单元培优讲义：图形的运动（知识梳理+例题讲解+培优练习）-2025-2026学年六年级下册数学北师大版

该小学数学“图形的运动”单元培优讲义通过结构化梳理构建知识体系，分类呈现平移、旋转、轴对称及图形放大缩小的定义、特征与关键要素，用核心概念对比表清晰呈现不同运动方式的变与不变属性，结合操作步骤和易错点解析，帮助学生建立知识脉络。 讲义亮点在于例题与练习设计注重几何直观和空间观念培养，如通过图案设计实例讲解运动组合应用，分层设置跟踪训练与培优练习满足不同学生需求，为教师实施精准复习教学提供系统支持，助力学生提升图形运动的理解与应用能力。

单元培优讲义：图形的运动 知识梳理+例题讲解+培优练习 知识梳理 一、图形的运动方式 1.平移 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种运动叫做平移。 特征：平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。 关键要素： 方向：上下左右或具体角度方向； 距离：移动的格数或长度单位。 生活实例：电梯升降、推拉窗户、传送带运送货物。 2.旋转 定义：在平面内，将一个图形绕一个定点（或轴）按某个方向转动一定的角度，图形的这种运动叫做旋转。 特征：旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的方向。 关键要素： 旋转中心：图形绕着转动的点（或轴）； 旋转方向：顺时针方向（与钟表指针方向相同）或逆时针方向； 旋转角度：图形转动的角度（如90°、180°）。 生活实例：钟表指针的转动、风车叶片的旋转、方向盘的转动。 3.轴对称 定义：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线叫做对称轴。 特征：对称轴两侧的图形形状、大小完全相同，方向相反。 关键要素： 对称轴：折痕所在的直线（可以是一条或多条）； 对应点：对折后重合的点到对称轴的距离相等。 生活实例：蝴蝶翅膀、等腰三角形、正方形、汉字“日”“田”等。 4.图形的放大与缩小 定义：把一个图形的各边按一定的比扩大或缩小，得到该图形的放大图或缩小图。 特征：图形的形状不变，大小改变，对应角的度数不变，对应线段的比相等。 关键要素： 比例：放大（如2:1）或缩小（如1:2）的比值； 对应边：放大或缩小后的图形与原图形对应边成比例。 生活实例：照片的放大与缩小、地图的比例尺应用。 二、图形运动的应用 1.图案设计 基本步骤： 选基本图形：确定设计图案的基本单元（如三角形、正方形）； 确定运动方式：选择平移、旋转、轴对称或组合方式； 操作与绘制：按步骤画出运动后的图形，形成完整图案。 示例：利用一个花瓣图形，绕中心点每次旋转60°，可设计出六瓣花图案。 2.图形还原 逆向操作： 平移还原：向相反方向移动相同距离； 旋转还原：绕同一旋转中心，向相反方向旋转相同角度； 轴对称还原：以同一对称轴再次作轴对称图形。 示例：将图形A向右平移5格得到图形B，则将图形B向左平移5格可还原为图形A。 三、核心操作步骤 1.平移作图步骤 确定关键点：找出图形的顶点或端点； 按方向距离移动：将每个关键点沿指定方向移动指定距离； 连接新点：按原图形顺序连接移动后的点，形成新图形。 2.旋转作图步骤 定旋转中心：确定图形绕着转动的点O； 连点画角：连接关键点与旋转中心，按方向画出旋转角度（如用量角器画90°）； 截取等长：在新角度线上截取与原线段等长的点； 连接图形：按原图形顺序连接新点，形成旋转后的图形。 3.轴对称作图步骤 找关键点：确定图形的关键点（如顶点）； 量距离：测量关键点到对称轴的距离； 定对应点：在对称轴另一侧等距离处确定对应点； 连接图形：按原图形顺序连接对应点，形成轴对称图形。 四、易错点与注意事项 平移方向与距离：数格子时需注意起点和终点，避免数错距离；方向描述要准确（如“先向左平移3格，再向下平移2格”）。 旋转三要素缺失：作图时必须明确旋转中心、方向、角度，缺一不可。例如，绕点O顺时针旋转90°，不能只说“旋转90°”。 轴对称的对称轴：对称轴是直线，需用虚线表示；对应点到对称轴的距离必须相等。 组合运动顺序：多种运动组合时，顺序不同结果可能不同。例如，先平移再旋转，与先旋转再平移，得到的图形位置可能不同。 五、核心概念对比表 运动方式 改变的属性 不变的属性 关键要素 平移 位置 形状、大小、方向 方向、距离 旋转 位置、方向 形状、大小 旋转中心、方向、角度 轴对称 方向 形状、大小 对称轴 放大/缩小 大小 形状 放大或缩小的比例 六、生活中的综合应用 密铺问题：利用图形的平移、旋转或轴对称，使图形无空隙、不重叠地铺满平面（如正六边形蜂巢、正方形地砖）。 立体图形的形成：通过平面图形的运动得到立体图形。例如，长方形绕一边旋转一周形成圆柱，直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥。 机械运动分析：分析物体运动方式（如汽车行驶是平移，车轮转动是旋转），理解复合运动（如螺旋桨飞机的运动包含平移和旋转）。 例题讲解 【典型例题1】 下图中的图形①先绕点　 　顺时针旋转　 　°，再向　 　平移　 　格，然后向　 　平移　 　格能得到图形②。通过旋转　 　(填“能”或“不能”)得到。 【答案】B；180；右；1；下；1；不能 【解析】【解答】解：图形①先绕点B顺时针旋转180°，再向右平移1格，然后向下平移1格能得到图形②。通过旋转不能得到。 故答案为：B；180；右；1；下；1；不能。 【分析】旋转和平移都是物体运动现象，都是沿某个方向作运动，运动中都没有改变本身的形状、大小与自身性质特征；区别：平移是物体或图形在同一平面内沿直线运动，朝某个方向移动一定的距离；旋转是绕一个定点沿某个方向旋转了一定的角度，旋转改变了图形的位置和方向。 【跟踪训练】 填写方格纸上图形的位置关系。 （1）图形B可以看作是图形A 绕点　 　顺时针旋转90°得到的。 （2）图形C可以看作是图形B 绕点O 顺时针旋转　 　°得到的。 （3）图形D可以看作是图形C 绕点O　 　时针旋转90°得到的。 【典型例题2】 （1）图中长方形与三角形面积的最简比是　 　。 （2）把长方形按2：1的比放大，画出放大后的图形。把三角形绕A点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （3）点A用数对表示是　 　，那么B点在A点的　 　偏　 　　 　°方向。 【答案】（1）4：3 （2） （3）(5，3)；南；东；45 【解析】【解答】解：（1）长方形：3×2=6； 三角形：3×3÷2=4.5； 6：4.5 =（6×10÷15）：（4.5×10÷15） =4：3； （3）点A用数对表示是（5，3），那么点B在A点的南偏东45°方向。 故答案为：（1）4：3；（3）（5，3）；南；东；45。 【分析】（1）看图可知每个小方格的边长相等，则长方形的长由3条小方格的边长可以看成是3，宽由2条小方格的边长组成可以看成2，三角形的底和高都由3条小方格的边长组成可以看成3，因此，先根据：长×宽=长方形的面积，底×高÷2=三角形的面积，分别计算两个图形的面积，最后根据：长方形的面积：三角形的面积写出比再化简即可； （2）图形的放大：每条边都要乘比的前项后再画在纸上；图形的缩小：每条边都要除以比的后项再画在纸上；但不管是放大还是缩小后的图形都要与原图形形状一样； 画按点旋转的方法：①判断方向；②把关键点与固定点相连；③将连线作为角的一条边，固定点为顶点量角，画出另一条边；④再在画出的角边上取出与连线同样长的一段线段的端点作为旋转点；⑤同样的方法找出其他旋转点，最后依次把点用线相连即可作出旋转后的图形； （3）用数对表示数：第一个数表示列，第二个数表示行，第一个数看横轴，第二个数看纵轴； 从不同方向观察物体位置，首先要确定观测点即“我在哪里”，然后确定观察的对象即“看什么”，然后根据地图上各个方向的基本知识：在地图上，上北下南，左西右东；“谁偏谁几度”，一般情况都是以较小的角度来确定的，离哪个方向较近我们就说那个方向偏另一个方向几度。 【跟踪训练】 按要求在方格纸上画图并完成填空｡ （1）左上角已经涂了4个方格，请你再涂一个方格，使得5个方格组成的图形是轴对称图形，并画出它的对称轴｡ （2）三角形ABC中，点B的位置用数对表示为　 　，点C在点A的　 　偏　 　､　 　°方向上｡ （3）把三角形ABC绕A点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形｡ （4）过点O画一条线段，把正方形分成一个三角形和一个梯形，使它们的面积比为3：5｡ 【典型例题3】 丽丽为班级黑板报设计了下面的图案，请写一写这个图案是由图形A如何运动得到的。 【答案】解：图形 A 通过平移可以得到第一排图案，图形 A 先绕点O 顺时针旋转180°，再平移可以得到第二排图案。（答案不唯一） 【解析】【分析】平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动；旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以在物体外）的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心；图形的形状、大小，在发生旋转和平移前后都没有变化，据此解答。 【跟踪训练】 你能通过卡片的平移和旋转将图2“还原”为图1吗？请尝试将“还原”的过程记录下来。 培优练习 一、选择题 1．乐乐在电脑上查看一张图片，图片显示如下图所示。她想把这张图片放正，应该点击下面（    ）图标。 A．（放大） B．（缩小） C．（逆时针旋转90°） D．（顺时针旋转90°） 2．以下三组图形中，两两之间的变换分别属于（    ）。 A．平移、轴对称、轴对称 B．平移、轴对称、旋转 C．平移、旋转、轴对称 D．旋转、轴对称、平移 3．将下列平面图形沿着某条直线旋转一周，可能得到一个球体的是（    ）。 A．长方形 B．三角形 C．梯形 D．半圆 4．关于图形的设计，下面说法正确的是（    ）。 A．可以由平移得到 B．可以由旋转得到 C．可以由平移得到 D．可以由旋转得到 5．下面的图形中，（    ）不能由一个基本图形通过旋转而成。 A． B． C． D． 6．以下面各图形的虚线为轴旋转一周形成的几何体中，与E图形形成的几何体体积相等的是（    ）图形形成的几何体体积。 A． B． C． D． 二、填空题 7．在下图中的盘秤上放( )kg的苹果，指针会绕中心点顺时针旋转90°；在盘秤上放5kg的苹果，指针会绕中心点( )时针旋转( )°，此时拿走2kg苹果，指针会绕中心点( )时针旋转( )°。 8．如图 (1)以直线MN为( )作图形A的( )，得到图形B。 (2)将图形B绕点O( )旋转( )，得到图形C。 (3)将图形C向( )平移( )格，得到图形D。 9．钟面上的分针从5时30分绕中心点顺时针旋转90°后是( )时( )分。 10．将一个等腰直角三角形绕直角顶点按顺时针方向旋转90°。连续操作3次后，得到的图形是一个( )。 11．把图形逆时针方向旋转( )°得到图形。 三、判断题 12．钟面上的时针指向“3”，当时针按顺时针方向旋转90°后，时针指向“6”。( ) 13．要使正方形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心点旋转90°。( ) 14．不能通过旋转得到。( ) 15．如图正三角形，至少绕中心点顺时针旋转120度，才能与原来重合。( ) 16．分针从3：05走到3：20，是绕钟面中心顺时针旋转了15°。( ) 四、作图题 17．按要求画图形或填空（如图）。 （1）画出图A向右平移4格，再向下平移5格后得到的图形A′。 （2）画出图B绕点O顺时针旋转90°后得到的图形B′。 （3）画出图形C放大后的图形C′，使新图形与原图形对应线段长的比为2∶1。 （4）画一个面积是6平方厘米的轴对称图形（图上一个方格表示1平方厘米），并画出一条对称轴。 五、解答题 18．从9时到12时，时针绕中心点顺时针方向旋转了多少度？从12时到16时，时针绕中心点顺时针方向旋转了多少度？ 19．观察方格纸中图形的运动，并与同伴进行交流。 （1）图形A如何运动得到图形B？ （2）图形B如何运动得到图形C？ （3）你还有什么办法将图形A运动得到图形C？ 20．图①中的七巧板通过平移或旋转得到图②，其中哪几个图形运动了？是如何运动的？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元培优讲义：图形的运动 知识梳理+例题讲解+培优练习 知识梳理 一、图形的运动方式 1.平移 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种运动叫做平移。 特征：平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。 关键要素： 方向：上下左右或具体角度方向； 距离：移动的格数或长度单位。 生活实例：电梯升降、推拉窗户、传送带运送货物。 2.旋转 定义：在平面内，将一个图形绕一个定点（或轴）按某个方向转动一定的角度，图形的这种运动叫做旋转。 特征：旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的方向。 关键要素： 旋转中心：图形绕着转动的点（或轴）； 旋转方向：顺时针方向（与钟表指针方向相同）或逆时针方向； 旋转角度：图形转动的角度（如90°、180°）。 生活实例：钟表指针的转动、风车叶片的旋转、方向盘的转动。 3.轴对称 定义：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线叫做对称轴。 特征：对称轴两侧的图形形状、大小完全相同，方向相反。 关键要素： 对称轴：折痕所在的直线（可以是一条或多条）； 对应点：对折后重合的点到对称轴的距离相等。 生活实例：蝴蝶翅膀、等腰三角形、正方形、汉字“日”“田”等。 4.图形的放大与缩小 定义：把一个图形的各边按一定的比扩大或缩小，得到该图形的放大图或缩小图。 特征：图形的形状不变，大小改变，对应角的度数不变，对应线段的比相等。 关键要素： 比例：放大（如2:1）或缩小（如1:2）的比值； 对应边：放大或缩小后的图形与原图形对应边成比例。 生活实例：照片的放大与缩小、地图的比例尺应用。 二、图形运动的应用 1.图案设计 基本步骤： 选基本图形：确定设计图案的基本单元（如三角形、正方形）； 确定运动方式：选择平移、旋转、轴对称或组合方式； 操作与绘制：按步骤画出运动后的图形，形成完整图案。 示例：利用一个花瓣图形，绕中心点每次旋转60°，可设计出六瓣花图案。 2.图形还原 逆向操作： 平移还原：向相反方向移动相同距离； 旋转还原：绕同一旋转中心，向相反方向旋转相同角度； 轴对称还原：以同一对称轴再次作轴对称图形。 示例：将图形A向右平移5格得到图形B，则将图形B向左平移5格可还原为图形A。 三、核心操作步骤 1.平移作图步骤 确定关键点：找出图形的顶点或端点； 按方向距离移动：将每个关键点沿指定方向移动指定距离； 连接新点：按原图形顺序连接移动后的点，形成新图形。 2.旋转作图步骤 定旋转中心：确定图形绕着转动的点O； 连点画角：连接关键点与旋转中心，按方向画出旋转角度（如用量角器画90°）； 截取等长：在新角度线上截取与原线段等长的点； 连接图形：按原图形顺序连接新点，形成旋转后的图形。 3.轴对称作图步骤 找关键点：确定图形的关键点（如顶点）； 量距离：测量关键点到对称轴的距离； 定对应点：在对称轴另一侧等距离处确定对应点； 连接图形：按原图形顺序连接对应点，形成轴对称图形。 四、易错点与注意事项 平移方向与距离：数格子时需注意起点和终点，避免数错距离；方向描述要准确（如“先向左平移3格，再向下平移2格”）。 旋转三要素缺失：作图时必须明确旋转中心、方向、角度，缺一不可。例如，绕点O顺时针旋转90°，不能只说“旋转90°”。 轴对称的对称轴：对称轴是直线，需用虚线表示；对应点到对称轴的距离必须相等。 组合运动顺序：多种运动组合时，顺序不同结果可能不同。例如，先平移再旋转，与先旋转再平移，得到的图形位置可能不同。 五、核心概念对比表 运动方式 改变的属性 不变的属性 关键要素 平移 位置 形状、大小、方向 方向、距离 旋转 位置、方向 形状、大小 旋转中心、方向、角度 轴对称 方向 形状、大小 对称轴 放大/缩小 大小 形状 放大或缩小的比例 六、生活中的综合应用 密铺问题：利用图形的平移、旋转或轴对称，使图形无空隙、不重叠地铺满平面（如正六边形蜂巢、正方形地砖）。 立体图形的形成：通过平面图形的运动得到立体图形。例如，长方形绕一边旋转一周形成圆柱，直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥。 机械运动分析：分析物体运动方式（如汽车行驶是平移，车轮转动是旋转），理解复合运动（如螺旋桨飞机的运动包含平移和旋转）。 例题讲解 【典型例题1】 下图中的图形①先绕点　 　顺时针旋转　 　°，再向　 　平移　 　格，然后向　 　平移　 　格能得到图形②。通过旋转　 　(填“能”或“不能”)得到。 【答案】B；180；右；1；下；1；不能 【解析】【解答】解：图形①先绕点B顺时针旋转180°，再向右平移1格，然后向下平移1格能得到图形②。通过旋转不能得到。 故答案为：B；180；右；1；下；1；不能。 【分析】旋转和平移都是物体运动现象，都是沿某个方向作运动，运动中都没有改变本身的形状、大小与自身性质特征；区别：平移是物体或图形在同一平面内沿直线运动，朝某个方向移动一定的距离；旋转是绕一个定点沿某个方向旋转了一定的角度，旋转改变了图形的位置和方向。 【跟踪训练】 填写方格纸上图形的位置关系。 （1）图形B可以看作是图形A 绕点　 　顺时针旋转90°得到的。 （2）图形C可以看作是图形B 绕点O 顺时针旋转　 　°得到的。 （3）图形D可以看作是图形C 绕点O　 　时针旋转90°得到的。 【答案】（1）O （2）90 （3）顺 【解析】【解答】解：（1） 图形A绕点O顺时针旋转90°得到图形B。 （2）图形B绕点O顺时针旋转90°得到图形C。 （3）图形C绕点O顺时针旋转90°得到图形D。 故答案为：（1）O；（2）90；（3）顺。 【分析】此题主要考查了图形的旋转，弄清旋转中心、旋转的方向和角度，图形中的其中一条连着旋转点的边，这条边与旋转完后的边之间的夹角度数就是该图形旋转的角度。 【典型例题2】 （1）图中长方形与三角形面积的最简比是　 　。 （2）把长方形按2：1的比放大，画出放大后的图形。把三角形绕A点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （3）点A用数对表示是　 　，那么B点在A点的　 　偏　 　　 　°方向。 【答案】（1）4：3 （2） （3）(5，3)；南；东；45 【解析】【解答】解：（1）长方形：3×2=6； 三角形：3×3÷2=4.5； 6：4.5 =（6×10÷15）：（4.5×10÷15） =4：3； （3）点A用数对表示是（5，3），那么点B在A点的南偏东45°方向。 故答案为：（1）4：3；（3）（5，3）；南；东；45。 【分析】（1）看图可知每个小方格的边长相等，则长方形的长由3条小方格的边长可以看成是3，宽由2条小方格的边长组成可以看成2，三角形的底和高都由3条小方格的边长组成可以看成3，因此，先根据：长×宽=长方形的面积，底×高÷2=三角形的面积，分别计算两个图形的面积，最后根据：长方形的面积：三角形的面积写出比再化简即可； （2）图形的放大：每条边都要乘比的前项后再画在纸上；图形的缩小：每条边都要除以比的后项再画在纸上；但不管是放大还是缩小后的图形都要与原图形形状一样； 画按点旋转的方法：①判断方向；②把关键点与固定点相连；③将连线作为角的一条边，固定点为顶点量角，画出另一条边；④再在画出的角边上取出与连线同样长的一段线段的端点作为旋转点；⑤同样的方法找出其他旋转点，最后依次把点用线相连即可作出旋转后的图形； （3）用数对表示数：第一个数表示列，第二个数表示行，第一个数看横轴，第二个数看纵轴； 从不同方向观察物体位置，首先要确定观测点即“我在哪里”，然后确定观察的对象即“看什么”，然后根据地图上各个方向的基本知识：在地图上，上北下南，左西右东；“谁偏谁几度”，一般情况都是以较小的角度来确定的，离哪个方向较近我们就说那个方向偏另一个方向几度。 【跟踪训练】 按要求在方格纸上画图并完成填空｡ （1）左上角已经涂了4个方格，请你再涂一个方格，使得5个方格组成的图形是轴对称图形，并画出它的对称轴｡ （2）三角形ABC中，点B的位置用数对表示为　 　，点C在点A的　 　偏　 　､　 　°方向上｡ （3）把三角形ABC绕A点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形｡ （4）过点O画一条线段，把正方形分成一个三角形和一个梯形，使它们的面积比为3：5｡ 【答案】（1）解： ​​​​​​​ （2）(6，1)；南；东；45 （3）解： ​​​​​​​ （4）解：4×4=16 3+5=8 三角形：16×=6； 梯形：16×=10； 以正方形左边的边为高，则三角形对应的底是：6×2÷4=3，据此画出三角形，剩下部分则是对应的梯形。 【解析】【解答】解：（2）三角形ABC中，点B的位置用数对表示为（6，1），点C在点A的南偏东45°方向上。 故答案为：（2）（6，1）；南；东；45。 【分析】（1）如果一个图形沿某一条直线对折后，图形两边能完全重合，我们就说这个图形是轴对称图形，把这条直线叫做对称轴。轴对称图形对称轴两边的图形大小一样，图形上的点距离对称轴的距离相等但方向相反； （2）用数对表示位置：第一个数表示列，第二个数表示行，第一个数看横轴，第二个数看纵轴； 从不同方向观察物体位置，我们首先要确定观测点即“我在哪里”，然后确定观察的对象即“看什么”，然后根据地图上各个方向的基本知识：在地图上，上北下南，左西右东；“谁偏谁几度”，一般情况我们都是以较小的角度来确定的，离哪个方向较近我们就说那个方向偏另一个方向几度； （3）画按点旋转的方法：①判断方向；②把关键点与固定点相连；③将连线作为角的一条边，固定点为顶点量角，画出另一条边；④再在画出的角边上取出与连线同样长的一段线段的端点作为旋转点；⑤同样的方法找出其他旋转点，最后依次把点用线相连即可作出旋转后的图形； （4）看图可知正方形的边长由4条方格的边长组成即4，因此边长×边长=正方形的面积；根据比的应用可知把正方形的面积平均分成了3+5=8份，其中3份是三角形的面积，5份是梯形的面积，即三角形的面积占正方形面积的，梯形的面积占正方形面积的，因此，正方形的面积×=三角形的面积，正方形的面积×=梯形的面积；再根据：底×高÷2=三角形的面积，及题意把正方形左边的边为三角形的高即4，则三角形的对应的底是：三角形的面积×2÷高=3，即从正方形左上角顶点起数3格长为三角形的底，然后连接O点所作线段即为求作线段。 【典型例题3】 丽丽为班级黑板报设计了下面的图案，请写一写这个图案是由图形A如何运动得到的。 【答案】解：图形 A 通过平移可以得到第一排图案，图形 A 先绕点O 顺时针旋转180°，再平移可以得到第二排图案。（答案不唯一） 【解析】【分析】平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动；旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以在物体外）的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心；图形的形状、大小，在发生旋转和平移前后都没有变化，据此解答。 【跟踪训练】 你能通过卡片的平移和旋转将图2“还原”为图1吗？请尝试将“还原”的过程记录下来。 【答案】解：图②向上平移1格。 图③以鼻子为中心逆时针旋转90度，再将旋转后的图形向右平移2格。 【解析】【分析】物体或图形沿着某个方向移动了一定距离叫做平移；特点：图形的形状、大小不变，位置改变。 旋转是物体或图形绕某定点沿某方向移动；特点：图形的形状、大小不变，位置改变。 培优练习 一、选择题 1．乐乐在电脑上查看一张图片，图片显示如下图所示。她想把这张图片放正，应该点击下面（    ）图标。 A．（放大） B．（缩小） C．（逆时针旋转90°） D．（顺时针旋转90°） 【答案】C 【分析】根据题意，乐乐的目的是将图片放正。如果图片是倾斜的，那么需要通过旋转操作来调整图片的方向。逆时针旋转90°意味着图片将以中心为点按照逆时针方向旋转90°的角度。 【详解】选项A：放大，操作都不会改变图片的方向，因此不符合题意； 选项B：缩小，操作都不会改变图片的方向，因此不符合题意； 选项C：逆时针旋转90°，符合题意； 选项D：顺时针旋转90°，不符合题意。 故答案为：C 2．以下三组图形中，两两之间的变换分别属于（    ）。 A．平移、轴对称、轴对称 B．平移、轴对称、旋转 C．平移、旋转、轴对称 D．旋转、轴对称、平移 【答案】C 【分析】平移指图形在平面内沿着直线移动，但不改变其形状、大小或方向。 把一个图形沿着一条直线对折，对折后直线两边的图形能完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的对称轴。 旋转指图形绕一个固定点（一条线）按一定角度旋转，旋转前后图形的大小和形状保持不变。据此分析三组图形，然后选择合适的。 【详解】 左起，第一组图形方向和大小没有发生改变，属于平移，第二组图形两个图案通过旋转180°得到，第三组图形左右两边呈现对称，属于轴对称。 故答案为：C 3．将下列平面图形沿着某条直线旋转一周，可能得到一个球体的是（    ）。 A．长方形 B．三角形 C．梯形 D．半圆 【答案】D 【分析】根据球体的定义，半圆绕其直径所在直线旋转一周，得到的立体图形是球体。据此解答。 【详解】 A．长方形绕其一边所在直线旋转一周，根据圆柱的定义，得到的立体图形是圆柱，不是球体，排除； B．三角形绕某条直线旋转一周，得到的立体图形不是球体，排除； C．梯形绕某条直线旋转一周，得到的立体图形不是球体，排除； D．根据球体的定义，半圆绕其直径所在直线旋转一周，得到的立体图形是球体，符合。 故答案为：D 4．关于图形的设计，下面说法正确的是（    ）。 A．可以由平移得到 B．可以由旋转得到 C．可以由平移得到 D．可以由旋转得到 【答案】C 【分析】旋转和平移都是物体运动现象，都是沿某个方向作运动，运动中都没有改变本身的形状、大小与自身性质特征；区别：平移是物体或图形在同一平面内沿直线运动，朝某个方向移动一定的距离；旋转是绕一个定点沿某个方向旋转了一定的角度，旋转改变了图形的位置和方向，据此判断。 【详解】 A．平移无法得到，缺少； B．旋转无法得到，缺少； C．平移可以得到； D．旋转无法得到。 所以图形可以由平移得到。 故答案为：C 5．下面的图形中，（    ）不能由一个基本图形通过旋转而成。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；据此判断即可。 【详解】 A．中有5个相同的图形，可以由基本图形旋转而成。 B．中有3个相同的图形，可以由基本图形旋转而成。 C．中有4个相同的图形，可以由基本图形旋转而成。 D．该图形是由轴对称得到的，不能通过旋转而成。 故答案为：D 6．以下面各图形的虚线为轴旋转一周形成的几何体中，与E图形形成的几何体体积相等的是（    ）图形形成的几何体体积。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解答这道题的关键是分别计算出图形E和A、B、C、D四个图形旋转后形成的立体图形的体积，然后确定和图形E旋转后形成的立体图形体积相等的选项。将一个直角三角形绕其一条直角边旋转一周可以得到一个圆锥体，将一个长方形绕其一条边旋转一周可以得到一个圆柱体。根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，圆柱的体积公式：V＝πr2h，分别计算得出图形E和A、B、C、D四个图形旋转形成的立体图形的体积。据此解答。 【详解】图形E旋转一周后形成的圆锥的体积： A． B． C． D． 由此，A选项中的图形旋转一周后形成的圆柱体积与图形Ｅ旋转一周后形成的圆锥体积相等。 故答案为：A 【点睛】解答这道题的关键是确定几何体形状：直角三角形绕直角边旋转成圆锥，长方形（正方形）绕边旋转成圆柱；区分圆锥和圆柱的体积公式，再通过计算结果对比体积是否相等。 二、填空题 7．在下图中的盘秤上放( )kg的苹果，指针会绕中心点顺时针旋转90°；在盘秤上放5kg的苹果，指针会绕中心点( )时针旋转( )°，此时拿走2kg苹果，指针会绕中心点( )时针旋转( )°。 【答案】 2.5 顺 180 逆 72 【分析】观察图可知，图中的盘秤面被平均分成10份，则1千克指针转过每份对应的角度是360°÷10＝36°，要求指针会绕中心点顺时针旋转90°，需要放多少千克的苹果，就是求90°里面有几个36°，就有几千克苹果；在盘秤上放5kg的苹果，指针会绕中心点旋转多少度，就是求5个36°是多少，放苹果后，指针会顺时针旋转，拿走苹果后，指针会逆时针旋转，要求拿走2kg苹果，指针会绕中心点旋转多少度，就是求出2千克旋转的度数，然后判断方向即可。 【详解】360°÷10＝36°，则盘秤上放苹果质量：90°÷36°＝2.5（kg）； 在盘秤上放5kg的苹果，指针会绕中心点顺时针旋转：36°×5＝180°； 此时拿走2kg苹果，指针会绕中心点逆时针旋转：36°×2＝72°。 8．如图 (1)以直线MN为( )作图形A的( )，得到图形B。 (2)将图形B绕点O( )旋转( )，得到图形C。 (3)将图形C向( )平移( )格，得到图形D。 【答案】(1) 对称轴 轴对称图形 (2) 顺时针 90° (3) 右 8 【分析】解答这道题需理解以下概念：轴对称：图形沿某条直线对折后完全重合，这条直线是对称轴；旋转：图形绕固定点按一定方向转动一定角度；平移：图形沿直线方向移动一定距离，形状、大小不变。 （1）图形A和B沿直线MN对折后完全重合，符合“轴对称”的特征。 （2）图形B与C的形状相同，仅方向改变，是绕点O的旋转变换。 （3）图形C与D的形状、方向完全相同，仅位置改变，是平移变换。 【详解】（1）以直线MN对称轴作图形A的轴对称图形，得到图形B。 （2）将图形B绕点O顺时针旋转90°，得到图形C。 （3）将图形C向右平移8格，得到图形D。 9．钟面上的分针从5时30分绕中心点顺时针旋转90°后是( )时( )分。 【答案】 5 45 【分析】钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每份是一大格，一大格之间夹角是30°。分针绕中心以5时30分开始按顺时针方向旋转90°，也就是三大格，经过15分钟，旋转后是5：45。 【详解】钟面上的分针从5时30分绕中心点顺时针旋转90°后是5时45分。 10．将一个等腰直角三角形绕直角顶点按顺时针方向旋转90°。连续操作3次后，得到的图形是一个( )。 【答案】正方形 【分析】等腰直角三角形：两腰（两直角边）相等，两底角相等且为45°，两腰夹角为90°； 正方形：4条边都相等，4个角都是直角； 旋转三要素及旋转图形：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，顺时针就是和钟表指针旋转的方向相同。 【详解】如图： 顺时针旋转3次后： ①直角绕顶点增加了3次，最后形成的4个直角的和为90°×4＝360°； ②2个底角相邻，形成了45°×2＝90°； ③原来的斜边相邻，4条斜边组成了四边形，因为四条边相等，4个角都是直角，所以是正方形。 11．把图形逆时针方向旋转( )°得到图形。 【答案】90 【分析】以原图第一行3个小正方形的位置变化来看，原图是横着的，变成了竖着的，再结合第二行的小正方形来看，当原图逆时针方向旋转90°正好得到旋转后的图形。 【详解】 把图形逆时针方向旋转90°得到图形。 三、判断题 12．钟面上的时针指向“3”，当时针按顺时针方向旋转90°后，时针指向“6”。( ) 【答案】√ 【分析】钟面被12个数字等分，一周为360°，因此每个数字间隔为360°÷12＝30°。时针从“3”顺时针旋转90°，相当于移动90°÷30°＝3个间隔。从“3”开始，顺时针移动3个间隔（3→4、4→5、5→6）后指向“6”。 【详解】钟面一周为360°，被12个数字平均分成12份，每份对应30°。时针从“3”顺时针旋转90°，移动了90°÷30＝3（个）间隔，3＋3＝6，因此，时针指向“6”。 故答案为：√ 13．要使正方形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心点旋转90°。( ) 【答案】√ 【分析】正方形是旋转对称图形，绕其中心旋转时，旋转角度为90°、180°、270°或360°均能与自身重合。最小旋转角度为90°，因此题干中“至少应旋转90°”的说法正确。 【详解】正方形绕中心点旋转时，当旋转角度为90°的整数倍时，图形与自身重合。最小正旋转角度为90°。若旋转角度小于90°，如45°，则图形无法与自身重合。因此，要使正方形旋转后与自身重合，至少需旋转90°。 故答案为：√ 14．不能通过旋转得到。( ) 【答案】× 【分析】决定旋转后图形的位置的要素：一是旋转中心或轴，二是旋转方向（顺时针或逆时针），三是旋转角度。 【详解】 顺时针或逆时针旋转180°可以得到，原题说法错误。 故答案为：× 15．如图正三角形，至少绕中心点顺时针旋转120度，才能与原来重合。( ) 【答案】√ 【分析】旋转：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一定的角度，这样的运动叫做图形的旋转。 旋转后图形的位置和方向改变，形状、大小不变。 【详解】如下图所示，顺时针旋转120°即可与原来重合。 所以正三角形，至少绕中心点顺时针旋转120度，才能与原来重合。 原题干说法正确。 故答案为：√ 16．分针从3：05走到3：20，是绕钟面中心顺时针旋转了15°。( ) 【答案】× 【分析】钟面上，12个数字，把圆周角360°平均分成12大格，每两个数字与钟面中心的夹角是30°对应5分钟，分针正常旋转的方向是顺时针方向，据此解答。 【详解】360°÷12＝30°（对应5分钟） 3：20－3：05＝15（分） 15÷5＝3（格） 30°×3＝90° 所以分针从3：05走到3：20，是绕钟面中心顺时针旋转了90°，题干说法错误。 故答案为：× 四、作图题 17．按要求画图形或填空（如图）。 （1）画出图A向右平移4格，再向下平移5格后得到的图形A′。 （2）画出图B绕点O顺时针旋转90°后得到的图形B′。 （3）画出图形C放大后的图形C′，使新图形与原图形对应线段长的比为2∶1。 （4）画一个面积是6平方厘米的轴对称图形（图上一个方格表示1平方厘米），并画出一条对称轴。 【答案】（1）（2）（3）（4）见详解 【分析】（1）根据平移的特征，把图A的各顶点分别向右平移4格，再向下平移5格，依次连接即可得到平移后的图形A′。 （2）根据旋转的特征，图B绕点O顺时针旋转90°，点O的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形B′。 （3）根据图形放大与缩小的意义，把图形C的各边均放大到原来的2倍，对应角大小不变，所得到的图形就是原图按2∶1放大后的图形C′。 （4）画一个长3格，宽2格的长方形，再画出一条对称轴即可。（画法不唯一） 【详解】如下图： （画面积是6平方厘米轴对称图形画法不唯一） 五、解答题 18．从9时到12时，时针绕中心点顺时针方向旋转了多少度？从12时到16时，时针绕中心点顺时针方向旋转了多少度？ 【答案】90度；120度 【分析】钟面一周是360度，时钟一共分成了12个大格，用360除以12求出1个大格是多少度，再乘时针从9时到12时走过的大格数即可求出从9时到12时，时针绕中心点顺时针方向旋转了多少度；同理用1个大格的度数乘从12时到16时，时针走过的大格的个数即可解答。 【详解】360÷12＝30（度） 30×（12－9） ＝30×3 ＝90（度） 30×（16－12） ＝30×4 ＝120（度） 答：从9时到12时，时针绕中心点顺时针方向旋转了90度，从12时到16时，时针绕中心点顺时针方向旋转了120度。 19．观察方格纸中图形的运动，并与同伴进行交流。 （1）图形A如何运动得到图形B？ （2）图形B如何运动得到图形C？ （3）你还有什么办法将图形A运动得到图形C？ 【答案】（1）向右平移5格 （2）绕向右旋转90° （3）见详解 【分析】（1）确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要知道平移的方向、平移的距离。要想知道平移的方向和格数，只要观察图上一点是怎么平移的即可； （2）在平面内，把一个图形围绕某一固定点按顺时针或逆时针方向转动一定的角度的过程，称为旋转。决定旋转后图形的位置的要素：一是旋转中心或轴，二是旋转方向（顺时针或逆时针），三是旋转角度。 （3）还可以先平移再对称，对称的特征是沿某直线对折，直线两旁的部分完全重合。 【详解】（1）图形A向右平移5格得到图形B。 （2）图形B绕向右旋转90°得到图形C。 （3）图形A向右平移5格得到图形B，图形B通过对称得到图形C。（答案不唯一） 20．图①中的七巧板通过平移或旋转得到图②，其中哪几个图形运动了？是如何运动的？ 【答案】图形2、3、7运动了。 图形2向下平移6格。 图形3先向右平移2格，再向上平移6格。 图形7先绕直角顶点顺时针旋转45°，再向上平移8格。 【分析】通过观察图①和图②中七巧板各图形的位置变化，判断哪些图形运动了，并分析其平移或旋转的具体方式。 对比图①和图②，发现图形2、3、7的位置发生了变化，所以这3个图形运动了。观察图形2在图①和图②的位置，得到其是向下平移6格；观察图形3在图①和图②的位置，得到其是先向右平移2格，再向上平移6格；观察图形7在图①和图②的位置，得到其先绕直角顶点顺时针旋转45°，再向上平移8格。 【详解】由分析可知， 答：图形2、3、7运动了。图形2向下平移6格；图形3先向右平移2格，再向上平移6格；图形7先绕直角顶点顺时针旋转45°，再向上平移8格。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $