5.1.2 数列中的递推 课后达标检测（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）
2026-04-01
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教辅
摘要：
该高中数学课件聚焦数列核心知识，涵盖递推关系、通项公式、前n项和及周期性等内容，通过基础题（如等比数列递推判断）到综合题（累加法、累乘法求通项）再到实际应用（三角形数、九连环），构建递进式学习支架，衔接前后知识脉络。
其亮点在于以数学眼光挖掘现实问题（如九连环移动次数），通过推理过程（如周期数列证明、累乘化简）发展数学思维，用规范符号表达（递推公式书写、推导步骤）强化数学语言。例如九连环问题引导学生分析递推规律，帮助学生提升应用意识，也为教师提供系统教学资源，落实核心素养培养。
内容正文：
课后达标检测
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2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋n，则a4＝( )
A．17 B．18
C．19 D．20
解析：由an＋1＝2an＋n，a1＝1，得a2＝2a1＋1＝3，a3＝2a2＋2＝8，a4＝2a3＋3＝19.
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3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a5＝( )
A．－11 B．9
C．11 D．25
解析：因为Sn＝n2，所以a5＝S5－S4＝25－16＝9.故选B.
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5．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋1＝an＋an＋2，则a985＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：由题知an＋2＝an＋1－an，所以an＋3＝an＋2－an＋1＝an＋1－an－an＋1＝－an，an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an，所以数列{an}具有周期性，且周期T＝6，因为985＝6×164＋1，则a985＝a1＝1.故选A.
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8．已知在数列{an}中，n(an＋1－an)＝an(n∈N＋)，且a3＝π，则an＝____________．
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9．古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，…这些数量的石子，排成一个个如图所示的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数．那么把三角形数从小到大排列，第11个三角形数是__________．
解析：依题意，设三角形数按从小到大排列构成数列{an}，则a1＝1，an－an－1＝n(n≥2)，所以a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，a11－a10＝11，上式相加得a11－a1＝2＋3＋…＋11，则第11个三角形数是a11＝66.
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解析：由已知可得a2＝2a1－1＝1，
a3＝2a2＋2＝4，a4＝2a3－1＝7.
所以解下4个圆环最少需要移动7次．故选A.
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15．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将最中间的一个小正方形挖掉，得到图①；再将剩下的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将其最中间的一个小正方形挖掉，得到图②；如此继续下去，则图③中共挖掉了____________个正方形，请写出每次挖掉的正方形个数所构成的数列的一个递推公式：_______________．
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an＝8an－1(n≥2)
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解析：题图③中共挖掉了8×9＋1＝73个正方形．设每次挖掉的正方形个数为an，根据题图得a1＝1＝80，a2＝81，a3＝82，则an＝8n－1，故递推公式为an＝8an－1(n≥2).
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