得到交点个数． 【详解】解：∵ 一次函数 经过点， ∴ 将代入解析式得， 解得：， 即一次函数解析式为． 联立两个函数解析式得， 整理得， 此时． ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，即两个函数图象有两个交点． 4. 如图所示的雪花图案是一个中心对称图形，将该图案绕着它的中心旋转，使其与自身重合，至少应旋转的角度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质，结合图形求出其至少应旋转的角度即可． 【详解】解：如图所示： 至少应旋转的角度是：． 5. 两个正方形按如图所示位置摆放，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质和同角的余角相等进行解答即可． 【详解】解：如图， 由题意可得，， ∴， ∴， ∴ 6. 某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. 48（1﹣x）2=36 B. 48（1+x）2=36 C. 36（1﹣x）2=48 D. 36（1+x）2=48 【答案】D 【解析】 【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设教育经费的年平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程． 【详解】∵某超市一月份的营业额为36万元，每月的平均增长率为x， ∴二月份的营业额为36（1+x），三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）=36（1+x）2. ∴根据三月份的营业额为48万元，可列方程为36（1+x）2=48. 故选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律. 7. 已知等腰三角形三边分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. 32 B. 36 C. 32或36 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、三角形的三边关系，分三种情况讨论：当时，当时，当时． 【详解】解：（Ⅰ）当时，即为腰时． 因为，是关于的一元二次方程的两根，可得 解得 因为， 所以，当时，，，不能围成三角形． （Ⅱ）当时，即为腰时． 同（Ⅰ）可知，当时，，，不能围成三角形． （Ⅲ）当时，即，为腰时． 因为，是关于的一元二次方程的两根，且，可得 解得 因为， 所以，当时，，，可以围成等腰三角形． 因为，是关于的一元二次方程的两根，可得 所以． 故选：B 8. 如图，在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理可求，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 是斜边的中点， ． 9. 下面几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先理解主视图的概念，并根据几何体的形状和切掉部分的位置，判断从正面看过去所看到的形状． 【详解】从正面观察所给几何体，得到的图形如下： ∴几何体的主视图为A． 10. 如图，四边形内接于，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴ ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式无意义，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式无意义的条件，得到分母为零，列出一元一次方程求解即可得到的值． 【详解】解：无意义， ， 解得： 12. 若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】先利用异分母的分式加减法可得，再对原式变形后将整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴原式． 13. 在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率计算公式直接计算即可求解． 【详解】解：袋子中所有等可能的结果总数为， 摸出红球的结果数为， 因此从袋中任意摸出一个球为红球的概率为． 14. 如图，在中，，，，E为边的中点，点D在边上，，与相交于点F，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，，，过点E作，则，则，同理，且相似比为：，则可得出，过点D作于点H，得出，由相似三角形的性质得出，再根据勾股定理求出，最后根据线段的数量关系即可求出． 【详解】解：在中，， ∵， ∴，， 过点E作， 则， ∵E为边的中点， ∴，， ∴， 同理：，且相似比为：， ∴，即， 过点D作于点H， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∵ ∴， 解得：． 15. 如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图．通过测量得到扇形的圆心角为，点C，D分别为，的中点，则花窗的面积为________（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】用扇形的面积减去的面积即可解答． 【详解】解：∵，点，分别为，的中点， ∴，， ∴，， ∴花窗的面积为． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算算术平方根、乘方和绝对值，再计算加减即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 求代数式的值，其中， 【答案】 【解析】 【分析】原式利用完全平方公式及平方差公式化简，合并同类项，再利用单项式的除法法则化简得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点（网格线的交点）上，已知点，，的坐标分别为，和． （1）画出关于轴对称所得的； （2）画出以点为旋转中心，将逆时针旋转90°得到的，并写出点的坐标； （3）用无刻度的直尺，在边上确定一点，使得点到点，的距离相等． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：如图所示，即为所求，点的坐标为； （3） 解：如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）根据旋转对称的性质分别找出点，再依次连接，即可作答． （3）利用线段垂直平分线的性质结合网格的特征，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 在某一片水平的海面上，点A和点B是两个小岛，小岛A位于小岛B的南偏东方向上．某一时刻商船C位于小岛A的北偏东方向上且位于小岛B的南偏东方向上，经测量，求小岛A到小岛B之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】小岛A到小岛B之间的距离AB约为 【解析】 【分析】过点C作于点D，根据锐角三角函数的定义，结合方位角，求出、和的长，即得答案． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ． 由题意可知，， ， ， 在Rt中，， ，， （）， （）， ， ， ， （）， ）， 答：小岛A到小岛B之间的距离约为． 【点睛】作垂线构造直角三角形是解直角三角形问题的常用方法． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，点，连接，，直线与x轴、y轴分别交于点D、点C． （1）求，的值； （2）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）把，分别代入直线与双曲线，得到方程组和，分别消去m和n，得，再解方程组，即得答案； （2）由题意知，不等式即，即图中点A与点B之间部分满足题意，即可得出答案． 【小问1详解】 解：把，分别代入直线与双曲线， 得和， 整理，得， 解得； 【小问2详解】 解：不等式的解集为． 21. 如图，在中，，经过点，与边，分别交于点，，且与相切，切点为点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 与相切， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，从而得到，进而得到，再结合等腰三角形的性质可得，即可求证； （2）设，则，根据，可求出x的值，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∵，， ∴， ， ， ，即， 解得（舍去），， ． 22. 某校七、八年级各有900名学生，为了调查学生对AI赋能课堂教学的满意度，随机抽取了七、八年级各名学生对AI赋能课堂教学满意程度赋分（百分制），将收集的赋分成绩按以下六组进行整理（得分用表示）：A：，B：，C：，D：，E：，F：，并绘制了七年级赋分成绩频数直方图和八年级赋分成绩扇形统计图： 已知八年级样本中赋分成绩为95分及以上的学生有6人，D组中的数据从小到大排列前10个如下： 85，85，86，86，87，87，87，87，88，88． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）______，______，______； （2）八年级赋分成绩的中位数是______． （3）若赋分成绩不低于90分，则认定学生对AI赋能课堂教学“非常满意”，请估计该校七、八年级对AI赋能课堂教学“非常满意”的学生一共多少人？ 【答案】（1）10，60，4 （2）88 （3）600人 【解析】 【分析】（1）根据八年级样本中赋分成绩为95分及以上的学生数及其百分比即可求出，用八年级样本中赋分成绩为95分及以上的学生数除以总人数即可求出，根据总人数减去已知部分人数除以2即可得到； （2）根据中位数的定义进行解答即可； （3）利用样本估计总体的方法列式计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，则 ， ， 【小问2详解】 解：∵ ∴八年级赋分成绩的中位数在D组中，是88，88的平均数，即为； 【小问3详解】 解：（人）． 答：该校七、八年级对AI赋能课堂教学“非常满意”的学生一共600人． 23. 综合探究 （1）和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； （2）和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； （3）如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）的长为 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出相等的线段和角，利用证明，即可得出结论； （2）根据相似三角形的性质得出相等的角，证明，得出对应边成比例，令，利用勾股定理求出，即可求解； （3）根据题意，画出图形，分两种情况进行讨论，利用等腰直角三角形的性质得出相等的角以及边之间的数量关系，证明，确定直角三角形，最后利用勾股定理进行求解． 【小问1详解】 解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴令， 由勾股定理得， ∴； 【小问3详解】 解：①如图所示，，，三点共线， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； ②如图所示，，，三点共线， 此时，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上，的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $