7.1 复数的概念（8大题型）（精练）-2025-2026学年高一下学期数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版必修第二册）

7．1 复数的概念 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：复数的基本概念 2 题型二：复数的类型划分 2 题型三：复数相等的充分必要条件 3 题型四：复数与复平面内点的对应关系 4 题型五：复数与复平面内向量的对应关系 4 题型六：复数的模及其综合应用 5 题型七：复数模的几何意义解析 6 题型八：复数相关轨迹与最值求解问题 7 02 重难点拓展 9 题型一：复数的基本概念 1．（2026·高二·广西柳州·月考）以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是__________. 【答案】/-2i+2 【解析】的虚部为2，的实部为， 要求的新复数是， 故答案为：． 2．如果则实数m的值为________． 【答案】2 【解析】由题意得， 解得． 故答案为：2 3．已知复数a－2＋(a＋2)i的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是____. 【答案】2 【解析】依题意复数a－2＋(a＋2)i的实部为0，故a－2=0，解得a＝2. 故答案为：2. 题型二：复数的类型划分 4．给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有（填上序号）_____________． 【答案】②③④ 【解析】①为纯虚数不是实数； ②为无理数是实数； ③为实数； ④为实数； ⑤为一般虚数不是实数． 故答案为：②③④ 5．（2026·高三·上海·月考）设是虚数单位，若是纯虚数，则实数________． 【答案】 【解析】设是虚数单位，若是纯虚数，则实数，且不是0， 则． 故答案为：. 6．“且”是“复数是纯虚数”的__________条件. 【答案】充分不必要 【解析】若且，则复数是纯虚数，即充分性成立； 若复数是纯虚数，则且，即不一定成立， 利用，即必要性不成立； 综上所述：“且”是“复数是纯虚数”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 题型三：复数相等的充分必要条件 7．（2026·安徽六安·模拟预测）已知复数,，并且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，∴，化为， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值7， ∴， ∴的取值范围是， 故选：B. 8．（2026·高一·陕西商洛·期中）若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【解析】由复数相等的充要条件，即两个复数相等，则它们的实部相等，虚部相等，可得. 故选：C. 9．（2026·高一·浙江杭州·期中）若，，，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由得，所以，，所以. 故选：A 题型四：复数与复平面内点的对应关系 10．（2026·高一·云南保山·期末）在复平面内，若复数对应的点为，则复数的虚部为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由题意得，故复数z的虚部为. 故选：A． 11．（2026·高一·江苏南通·月考）从复平面的四个象限中取若干点，这些点对应的复数中，实部为正数的复数比实部为负数的多，虚部为正数的复数比虚部为负数的少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 【答案】D 【解析】设第一、二、三、四象限的点分别有个. 均为正数. 在复平面中，第一、四象限的点实部为正，第二、三象限的点实部为负. 已知实部为正数的复数比实部为负数的多，则可得. 在复平面中，第一、二象限的点虚部为正，第三、四象限的点虚部为负. 已知虚部为正数的复数比虚部为负数的少，则可得. 由， 所以.即第二象限点比第四象限点少. 根据条件，无法判断与，与，与的大小关系. 故选：D. 12．（2026·江西赣州·二模）在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】复数对应复平面内点，位于第二象限. 题型五：复数与复平面内向量的对应关系 13．（2026·高一·安徽芜湖·期末）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，， 所以， 所以向量对应的复数为. 故选：. 14．在复平面内，是原点，向量对应的复数为，与关于轴对称，则点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设向量对应的复数为，对应复平面的坐标为. 因为向量对应的复数为，所以对应复平面的坐标为. 因为与关于轴对称，所以. 即向量对应的复数为，因为点为坐标原点，所以点对应的复数是. 故选：D 15．（2026·高一·湖北黄冈·期末）已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（    ） A．1 B．9 C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：， 可得， 所以向量对应的复数为， 所以向量对应复数的虚部为. 故选：B. 题型六：复数的模及其综合应用 16．（2026·河北石家庄·一模）若复数满足，则（    ） A． B．13 C． D．5 【答案】A 【解析】由得 17．使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，即， 或，解得或. 故选：C. 18．若，，则（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【解析】，． ，． 故选：B 题型七：复数模的几何意义解析 19．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】表示复平面内点到的距离，又，所以点的集合形成的图形为圆环，面积为， 故选：C. 20．（2026·高一·北京·期中）若复数满足，则在复平面内，复数对应的点组成图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由复数的几何意义可知表示在复平面上，复数对应的点到复数所对的点即的距离为3， 也即以为圆心，半径为3的圆，故图形周长为. 故选：C. 21．复数满足，那复数在复平面内对应的点的轨迹为（    ） A．一个圆 B．线段 C．两点 D．两个圆 【答案】D 【解析】因为复数满足，所以，解得或． 即点的轨迹为以原点为圆心，半径为和半径为的圆． 故选：D． 题型八：复数相关轨迹与最值求解问题 22．（2026·高一·广东深圳·期中）复数满足，则（i为虚数单位）的最小值为（   ） A．4 B．5 C．2 D．3 【答案】A 【解析】设复数在复平面内对应的点为，由知，点的轨迹为以原点为圆心， 半径为1的圆，表示圆上的点到点的距离，如下图， 如图，最小值为. 故选：A 23．（2026·高一·江苏连云港·期中）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】设在复平面内对应的点分别为， 因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示. 故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值， 故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1. 故选：A. 24．（2026·河南·三模）若复数z满足，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，即对应点在以复平面的原点为圆心，1为半径的圆上， 由表示上述圆上点到点的距离，结合圆的性质，易知. 故选：D 1．（2026·高一·云南昭通·月考）在复平面内，正方形OABC（为原点）中若对应的复数为，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】正方形，且对应的复数为， 则对应的复数为， 故选：C. 2．（2026·高一·河南·期中）若复数满足，i为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 则， 即，解得， 所以，， 故选：A 3．在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【答案】A 【解析】∵复数对应的点在虚轴上，∴，∴或. 故选：A. 4．复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设（），则，， 因为，所以， 所以解得 即． 故选：D. 5．（2026·高三·河南·月考）已知复数，则（   ） A．0 B．2 C．4 D． 【答案】D 【解析】. 故选：D. 6．（2026·高二·湖北·月考）若，是虚数单位，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，① ， 由， 所以①的最大值为， 故选：D. 7．（2026·高一·河北保定·期中）如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C．(6.5) D． 【答案】D 【解析】由题图可知，，则， 解得（舍去）， 所以，，则向量在向量上的投影向量为， 所以其坐标为． 故选：D 8．（2026·高一·江苏南京·期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为复数z满足， 所以复数对应的点的轨迹为单位圆，圆心为原点，半径， 圆心到复数对应的点的距离为， 所以的最大值为. 故选：B 9．（多选题）（多选）下列四个命题，错误的是（   ） A．两个复数不能比较大小 B．若复数z满足，则 C．若实数a与对应，则实数集与纯虚数集一一对应 D．纯虚数集相对复数集的补集是虚数集 【答案】ABCD 【解析】对于A，当两个复数为不相等的实数时可以比较大小，故A错误； 对于B，取，则，但，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，实数集是纯虚数集相对复数集的补集的子集， 若D命题正确，则实数集为虚数集的子集，矛盾，故D错误． 故选：ABCD． 10．（多选题）（2026·安徽芜湖·一模）（多选）若复数，则下列说法正确的有（    ） A．实部为 B．虚部为 C． D．复数对应的点在第一象限 【答案】AD 【解析】由题意可得， 所以的实部为，虚部为，， 复数对应的点为，在第一象限， 故选：AD 11．（多选题）（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知复数，则（   ） A．若复数z为实数，则 B．若复数z为纯虚数，则 C．当时， D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限 【答案】ACD 【解析】对于A，依题意可得，即，则，故A正确； 对于B，依题意可得，故B错误； 对于C，依题意可得，所以，故C正确； 对于D，若复数z在平面内对应的点在第二象限，则，所以D正确， 故选：ACD． 12．（2026·高一·上海·期末）已知复数，若，则实数的取值范围为___________． 【答案】； 【解析】因为 所以 所以 所以 又因为 所以 即 令 则 由二次函数的性质知： 该函数对称轴为： 所以当时，该函数取最大值为6， 当时，该函数取最小值 故答案为：. 13．（2026·高一·辽宁沈阳·月考）已知复数z满足，则的最大值是______. 【答案】 【解析】由的几何意义知，对应点在以点与点为端点的线段上， 由的几何意义知，对应点到点的距离， 所以所求最大值为点与点的距离，由勾股定理得. 故答案为： 14．（2026·高一·河南南阳·月考）设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为______． 【答案】 【解析】若复数在复平面内的对应点在第三象限，则 ， 解得：， 故答案为：． 15．判别下列各式在复平面所表示的图形． (1) (2) (3) 【解析】（1）设，，所以，则，即， 所以在复平面表示以原点为圆心，半径为1的圆周． （2）设，，则，所以， 则，即， 所以在复平面表示以为圆心，半径为和的两个圆之间的圆环，包括半径为的圆周但不包括半径为的圆周. （3）设，，则，， 所以，， 则，即， 所以在复平面表示动点到和的距离相等，表示线段的垂直平分线． 16．（2026·高一·江苏无锡·月考）已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为复数是实数， 所以， 解得或； 所以实数的值为或； （2）因为复数表示的点在第四象限， 所以， 即， 解得或， 所以实数的取值范围为. 17．已知复数和，若，试求的取值范围． 【解析】，， 消去m得，， ， ， ∴当时，； 当时，． 的取值范围为． 18．（2026·高一·湖南衡阳·月考）已知，为虚数单位，复数. (1)若，求的值； (2)若复数对应的点在第三象限，求的取值范围； 【解析】（1）因为， 所以，解得； （2）因为复数对应的点在第三象限， 所以，解得. 19．（2026·高一·海南海口·期中）已知复数. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【解析】（1）若，则，即， 解得. （2）由两个复数相等可得， 即， 化简可得，其中， 当时，取得最小值，， 当时，取得最大值，， 所以的取值范围是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 7．1 复数的概念 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：复数的基本概念 2 题型二：复数的类型划分 2 题型三：复数相等的充分必要条件 2 题型四：复数与复平面内点的对应关系 2 题型五：复数与复平面内向量的对应关系 3 题型六：复数的模及其综合应用 3 题型七：复数模的几何意义解析 3 题型八：复数相关轨迹与最值求解问题 3 02 重难点拓展 5 题型一：复数的基本概念 1．（2026·高二·广西柳州·月考）以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是__________. 2．如果则实数m的值为________． 3．已知复数a－2＋(a＋2)i的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是____. 题型二：复数的类型划分 4．给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有（填上序号）_____________． 5．（2026·高三·上海·月考）设是虚数单位，若是纯虚数，则实数________． 6．“且”是“复数是纯虚数”的__________条件. 题型三：复数相等的充分必要条件 7．（2026·安徽六安·模拟预测）已知复数,，并且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·陕西商洛·期中）若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 9．（2026·高一·浙江杭州·期中）若，，，则（   ） A．2 B． C．1 D． 题型四：复数与复平面内点的对应关系 10．（2026·高一·云南保山·期末）在复平面内，若复数对应的点为，则复数的虚部为（   ） A． B． C．1 D． 11．（2026·高一·江苏南通·月考）从复平面的四个象限中取若干点，这些点对应的复数中，实部为正数的复数比实部为负数的多，虚部为正数的复数比虚部为负数的少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 12．（2026·江西赣州·二模）在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型五：复数与复平面内向量的对应关系 13．（2026·高一·安徽芜湖·期末）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 14．在复平面内，是原点，向量对应的复数为，与关于轴对称，则点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 15．（2026·高一·湖北黄冈·期末）已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（    ） A．1 B．9 C． D． 题型六：复数的模及其综合应用 16．（2026·河北石家庄·一模）若复数满足，则（    ） A． B．13 C． D．5 17．使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．若，，则（   ） A． B． C． D．不能确定 题型七：复数模的几何意义解析 19．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 20．（2026·高一·北京·期中）若复数满足，则在复平面内，复数对应的点组成图形的周长为（    ） A． B． C． D． 21．复数满足，那复数在复平面内对应的点的轨迹为（    ） A．一个圆 B．线段 C．两点 D．两个圆 题型八：复数相关轨迹与最值求解问题 22．（2026·高一·广东深圳·期中）复数满足，则（i为虚数单位）的最小值为（   ） A．4 B．5 C．2 D．3 23．（2026·高一·江苏连云港·期中）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 24．（2026·河南·三模）若复数z满足，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 1．（2026·高一·云南昭通·月考）在复平面内，正方形OABC（为原点）中若对应的复数为，则对应的复数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·河南·期中）若复数满足，i为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 3．在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 4．复数满足，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高三·河南·月考）已知复数，则（   ） A．0 B．2 C．4 D． 6．（2026·高二·湖北·月考）若，是虚数单位，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·河北保定·期中）如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C．(6.5) D． 8．（2026·高一·江苏南京·期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（多选题）（多选）下列四个命题，错误的是（   ） A．两个复数不能比较大小 B．若复数z满足，则 C．若实数a与对应，则实数集与纯虚数集一一对应 D．纯虚数集相对复数集的补集是虚数集 10．（多选题）（2026·安徽芜湖·一模）（多选）若复数，则下列说法正确的有（    ） A．实部为 B．虚部为 C． D．复数对应的点在第一象限 11．（多选题）（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知复数，则（   ） A．若复数z为实数，则 B．若复数z为纯虚数，则 C．当时， D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限 12．（2026·高一·上海·期末）已知复数，若，则实数的取值范围为___________． 13．（2026·高一·辽宁沈阳·月考）已知复数z满足，则的最大值是______. 14．（2026·高一·河南南阳·月考）设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为______． 15．判别下列各式在复平面所表示的图形． (1) (2) (3) 16．（2026·高一·江苏无锡·月考）已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 17．已知复数和，若，试求的取值范围． 18．（2026·高一·湖南衡阳·月考）已知，为虚数单位，复数. (1)若，求的值； (2)若复数对应的点在第三象限，求的取值范围； 19．（2026·高一·海南海口·期中）已知复数. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $