6.1.2 第1课时 瞬时变化率与导数 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教B版）

6.1.2 第1课时 瞬时变化率与导数 [课时跟踪检测] 1.设函数y=f（x）在x0附近有定义，且有f（x0+Δx）-f（x0）=aΔx+b（Δx）2（a，b为常数），则 （　　） A.f'（x）=a B.f'（x）=b C.f'（x0）=a D.f'（x0）=b 解析：选C　∵==a+bΔx.∴f'（x0）==a. 2.质点M按规律s（t）=2t2+3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t=2 s时的瞬时速度是 （　　） A.2 m/s B.6 m/s C.4 m/s D.11 m/s 解析：选D　质点M在t=2 s时位移的平均变化率为==11+2Δt，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于11 m/s.故选D. 3.若函数y=f（x）在x=x0处的导数为f'（x0），则等于 （　　） A.-f'（x0） B.3f'（x0） C.-3f'（x0） D.-4f'（x0） 解析：选D　 =-4=-4f'（x0）. 4.若可导函数f（x）的图象过原点，且满足=-1，则f'（0）等于 （　　） A.-2 B.2 C.-1 D.1 解析：选C　∵f（x）的图象过原点， ∴f（0）=0， ∴f'（0）===-1. 5.[多选]某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数s（t）=t2+t+1表示，则 （　　） A.物体在t=1 s时的瞬时速度为0 m/s B.物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s C.瞬时速度为9 m/s的时刻是在t=4 s时 D.物体从0到1的平均速度为2 m/s 解析：选BCD　 = =（3+Δt）=3，即物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s，故A错误； ==（1+Δt）=1， 即物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s，故B正确； 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s， 又=（2t0+1+Δt）=2t0+1=9， 所以t0=4，物体在t=4 s时的瞬时速度为9 m/s，故C正确； ==2（m/s），故D正确.故选BCD. 6.设函数y=f（x）的导数为y=f'（x），若f'（x0）=-2，则等于 （　　） A.1 B.-1 C. D.- 解析：选C　 = =-f'（x0）=. 7.（5分）设函数f（x）=ax+3，若f'（1）=3，则a=　　　　.   解析：因为f'（1）===a. 又因为f'（1）=3，所以a=3. 答案：3 8.（5分）已知函数y=f（x）=2x2+1在x=x0处的瞬时变化率为-8，则f（x0）=　　　　.   解析：由题知-8==（2Δx+4x0）=4x0，解得x0=-2，所以f（x0）=f（-2）=2×（-2）2+1=9. 答案：9 9.（5分）设函数y=f（x）在x=x0处可导，且=a，则f'（x0）=　 　　.  解析：∵ = =-3f'（x0）=a，∴f'（x0）=-a. 答案：-a 10.（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x，y=0，x=t（t>0）围成的△OAB的面积为S（t），则S（t）在t=2时的瞬时变化率是　　　　.  解析：由题设知B（t，t），即AB=t，而OA=t， 所以S（t）=OA·AB=t2. 所以=2+Δt， 当Δt→0时，2+Δt→2， 故S'（2）=2. 答案：2 11.（10分）求y=x2++5在点P处的导数. 解：∵Δy=（2+Δx）2++5- =4Δx+（Δx）2-， ∴=4+Δx-， ∴当Δx→0时，→4- =，故f'（2）=. 12.（10分）有一边长为10 cm的正方形铁板（此时铁板温度为0 ℃），加热后铁板会膨胀，已知铁板温度为t ℃（t>0）时，其边长膨胀为10（1+at）cm，其中a为常数，求铁板面积对温度t的瞬时膨胀率. 解：设温度的增量为Δt，则铁板面积的增量为ΔS=100[1+a（t+Δt）]2-100（1+at）2=200（a+a2t）Δt+100a2（Δt）2，则=200（a+a2t）+100a2Δt，当Δt→0时，→200a（1+at），即S'（t）=200a（1+at）.故铁板面积对温度t的瞬时膨胀率为200a（1+at）. 13.（10分）设函数f（x）的定义域为所有非零实数，对任意的非零实数x，y均有f（xy）=f（x）+f（y），且f'（1） 存在，试讨论f'（x） 还在哪些点处存在?并求出f'（x）的表达式.（用f'（1）表示） 解：由f（xy）=f（x）+f（y），得f（y）=f（1）+f（y）， 则f（1）=0.所以对任意不为零的实数x， 有f'（x）== == =·= . 所以f'（x） 对所有非零实数x都存在，且f'（x）= . 学科网（北京）股份有限公司 $