第5章 阶段提升(一) 数列的概念与等差数列(范围：5.1～5.2)（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦数列的概念与等差数列，涵盖定义、分类、表示方法及等差数列的通项、求和公式，通过从基础概念到性质、运算、判定与递推关系的递进式讲解，搭建知识支架帮助学生构建完整知识体系。 其亮点在于结合高考真题与典型例题，通过“感悟提升”总结等差数列运算的方程思想、判定方法等，培养学生数学思维的推理与运算能力。如递推关系中累加法的应用，让学生学会用数学语言表达问题，既帮助学生系统掌握知识，也为教师提供高效教学资源。

阶段提升(一)　数列的概念与等差数列 (范围：5.1～5.2) 1 返回导航 √ 返回导航 √ 2．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝2a2，公差d≠0，Sm＝0，则m的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 返回导航 3．(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝____________． 解析：设等差数列{an}的公差为d，由a3＋a4＝a1＋2d＋a1＋3d＝2a1＋5d＝7，3a2＋a5＝3(a1＋d)＋a1＋4d＝4a1＋7d＝5，解得a1＝－4，d＝3，则S10＝10a1＋45d＝95. 95 返回导航 等差数列的基本运算的解题策略 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程(组)解决问题的思想． (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 返回导航 √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 (2)当n为何值时，Sn－n的值最小？ 返回导航 等差数列的性质的应用 (1)项的性质：如下标和相等性质，利用此性质可以在有关基本量的计算时达到简化运算的目的． (2)前n项和的性质、奇偶项和性质、函数特性等，利用这些性质能够快速解决数列中的选择题、填空题． 返回导航 题型三　等差数列的判定与证明 [例1] 已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n. (1)求a2，a3； 【解】　由已知，得a2－2a1＝4，则a2＝4＋2a1， 又因为a1＝1，所以a2＝6. 由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3×6，所以a3＝15. 返回导航 返回导航 等差数列的判定与证明的方法 返回导航 √ 返回导航 题型四　数列的递推关系 1．已知在数列{an}中，a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)，则a2 026＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：由题意得a3＝a2－a1＝－1，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－1，a6＝a5－a4＝1，a7＝a6－a5＝2，a8＝a7－a6＝1，…，则{an}是以6为周期的周期数列，所以a2 026＝a337×6＋4＝a4＝－2. √ 返回导航 2．已知在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N＋)，则an＝____________． 解析：由题得an＋1－an＝2n－1，因为an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－3)＝(n－1)2(n≥2)，且a1＝0满足上式，所以an＝(n－1)2. (n－1)2 返回导航 3．若a1＝1，an＋1＝2nan，则通项公式an＝____________. 返回导航 由递推关系求数列的通项公式的常用方法 注意　根据累加法、累乘法求出an之后，注意检验a1是否满足an. 返回导航 题型五　等差数列的综合问题 [例2] 已知公差不为0的等差数列{an}满足a3＝a5a8，a6＝1. (1)求数列{an}的通项公式； 返回导航 (2)记数列{an}的前n项和为Sn，求使Sn<an成立的最大正整数n. 返回导航 解答等差数列综合问题的策略 (1)灵活应用等差数列的定义构造新的等差数列； (2)以“基本量法”为根本，重视公差和首项的计算； (3)树立“目标意识”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意解题的目标； (4)重视方程、分类讨论等思想在解决数列综合问题中的应用． 返回导航 [跟踪训练2] 在等差数列{an}中，已知首项a1>0，前n项和为Sn，公差d＝2，ak＝10，Sk＝30(k∈N＋). (1)试求a1和k； 返回导航 (2)求数列{a2n}的前n项和Tn. 返回导航 2 解析：由an＋1＝2nan，得＝2n－1(n≥2)，所以an＝··…··a1＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2(n≥2).又a1＝1满足上式，故an＝2. $