6.1.2 第2课时 导数的几何意义（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件围绕导数的几何意义展开，涵盖曲线切线方程的求法及利用导数求近似值。新课导入从物理学中物体运动轨迹的瞬时速度方向切入，衔接之前学习的平均变化率与割线斜率，为学生搭建从瞬时变化率到切线斜率的认知支架。 其亮点在于通过辨析“在某点处”与“过某点”的切线差异，结合实例推导培养学生的数学思维。如例2通过设切点建立方程求解过点切线，体现推理能力；利用导数求近似值的实例则发展数学语言的模型观念。学生能深化概念理解，教师可借助分层训练提升教学效率。

第2课时　导数的几何意义 1 新课导入 学习目标 　　从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的．导数除了代表瞬时变化率外，它还具有其他的意义吗？今天我们将揭开此谜底，一探导数的几何意义． 1.理解导数的几何意义，会求导数． 2．会求曲线的切线方程． 3．会求近似值． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　导数的几何意义 思考　在前面的课程中我们已经了解到抛物线的切线斜率与函数的瞬时变化率的关系，也知道对于一般的曲线，平均变化率可以代表曲线的割线斜率，那么导数(即瞬时变化率)能代表曲线的切线斜率吗？ 提示：能． 返回导航 [知识梳理] 1．曲线的切线  一般地，如图所示，设S是平面上的一条曲线，P0是曲线S上的一个定点，P是曲线S上P0附近的点，则称直线PP0为曲线S的割线，如果P无限接近于P0时，割线PP0无限接近于通过P0的一条直线l，则称________为曲线S在点P0处的切线． 直线l 返回导航 2．导数的几何意义 f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处(也称在x＝x0处)的______________，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是____________________． 切线的斜率 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 返回导航 × √ × √ 返回导航 2．函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(　　) A．f′(1)<f′(2)<f(2)－f(1)<0 B．f′(2)<f(2)－f(1)<f′(1)<0 C．f′(1)<f(2)－f(1)<f′(2)<0 D．f(2)－f(1)<f′(1)<f′(2)<0 √ 返回导航 返回导航 －1 返回导航 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢． 返回导航 二　曲线的切线方程 角度1　曲线在某点处的切线 [例1] (对接教材例4、例5)求曲线f(x)＝x2－x＋3在点(1，3)处的切线方程． 所以这条曲线在点(1，3)处的切线斜率k＝1，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－3＝x－1，即x－y＋2＝0. 返回导航 返回导航 返回导航 解得x0＝－1或x0＝2. 故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0. 返回导航 返回导航 √ 返回导航 返回导航 (2)过点(－1，0)且与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程是_________________________________． x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0 返回导航 当x0＝0时，切线斜率k＝1，过点(－1，0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0； 当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过点(－1，0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0. 故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0. 返回导航 三　求近似值 [例3] 已知f(x)＝x2＋1，若f(1)＝2，f′(1)＝2，Δx＝0.04，则f(1.04)的近似值为________． 【解析】　设x＝x0＋Δx，Δx＝x－x0， 则有f(x)≈f(x0)＋f′(x0)(x－x0)， 所以f(1.04)≈f(1)＋0.04f′(1)＝2＋0.04×2＝2.08. 2.08 返回导航 求函数近似值或方程近似解可以从函数导数的实际意义角度考虑，即f′(x)的实际意义：当自变量在x＝x0处的改变量Δx很小时，因变量对应的改变量的近似值为f′(x0)Δx. 返回导航 9 9.18 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 25 √ 1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝(　　) A．4 B．－4 C．－2 D．2 解析：由导数的几何意义知f′(1)＝2.故选D. 返回导航 √ 2．(多选)已知函数f(x)满足f(1)＝3，f′(1)＝－3，则下列关于f(x)的图象描述正确的是(　　) A．f(x)的图象在x＝1处的切线斜率大于0 B．f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0 C．f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方 D．f(x)的图象在x＝1处位于x轴下方 解析：因为f′(1)＝－3<0，则f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0；因为f(1)＝3>0，所以f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方．故选BC. √ 返回导航 3．(教材P75T5改编)已知f(x)＝2x2－3，若f(2)＝5，f′(2)＝4，Δx＝0.02，则f(2.02)的近似值为________． 解析：设x＝x0＋Δx，Δx＝x－x0，则有f(x)≈f(x0)＋f′(x0)·(x－x0)，所以f(2.02)≈f(2)＋0.02f′(2)＝5＋0.02×4＝5.08. 5.08 返回导航 所以f′(2)＝－2，即该曲线在点P(2，－2)处的切线斜率为－2，所以所求的切线方程为y－(－2)＝－2(x－2)，即2x＋y－2＝0. 返回导航 1．已学习：导数的几何意义、曲线的切线方程的求法以及利用导数求近似值． 2．须贯通：(1)导数的几何意义就是切线的斜率，其斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况； (2)求曲线的切线方程时，利用导数的几何意义，先求出切线的斜率，再利用点斜式写出切线方程． 3．应注意：“在”某点处与“过”某点的切线的区别；切线过某点，该点不一定是切点；切点既在切线上，又在原函数图象上． 返回导航 $