6.1.2 第1课时 瞬时变化率与导数 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．一个物体做直线运动，位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝t2＋2t＋3，则该物体在t＝2时的瞬时速度为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选C. ＝ (Δt＋6)＝6.故选C. 2．若函数f(x)＝x2，则f′(－3)＝(　　) A． B．1 C．－1 D．－ 解析：选C.f′(－3)＝ ＝ (Δx－1)＝－1.故选C. 3．物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是(　　) A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率 B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率 C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率 D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率 解析：选C.结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确． 4．将原油精炼为汽油，柴油，塑胶等不同产品时，需要对原油进行冷却和加热．若在第x h时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)，则第4 h时，原油温度的瞬时变化率为(　　) A．－1 B．1 C．3 D．5 解析：选B.设x＝4时，时间的改变量为Δx， 则＝ ＝＝Δx＋1， 令Δx→0，可得f′(4)＝1.故选B. 5．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝t3＋1，设其在时间段[1，2]内的平均速度为v1 m/s，在t＝2时的瞬时速度为v2 m/s，则＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.由题意，该质点在时间段[1，2]内的平均速度 v1＝＝＝(m/s)， v2＝ ＝ (4＋2Δt＋Δt2)＝4. 即该质点在t＝2时的瞬时速度为v2＝4 m/s，所以＝.故选B. 6．(多选)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则 的值(　　) A．与x0有关 B．与h有关 C．与x0无关 D．与h无关 解析：选AD.由导数的定义可知，函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关．故选AD. 7．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝__________． 解析：因为f′(1)＝ ＝ ＝a. 又因为f′(1)＝3，所以a＝3. 答案：3 8．设f(x)是可导函数，且 ＝2，则f′(1)＝________． 解析：因为 ＝－3× ＝2， 所以 ＝－， 即f′(1)＝－. 答案：－ 9．高台跳水运动员在t s时距水面高度h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10(单位：m)，则该运动员的初速度为________ m/s. 解析：＝＝－4.9Δt＋6.5， 因为当Δt→0时， －4.9Δt＋6.5→6.5， 所以该运动员的初速度为6.5 m/s. 答案：6.5 10．(13分)求函数f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数． 解：因为Δf＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3) ＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx， 所以＝＝2Δx＋16. 所以f′(3)＝ ＝ (2Δx＋16)＝16. 11．已知某登山者爬山的路程h(单位：m)与时间t(单位：h)的函数关系式是h(t)＝at2＋600t，若该登山者在1≤t≤3这段时间内的平均速度是360 m/h，则该登山者在t＝3时的瞬时速度是(　　) A．180 m/h B．240 m/h C．360 m/h D．480 m/h 解析：选B.Δh＝h(3)－h(1)＝8a＋1 200，Δt＝3－1＝2，所以该登山者在1≤t≤3这段时间内的平均速度是＝＝4a＋600＝360， 所以a＝－60， 所以 ＝ ＝ (－60Δt＋240)＝240， 故该登山者在t＝3时的瞬时速度是240 m/h.故选B. 12．(多选)对于函数f(x)，若f′(x0)＝2，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有(　　) A． B． C． D． 解析：选AD.因为 ＝f′(x0)＝2，故A正确；因为 ＝f′(x0)＝1，故B错误；因为 ＝2f′(x0)＝4，故C错误；因为 ＝f′(x0)＝2，故D正确．故选AD. 13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x，y＝0，x＝t(t>0)围成的△OAB的面积为S(t)，则S(t)在t＝2时的瞬时变化率是________． 解析：由题设知，B(t，t)，即AB＝t， 而OA＝t， 所以S(t)＝OA·AB＝t2， 则S′(2)＝ ＝ ＝ (2＋Δt)＝2. 答案：2 14．(13分)在某场世界一级方程式锦标赛中，赛车位移s(单位：m)与比赛时间t(单位：s)的关系是s(t)＝10t＋5t2.求： (1)t＝5 s，Δt＝0.1 s时的Δs与；(6分) (2)t＝5 s时的瞬时速度．(7分) 解：(1)Δs＝s－s(5)＝10＋5(5＋0.1)2－10×5－5×52＝6.05. ＝＝60.5. (2) ＝ ＝ ＝ ＝60. 则在t＝5 s时的瞬时速度为60 m/s. 15.(13分)已知在使用某种杀菌剂t小时后室内的细菌数量为f(t)＝105＋104t－103t2. (1)求f′(10)；(6分) (2)f′(10)的实际意义是什么？(7分) 解：(1)设t＝10时细菌数量的改变量为h，由函数f(t)＝105＋104t－103t2，当h≠0时，在使用杀菌剂10小时附近的时间段[10，10＋h](h>0)内， 可得细菌数量关于时间的平均变化率为＝ ＝＝－104－103h， 则f′(10)＝ (－104－103h)＝－104＝－10 000. (2)f′(10)的实际意义是细菌数量在t＝10时的瞬时变化率，它表明在t＝10附近，细菌数量大约以每小时104的速率减少. 学科网（北京）股份有限公司 $