10.3 实际问题与二元一次方程组 导学案 2025-2026学年人教版数学七年级下册

10.3 实际问题与二元一次方程组 知识框架： · 和差倍分问题 · 几何图形等问题 · 行程等问题 一、和差倍分问题 回忆 1.方程组的解是 2.列方程解应用题的一般步骤是什么？ 一审：审题，弄清题意及题目中的数量关系；二设：设未知数，可直接设元，也可间接设元；三列：根据题目中的等量关系，列出方程(组)；四解：解所列方程(组)，求出未知数的值；五检：检验解是否是方程(组)的解，是否符合题意；六答：写出答案(包括单位名称). 试一试 悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，风速多少才算准. 分析：顺风速度=悟空行走速度+风速，逆风速度=悟空行走速度-风速. 解：设悟空行走速度为 x 里/分，风速为 y 里/分，依题意可列出方程组 解这个方程组，得 答：风速为50里/分. 探究 养牛场原有 30 头大牛和 15 头小牛，1 天约用饲料675 kg；一周后又购进 12 头大牛和 5 头小牛，这时一天约用饲料 940 kg.饲养员李大叔估计平均每头大牛 1 天约需饲料 18～20 kg，每头小牛1天约需饲料 7～8 kg.你能够通过计算检验他的估计吗？ 解：设每头大牛和每头小牛 1 天各约用饲料 x kg和y kg. 根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列方程组 解这个方程组，得 答：每头大牛1天约需饲料20 kg，每头小牛1天约需饲料5 kg.因此，饲料员李大叔对大牛的食量估计_______，对小牛的食量估计______. 练习1 某班将举行“消防安全知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，如图是小明买回奖品时与班长的对话情境： 请根据上面的信息，解决问题：(1)试计算两种笔记本各买了多少本；(2)请你解释：小明为什么不可能找回68元？ 检测1 1．李明同学骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟．步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2 900米．如果他骑车和步行的时间分别为x，y分钟，列出的方程是（ ）． A． B． C． D． 2．某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人；设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（ ）． A． B． C． D． 3．A商品每件3元，B商品每件4元，李明买A商品x件，B商品y件，共花去36元． （1）列出关于x，y的二元一次方程； （2）若买A商品4件，则买了B商品________件； （3）若买B商品3件，则买了A商品________件． 4．班上有男女同学32人，女生人数的一半比男生总数少10人，若设男生人数为x人，女生人数为y人，则可列方程组为________． 5．儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省13.2元．已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？ 二、几何图形等问题 练一练 1.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，问蛐蛐几只，蜘蛛几只？设蛐蛐x只，蜘蛛y只，则可列方程组 2.某一长方形的长为xcm，宽为ycm，若周长为40cm，且长比宽的2倍少3cm，下列方程组满足上述关系是( ) A. B. C. D. 探究 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2，现要把一块长200m、宽100m的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？ 讨论 1.要把这块的土地分为两块小长方形，可以如何分？ 2.如果是按如图所示方案来划分，两种作物的总产量大小与哪些量有关系？ 总产量的大小与种植面积、单位面积的产量有关. 3.①要表示种植面积需假设哪些量？②要表示单位面积产量呢？ ①可假设这两块地的长分别为x m、y m，②可假设甲种作物每平 方米产量为a，则乙种作物每平方米产量为2a. 4.若假设这两块地的长分别为x m、y m，甲种作物每平方米产量为a，则乙种作物每平方米产量为2a.那么根据题意能找到哪些相等关系列方程？ 解：如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE，设AE、BE的长分别为x m、y m，甲种作物每平方米产量为a，则乙种作物每平方米产量为2a.根据题意可得，方程组 化简，得 解这个方程组，得 答：过长方形土地的长边上离一端120m处，作这条边的垂线，把这块土地分成两块长方形土地.较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物. 若按如图所示的方式划分土地，请你算一算，如何划分？ 解：如图，另一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形DEFC和ABFE，设CF、BF的长分别为x m、y m，甲种作物每平方米产量为a，则乙种作物每平方米产量为2a.根据题意可得，方程组 化简，得 解这个方程组，得 答：过长方形土地的短边上离一端60 m处，作这条边的垂线，把这块土地分成两块长方形土地.较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物. 练习2 1. 某校现有校舍20000m2，计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加30%.若建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍，那么应该拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？(单位为m2) 新校舍面积=被拆除旧校舍面积×4 校舍总面积=20000×(1+30%) 2．某车间每天能生产甲种零件120个或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取2个和1个才能配成一套，要在80天内生产最多的成套产品，问甲、乙两零件各应生产几天？ 3．某年全国废水（含工业废水与城镇生活污水）排放总量为440亿吨，排放达标率约为54％，其中工业废水排放达标率约为88％，城镇生活污水排放达标率为22％．这一年全国工业废水与城镇生活污水的排放量分别是多少亿吨（结果精确到10亿吨）？ 4.用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？ 三、行程等问题 试一试 一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表： 甲种货车(辆) 乙种货车(辆) 总量(吨) 第一次 4 5 28.5 第二次 3 6 27 问：甲、乙两种货车每辆各装货多少吨？ 解：设甲、乙两种货车每辆分别装货x吨、y吨，根据题意，列得方程组 解这个方程组，得 答：甲种货车每辆装货4吨，乙种货车每辆装货2.5吨. 探究 如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地.公路运价为1.5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ (1)购进的原材料与制成的成品在质量上一样重吗？ (2)运费的单位“元/(t·km)”的含义. (3)15000元的公路运费是如何算出来的？ (4)97200元的铁路运费是如何算出来的？ 分析：销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关. 因此设_______________________. 产品xt 原料yt 合计 公路运费/元 铁路运费/元 价值/元 解：设制成x t产品，购买y t原料.由上表，列得方程组 解这个方程组，得 销售款-(原料费+运输费)=8000x-(1000y+15000+97200)=1887800(元) 答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元. 练习3 1. 小颖家离学校共1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路.她跑步去学校共用了16分，已知小颖在上坡路上的平均速度是4.8千米/时，而她在下坡路上平均速度是12千米/时.小颖上坡、下坡各用了多长时间？ 作业 1．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1 080元，买50件A商品和10件B商品用了840元，打折后，买500件A商品和500件B商品用了9 600元，比不打折少花多少钱？ 2．某家商店的账目记录显示，某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；另一天，以同样的价格卖出同样的52支牙刷和28盒牙膏，收入518元．这个记录是否有误？如果有误，请说明理由． 检测 1．某文具店出售单价分别为120元和80元的两种纪念册，两种纪念册每册都有30%的利润．某人共有1 080元钱，欲买一定数量的某一种纪念册，若买单价为120元的纪念册则钱不够，但经理知情后如数付给了他这种纪念册，结果文具店获利和卖出同数量的单价为80元的纪念册获利一样多，那么这个人共买纪念册（ ）． A．8册 B．9册 C．10册 D．11册 2．某电脑城按定价销售某种品牌的电脑音箱，每台可获利48元，若按定价的九折销售该品牌的电脑音箱6台与将定价降低30元销售9台所获得的利润相同，则该品牌的电脑音箱每台的进价为（　　　　），定价为（　　　　）． 3．李明家和陈刚家都从甲、乙两供水点购买同样的一种桶装矿泉水，李明家第一季度从甲、乙两供水点分别购买了10桶和6桶，共花费51元；陈刚家第一季度从甲、乙两供水点分别购买了8桶和12桶，且在乙供水点比在甲供水点多花18元钱．若只考虑价格因素，通过计算说明到哪家供水点购买这种桶装矿泉水更便宜一些？ 4．在“十一”黄金周期间，小明、小亮随家人到“木兰湖”游玩． （1）小明他们一共去几个成人，几个学生？ （2）请你帮小明算一下，用哪种方式更省钱？ 答案 练习1： 解：(1)设单价5元和8元的笔记本各买 x 本和y 本.依题意可列出方程组 解这个方程组，得 (2)设单价5元和8元的笔记本各买 x 本和y 本.依题意可列出方程组 解这个方程组，得 答：(1)单价5元和8元的笔记本各买25本和15本；(2)因为本数要为整数，所以小明不可能找回68元. 检测1： 1．D． 2．C．3．，6，8．4． 5．解：设书包和文具盒的标价分别为x元和y元， 根据题意，得 解得 答：书包和文具盒的标价分别为48元和18元． 练习2： 1、解：设拆除旧校舍为x m2，新建校舍为y m2，根据题意，列出方程组 解这个方程组，得 答：拆除旧校舍为2000 m2，新建校舍为8000 m2. 2、分析：此问题属于“配套”问题，关键点就是甲种零件的数量是乙种零件数量的2倍． 解：设生产甲种零件x天，生产乙种零件y天，根据题意，得 解得 答：甲种零件需要生产50天，乙种零件需要生产30天． 3、解：设这一年全国工业废水和城镇生活污水的排放量分别是x亿吨和y亿吨． 根据题意，得 解方程组，得 所以，这一年全国工业废水和城镇生活污水的排放量分别约为210亿吨和230亿吨． 4、解：设用x张铁皮制盒身，y张铁皮制盒底使盒身与盒底正好配套．根据题意，得 　解得 练习3： 解：设小颖上坡用了x分，下坡用了y分，根据题意，列得方程组 解这个方程组，得 答：小颖上坡用了11分钟，下坡用了5分钟. 作业： 1．解：设打折前A和B两种商品的单价分别为x元和y元，根据题意，得 解得 因此500x＋500y－9 600＝400（元）． 答：打折后比不打折少花400元． 2．解：设每支牙刷、每盒牙膏的单价分别为x元、y元，根据题意，得 化简，得 此方程组无解，说明记录有误． 检测： 1． C．1080-120（1-30%) x=80x*30% x=10 2． 2．162元；210元． 3．解：设这种矿泉水在甲、乙两处每桶的价格分别为x，y元． 根据题意，得 解这个方程组，得 ∵3.5＞3， ∴到甲供水点购买便宜一些． 4．解：（1）设成年人去了x人，则学生去了（12－x）人， 由题意得： ， 解得x=8． 因此：成人去了8人，学生去了4人． （2）购买团票更省钱， ∵16×35×0.6=336， ∴购团体16张票，便宜14元． 学科网（北京）股份有限公司 $