6.2.1 第1课时 导数与函数的单调性（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“导数与函数的单调性”，通过股票走势图实例导入，引导学生思考导数研究单调性的必要性，衔接导数定义，以思考、提示等支架构建知识脉络，为后续学习奠定基础。 其亮点在于结合现实情境培养数学眼光，通过函数实例（如y=x²、y=x³）探究导数符号与单调性关系发展数学思维，用步骤总结和表格规范数学语言。含即时练、跟踪训练等，助学生提升应用能力，为教师提供结构化教学资源。

6．2　利用导数研究函数的性质 6．2.1　导数与函数的单调性 第1课时　导数与函数的单调性 1 新课导入 学习目标 　　研究股票时，我们最关心的是股票曲线的发展趋势(走高或走低)，以及股票价格的变化范围(封顶或保底).从股票走势曲线图来看，股票有升有降．我们知道，股票走势曲线的变化趋势可以看作函数曲线的单调性，能否用导数研究函数的单调性呢？ 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性． 3．对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． 4．了解函数与其导函数图象之间的关系． 5．能利用函数的单调性求参数值(或范围). 6．能利用导数比较式或值的大小及解有关不等式． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　函数的单调性与导数符号的关系 思考　观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系． 提示：(1)函数y＝x的定义域为R，并且在定义域上是增函数，其导数y′＝1>0； (2)函数y＝x2的定义域为R，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．而y′＝2x，当x<0时，y′<0；当x>0时，y′>0；当x＝0时，y′＝0； 返回导航 (3)函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数．而y′＝3x2， 当x≠0时，y′>0；当x＝0时，y′＝0； 返回导航 [知识梳理] 一般地，(1)如果在区间(a，b)内，f′(x)>0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都________0，曲线呈上升状态，因此f(x)在(a，b)上是________，如图1所示． (2)如果在区间(a，b)内，f′(x)<0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都________0，曲线呈下降状态，因此f(x)在(a，b)上是________，如图2所示． 大于 增函数 小于 减函数 返回导航 点拨　(1)在利用导数判断函数的单调性时，首先要确定函数的定义域． (2)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件． 返回导航 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(　　) (2)若函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.(　　) (3)函数在区间(a，b)内单调递减与函数的单调递减区间为(a，b)是不同的．(　　) (4)若f(x)＝x2＋1，则f(x)在x＝2时是递增的．(　　) × √ × × 返回导航 返回导航 (3)f(x)＝x－ex(x>0). 解：因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)， 所以f′(x)＝1－ex<0， 所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上单调递减． 返回导航 利用导数判断函数单调性的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)确定f′(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形； (3)得出结论． 返回导航 二　具体函数的单调性 角度1　求不含参数的函数的单调区间 [例1] (对接教材例1、例2、例3)求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝2x3－6x2－18x＋5； 令f′(x)>0，解得x<－1或x>3； 令f′(x)<0，解得－1<x<3. 返回导航 (2)f(x)＝e2x－ex－x. 令f′(x)>0，得x>0； 令f′(x)<0，得x<0. 所以f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞). 返回导航 求函数y＝f(x)单调区间的步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求导数y′＝f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 注意　单调区间不能用“∪”“或”连接，可以用“，”“和”连接；单调区间的端点处若有意义，可以写闭区间，也可写开区间，但是函数在端点处没有意义，一定要写开区间． 返回导航 角度2　讨论含参函数的单调性 [例2] 已知函数f(x)＝ln x－mx＋m，m∈R.求f(x)的单调区间． 返回导航 讨论含参函数单调性的关键点 (1)涉及含参数的函数的单调性问题，一定要判断参数对导数f′(x)在某一区间内的正负是否有影响．若有影响，则必须分类讨论，讨论时要做到不重不漏，最后进行总结． (2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点． 返回导航 [跟踪训练1] (1)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　) A．(－∞，2) B．(0，3) C．(1，4) D．(2，＋∞) 解析：f(x)＝(x－3)ex， f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex， 令f′(x)＝(x－2)ex>0，解得x>2， 所以函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(2，＋∞).故选D. √ 返回导航 (2)函数f(x)＝x－2ln x＋1的单调递减区间为________． (0，2) 返回导航 (3)设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间． 返回导航 三　导数与原函数的图象 思考　观察图象，试分析函数递增或递减的速度与导数的大小的关系． 提示：由题图可知，若f′(x)＞0，则f(x)单调递增，而导数值的大小不同决定了函数增长的快慢，显然f′(x)越大，函数f(x)递增的越快；同样，若f′(x)＜0，则f(x)单调递减，显然|f′(x)|越大，函数f(x)递减的越快． 返回导航 √ √ 角度1　导函数图象与原函数单调性的关系 [例3] (多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　) A．在区间(－3，－2)上f(x)单调递减 B．在区间(1，3)上f(x)单调递减 C．在区间(4，5)上f(x)单调递增 D．在区间(3，5)上f(x)单调递增 返回导航 【解析】　由导函数f′(x)的图象知在区间(－3，－2)上，f′(x)<0，故f(x)在区间(－3，－2)上单调递减，故A项正确； 在区间(1，3)，(3，5)上f′(x)分别有大于零和小于零的部分，故f(x)在区间(1，3)，(3，5)上不单调，故B，D项错误； 在区间(4，5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在区间(4，5)上单调递增，故C项正确．故选AC. 返回导航 通过图象研究函数单调性的方法 (1)观察原函数的图象，重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势． (2)观察导函数的图象，重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负． 返回导航 √ 返回导航 设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上变化快慢规律如下： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下)，切线斜率的绝对值越大 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)，切线斜率的绝对值越小 返回导航 [跟踪训练2] (1)已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的部分图象如图所示，则(　　) A.g′(－1)<0<f′(－1) B．f′(－1)<0<g′(－1) C．g′(3)<f′(3) D．f′(3)<g′(3) √ 解析：由题图可知，f(x)与g(x)在区间[－1，3]上单调递增，所以g′(－1)>0，f′(－1)>0.在区间[－1，3]上，g(x)的图象比f(x)的图象更陡峭，所以0<f′(－1)<g′(－1)，f′(3)<g′(3).故选D. 返回导航 (2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) √ 返回导航 解析：由题中f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递减，故x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，故排除A，C； 当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)的图象先单调递增，再单调递减，最后再单调递增，所以f′(x)的值是先正，再负，最后是正，因此排除B，D项符合题意，故选D. 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 30 √ 1．函数f(x)＝x3－2x2＋x＋4在区间(－2，0)内的单调性是(　　) A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 解析：f′(x)＝3x2－4x＋1，当－2<x<0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－2，0)上单调递增．故选A. 返回导航 √ 2．(多选)(教材P95练习BT1改编)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　) A．f(b)>f(c)>f(d) B．f(a)>f(b)>f(e) C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(d)>f(e) √ 返回导航 解析：由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，c)上单调递增，因为a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)，C选项正确； 当x∈(c，e)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(c，e)上单调递减，因为c<d<e，所以f(c)>f(d)>f(e)，D选项正确．故选CD. 返回导航 3．若函数f(x)的导函数为f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(1＋x)的单调递减区间是________． 解析：令f′(x)＝x2－4x＋3＜0，得1＜x＜3， 由1＜1＋x＜3，解得0＜x＜2， 故函数f(1＋x)的单调递减区间为(0，2). (0，2) 返回导航 4．判断下列函数的单调性． (1)f(x)＝x ln x； 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1＋ln x， 返回导航 令f′(x)<0，得x<1且x≠0, 所以f(x)在区间(－∞，0)和(0，1)上单调递减； 令f′(x)>0，得x>1，所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增． 返回导航 1．已学习：函数的单调性与其导数符号的关系，具体函数的单调性问题及导函数的图象与函数图象间的关系． 2．须贯通：(1)导数的符号反映了原函数在某个区间上的单调性． (2)导数绝对值的大小反映了原函数增减的快慢． 3．应注意：忽略函数定义域而出错；混淆导函数与函数的图象． 返回导航 $