5.1 矩形(1) 同步提高练习2025-2026学年浙教版八年级数学下册

5.1 矩形(1) 重点提示 (1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。(2)矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，另外矩形的四个角都是直角、矩形的对角线相等。(3)矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，它有两条对称轴。 夯实基础巩固 1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )。 A.对边相等 B.对角相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 2.如图,在矩形ABCD中,AC与BD交于点O,E是CD的中点,已知AB=5,OE=6,则AC的长为( )。 A.10 B.11 C.12 D.13 3.如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,若∠EAO=15°,则∠BOE的度数为( )。 A.85° B.80° C.75° D.70° 4.如图,BD是矩形ABCD的一条对角线,E,F分别是BD,DC的中点,若AB=8,BC=6,则AE+EF的长为 。 5.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S₁,S₂,则S₁,S₂的大小关系是S₁ S₂。(填“>”“<”或“=”) 6.如图,在矩形ABCD中,点E在BC上,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F。 (1)求证:DF=AB。 (2)若∠FDC=30°,且AB=4,求AD。 7.如图，四边形ABCD是矩形，对角线相交于点O，E为线段AO上一点(不含端点)，F是点E关于AD的对称点，连结CF与BD相交于点G，连结AF。 (1)求证:AF∥BD。 (2)若OG=1,OE=2,求BD的长。 能力提升培优 8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,M为斜边AB上一动点,过点M作MD⊥AC于点D，过点M作ME⊥CB于点E，则线段DE的长的最小值为( )。 A. B.5 C. D.2.5 9.如图,E是矩形ABCD内的一个动点,连结EA,EB,EC,ED,得到△EAB,△EBC,△ECD,△EDA,设它们的面积分别是m,n,p,q,给出下列结论:①m+n=q+p;②m+p=n+q;③若m=n,则E一定是AC与BD的交点;④若m=n,则点E一定在BD上。其中正确的是( )。 A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④ 10.如图，将一把含30°角的三角尺放置在矩形纸板上，∠AMF=90°，已知矩形纸板的长是宽的2倍,M是BC的中点,则∠AFE的度数为 。 11.如图,在矩形ABCD中,AD=6,AB=4,点E,G,H,F分别在AB,BC,CD,AD上,且AF=CG=2,BE=DH=1,P是直线EF,GH之间任意一点,连结PE,PF,PG,PH,则△PEF和△PGH的面积和等于 。 12.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,AE=CF,连结EF,BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC。 (1)求证:OE=OF。 (2)若AD=1,求AB的长。 13.如图，E是矩形ABCD的边BC的延长线上一点，连结AE交CD于点F，G是AF的中点，再连结DG,DE,且DE=DG。 (1)求证:∠DEA=2∠AEB。 (2)若BC=2AB,求∠AED的度数。 实战演练 14.如图,在矩形ABCD中,AB=3,对角线AC,BD交于点O,DH⊥AC,垂足为H,若∠ADH=2∠CDH,则AD的长为 。 15.如图,四边形ABCD与四边形AEGF均为矩形,点E,F分别在线段AB,AD上。若BE=FD=2cm,矩形AEGF的周长为20cm,则图中阴影部分的面积为 cm²。 开放应用探究 16.已知矩形ABCD,点E在直线CD上,CF⊥AE,垂足为F,连结BF,DF。 (1)如图1，点E在线段CD上，写出线段BF与DF的位置关系并证明。 (2)如图2，点E不在线段CD上，请补全图形，写出线段BF与DF的位置关系并证明。 5.1 矩形(1) 1. C 2. D 3. C 4.8 5.= 6.(1)在矩形ABCD中, ∵AD∥BC,∴∠AEB=∠DAF。 又∵DF⊥AE,∴∠DFA=90°。∴∠DFA=∠B。 又∵AD=EA,∴△ADF≌△EAB。∴DF=AB。 (2)∵∠ADF+∠FDC=90°,∠DAF+∠ADF=90°,∴∠FDC=∠DAF=30°。∴AD=2DF。 ∵DF=AB,∴AD=2AB=8。 7.(1)∵F是点E关于AD的对称点, ∴∠EAD=∠FAD,AE=AF。 ∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OD。∴∠OAD=∠ODA。∴∠FAD=∠ODA。∴AF∥BD。 (2)∵O是矩形ABCD的对角线的交点, ∴BD=AC,O是AC的中点。 ∵AF∥BD,∴G为CF的中点。 ∴OG是△CAF的中位线。 ∴AF=2OG=2×1=2。∴AE=2。 ∵OE=2,∴OA=4。∴AC=2OA=8。 ∴BD=AC=8。 8. A 9. B 10.15° 11.7 12.(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD。 ∴∠CAE=∠ACF,∠CFO=∠AEO。 在△AOE和△COF中,∵ ∴△AOE≌△COF(ASA)。∴OE=OF。 (2)连结OB。∵BF=BE,OE=OF,∴BO⊥EF。 由(1)知△AOE≌△COF,∴OA=OC。 ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,BC=AD 又∵∠BEF=2∠BAC,∴∠BEF=2∠OBE。 在Rt△OBE中,∠BEO+∠OBE=90°,∴∠OBE=30°。∴∠BAC=30°。∴AB= BC= 13.(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADF=90°,AD∥BC。∵在Rt△ADF中,G是AF中点,∴GA=GD=GF。∴∠DGF=2∠DAE。 ∵AD∥BE,∴∠AEB=∠DAE。∵DG=DE, ∴∠DEA=∠DGF。∴∠DEA=2∠AEB。 (2)过点G作GH⊥DC于点H。∵AD∥GH,G是AF中点, ∵DE=DG=GF,∴Rt△GHF≌Rt△DCE(HL)。 ∵∠DEA=2∠AEB, ∴∠DEC=∠GFH=3∠AEB=3∠DAE。 ∵∠DAE+∠GFH=90°, ∴4∠DAE=90°,∠DAE=22.5°。 ∴∠DEA=2∠DAE=45°。 14.3 15.24 16.(1)BF⊥DF。理由如下:如图1,连结AC,BD交于点O，连结OF。 ∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC=OB=OD。 ∵CF⊥AE,垂足为F,∴∠AFC=90°。 ∵在Rt△ACF中,OA=OC,∴OF= AC=OA=OB=OD。∴OF=OB=OD。 ∴∠DBF=∠OFB,∠BDF=∠OFD。 ∵∠BFD+∠BDF+∠DBF=180°, ∴∠OFB+∠OFD+∠OFB+∠OFD=180°。 ∴∠OFB+∠OFD=90°。 ∴∠BFD=∠OFB+∠OFD=90°,即BF⊥DF。 (2)BF⊥DF。理由如下:如图2,当点E在CD的延长线上时，连结AC，BD交于点O，连结OF。 ∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC=OB=OD。 ∵CF⊥AE,垂足为F,∴∠AFC=90°。 ∵在Rt△ACF中,OA=OC, ∴∠DBF=∠OFB,∠BDF=∠OFD。∵∠BFD+∠BDF+∠OFB+∠OFD=180°, ∴∠OFB+∠OFD=90°。 ∴∠BFD=∠OFB+∠OFD=90°,即BF⊥DF。 如图3，当点E在DC的延长线上时，同理可得BF⊥DF。 学科网（北京）股份有限公司 $