5.2.1 第2课时 等差数列的性质（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件核心内容为等差中项概念、等差数列性质及实际应用，通过正整数数列中奇偶项构成新等差数列的实例导入，衔接已学等差数列概念，搭建新旧知识过渡的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过“思考-推导-应用”培养数学思维，如性质推导中结合方程法与整体代换思想，跟踪训练和实际问题（如气温变化、利润计算）体现数学语言表达。学生能提升运算与推理能力，教师可借助清晰结构高效教学。

第2课时　等差数列的性质 1 新课导入 学习目标 　　同学们，前面我们学习了等差数列的概念，在学习过程中，我们发现了一件非常有意思的事情，比如说an＝n，这是一个正整数数列，如果我们把其中的偶数拿出来，即2，4，6，8，10…容易发现这也是一个等差数列，同样，如果我们把所有的奇数拿出来，也能构成一个新的数列，今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质． 1.能理解等差中项的概念． 2．能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质． 3．能运用等差数列的性质简化计算． 4．能运用等差数列解决实际问题． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　等差中项 思考　若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列吗？反之，是不是也成立？ 提示：若a，b，c满足2b＝a＋c， 即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列． 反之，若a，b，c成等差数列，则有2b＝a＋c成立． 返回导航 点拨　任意两个实数都有等差中项，且唯一． 返回导航 ap＋aq 返回导航 返回导航 返回导航 [跟踪训练1] (1)已知数列{an}是等差数列，且a2＋1是a1和a4的等差中项，则{an}的公差为________． 解析：设等差数列{an}的公差为d， 由已知条件，得a1＋a4＝2(a2＋1)， 即a1＋(a1＋3d)＝2(a1＋d＋1)，解得d＝2. 2 返回导航 返回导航 二　等差数列的性质 [知识梳理] 一般地，如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝____________．特别地，如果2s＝p＋q，则2as＝____________． 点拨　(1)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同，可以推广为：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az. (2)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1＋an＝a2＋an－1＝…(n∈N＋). ap＋aq 返回导航 √ 返回导航 (2)已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝(　　) A．32 B．27 C．24 D．16 【解析】　方法一：设等差数列{an}的公差为d， 则a3＋a6＝2a1＋7d＝8， 所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24. √ 返回导航 方法二：在等差数列中，m＋n＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq， 所以a2＋a6＝a3＋a5＝2a4， 所以5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7. 又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5. 所以5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24. 返回导航 返回导航 返回导航 等差数列运算的两种常用思路 (1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量． (2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar. 返回导航 √ [跟踪训练2] (1)已知数列{an}是等差数列，且a2＋2a3＋a8＝32，则a4＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：由题设a2＋2a3＋a8＝2a3＋2a5＝4a4＝32，故a4＝8.故选C. 返回导航 (2)在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝________． 解析：在等差数列{an}中，a5＋a6＝4， 所以a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4， 所以log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log2(2a1＋a2＋…＋a10)＝(a1＋a2＋…＋a10)log22＝4×5＝20. 20 返回导航 三　等差数列的实际应用问题 [例3] (对接教材例7)在通常情况下，从海平面到10 km高空，海拔每增加1 km，气温就下降一固定数值．如果海拔1 km高空的气温是9 ℃，海拔5 km高空的气温是－15 ℃，那么海拔8 km高空的气温是多少？ 返回导航 返回导航 解答等差数列实际问题的基本步骤 返回导航 [跟踪训练3] 某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，那么从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解：设第n年的利润为an万元，则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N＋)，所以每年的利润构成一个等差数列{an}，设公差为d，从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损．所以由an＝220－20n＜0，得n＞11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损． 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 25 √ 返回导航 2．(多选)已知在等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则(　　) A．公差d＝－4 B．a2＝7 C．数列{an}为递增数列 D．a3＋a4＋a5＝84 解析：因为a1＋a2＋a3＝21，所以3a2＝21，所以a2＝7.因为a1＝3，所以d＝4.所以数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15.所以a3＋a4＋a5＝3a4＝45.故选BC. √ √ 返回导航 3．(教材P21T2改编)若2a＋1是a－1与4a－2的等差中项，则实数a的值为________． 解析：由题意知，2(2a＋1)＝a－1＋4a－2，则a＝5. 5 返回导航 4．(教材P22练习BT4改编)假设体育场一角看台的座位从第2排起每一排都比前一排多相等数目的座位．若第3排有10个座位，第9排有28个座位，则第12排有________个座位． 37 返回导航 1．已学习：等差中项的概念，等差数列的性质及实际应用． 2．须贯通：灵活利用等差数列的性质，可以减少运算量，该思路运用了整体代换的思想． 3．应注意：(1)对等差数列的性质不理解而致错； (2)忽略基本方法如方程(组)法的应用，过分强调性质的作用． 返回导航 $