第5章 阶段小测(二)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

阶段小测(二) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2，3，4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.若{an}是公比为2的等比数列，则一定有an＝2an－1，n＝2，3，4，…，必要性成立；若an＝2an－1，n＝2，3，4，…，则{an}不一定为等比数列，充分性不成立，例如当an＝0时，满足an＝2an－1，n＝2，3，4，…，但该数列不是等比数列． 2．在各项均为正数的等比数列{an}中，a6与a12的等比中项为3，则log3a7＋log3a11＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.易知a6·a12＝9，所以log3a7＋log3a11＝log3(a7·a11)＝log3(a6·a12)＝log39＝2. 3．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若a8＝a5，则＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D.设等比数列{an}的公比为q， 由a8＝a5， 得＝q3＝，q＝， 所以＝ ＝ ＝＋1＋q2＝. 4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn.若3Sn＝3n＋1＋λ，则λ＝(　　) A．3 B．1 C．－1 D．－3 解析：选D.设{an}的公比为q.因为3Sn＝3n＋1＋λ，所以Sn＝3n＋，故q≠1，又Sn＝＝－·qn，所以qn的系数和常数项互为相反数，所以＝－1，所以λ＝－3. 5．如果某人在听到喜讯的1 h后将这一喜讯传给2个人，这2个人又以同样的速度各传给未听到喜讯的另2个人……，每人只传2人，这样继续下去，那么要把喜讯传遍一个有2 047人(包括第一个人)的小镇所需的时间为(　　) A．8 h B．9 h C．10 h D．11 h 解析：选C.根据题意可得传递过程可看成一个等比数列，且该数列的首项为1，公比为2，所以n h后知道喜讯的总人数为1＋21＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－1， 令2n＋1－1＝2 047，解得n＝10. 6．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋a3＝20，a3＋a5＝5，则使得a1a2·…·an<1成立的正整数n的最小值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析：选C.设等比数列{an}的公比为q，q>0，且an>0. 由题意得两式相除得q2＝，则q＝，所以a1＝16，故an＝25－n.显然当n≤5时，a1a2·…·an<1不成立，所以n>5且n∈N＋，则a1a2·…·an＝24＋3＋2＋1＋0＋(－1)＋(－2)＋…＋(5－n)＝2<1，即<0，则n>9，故正整数n的最小值为10. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．设Sn是公比为正数的等比数列{an}的前n项和．若a2＝，a3a5＝，则(　　) A．a4＝ B．S3＝ C．an＋Sn为常数 D．{Sn－2}为等比数列 解析：选ACD.设{an}的公比为q(q>0)，则a2q·a2q3＝，解得q＝，故an＝a2qn－2＝，则a1＝1，Sn＝＝2－.对于A，a4＝＝，故A正确；对于B，S3＝2－＝，故B错误； 对于C，an＋Sn＝＋2－＝2为常数，故C正确；对于D，由Sn－2＝－，＝(n≥2)，可得{Sn－2}为等比数列，故D正确． 8．已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝a2＝1，an＝an－1＋2an－2(n≥3)，则下列结论正确的是(　　) A．数列{an＋1＋an}为等比数列 B．数列{an＋1－2an}为等比数列 C．an＝ D．S20＝(410－1) 解析：选ABD.an＝an－1＋2an－2， an＋an－1＝2an－1＋2an－2＝2(an－1＋an－2)(n≥3)， 因为a1＋a2＝1＋1＝2≠0， 所以数列{an＋1＋an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1＋an＝2·2n－1＝2n，故A正确； an＝an－1＋2an－2， an－2an－1＝2an－2－an－1＝－(an－1－2an－2)(n≥3)， 因为a2－2a1＝1－2＝－1≠0， 所以数列{an＋1－2an}是首项为－1，公比为－1的等比数列，所以an＋1－2an＝－1·(－1)n－1＝(－1)n，故B正确； 所以an＝，故C错误； S20＝a1＋a2＋…＋a20＝＋＋…＋＝ ＝×＝(220－1)＝(410－1)，故D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S2＝，a5＋a6＝12，则S4＝________． 解析：设等比数列{an}的公比为q(q>0)， 由题意得解得 所以S4＝＝. 答案： 10．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________． 解析：当n＝1时，由Sn＝an＋，得a1＝a1＋，即a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝an－an－1，即an＝－2an－1，故数列{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，从而an＝(－2)n－1. 答案：(－2)n－1 11．记Sn为数列{an}的前n项和，若an＝－1，则S7＝__________． 解析：由已知an＝－1，得Sn－Sn－1＝－1，所以Sn－2＝2(Sn－1－2)(n≥2)，又a1＝－1，即S1＝－2，S1－2＝－4，所以{Sn－2}是以－4为首项，2为公比的等比数列，所以Sn－2＝－4×2n－1，即Sn＝2－2n＋1，所以S7＝2－28＝－254. 答案：－254 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式；(6分) (2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.(7分) 解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由题意得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝. 由Sm＝63，得＝63， 即(－2)m＝－188， 此方程没有正整数解． 若an＝2n－1，则Sn＝＝2n－1. 由Sm＝63，得2m－1＝63， 即2m＝64，解得m＝6. 综上，m＝6. 13．(本小题满分15分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N＋. (1)设bn＝，证明：数列{bn}是等差数列；(6分) (2)在(1)的条件下求数列{an}的前n项和Sn.(9分)　 解：(1)证明：由已知an＋1＝2an＋2n，bn＝， 得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1. 所以bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1. 所以{bn}是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)知，bn＝n，＝bn＝n. 所以an＝n·2n－1. 所以Sn＝1＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1， 两边同时乘以2得2Sn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n， 两式相减得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)×2n－1， 所以Sn＝(n－1)×2n＋1. 14．(本小题满分15分)如果无穷数列{an}满足“对任意正整数i，j(i≠j)，都存在正整数k，使得ak＝aiaj”，那么称数列{an}具有“性质P”． (1)若等比数列{an}的前n项和为Sn，且an>0，S3＝14，a3＝a2＋2a1，求证：数列{an}具有“性质P”；(5分) (2)在(1)的条件下，若＋<a对任意正整数n恒成立，求实数a的取值范围．(10分) 解：(1)证明：设等比数列{an}的公比为q(q>0)， 由即 解得或(舍去)，故an＝2n. 易知对任意正整数i，j(i≠j)，都存在正整数k，使得k＝i＋j，即2k＝2i＋j， 即ak＝aiaj，所以数列{an}具有“性质P”． (2)由(1)得Sn＝＝2n＋1－2， 又an＝2n，所以＝＝2， 因为＋<a对任意正整数n恒成立， 所以a>(＋)max. 令t＝＝2－(1≤t<2)， 易知函数f(t)＝t＋在[1，2)上单调递增，所以t＋<，即a≥. 故实数a的取值范围是[，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $