6.3利用导数解决实际问题（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第三册

第六章 导数及其运用 6.3 利用导数解决实际问题 学 习 目 标 经历问题探究，理解与掌握利用函数导数求解生活中最优问题的方法与步骤，并能灵活解决相关实际问题（数学建模、数学运算•重点）. 一、引言导入——最优问题 在生活中,人们经常会遇到最优化的问题——例如,在铺设管道或者公路时,怎样使得花费最少?在制作容器时,怎样使得用料最少?经济活动中,怎样使得经营成本最小?等等. 这些问题都需要寻求相应的最佳方案或最佳策略,因此数学上都称为最优化问题. 因为利用导数可以求得最值,所以可以利用导数来求解最优化问题. 二、情境创设——输油管铺设 如图所示,海中有一座油井,其离岸的距离,岸是笔直的,岸上有一座炼油厂,且.现要用输油管将油井与炼油厂连接起来,且输油管既可以铺设在水下,也可以铺设在陆地上,还可以一部分铺设在水下另一部分铺设在陆地上.已知水下的铺设成本为每千米万元,陆地的铺设成本为每千米万元. 那么,铺设输油管的最少花费是多少? 三、问题探究 （一）问题 分别计算下列两种铺法的铺设成本,然后尝试给出最优的钱诸设方案. （1）先沿AC铺设再沿CB铺设; （2）直接沿着线段AB铺设. （二）探究 （1）如果先沿铺设,再沿铺设,则成本为 (万元). （2）又∵据勾股定理可得 (km), ∴直接沿线段铺设,成本为 (万元). 三、问题探究 （二）探究 （3）如图所示,在线段上取一点,设其离的距离为,则 , , 设先沿铺设再沿铺设输油管时成本为万元,则 . 因此,当时, 令,可解得, 可知在上递减,在上递增. 从而在时取得最小值,而且最小值为 (万元). 综上所述，最少花费是96万元. 四、实例运用 例1 如图所示,某海岛码头离岸边最近点的距离是,岸边的医药公司与点的距离为,现有一批药品要尽快送达海岛码头,已知与之间有一条公路,现要用海陆联运的方式运送这批药品. 若汽车时速为,快艇时速为.试在图岸边选一点,先将药品用汽车从送到,再用快艇从运到海岛码头,则点选在何处可使运输时间最短? 解：设点与点的距离为,运输时间为,则 , 因为 令,可解得 因此可知在上单调递减,在上单调递增,从而 在时取得最小值. 这就是说,点选在离点为km时可使运输时间最短. 四、实例运用 例2 如图所示，现有一块边长为的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，则容器的容积是截下的小正方形边长的函数． (1)写出函数的解析式． (2)为了使容器的容积最大，截去的小正方形边长应为多少？   【详解】（1）根据题意可知，容器底面的边长为，高为， 于是， 又因为显然x的长度必须小于原有正方形铁板的一半， 因此，所以． （2）由题意有． 令，可解得． 令，可解得． 因此可知V在上递增，在上递减． 从而V在0.2时取得极大值，而且在此时取得最大值． 即截去的正方形边长为时，容器的容积最大．   四、实例运用 例3 某种退烧药能够降低的温度是血液中该药含量的函数，而且，其中是一个常数． 试求这种退烧药在血液中的含量为多少时，能够降低的温度最大．   【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】求出，判断的单调性求出极值可得答案. 【详解】因为， 所以由可以解得． 因此可知R在上递增，在上递减． 从而V在时取得极大值，而且在此时取得最大值．   四、实例运用 例4 已知某型号手机总成本元是月产量万件的函数，且 ．将看成能取区间内的每一个值， 求月产量为多少时，才能使每件产品的平均成本最低？最低平均成本为多少？   【知识点】成本最小问题 【分析】根据已知条件求出解析式，再利用导数法求函数的最值即可求解. 【详解】记平均成本为元，则 ． 因为时，有， 令，可解得． 因此可知在上递减，在上递增， 从而在时取得极小值，而且在此时取得最小值为 ． 即当月产量为10万件时，每件产品的平均成本最低，最低为400元．   五、提升演练 练习1 如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于笔直河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，位于离河岸40 km的处，垂直于河岸，垂足为且与相距50 km．两厂要在此岸边合建一个供水站，从供水站到甲厂和乙厂铺设水管的费用分别为每千米元和元， 问：供水站建在岸边何处才能使铺设水管的费用最省？   【详解】根据题意可知点C，在线段AD上某一适当位置时，才能使总运费最省，设C点距D点 x km，则BD=40，AC=50－x, ∴， 设铺设水管的总费用为y元，则 ， ∴， 令，可得， 在上，y 只有一个极小值点，根据实际意义，函数在(km)处取得最小值， 此时(km), 故供水站C建在岸边A、D之间距甲厂20 km处，能使铺设水管的费用最省.   五、提升演练 练习2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中（cm）是瓶子的半径，已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm． (1)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最大？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？   【详解】（1）由于瓶子的半径为， 所以每瓶饮料的利润是，． 令，解得（舍去）． 所以当时，；当时，． 当时，，它表示在区间上单调递增，即半径越大，利润越高； 当时，，它表示在区间上单调递减，即半径越大，利润越低． 又， 故半径为时，能使每瓶饮料的利润最大． （2）由（1）可知，在区间上单调递增，在区间上单调递减． 所以当时，有最小值，其值为， 故瓶子半径为时，每瓶饮料的利润最小，并且是亏损的.   五、提升演练 练习3工厂需要围建一个面积为512的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．我们知道，砌起的新墙的总长度（单位：m）是利用原有墙壁长度（单位：m）的函数． (1)写出关于的函数解析式，并确定x的取值范围； (2)随着的变化，的变化有何规律？ (3)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？   【详解】（1）由题意可知与原有墙壁垂直的新墙长度为：， 则， 所以y关于x的函数解析式为，； （2）由（1）， 显然当时，，即此时随着x的增大，y也增大； 当时，，即此时随着x的增大，y减小； （3）由（2）可知，当时，y可取得极小值也是最小值，此时， 所以长和宽分别为32，16时最省料，此时长宽比为.     今天我们都学习了什么知识？ 经历问题探究，理解与掌握了利用函数导数求解生活中最优问题的方法与步骤，并能灵活解决相关实际问题（数学建模、数学运算•重点）. 六、课堂小结 感谢聆听! $