第4章 第2节 非多项式函数的导数-【高考零起点】2026年新高考数学总复习（艺考）

故函数的极小值为-)=-了，极大值为-3)=-1函 数草图如图所示. 例5令f'(x)=3x2-3=0得两根x1=1和x2=-1,即该 函数在[-2，-1)和(1,3]上为增函数，在(-1,1)上为减 函数，由f代1)=-2，f(-1)=2,f-2)=-2,f3)=18可得 该函数在区间[-2,3]上的最小值为-2，最大值为18. 巩固练习 一、计算题 1.(1)f'(x)=4x3+6x2-2x-1（2)f'(x)=15x2-4x 2.3x-y-1=0 3递增区间为(。，号）和(1，+)，通诚区间为（行，） 4f'(x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a) (1)当a>1时，递增区间为(-o,1)和(a,+∞)，递减 区间为(1，a); (2)当a<1时，递增区间为(-∞，a)和(1，+0)，递减 区间为(a,1); (3)当a=1时，在R上为增函数. 5.令f'(x)=3x2+12x-15>0,得x2+4x-5>0,解得x<-5 或x>1, 所以f(x)的递增区间为(1，+∞)和(-∞，-5)，递减区 间为(-5,1).所以原函数的极小值为f1)=-5,极大值 为f-5)=103. 二、选择题 1.D∫'(x)=3x2+2ax+3,由条件知：f'(-3)=3× （-3)2+2a·(-3)+3=0,所以a=5. 2.D令f'(x)=3x2-12=0→x1=-2,x2=2,于是易 知x2=2为极小值点..a=2. 3.Da>0,b>0,f'(x）=12x2-2ax-2b,f'(1)=0,.a+ b=6.∴.ab≤9，当且仅当a=b=3时等号成立，ab取最 大值9. 4.C由f'(x)=3x2-3>0得x<-1或x>1,所以函数递增 区间为[-3，-1)，递减区间为(-1,0]，于是函数的极大 值为f(-1)=3,在[-3,0]内无极小值，又f(-3)= -17f(0)=1,故函数最大值为3，最小值为-17，故选C 5BCD直线)=+6的斜率为分A项了'（到=宁女 2,所以A不符合题意：B项x)=f"(x)=4=2 可以成立，符合题意；C项，f(x)=sinx,f'(x)=cosx= 子可以成立，符合题意：D项到=心"()=e=号 可以成立，符合题意放直线y=+6能作为BCD项 函数图象的切线，故选BCD, 6.Bf(x)=x3+ax+2,则f(x)=3x2+a, 若f(x)要存在3个零点，则f(x)要存在极大值和极 小值，则a<0, 令国=3+a0得号或√写， 根据三次多项式的草图，画出该函数的图象如下： 依题意有， -a +2>0, 即 a 3√3+√3 +2<0, 解得a<-3,故选B. 7.ABD 结合号数与函数单调性的关系可知，当≤：<0 时，∫'(x)<0,则函数∫(x)单调递减，当0≤x≤4 时f'(x)≥0，此时函数f(x)单调递增，故当x=0时，函 数取得极小值，没有极大值，故选ABD. 8.ACD对A,因为函数f(x)的定义域为R,而f'(x)= 2(x-1)(x-4)+(x-1)2=3(x-1)(x-3),易知当x∈ (1,3)时，f'(x)<0,当xe(-0,1)或x∈(3，+o)时， f'(x)>0,函数f(x)在(-o0,1)上单调递增，在(1,3)上 单调递减，在(3，+∞)上单调递增，故x=3是函数f(x) 的极小值点，正确；对B,当0<x<1时，x-x2= x(1-x)>0,所以1>x>x2>0,而由上可知，函数f(x)在 (0,1)上单调递增，所以f(x)>f(x2),错误；对C, 当1<x<2时，1<2x-1<3,而由上可知，函数f(x)在 (1,3)上单调递减，所以f(1)>f(2x-1)>f(3),即-4< f(2x-1)<0,正确；对D,当-1<x<0时，f(2-x)-f(x)= (1-x)2(-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0, 所以f(2-x)>f(x),正确. 第二节非多项式函数的导数 典例精析 例1f'(x)= (sinx）=(sinx)'cosx-sinx(cosx)'」 cos'x cos2x+sin2x 1 cos2x 例2f'(x)=(x2+1)'lnx+(x2+1)(lnx)'=2xnx+ x2+1 1 =2xlnx+x+ 例3f'(x)=co3x,将原点的横坐标x=0代入导函数 得f'(0)=1,所以原函数图象在原点处的切线斜率为1， 由直线的点斜式方程，此切线方程为y-0=1·(x-0), 整理得y=x 例4f'(x)=(e)'(x2+3x-9)+e(x2+3x-9)'= e*(x2+3x-9)+e(2x+3)=e*(x2+5x-6), 令e(x2+5x-6)>0,因为e恒大于零，所以x2+5x- 6>0,x<-6或x>1. 所以该函数的单调递增区间为(-0，-6)和(1，+∞)，单 调递减区间为(-6,1). 例5不难求得函数的定义域为(0，+∞).由f'(x)= 》”h2中令1,0得1-h0所 以lnx<1,解得0<x<e.从而该函数的单调递增区间 为(0，e),结合该函数的定义域，可知单调递减区间 为(e,+o) 巩固练习 一、选择题 1.Ay'=e,y'lx=0=1. 2.C y'=2cos x-sin x,y'l==-2,y+1=-2(x-m),E2x+ y-2r+1=0. 3.D∫'(x)=（x-2)·e*>0→x>2,单调递增区间为(2， +). 4.D两直线斜率存在时，两直线垂直的充要条件是它们 的斜率之积为-1，已知直线ax+y+1=0的斜率为-a,故 曲线)y=+1在点(3,2)处的切线的斜率为 x-1 a y'=(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)'2 (x-1)2 (x-1)2,于是 2 1,11 a2→as-2. yl=3--2。 5A设该切点为P(00),y”=号-3 2￥x>0,于是有 y' -03-1 =0202小号-0-6=0→。=3. 6C设曲线y=÷在点1，）处的切线方程为 y- 之=(x-1), e x+1’ y'=e(e+1)-e xe* (x+1)2(e+1D2: e .k=y1x=1=41 e 处的切线方程为y= 牙+做选c 7.Af”m)）=c+2cos)0+)（c+2sin)·2s,则 (1+x2)2 f'(0)=c+2cs0)×(1+0)-(c+2sim0)×0-3,即该 (1+0)2 切线方程为y-1=3x,即y=3x+1,令x=0,则y=1,令 y=0,则=号故该切线与两坐标轴所围成的三角形 8.D f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)cosx=(x+1)cosx, 所以在区间(0，号)和(2m)上r()>0, 即)单调递增；在区间（受，）上了()<0，即 f)单调递减，又f0)=f(2m)=2,f(7）7+2, f()-(+1）+1=-3,所以f)在区间 [0,2m]上的最小值为-，最大值为号+2故选D 9ACDy=6-3x+号则y=。-5,由e>0,可得切线 的斜率-3，由m心-5，可得0≤a<受或a< T,则A、C、D正确，故选ACD, 二、填空题 1.4对于y=e*+x+a,其导数为y'=e*+1,直线y=2x+5 是曲线的一条切线，直线的斜率为2，令y'=e+1=2, 即e=1,解得x=0,将x=0代入切线方程y=2x+5,可 得y=2×0+5=5,∴.切点坐标为(0,5)，切点(0,5)在 曲线y=e*+x+a上，.5=e°+0+a,即5=1+a,解得a=4. 2.(-∞，-4)U(0,+∞)y=(x+a)e,∴.y=(x+ 1+a)e,设切点为(x,yo),则yo=(xo+a)eo,切线斜 率k=(xo+1+a)e0,切线方程为：-(x+a)e0= (xo+1+a)eo(x-xo).切线过原点，.-(xo+a)eo= (xo+1+a)eo(-x),整理得：x+axo-a=0.切线有两条， 所以△=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,∴.a的取值范围是 (-∞，-4)U(0,+∞)，故答案为(-∞，-4)U(0,+∞). 3.ln2由y=e+x得y=e+1,y1x=0=e°+1=2，故曲线 y=e+x在(0,1)处的切线方程为y=2x+1;由y= n(x+1)ta得y=,设切线与曲线y=ln(x+1)+a相 x+1” 切的切点为(xo,ln(xo+1)+a),由两曲线有公切线得 2解得%宁则切点为（行h》, 切线方程为y=2+)+ah宁=2x+1+a-h2,根据 两切线重合，所以a-ln2=0,解得a=ln2 4y=2x偶函数关于y轴对称，.当x>0时，f(x)= e1+x,于是f'(x)=e1+1,则曲线y=f(x)在点(1,2) 处的切线的斜率为f'(1)=2,∴.切线方程为y-2= 2(x-1),即y=2x. 5.1f(x)=|2x-1|-2lnx的定义域为(0，+∞)， 当0<x≤2时，f(x)=1-2-2nx,有f"(x)=-2- 名<0，此时fx)单调递减：当？<≤1时，f() 2x-1-2h,有f()=2-是≤0，此时fx)单调递减； 当1时)=2x1-2h,有/()=2-2>0，此 时f八x)单调递增.又f八x)在各分段的界点处连续， .综上：0<x≤1时，f(x)单调递减，x>1时，f(x)单调递 增∴f(x)≥f1)=1,故答案为1. 6y=y=是y=a|,当0时，y=lh,设切 点为，h),由y=士，y1。切线方程 为y-1n=(-),又：切线过坐标原点， -n。=1(),解得。=e,切线方程为y-1=】 o）,即y= 当x<0时，y=ln(-x),设切点为(x1,ln(-x1)),由y= 1 1. xy三切线方程为y-n(-x)= 1 (x-x1),又切线过坐标原点，∴.-ln(-x1)= （←)，解得=-e,切线方程为y1=-。·(+e), 即y=x故答案为y=xy=1x 1 e e 第三节导函数的图象及复合函数求导 典例精析 例1根据知识梳理2，A正确，B错误：在区间(0，e)内， :导函数大于0，∴f(x)在该区间是增函数；在区间 (e,b)内，导函数小于0，原函数递减，∴f(x)在(0，b)上 有最大值存在，但最大值在x=e处取得，C错误；∫'(x) 在区间(c,e)上大于等于0，∴f(x)在该区间上递增，D正 确.故选AD. 例2对于这三个题，很多考生容易写出2x60(4红- 1 1),3(3x-4)2三个结果，这三个结果都只写出了正确过 程的一半，后面都还需要补乘小函数的导数 (1)y=ln(2x+6)可看成是将初等函数y=lnx中的x用 另外一个小函数2x+6代替而得到的复合函数，于是 y2x+6∵(2+6'=221 1 2x+6x+3 (2)y=sin(4x-1)可看成是将初等函数y=sinx中的x用 另外一个小函数4x-1代替而得到的复合函数，于是 y=cos(4x-1)·(4x-1)'=4cos(4x-1). (3)y=(3x-4)3可看成是初等函数y=x3中的x用另外 一个小函数3x-4代替而得到的复合函数，于是 y=3(3x-4)2·(3x-4)'=9(3x-4)2. 巩固练习 一、选择题 1.D2.B 3.D依题意，x2-2x-8>0,有x>4或x<-2,由f'(x)= 1 x2-2x-8 。·（2x-2)>0得x>4,于是单调递增区间 为(4，+0)，故选D. 4C容易得到函数的定义域为(0,2).由f'(x)=1+ 女2上0得20，于是1结 合定义域，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间 (1,2)上单调递减，A,B错误，：f(2-x)=ln(2-x)+ lnx=f(x),∴f八x)的图象关于直线x=1对称，故C正 确，D错误故选C 二、求下列函数的导数 1.将函数y=(1-2x)3看成y=w3与u=1-2x的复合函 数，根据复合函数的求导法则有y'=y·w'=3u2 ·（1-2x）'=3(1-2x)2·(-2)=-6(1-2x)2= -24x2+24x-6. 2.将函数y=e*看成y=e“与u=-x的复合函数，根据复 合函数的求导法则有y=y'.·u'=e“·（-x)'= e·（-1)=-e. 3.将函数y=c0s(3x-2)看成y=cosw与u=3x-2的复合 函数，根据复合函数的求导法则有y'=y。·w'= -sinu·(3x-2)'=-3sin(3x-2). 4.y'=ln2x+1 第四节用导数求非闭区间上的函数最值 典例精析 例1不难知道函数的定义域为(0，+∞)，由f'(x)=1- 1 >0解得x>1,故函数的单调递增区间为(1，+0)，从而 可得函数的单调递减区间为(0,1).，当x=1时函数取第四章导 数 5.（多选)下列函数图象中直线y=2+b能作为其切线的有 ( A.R(a)=1 B.f(x)=x C.f(x)=sinx D.f(x)=e* 6.(2023全国乙卷)函数fx)=x3+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是 A.（-0,-2) B.(-0,-3) C.(-4,-1) D.（-3,0) 7.（多选)定义在区间 分，4的函数)的导面数()的图象如图所示，则下列结 论正确的是 A.函数f(x)在区间(0,4)上单调递增 B.函数)在区间(，0)上单润递减 C.函数f(x)在x=1处取得极大值 D.函数f(x)在x=0处取得极小值 8.(2024新高考I卷)（多选）设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则 A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时，f(x)<fx2) C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 第二节 非多项式函数的导数 1.导数基本公式 (1)若f(x)=e,则f'(x)=e (2)若f)=n,则f'()= (3)若f(x)=sinx,则f'(x)=cosx. (4)若f(x)=cosx,则f'(x)=-sinx. (5)若f(x)=a,则f'(x)=alna(a>0且a≠1). (6若=，则r到ao>0且a1) 2.导数运算法则 (1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x). (2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x): (3)[cf(x)]'=gf'(x). 41Hgr四0. [g(x)]2 (5)由(4)得： 高考零起点·数学 3.求非多项式函数的单调区间、最值、极值的方法与多项式函数完全相同. 典例精析 例1 求函数f代)=sn”的导数 COSx 例2求函数f(x)=(x2+1)lnx的导数. 例3求函数f(x)=six的图象在原点处的切线斜率及此切线的方程. 例4求函数f(x)=e(x2+3x-9)的单调区间. 例5求fx)= nx的单调区间。 46 第四章导 数 巩固练习 一、选择题 1.曲线y=e在点A(0,1)处的切线斜率为 A.1 B.2 C.e 2.(2019全国Ⅱ卷)曲线y=2sinx+cosx在点（π，-1）处的切线方程为 A.x-y-T-1=0 B.2x-y-2m-1=0 C.2x+y-2m+1=0 D.x+y-T+1=0 3.函数f(x)=(x-3)e的单调递增区间是 () A.（-∞，2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 4. x+1 设曲线y-在点(3,2)处的切线与直线a+y+1=0垂直，则a= () 1 A.2 B. 1 2 C.2 D.-2 5.已知曲线)普3加x的一条切线的斜率为号 则该切点的横坐标为 () 1 A.3 B.2 C.1 6(2023金卧甲卷)曲线7=2千在点1， )处的切线方程为 A.y=e B.y=e C.y=ex D.y=ex 3e 4 2t+ 4 7.(2024全国甲卷理)设函数w)=e+2sin: 则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐 标轴所围成的三角形的面积为 B号 c 2 8.(2022全国乙卷)函数f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为 A.-T T B. 3T T D._3 T Γ2’2 2’2 C.、rm +2 2’2 +2 2’2 高考零起点·数学 9.(多选)设P是曲线y=e-3x+?上的任意一点，P处的切线的倾斜角为，则角a的 3 取值范围包含 ( A图，) R发) c.o,2） D.[ 二、填空题 1.(2025全国I卷)若直线y=2x+5是曲线y=e+x+a的一条切线，则a= 2.(2022新高考I卷)若曲线y=(x+a)e有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围 是 3.(2024新高考I卷)若曲线y=e+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切 线，则a= 4.已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)=e1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方 程为 5.(2021新高考I卷)函数f(x)=|2x-1-2lnx的最小值为 6.(2022新高考Ⅱ卷)曲线y=lnx过坐标原点的两条切线的方程为 第三节 导函数的图象及复合函数求导 知识梳理 1.给定导函数的图象，如果导函数为增函数，表示原函数斜率越来越大，则原函数 不管是增函数还是减函数，图象都是向下弯曲，如图1,2所示；反之，原函数图象向上 弯曲，如图3,4所示. 图1 图2 图3 图4 2.如果导函数图象与x轴相交，且函数在相交点两侧异号，则该交点横坐标是原函 数的极值点，否则不是， 图5 图6 图7 48