10.1 二元一次方程组的概念导学案 2025-2026学年人教版数学七年级下册

10.1 二元一次方程组的概念 知识回顾 1.什么叫方程？含有未知数的等式叫做方程.如：2x+3=5，x+y=8. 2.什么叫一元一次方程？ 在一个方程中，只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程.如：2x+3=5，y+6=8. 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？（用已经学过的一元一次方程解） 解：设胜的场数是x，则负的场数是(10-x)，根据题意得： 2x+(10-x)=16 解得，x=6 负的场数：10-6=4 答：这个队胜6场，负4场. 思考 上述问题包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是 x ，负的场数是 y ，你能用方程把这些条件表示出来吗？ 胜的场数+负的场数=总场数 x+y=10 胜场积分+负场积分=总积分 2x+y=16 x+y=10；2x+y=16，这两个方程有什么特点？与一元一次方程有什么不同？ · 上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数(x和y)，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 上述问题中包含了两个必须同时满足的条件，也就是未知数x，y必须同时满足方程x+y=10和2x+y=16. 把这两个方程合在一起，写成，就组成了一个方程组. · 这个方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组. 注：(1) 2个未知数；(2) 未知数的项的次数是1； (3) 方程的左右两边都是整式. 探究 满足方程x+y=10，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填在表中. 如果不考虑方程x+y=10与前面实际问题的联系，那么x=-1，y=11；x=0.5，y=9.5……也都是这个方程的解. 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 上表中哪对x，y的值还满足方程2x+y=16. x=6，y=4既满足方程x+y=10，又满足方程2x+y=16.也就是说，x=6，y=4是方程x+y=10与方程2x+y=16的公共解. 我们把x=6，y=4叫做二元一次方程组的解，这个解通常记作. 联系前面的问题可知，这个队在10场比赛中胜6场、负4场. · 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 练习 对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义找出问题的解. 加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件.现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一，第二道工序所完成的件数相等？ 检测 1．方程x＋1＝0，x＋y＋z＝3，x－2y＝6，，4xy＝5，x2－3y＝6，，是二元一次方程的有（ ）． A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 2．已知方程组的解是那么a，b的值分别为（ ）． A．a＝－1，b＝2 B．a＝1，b＝－2 C．a＝2，b＝－1 D．a＝－2，b＝1 3．写出二元一次方程2x＋3y＝15的两个整数解为 ， ． 4．小明有1元和5角的硬币共9枚，小明能买到单价为1.5元的圆珠笔4支，若设一元的硬币有x枚，5角的硬币有y枚，根据题意可列方程组（ ），这是一个（ ）方程组． 5．根据下列条件，设适当的未知数列出二元一次方程或二元一次方程组． （1）甲数的8％与乙数的11％的和是甲、乙两数和的10％； （2）有父子两人，已知10年前父亲的年龄是儿子年龄的3倍，现在父亲的年龄是儿子年龄的2倍； （3）某同学到书店去买甲、乙两种书共用去39元，其中购甲种书的钱比购乙种书的钱多1元． 答案 练习： 解：设第一道工序每天安排x人，第二道工序每天安排y人，依题意，列方程组得 ，解得 答：第一道工序每天安排4人，第二道工序每天安排3人，可使两道工序每天完成的件数相等. 检测： 1．B．　　2．C．　 3．（答案不唯一）．4．　二元一次． 5．（1）设甲数为x，乙数为y，8％x＋11％y＝（x＋y）10％． （2）设今年父亲x岁，儿子y岁， （3）设甲种书用x元，乙种书用y元， 学科网（北京）股份有限公司 $