单元测试卷六(第十一章—第十四章)-【高考零起点】2026年新高考数学总复习（艺考）

22=62,直线EF的方程：y √5+3 √5-1 2 6+22 2x,即y=6+2x-2+32+3当y= 2x-2 16）8x0 0(0,1),在立体几何中，0(0,1,0)， 0P=√02+12+(0-2)，0B=√(0-√2)+12+02 OC √/(0-√2)2+(1-2)2+02， OD =√/0+(1-1-√3)2+02， ∴.OP=OB=OC=OD=√3， .点O在平面ABCD内； 法二：P,B,C,D在同一个球面上，.球心到四个点 的距离相等。 在△BCD中，到三角形三点距离相等的点是该三角形 的外心，分别作出BC和CD的垂直平分线，如下图 所示， G E 由几何知识得，0，E=AB=√2，BE=CE=AO1=C01= BC=1,0,D=AD-A0,=月，B0,=C0,= 1 √12+(2)2=√5，.0D=B01=C01,点01是 △BCD的外心，在Rt△AOP中，AP⊥AD,AP=√2，由勾 股定理得， P0,=√AP2+A0=√（√2）2+12=V3,.P01=B0,= C01=O1D=√3，.点O1即为点P,B,C,D所在球的球 心O,此时点O在线段AD上，ADC平面ABCD,.点O 在平面ABCD上； (ⅱ)法一：由题意，(1)(2)(1)及图得， B 2 X A元=(2,2,0)，Pi=(0,1,-2),设直线AC与直线 P0所成角为0，·.cos0= laC.Pol= |A元Pò1 |0+2×1+0 √2 √/(2)2+22+0×√/0+12+(-√2)2 3 法二：由几何知识得，PO=√3，AB⊥AD,BC∥AD,.AB ⊥BC,在Rt△ABC中，AB=√2，BC=2,由勾股定理得， AC=√AB2+BC=√（√2）2+22=√6，过点0作AC的 平行线，交BC的延长线为C1,连接AC1,PC1, P A 0 -->D B C 则OC1=AC=√6，直线AC与直线P0所成角即为 △POC,中∠POC1或其补角.PA⊥平面ABCD,AC C平面ABCD,PA∩AC,=A,.PA⊥AC1,在Rt△ABC 中，AB=√2，BC1=BC+CC1=2+1=3,由勾股定理得， AC1=√AB2+BC=√/（√2）2+32=√T,在Rt△APC 中，PA=√2，由勾股定理得，PC,=√PA+AC= √（√2）+（√）了=√13，在△P0C,中，由余弦定理 得，PC=P02+0C-2P0·0 CcosLPe0C1,即(I3)2 =(3)2+(6)2-25×6cos∠P0C1,解得cos LPOC,2,直线AC与直线P0所成角的余弦值 为|cos∠P0C,l= 2 3 单元测试卷六 1.Bz 2-ai_(2-ai)(2-i)_4-a-(2+2a）1,依题意得 2+i(2+i)(2-i) 5 4-a=0,a=4.故选B. 2.A由题意，随机变量专为离散型随机变量，且X~ B(5,写)，根据二项分布的方差的计算公式，可得 D)=5xg×1-）9所以D(3x)=9x10 10 故选A. 3.C:英文字母有26个，.2个不同英文字母的排列有 A3种，数字有10个，.2个不同数字的排列有A。 种，由分步计数原理，.该密码可能的个数是A3。A。故 选C. 4.B对于A,根据正态分布的对称性可知，P(X≤-σ) =P(X≥u+σ)，A说法正确；对于B,根据正态分布的对 称性可知，P(X<1)=P(Y<2)=0.5,B说法错误；对于C 和D,相关系数r越接近0，相关性越弱；越接近1，相 关性越强，故C和D说法正确， 5A(（的展开式的通项公式为=C(-)y x+,令4-3r=1,求得r=1,可得展开式中x的系数为-C4= -4.故选A +a+b=1, 6 6.C由题意可得 1 解得a=3,b -1x 6 +Oxa+1xb= 3 2D(3+1)=9D(X0=9x[(-1-号×石+(0- x(1-x]=5放选C 7.C第一关闯关成功的选手有70人，则第一关闯关成 功的频率为0.7.第一关闯关成功且第二关闯关也成功 的选手有63人，则两关都成功的频率为0.63.设“第 关闯关成功”为事件A,“第二关闯关成功”为事件B, P(A)=0.7,P(AB)=0.63,某个选手第一关闯关成功，则该 选手第二关闾关成功的概率为P(B1A)-PAB）=Q9,故 P(A) 选C 8.D由题意，=2+45+6+8-=5，y=30+40+57+m+69 5 5 196+m 5 样本点的中心坐标为(5,1%)，代人 6.5x+17.5,得196+m=6.5×5+17.5,解得m=54,样本点 5 为(6,54)，当x=6时，y=6.5×6+17.5=56.5,残差为 54-56.5=-2.5.故选D. 9.AB对于A,相关系数r的绝对值越接近1，两个随机 变量的线性相关程度越强，故A正确；对于B,若随机 变量X~N(8,σ2)，且P(X≥11)=0.24，所以P(X<5)= P(X≥11)=0.24，则P(5<X<11)=1-P(X≥11)- P(X<5)=1-2×0.24=0.52,故B正确；对于C,若随机 变量6-B(2,4）,则ncE)=12xx(1-)是， 故C错误；对于D,数据从小到大排列为6,8,10,12， 13,15,16,17,19,22,又10×80%=8，所以数据的第 80百分位数为第8,9两数的平均数，即为”79=18， 故D错误故选AB. 10.BCD线性回归方程为y=x+a,不一定经过(x1,y1), (x2,y2),…,(xyn)中的任何一个点，但一定会经过 样本中心点(x,y),故A错误，B正确；直线x+y+2=0 的斜率k=-1,且所有样本点都落在直线x+y+2=0 上，所以这组样本数据完全负相关，且相关系数达到 最小值-1，即样本相关系数r=-1,故C正确；样本点 (x2,y2)的残差为y2y2=2020-2023=-3,故D正确. 故选BCD. 11.AB对于A,由题意知A1,A2,A3不能同时发生，∴.A1, A2,A两两互斥，故A正确；对于B,由题意知P(A2)= 21 131 P(A2B) g-4P(A,B)=4Xg-2P(B1A,)= P(A2) 1 是=，放B正确：对于C,P(A)8= 4 PRAB=号-P(=PA倒+PA,+ 4413137 8xg+4xg+4×g18.P(AB)≠ P(AB)=。X。 -X- P(A3)P(B),A与B不是相互独立事件，.C错误； 对于D,由C选项可知D错误.故选AB. 3 205商题可如Pa0侧，宁p司解 得P(A)=子故答案为Q75, 3 + 13.4根据二项分布方差公式可知，D(X)=n× (1-）,得n=4放答案为 14.4令f(x)=(x+2)2(1-x)4=a0+a1x+a2x2+…+a6x6, 则f(0)=a=4,① f1)=ao+a1+…+a6=0,② f(-1)=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=16,③ 由②3可得t,ta,+as=8,又6=4，则a,+a,+目 4,故答案为4. 15.解：(1)记“该选手通过初赛”为事件A,“该选手通过 复赛”为事件B,“该选手通过决赛”为事件C,则 PA)=子，P(B)=之P(C)=了那么该选手在复赛 阶段被淘汰的据率为P=P()=P(A)P(B)=子×(I 1、1 -2)=3 3 (2)由题意知专的可能取值为1,2,3.则P(=1)=1- 子P5=2)号x1-宁》3P(5=3)=号× 2 1、1,2、1、21 2×3+32×行3专的分布列为 1 2 3 1 3 3 数学期望为E)=1x写+2x兮+3x写=2 16.解：(1)记事件A表示“球取自甲箱”，事件A表示“球 取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，则P(A)= Pra=分P(Ba=名-，Pea 子由全概幸 公式得P(B=P(P(BIA)+P(a)P(BIa)=×号 +1x21 +2×530 (2)该球取自乙箱的可能性更大. 理由如下：该球是取自甲箱的概率P(AIB)= 1.1 P(A)P(BIA)2X3 5 P(B) 11 =立该球取自乙箱的概率 30 12 P(AIB)= P(A)P(BIA)2%5 6 P(B) 11=11 30 :P(AIB)<P(AIB),∴.该球取自乙箱的可能性更大 17.解：(1)由题意，从这批零件中随机抽取1个为二等 级别的（率为贸： ∴从这批零件中随机抽取6个，恰好有3个零件是二 等级别的概率为 p-c(分)广-)广-8 (2)由题意，抽取的10个零件中一等级别3个，二等 级别5个，三等级别2个，X=0,1,2,3, C7 P(X=0) C品24P(X=1)= CC 21 C640' CC,21 C 1 P(X=2)= c20PX=3)-品0 所以X的分布列为 0 1 2 21 21 24 40 120 120 &0=0 21 21 19 1×40+2×1203×12010 +3X 18.解：(1)设事件A为“任选1名学生每天使用手机超过 114 1h”,事件B为“任选1名学生近视”，则P(A)=0.2, P(A)=0.8,P(B1A)=0.5,P(B1A)=0.375.由全概率公 式得P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(B1A)=0.2×0.5+0.8 ×0.375=0.4,∴.从该校学生中随机抽取一名学生其近 视的概率为0.4. (2)2×2列联表为 每天使用手机时长 视力 合计 超过1h 不超过1h 近视 60 180 240 不近视 60 300 360 合计 120 480 600 根据列联表中的数据，经计算得到X2= 600×(60×300-180×60)225 =6.25>3.841,.在犯错 240×360×120×480 4 误的概率不超过5%的前提下，可以认为该校学生每 天使用手机时长与近视有关 19.解：(1)由题意知： 中间值 55 65 75 85 95 概率 0.16 0.3 0.4 0.1 0.04 .样本的平均数为x=55×0.16+65×0.3+75×0.4+85× 0.1+95×0.04=70.6,∴.(u-2σ，4+σ]=（70.6-20.06， 70.6+10.03]=(50.54,80.63],而P(4-2o<k≤+o）= P(u-0<k≤u+)+ 1 P(u-2σ<k≤u+2o）)= 2 0.8186. (2)由题意可知，该包装胶带的质量指标值k与对应 概率如下表所示：(1<t<4) 质量指 [50.60) [60,70) [70,80) 「80.90) [90,100 标值飞 利润y 5t -5e P 0.16 0.3 0.4 0.1 0.04 故每个包装胶带的利润y=5t×0.16+3t×0.3+2t×0.4+t× 0.1-0.2e=-0.2e+2.6t,则y=-0.2(e-13),令y'=0, 得t=lnl3,.当te(1,lnl3)时，y'>0,当te(lnl3,4) 时，y<0,.当t=lnl3≈2.6时，y取最大值，且ym= -0.2eml3+2.6x1n13≈-0.2×13+2.6×2.6=4.16（元），已 知，该生产线的年产量为1000万个，.该生产线的年 盈利的最大值为4.16×1000=4160（万元），且 4160万元<5000万元，.该化工厂不能在一年之内 通过销售包装胶带收回投资. 新高考模拟卷一 1D由题意知M=x0≤x<16,N=s≥兮}，故 MnN={≤<6.故选D,单元测试卷六 (第十一章~第十四章) 考试时间：120分钟总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1,若复数=2-是纯虚数，则实数a= () 2+i A.2 B.4 C.-2 D.-4 1 2设随机变量X~B(5,3),则D(3X) () A.10 B.30 C.15 D.5 3.某人设计的一个密码由2个英文字母（不分大小写）后接2个数字组成，且2个英文字母不 相同，2个数字也互不相同，则该密码可能的个数是 () A.CCi B.CCioA C.A2ATo D.A36A30A3 4.（2025天津卷)下列说法中错误的是 A.若X~N(u,σ2)，则P(X≤-o)=P(X≥+o) B.若X~N(1,2),Y~N(2,2),则P(X<1)<P(Y<2) C.r越接近1，相关性越强 D.r越接近0，相关性越弱 5在()广 的展开式中，x的系数为 A.-4 B.4 C.-6 D.6 6随机变量X的分布列如表所示，若E(X)=号，则D(3x+1) -1 0 1 P 6 a 6 A.9 B.7 C.5 D.3 -29 7.在某电视台有一档闯关节目，该节目设置有两关，闯关规则：当第一关闯关成功后，方可进入 第二关.为了调查闯关的难度，该电视台调查了参加过此节目的100名选手的闯关情况，第一 关闯关成功的有70人，第一关闯关成功且第二关闯关也成功的选手有63人，以闯关成功的 频率近似作为闯关成功的概率已知某个选手第一关闯关成功，则该选手第二关闯关成功的 概率为 () A.0.63 B.0.7 C.0.9 D.0.431 8.某科研机构为了研究一种电子元件的某项指标x,y的相关关系，观测得到统计数据如下表： 2 4 5 6 8 30 40 57 m 69 由此数据得到回归直线方程为y=6.5x+17.5,则样本点(6，m)的残差（观测值减去预报值）为 () A.3 B.2.5 C.-3 D.-2.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法正确的是 ( A.相关系数r的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强 B.若随机变量X~N(8,σ2)，且P(X≥11)=0.24，则P(5<X<11)=0.52 C.若随机变量6~B2, ,则D()=3 D.一组数据12,17,8,13,10,22,16,15,6,19的第80百分位数为17 10.已知具有相关关系的两个变量x,y的一组观测数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x,yn),由此 得到的线性回归方程为y=x+a,则下列说法中正确的是 () A.回归直线y=bx+à至少经过点(x1,y1),(x2y2),…,(x,yn)中的一个点 B.若=上立x,y=上立：，则回归直线=x+a一定经过点(，) n i-1 n i-1 C.若点(x1,y1),(x2y2),…,(x,y)都落在直线x+y+2=0上，则变量x,y的样本相关 系数r=-1 D.若y2=2020,y2=2023,则相应于样本点(x2,y2)的残差为-3 一30— 11.甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球.先 从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.用A1,A2,A3分别表示甲袋取 出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则 () A.A1,A2,A3两两互斥 B.P(BIA2)=3 C.A,与B是相互独立事件 D.P) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知P8A=7,PB)=名，则P的值为 18若肉散型随机变量X~4,),且D)= 3 ,则n= 14.若(x+2)2(1-x)4=ao+a1x+a2x2+…+a6x,则a2+a4+a6= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题.规定 回答问题正确者进入下一个阶段竞赛，否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的 概养分别为写，2}且各阶段通过与香相互激立 (1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率； (2)该选手在竞赛中回答问题的个数为专，求的分布列与数学期望. -31 16.(15分)第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的 新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用 于ChatGPT中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲、乙两个 箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除 颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球 (1)求摸出的球是黑球的概率； (2)若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大. 888 ●● —32 17.(15分)制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.十八世纪中叶开启工 业文明以来，世界强国的兴衰史和中华民族的奋斗史一再证明，没有强大的制造业，就没有 国家和民族的强盛打造具有国际竞争力的制造业，是我国提升综合国力、保障国家安全、 建设世界强国的必由之路.某企业制造的一批零件，分为三个等级：一等、二等、三等，现从 该批次零件中随机抽取500个，按照等级分类标准得到的数据如下： 等级 一等 二等 三等 个数 150 250 100 (1)若将样本频率视为概率，则从这批零件中随机抽取6个，求恰好有3个零件是二等级别 的概率； (2)若采用分层抽样的方法从这500个零件中抽取10个，再从抽取的10个零件中随机抽 取3个，X表示抽取的一等级别零件的数量，求X的分布列及数学期望E(X) —33 18.(17分)青少年时期是视觉发育的敏感期与关键期，这个阶段的视觉发育容易受环境因素 影响，某校为研究学生每天使用手机时长与近视率的关系，从全校学生中随机抽取600名 学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：有20%的学生每天使用手机超过1h,这些人的近 视率为50%：每天使用手机不超过1h的学生的近视率为37.5%. (1)若从该校学生中随机抽取一人，请根据以上数据估计该同学近视的概率； (2)请完成2×2列联表.并根据调查数据回答：在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认 为该校学生每天使用手机时长与近视有关吗？ 每天使用手机时长 视力 合计 超过1h 不超过1h 近视 不近视 合计 600 附：X2= n (ad be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 下表是X2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值： a=P(X2 >h) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 34 19.(17分)据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过50%的 高速年均增长.针对这种大好形势，某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生 产线.已知该包装胶带的质量以某项指标值作为衡量标准，为估算其经济效益，该化工厂先 进行了试生产，并从中随机抽取了1000个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值 k,并分成以下5组：[50,60)，[60,70)，…，[90,100]，其统计结果及产品等级划分如表 所示： 质量指标值飞 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 产品等级 A级 B级 C级 D级 废品 频数 160 300 400 100 40 试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题（注：每组数据取区间的中 点值)： (1)由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值k近似地服从正态分布N(,σ2)，其中 u近似为样本平均数x,σ近似为样本的标准差s,并已求得s≈10.03.求P(50.54<k≤80.63) 的值. (2)已知每个包装胶带的质量指标值k与利润y(单位：元)的关系如表所示：[t∈(1,4)] 质量指标值飞 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 利润y 5t 3t 2t t -5e 假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为5000万元（含引进 生产线、兴建厂房等一切费用在内)，问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回 投资？试说明理由 参考数据：若随机变量Z~N(u,σ2)，则P(u-σ<Z≤+o)=0.6827,P(u-2o<Z≤+2σ)= 0.9545,P(-3o<Z≤u+3w）=0.9973,ln13≈2.6. 35